Pêndulo composto e pêndulo simples

UNICAMP
IFGW
Tópicos de Ensino de Física II - F 709
1º Semestre 2007
Prof. José Joaquim Lunazzi
PÊNDULOS
José Eduardo P. Velloni 870527
PÊNDULO DUPLO
Montagem composta por duas hastes rígidas (barras) ligadas a dois elementos
(articulações) que lhes permitem a rotação no plano vertical. Um elemento opcional
pode ser utilizado para aumentar a massa do sistema.
Articulação fixa ao plano
vertical. Permite rotação,
mas não permite translação.
Articulação entre as barras.
Permite a rotação entre elas.
Barra “Fixa”. Capaz apenas de
rotação no plano vertical.
Elemento opcional para
aumentar a massa da barra
livre.
Barra “Livre”. Capaz de
rotação e translação no plano
vertical.
A Barra “Fixa” (ou interna ) opera com um único grau de liberdade (θ1) ao passo que a
Barra “Livre” ( ou externa ) opera com dois graus de liberdade (θ1 e θ2).
θ1
θ2
Um Pêndulo Duplo pode ser utilizado para despertar o interesse por várias grandezas,
tais como: energia, momento angular, momento de inércia, deslocamento, velocidade,
aceleração, força e torque.
Embora se pretenda construir um mecanismo livre de resistências não se podem
descartar totalmente as forças dissipativas de energia ( atritos e resistência do ar ) no
funcionamento de um pêndulo duplo.
As denominações Pêndulo Simples e Pêndulo Físico ( ou Pêndulo Composto )
merecem menção aqui visto que são muito freqüentes no estudo das rotações.
Denomina-se Pêndulo Simples ao modelo que consiste em um fio (ou haste) de massa
desprezível tendo em uma das extremidades um elemento de massa enquanto a outra
extremidade do fio (ou haste) é fixa permitindo-lhe apenas a rotação em torno de um
eixo fixo (com um único grau de liberdade portanto). A característica marcante de um
Pêndulo Simples é ter praticamente toda a massa concentrada em uma das
extremidades.
θ
E fácil mostrar que para um Pêndulo Simples o período (T) de oscilação para pequenas
amplitudes angulares* pode ser satisfatoriamente calculado pela expressão a seguir :
T = 2π
L
g
Onde L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração gravitacional local.
* para (θ ≤ 7,5º) a expressão acima fornece o período de oscilação de um pêndulo
simples com erro inferior a 0,5 %.
Veja uma demonstração da expressão acima no Apêndice I.
A expressão Pêndulo Físico ( ou Pêndulo Composto ) por sua vez designa um sistema
que não necessariamente tem sua massa concentrada em uma das extremidades. De fato
um Pêndulo Físico pode ser qualquer corpo rígido ao qual se dê a capacidade de
oscilar em tono de um eixo fixo.
Para um Pêndulo Físico, o período (T) de oscilação para pequenas amplitudes
angulares * pode ser satisfatoriamente calculado pela expressão a seguir :
T = 2π
I
mgR
Onde I é o momento de inércia do pêndulo em torno do eixo, m é sua massa, g a
aceleração gravitacional local e R é a distância entre o eixo de rotação e o centro de
gravidade do pêndulo.
* para amplitudes angulares inferiores a 7,5º expressão acima fornece o período de
oscilação de um pêndulo simples com erro inferior a 0,5 %.
Naturalmente a expressão para o Pêndulo Físico se iguala à do Pêndulo Simples
fazendo I = mL2 e R = L ( pois para o modelo de pêndulo simples a massa está toda
concentrada na extremidade livre ).
Veja uma demonstração da expressão acima no Apêndice II.
ANÁLISE DA ACELERAÇÃO DE UM PÊNDULO SIMPLES
Quanto mais inclinado o
plano, maior a aceleração.
Para pequenas inclinações a
aceleração é considerada
diretamente proporcional
ao ângulo.
a = g.θ
Na pista semi-circular a
inclinação altera-se
continuamente, e assim
também a aceleração.
Substituindo o apoio da
pista por um fio fixo a um
ponto. O comportamento
da aceleração é o mesmo.
