1. Funciones Medibles

1. Funciones Medibles
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Hasta ahora hemos estudiado la medida de Lebesgue definida sobre los conjuntos de Rn y sus
propiedades. Vamos a aplicar ahora esta teorı́a al estudio de las funciones escalares de varias
variables .
Definición (Funciones medibles – Lebesgue). Sea E ⊆ Rn E ∈ M, y f : E → R. Se dice que
f es medible – Lebesgue si para todo abierto G en R, la imagen inversa
f −1 (G) = {x ∈ E, f (x) ∈ G}
es un conjunto medible de Rn
Funciones Medibles
Funciones simples
Observaciones:
Integración de . . .
Integral de . . .
1. En primer lugar, E = f −1 (R) debe ser medible. Sólo tiene sentido hablar de funciones
medibles si están definidas en conjuntos medibles.
Funciones . . .
JJ
II
J
I
2. Son equivalentes:
(a) f medible –Lebesgue
(b) Para todo conjunto C ⊆ R cerrado, f −1 (C) ∈ M
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
En efecto, si f es medible y C es cerrado, el complementario R \ C es abierto, luego
f −1 (R \ C), es medible, y por tanto
Funciones Medibles
Que (2) implica (3) es trivial, porque los rectángulos son cerrados.
Funciones simples
(c) Para todo rectángulo R ⊆ R, f −1 (R) ∈ M
f −1 (C) = E \ f −1 (R \ C)
también es medible. Ası́ (1) implica (2)
Integral de . . .
Por último, supongamos que se verifica la hipótesis (3). Si G es un abierto, se puede poner
∞
[
como unión numerable de rectángulos G =
Rn , de modo que
Funciones . . .
n=1
Integración de . . .
JJ
II
J
I
f
−1
(G) = f
−1
(
∞
[
n=1
Rn ) =
∞
[
f −1 (Rn )
n=1
será medible. Por tanto f es medible.
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
3. Un conjunto A ⊆ Rn es medible si y sólo si su función caracterı́stica
0
si x ∈
/A
n
χA : R −→ R, χA (x) =
1
si x ∈ A
es medible.
En efecto, supongamos que A es medible, y sea G un abierto cualquiera en R. Si estudiamos
cómo es χ−1
A (G), tenemos

∅
si 0 6∈ G, 1 6∈ G



R
\
A
si 0 ∈ G, 1 6∈ G
χ−1
A (G) =
A
si 0 6∈ G, 1 ∈ G



R
si 0 ∈ G, 1 ∈ G
y en cualquier caso es medible.
Recı́procamente, si χA es medible, tomando como G un abierto que contenga al 1 y no al
0, como G = (1/2, 3/2), se tiene A = χ−1
A (G), y por tanto A es medible.
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
La familia de las funciones medibles son la base sobre la que construir la integral, como las
funciones continuas lo eran para la construcción de la integral de Cauchy. De hecho, lo primero
que vamos a ver es que toda función continua es medible:
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Teorema.
Toda función continua definida en un conjunto medible es medible.
Demostración:
Sea E un conjunto medible en Rn , y f : E −→ R una función continua. Si G es un conjunto
abierto en R, sabemos que por las propiedades de las funciones continuas f −1 (G) es abierto en
E, es decir, existe un conjunto abierto U ⊆ Rn tal que f −1 (G) = E ∩ U . Ası́ E es medible por
definición de función medible, y U es medible por ser abierto, luego f −1 (G) es medible.
Por tanto f es medible.
Además la composición de una función medible con una función continua también es medible
(ojo, no la composición de dos funciones medibles); ası́ por ejemplo si f (x) es medible, entonces
g(x) = sen(f (x)) también es medible :
Teorema.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, f : E −→ R una función medible, y g : f (E) −→ R continua en f (E).
Entonces g ◦ f es medible.
