Derivadas de Orden superior

Derivadas de Orden superior
Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f 0 y podemos aplicar
la derivada a f 0 .
La función (f 0 )0 se suele escrbir f 00 y recibe el nombre de derivada segunda de f. Si f 00 existe, se dice que,
f es dos veces derivable en a.
De manera similar podemos definir f 000 = (f 00 )0
La notación usual es:
f 0 = f 1 , f 00 = f 2 , f 000 = f 3 , ...,k+1 = (f k )0
Las distintas funciones f k para k ≥ 2 son a veces llamadas derivadas de orden superior.
Podemos tomar f 0 = f .
Ejemplo.-Si f (x) = ax
Tenemos que
f 0 (x) = ax ln(a)
f 00 (x) = ax ln2 (a)
f 000 (x) = ax ln3 (a)
Esto sugiere la fórmula
n
(ax ) = lnn (x) a > 0
Esta fórmula se puede demostrar por inducción
Para la base de la inducción n = 1 tenemos que
0
(ax ) = ax ln(a)
Supongámos ahora la validez de la fórmula para n
n
(ax ) = ax lnn (a)
Ahora veamos que la propiedad se cumple para n + 1
tenemos que
(ax lnn (a))
n+1
n 0
n 0
= ((ax lnn (a)) ) = lnn (a) ((ax ) ) = lnn (a)ax ln(a) = ax lnn+1 (a)
por lo tanto la fórmula es valida para n + 1.
Ejemplo.-Hallar f 17 (x) para f (x) = ax
Tenemos que según la fórmula
17
f 17 (x) = (ax )
= ax ln17 (a)
Ejemplo.-Si f (x) = sen(x)
Tenemos que
π
f 0 (x) = cos(x) = sen x + π2 = sen(x) cos π2 + sen
2 cos(x)
= cos(x)
π
f 00 (x) = − sen(x) = sen x + 2 π2 = sen(x) cos 2π
+
sen
2
2 2 cos(x)= − sen(x)
π
π
000
f (x) = − cos(x) = sen x + 3 2 = sen(x) cos 3 2 + cos(x) sen 3 π2 = − cos(x)
Esto sugiere la fórmula
π
n
(sen(x)) = sen x + n
2
1
Esta fórmula se puede demostrar por inducción
Para la base de la inducción n = 1 tenemos que
π
π
π
0
= sen(x) cos
+ sen
cos(x) = cos(x)
(sen(x)) = cos(x) = sen x +
2
2
2
Supongámos ahora la validez de la fórmula para n
π
n
(sen(x)) = sen x + n
2
Ahora veamos que la propiedad se cumple para n + 1
tenemos que
π
π
n+1
n 0
= sen x + (n + 1)
(sen(x))
= ((sen(x)) ) = cos x + n
|{z}
2
2
∗
(*)La última igualdad la justificamos de la siguiente manera
π
π
π
π π
π
π
π
sen x + (n + 1)
= sen x + n +
= sen x + n
cos
+sen
cos x + n
= cos x + n
2
2
2
2
2
2
2
2
por lo tanto la fórmula es valida para n + 1.
Ejemplo.-Hallar f 17 (x) para f (x) = sen(x)
Tenemos que según la fórmula
17π
17π
17π
17
17
f (x) = (sen(x)) = sen x +
= sen(x) cos
+ cos(x) sen
= cos(x)
2
2
2
Ejemplo.-Si f (x) = cos(x)
Tenemos que
f 0 (x) = − sen(x) = cos x + π2 = cos(x) cos π2 − sen π2 sen(x)
= − sen(x)
π
−
sen
2
sen(x)
f 00 (x) = − cos(x) = cos x + 2 π2 = cos(x) cos 2π
2
2
= − cos(x)
f 000 (x) = sen(x) = cos x + 3 π2 = cos(x) cos 3 π2 − sen(x) sen 3 π2 = sen(x)
Esto sugiere la fórmula
π
n
(sen(x)) = cos x + n
2
Esta fórmula se puede demostrar por inducción
Para la base de la inducción n = 1 tenemos que
π
π
π
0
(cos(x)) = − sen(x) = cos x +
= cos(x) cos
− sen
sen(x) = − sen(x)
2
2
2
Supongámos ahora la validez de la fórmula para n
π
n
(cos(x)) = cos x + n
2
Ahora veamos que la propiedad se cumple para n + 1
tenemos que
π
π
n+1
n 0
=
cos
x
+
(n
+
1)
(cos(x))
= ((cos(x)) ) = − sen x + n
2 |{z}
2
∗
2
(*)La última igualdad la justificamos de la siguiente manera
π
π
π
π π
π
π
π
cos x + (n + 1)
= cos x + n +
= cos x + n
cos
−sen
sen x + n
= − sen x + n
2
2
2
2
2
2
2
2
por lo tanto la fórmula es valida para n + 1.