Construção de um Pêndulo Duplo a partir de materiais de uso cotidiano
Como articulações ( ou pivôs ) utilizam-se cabeçotes de equipamentos de vídeo cassete.
Tais elementos são capazes de girar sob carga radial com resistência (atrito) muito
pequena se comparada a similares comuns como rolamentos ou buchas. A operação dos
tais cabeçotes como articulações é silenciosa e dispensa lubrificação.
Como hastes utilizam-se materiais diversos como perfis ou barras de alumínio, ferro ou
aço. No caso do alumínio atenção especial à torção. Durante a operação do pêndulo os
perfis podem sofrer torções ou flexões indesejáveis levando a colisões das barras contra
o plano de fixação e mesmo a colisões entre as barras.Isso obviamente impede o
adequado funcionamento do pêndulo pois leva a grandes dissipações de energia.
O Pêndulo Duplo caseiro do projeto “Experimente a Física”
A seguir a descrição detalhada do Pêndulo Duplo construído com materiais comuns
para demonstração no projeto “Experimente a Física” do IFGW sob orientação do
professor J.J Lunazzi.
Lista de materiais:
1 Perfil (“ H ”) de alumínio
1 Barra cilíndrica de aço roscada
2 Rolamentos de Vídeo Cassete
1 Anel de Fixação
Parafusos de fixação.
Imagens do conjunto montado
Conjunto desmontado
Cada rolamento tem 6,0 cm
de diâmetro e 230 gramas.
Perfil de Alumínio
65 gramas
4,5 cm
29,5 cm
Barra roscada e rolamento
Carcaça de motor
430 gramas
320 gramas
22,0 cm
11,5 cm
Detalhe
do
rolamento
superior, ligando a carcaça
de motor à barra de
alumínio.
Massa epóxi utilizada para
ligar um rolamento à barra
de aço roscada.
Anel de ligação : 35gramas.
Para ligar o perfil de
alumínio a um rolamento.
Apêndice I - Período de Oscilação de um Pêndulo Simples
( utilizando cálculo diferencial )
T
θ
PT
PN
PN = T
P
PT = P.senθ
P.senθ = m.a ( 2ª lei de Newton )
m.a = - m.L.θ¨
Então: P.senθ = - m.L.θ¨ assim g.senθ = - L.θ¨
Para θ < 10º podemos fazer senθ ≈ θ com erro inferior a 0,5%
g..θ = - L.θ¨
θ(t)= A.sen(ωt)
θ´(t)= A.ω.cos(ωt)
θ¨(t)= -A.ω2.sen(ωt)
Então:
g. A..sen(ωt) = L. Aω2.sen(ωt)
ω=( g / L )1/2
Como ω = 2π / T , então T = 2π. ( L / g )1/2
Apêndice II - Período de Oscilação de um Pêndulo Físico
( utilizando cálculo diferencial )
N
R
G
PT
θ
P
PN
PN = N
PT = P.senθ
P.senθ.R = τ ( torque de PT em torno do eixo de rotação )
τ = - I.θ¨ ( 2ª lei de Newton em grandezas angulares )
Então: P.senθ.R = - I.θ¨ assim m.g.senθ = - L.θ¨
Para θ < 10º podemos fazer senθ ~ θ sem grande erro.
m.g.θ.R = - I.θ¨
θ(t)= A.sen(ωt)
θ´(t)= A.ω.cos(ωt)
θ¨(t)= -A.ω2.sen(ωt)
Então:
m. g. R.A..sen(ωt) = I. Aω2.sen(ωt)
ω = ( mg / I )1/2
Como ω = 2π / T , então T = 2π. ( I / mgR )1/2
Cálculo do período de Oscilação de um Pêndulo Simples
(utilizando apenas recursos matemáticos de Ensino Médio)
O movimento do pêndulo é aproximado por pequenos deslocamentos em planos
inclinados. Em cada um destes planos a aceleração é dada por a =g.senθ
θ , onde θ é o
ângulo entre o fio e a vertical.