Demostración:
Sea G un abierto cualquiera en R. Como g : f (E) −→ R es continua, g −1 (G) es abierto de
f (E), es decir, existe una abierto U de R tal que g −1 (G) = U ∩ f (E). Y entonces
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
(g ◦ f )−1 (G) = f −1 (g −1 (G)) = f −1 (U ∩ f (E)) = f −1 (U )
es medible. Ası́ pues g ◦ f es medible.
Vamos a ver también que el lı́mite de una sucesión de funciones medibles es medible, y algunos
otros resultados parecidos. Para ello es útil la siguiente caracterización de las funciones medibles:
Teorema.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y f : E −→ R. Son equivalentes:
1. f es medible
2. Para todo a ∈ R, {x ∈ E : f (x) < a} ∈ M
3. Para todo a ∈ R, {x ∈ E : f (x) ≤ a} ∈ M
JJ
II
4. Para todo a ∈ R, {x ∈ E : f (x) > a} ∈ M
J
I
5. Para todo a ∈ R, {x ∈ E : f (x) ≥ a} ∈ M
Demostración:
Es claro que (1) implica las propiedades (2), (3), (4) y (5) ya que
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
{x ∈ E : f (x) < a} = f −1 (−∞, a)
{x ∈ E : f (x) ≤ a} = f −1 (−∞, a]
{x ∈ E : f (x) > a} = f −1 (a, ∞)
y
{x ∈ E : f (x) ≥ a} = f −1 [a, ∞)
son imágenes inversas por f de conjuntos abiertos o cerrados según el caso.
Vamos a ver ahora que las propiedades (2) a (5) son equivalentes entre si.
En primer lugar, si suponemos que se verifica (2), es decir que los conjuntos del tipo {x ∈
E : f (x) < a} son medibles para todo a ∈ R, poniendo
Integral de . . .
Funciones . . .
{x ∈ E : f (x) ≤ a} =
JJ
II
J
I
∞
\
n=1
{x ∈ E : f (x) < a +
1
}
n
se tiene que los conjuntos del tipo {x ∈ E : f (x) ≤ a} son intersección numerable de conjuntos
medibles, y por tanto son medibles, lo que prueba la propiedad (3).
En segundo lugar,
{x ∈ E : f (x) > a} = E \ {x ∈ E : f (x) ≤ a}
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
luego (3) implica (4).
En tercer lugar, si se verifica (4), razonando como antes y poniendo
{x ∈ E : f (x) ≥ a} =
∞
\
{x ∈ E : f (x) > a −
n=1
1
}
n
se tiene (5).
Y en cuarto lugar, si se verifica (5), como
{x ∈ E : f (x) < a} = E \ {x ∈ E : f (x) ≥ a}
se tiene también (1).
Para terminar la demostración, una vez visto que las últimas cuatro propiedades son equivalentes entre si, utilizando las propiedades (3) y (5) se tiene que para todo rectángulo R = [a, b]
en R,
f −1 [a, b] = {x ∈ E : a ≤ f (x) ≤ b} = {x ∈ E : f (x) < b} ∩ {x ∈ E : f (x) ≥ a}
será medible, y por tanto f es medible, y se tiene (1).
Corolario 1.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y sean fn : E −→ R funciones medibles. Entonces, si existen, las
funciones
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
g(x) = sup fn (x)
n
h(x) = inf fn (x)
n
j(x) = lim inf fn (x)
n
k(x) = lim sup fn (x)
n
l(x) = lim fn (x)
n
son medibles.
Y también el producto de un número por una función medible es una función medible.
Corolario 2.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y sea f : E −→ R medible. Para todo α ∈ R se tiene αf es medible.
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Observaciones:
1. El primer corolario se aplica por supuesto también a familias finitas de funciones: si
f1 , . . . , fk son funciones medibles en un conjunto E, las funciones f (x) = max{fi (x), 1 ≤
i ≤ k} y g(x) = min{fi (x), 1 ≤ i ≤ k} son medibles.