Ejemplo.-Hallar f 51 (x) para f (x) = cos(x)
Tenemos que según la fórmula
51π
51π
51π
51
= cos(x) cos
− sen(x) sen
= sen(x)
f 51 (x) = (cos(x)) = cos x +
2
2
2
51π
51π
51π
51
51
f (x) = (cos(x)) = cos x +
= cos(x) cos
− sen(x) sen
= sen(x)
2
2
2
Ejemplo.- Si f (x) = xm
Tenemos que
f 0 (x) = mxm−1
f 00 (x) = m(m − 1)xm−2
f 000 (x) = m(m − 1)(m − 2)xm−3
Esto sugiere la fórmula
f n (x) =
m!
xm−n
(m − n)!
Calcular f 8 (x) para f (x) = x12
Tenemos que:
f 12 (x) = x12
12
=
8!
x4 = 19958400x4
(12 − 8)!
Ejemplo.- Si f (x) = ln(x)
Tenemos que
f 0 (x) = x1
f 00 (x) = − x12
f 000 (x) = x23
Esto sugiere la fórmula
f n (x) =
(−1)n−1 (n − 1)!
xn
Calcular f 35 (x) para f (x) = ln(x)
Tenemos que:
f 35 (x) = (−1)34
34!
295232799039604140847618609643520000000
=
35
x
x35
Ejemplo.- Si f (x) = x1
Tenemos que
f 0 (x) = − x12
f 00 (x) = x23
f 000 (x) = − x64
Esto sugiere la fórmula
f n (x) =
(−1)n (n)!
xn+1
3
Calcular f 12 (x) para f (x) =
Tenemos que:
1
x
f 12 (x) = (−1)12
12!
479001600
=
x13
x13
Ejemplo.- Si f (x) = x−m
Tenemos que
f 0 (x) = −mx−m−1
f 00 (x) = −m(−m − 1)x−m−2
f 000 (x) = −m(−m − 1)(−m − 2)x−m−3
Esto sugiere la fórmula
f n (x) = (−1)n
(m + n − 1)! −m−n
x
(m − 1)!
Calcular f 12 (x) para f (x) = x−5
Tenemos que:
16! 4
x = 871782912000x−17
(4)!
f 12 (x) = (−1)12
Teorema 1. Si f n (a) y g n (a) existen, entonces
n
(f · g) (a) =
n X
n
k
k=0
f k (a) · g n−k (a)
Demostración. La prueba es por inducción, asi que para n = 1 se tiene que
0
1
0
0
(f · g) (a) = (f · g) (a) = f (a)g (a) + f (a)g(a) =
1 X
1
k=0
k
f k (a) · g n−k (a)
por lo tanto es valida para la base de inducción
Supóngo valida la propiedad para n
n
(f · g) (a) =
n X
n
k
k=0
f k (a) · g n−k (a)
y probaremos su validez para n + 1, para esto tenemos que:
(f · g)
n+1
0
n
(a) = ((f · g) (a)) =
n X
n
k=0
=
n X
k=0
n
k
f
k+1
(a)g
n−k
k
(a) + f (a)g
n−k+1
k
!0
k
f (a) · g
(a) =
=
k=1
(a)
=
n X
n
k=0
n X
k=0
n+1
X
n−k
n
f k (a)g n−k+1 (a) +
k−1
k
0
f k (a) · g n−k (a)
n X
n
n
k+1
n−k
f
(a)g
(a) +
f k (a)g n−k+1 (a)
k
k
k=0
n X
n
k=0
k
f k (a)g n−k+1 (a)
n n X
X
n
n
k
n−k+1
n+1
n+1
=
f (a)g
(a) + f
(a)g(a)+f (a)g
(a) +
f k (a)g n−k+1 (a)
k−1
k
k=1
k=1
4
= f (a)g
n+1
n n X
X
n
n
k
n−k+1
(a) +
f (a)g
(a) +
f k (a)g n−k+1 (a) + f n+1 (a)g(a)
k−1
k
k=1
= f (a)g n+1 (a) +
k=1
n X
k=1
= f (a)g n+1 (a) +
n
n
+
f k (a)g n−k+1 (a) + f n+1 (a)g(a)
k−1
k
n X
n+1
k=1
=
n X
k=0
k
f k (a)g n−k+1 (a) + f n+1 (a)g(a)
n+1
X n + 1 n+1
f k (a)g n−k+1 (a)
f k (a)g n−k+1 (a) + f n+1 (a)g(a) =
k
k
k=0
Vamos a comprobar
n!
kn!
(n − k + 1)n!
n!(n + 1)
n!
n+1
n
n
+
=
+
=
=
+
=
k
k−1
k
(k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k)!
(k)!(n − k + 1)! k!(n − k + 1)!
k!(n − k + 1)!
Ejemplo.-Vamos a hallar la derivada n-ésima de f (x) = x sen(x), para esto se tiene que según la
fórmula
n X
π π n k
n
n
n
n
n−k
(x sen(x)) =
x sen
(x) =
x (sen(x)) +
x(sen(x))n−1 = x sen x + n
+n sen x + (n − 1)
k
0
1
2
2
k=1
Usaremos lo anterior para hallar f 13 (x) para f (x) = x sen(x), para esto se tiene que:
13π
13π
13
13
f (x) = (x sen(x)) = x sen x +
+ 13 sen x +
= x sen(x) + 13 cos(x)
2
2
5