Para cada trecho o movimento é considerado uniformemente acelerado. A velocidade
inicial de cada trecho é dada por V = 2.Vm + Va , onde Vm é a velocidade média do
trecho anterior e Va é a velocidade inicial do trecho anterior. A velocidade inicial do
primeiro trecho evidentemente é nula.
O deslocamento de cada trecho é aproximado por ∆l = - L.∆θ
∆θ , onde L é o
comprimento do fio e ∆θ ( negativo ) é o incremento dado na inclinação do pêndulo a
cada trecho.
O tempo de percurso em cada trecho é dado por :
− V + V 2 + 2.a.∆l
t=
a
Numa planilha os cálculos são efetuados para um ângulo inicial θi incrementado
(negativamente) até que o pêndulo atinja a posição vertical. Chamando Σt à somatória
dos intervalos de tempo para percorrer cada trecho, então o período de oscilação do
pêndulo é :
T = 4.Σ
Σt
Quanto à convergência da série de valores gerados para os intervalos de tempo
pode-se concluir que ela ocorre já que o período de oscilação do pêndulo é finito.
Assumindo que os intervalos de tempo que compõem a série correspondem a
valores fisicamente consistentes, então a convergência da série é dada como certa,
ainda que aqui não se faça uma demonstração puramente matemática disso.
Os resultados do período assim calculado naturalmente mais se aproximam do valor real
tanto quanto menor for o incremento dado ao ângulo de inclinação do pêndulo.
Para um ângulo inicial de 5º e comprimento de 2m os resultados obtidos foram :
Incremento ( em rad )
0,02
0,01
0,002
0,0002
Período ( s )
2,942
2,814
2,836
2,829
O valor calculado pela expressão : T = 2π. ( L / g )1/2
Com p = 3,14 e g = 9,81 m/s2 é T = 2,836 s .
Os resultados obtidos numericamente portanto têm boa aproximação em relação ao
valor calculado analiticamente, mesmo para o incremento de 0,02rad o desvio foi de
3,74 % .
As planilhas utilizadas para os cálculos encontram-se anexas ( exceto para o
incremento de 0,0002 rad por ser muito extensa ).
Tabela 1 : Planilha com incremento de – 0,002 rad
L( m )
2.000
2.84
ângulo ( rad ) deslocamento( m ) incremento( rad )
-0.0200
0.087
0.0400
-0.0200
0.067
0.0400
-0.0200
0.047
0.0400
-0.0200
0.027
0.0400
-0.0200
0.007
0.0400
período( s )
(analiticamente)
2
acel.( m/s )
0.855
0.659
0.463
0.267
0.071
tempo( s
)
0.306
0.131
0.107
0.097
0.094
V inicial
0.000
0.261
0.348
0.398
0.424
2.942
período(s)
(numericamente )
Tabela 2 : Planilha com incremento de – 0,001 rad
L(m)
2.000
2.836
ângulo ( rad ) deslocamento( m ) incremento( rad )
-0.0100
0.087
0.0200
-0.0100
0.077
0.0200
-0.0100
0.067
0.0200
-0.0100
0.057
0.0200
-0.0100
0.047
0.0200
-0.0100
0.037
0.0200
-0.0100
0.027
0.0200
-0.0100
0.017
0.0200
-0.0100
0.007
0.0200
período( s )
(analiticamente)
2
acel.( m/s )
0.855
0.757
0.659
0.561
0.463
0.365
0.267
0.169
0.071
tempo( s
)
0.216
0.091
0.072
0.063
0.057
0.054
0.051
0.050
0.049
2.814
período(s)
(numericamente )
V inicial
0.000
0.185
0.254
0.301
0.337
0.363
0.383
0.396
0.405
Tabela 3 : Planilha com incremento de – 0,0002 rad
L( m )
2.000
2.836
ângulo ( rad ) deslocamento( m ) incremento( rad )
-0.0020
0.087
0.0040
-0.0020
0.085
0.0040
-0.0020
0.083
0.0040
-0.0020
0.081
0.0040
-0.0020
0.079
0.0040
-0.0020
0.077
0.0040
-0.0020
0.075
0.0040
-0.0020
0.073
0.0040
-0.0020
0.071
0.0040
-0.0020
0.069
0.0040
-0.0020
0.067
0.0040
-0.0020
0.065
0.0040
-0.0020
0.063
0.0040
-0.0020
0.061
0.0040
-0.0020
0.059
0.0040
-0.0020
0.057
0.0040
-0.0020
0.055
0.0040
-0.0020
0.053
0.0040
-0.0020
0.051
0.0040
-0.0020
0.049
0.0040
-0.0020
0.047
0.0040
-0.0020
0.045
0.0040
-0.0020
0.043
0.0040
-0.0020
0.041
0.0040
-0.0020
0.039
0.0040
-0.0020
0.037
0.0040
-0.0020
0.035
0.0040
-0.0020
0.033
0.0040
-0.0020
0.031
0.0040
-0.0020
0.029
0.0040
-0.0020
0.027
0.0040
-0.0020
0.025
0.0040
-0.0020
0.023
0.0040
-0.0020
0.021
0.0040
-0.0020
0.019
0.0040
-0.0020
0.017
0.0040
-0.0020
0.015
0.0040
-0.0020
0.013
0.0040
-0.0020
0.011
0.0040
-0.0020
0.009
0.0040
-0.0020
0.007
0.0040
-0.0020
0.005
0.0040
-0.0020
0.003
0.0040
-0.0020
0.001
0.0040
período( s )
(analiticamente)
tempo( s
2
acel.( m/s )
)
0.855
0.097
0.835
0.040
0.815
0.031
0.796
0.026
0.776
0.023
0.757
0.021
0.737
0.020
0.718
0.018
0.698
0.017
0.679
0.017
0.659
0.016
0.639
0.015
0.620
0.015
0.600
0.014
0.581
0.014
0.561
0.013
0.541
0.013
0.522
0.013
0.502
0.013
0.483
0.012
0.463
0.012
0.443
0.012
0.424
0.012
0.404
0.012
0.385
0.011
0.365
0.011
0.345
0.011
0.326
0.011
0.306
0.011
0.287
0.011
0.267
0.011
0.247
0.011
0.228
0.011
0.208
0.011
0.189
0.010
0.169
0.010
0.149
0.010
0.130
0.010
0.110
0.010
0.090
0.010
0.071
0.010
0.051
0.010
0.032
0.010
0.012
0.010
2.836
período(s)
(numericamente )
V inicial
0.000
0.083
0.116
0.142
0.163
0.181
0.197
0.211
0.224
0.236
0.248
0.258
0.268
0.277
0.285
0.293
0.301
0.308
0.315
0.321
0.327
0.333
0.338
0.343
0.348
0.352
0.356
0.360
0.364
0.367
0.370
0.373
0.376
0.378
0.380
0.382
0.384
0.386
0.387
0.388
0.389
0.390
0.390
0.391
Apresentação aos Alunos de Ensino Médio
Diante de instalação de pêndulos
duplos apresentada aos alunos.
Com alunos discutindo os períodos
dos pêndulos simples.
Apresentando pêndulos simples de
massas e comprimentos diferentes
aos alunos.
Os alunos fizeram observações quanto aos períodos dos pêndulos simples e quanto ao
movimento dos pêndulos duplos. Alguns julgavam em princípio que quanto mais
pesado um pêndulo simples, menor deveria ser o seu período. Uma associação clara
com a idéia de que o que é mais pesado deve cair mais rápido. Com relação ao
comprimento dos pêndulos o senso comum correspondeu ao conhecimento científico,
de fato todos concordaram que entre dois pêndulos de mesma massa teria maior período
aquele que fosse mais longo. Neste caso parece ser uma associação com o fato de que o
pêndulo mais longo percorre maior distância numa oscilação, e portanto deve levar mais
tempo para isso.
O movimento dos pêndulos duplos despertou o interesse de alguns alunos,
especialmente os mais velhos. Foi explicado que se tratam de sistemas caóticos, ou seja,
sitemas cujos movimentos podem variar significativamente para muito pequenas
variações das condições iniciais. A idéia pareceu clara aos alunos após a explicação,
porém, antes dela ninguém sugeriu nada nesse sentido. Ao que parece o caráter caótico
dos pêndulos duplos passou despercebido aos alunos numa primeira apresentação.