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
2. Como consecuencia, las funciones f + (x) = max{f (x), 0} y f − (x) = − min{f (x), 0} =
max{−f (x), 0} son medibles.
f
f+
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
f−
2. Funciones simples
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
El siguiente objetivo es demostrar que la suma de funciones medibles es medible, pero esto es
bastante más difı́cil. Para llegar a este resultado, vamos a introducir un tipo especial de funciones,
que vamos a utilizar también como base para la construcción de la integral de estas funciones
medibles: las funciones simples.
Definición (Funciones Simples). Sea E ⊆ Rn , E ∈ M; se llama función simple en E a una
función medible s : E −→ R que sólo toma un número finito de valores, es decir, tal que
s(E) = {a0 , a1 , . . . , ak } es finito.
Llamando Ai = s−1 ({ai }) = {x ∈ E : s(x) = ai }, estos conjuntos son medibles (por ser
imágenes inversas de cerrados), y verifican
• Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j
Integración de . . .
Integral de . . .
• E=
Funciones . . .
k
[
Ai
i=0
JJ
II
J
I
• y se puede escribir s(x) de la forma s(x) =
k
X
i=1
caracterı́sticas de conjuntos Ai ,
ai χAi (x) combinación lineal de funciones
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
De hecho, las funciones simples son las combinaciones lineales de funciones caracterı́sticas
de conjuntos medibles: cualquier combinación lineal de funciones caracterı́sticas de conjuntos
medibles se puede descomponer como otra combinación lineal respecto a una familia de conjuntos
medibles disjuntos dos a dos cuya unión es todo el conjunto E
Es fácil verlo con un ejemplo sencillo: si
s(x) = a1 χA1 (x) + a2 χA2 (x)
con Ai subconjuntos medibles de E, podemos escribir
s(x) = a1 χA1 \A2 (x) + a2 χA2 \A1 (x) + (a1 + a2 )χA1 ∩A2 (x) + 0χE\(A1 ∪A2 ) (x)
Una descomposición de este tipo la llamaremos “elemental”.
m
X
Si S1 y S2 son dos funciones simples,
S1 =
ai χAi y
i=1
S2 =
k
X
b j χ Bj ,
(descom-
j=1
posiciones elementales), se puede conseguir una descomposición elemental de ambas con respecto
a la misma familia de conjuntos, {Bi ∩ Aj }i,j
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
a2
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
b2
a1
b1
B2
A1
A2
B1
a2
Funciones Medibles
Funciones simples
a1
b2
a2
b2
Integración de . . .
Integral de . . .
a1
Funciones . . .
A1 ∩ B2
JJ
II
J
I
A1 ∩ B1
b1
A2 ∩ B2
A2 ∩ B1
A1 ∩ B2
A1 ∩ B1
b1
A2 ∩ B2
A2 ∩ B1
En general, como los conjuntos Bj son disjuntos dos a dos y ∪kj=1 Bj = E, entonces
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
χE (x) = χ∪kj=1 Bj (x) =
y podemos poner
S1 (x) =
m
X
=
m
X
i=1
k
X
j=1
II
J
I
m
X
χAi (x)
i=1
ai
k
X
k
X
χBj (x) =
j=1
χAi (x)χBj (x) =
j=1
m,k
X
ai χAi ∩Bj (x)
i=1,j=1
Y análogamente
S2 (x) =
JJ
χAi (x) =
i=1
Integral de . . .
Funciones . . .
χBj (x) = 1
j=1
Funciones simples
Integración de . . .
k
X
bj χBj (x) =
k,m
X
bj χBj ∩Ai (x)
j=1,i=1
PmAsı́ es fácil demostrar
Pm que la suma de dos funciones simples es una función simple: si S1 =
i=1 ai χAi y s2 =
i=1 bi χAi , la suma S1 + S2 , es
(S1 + S2 )(x) = S1 (x) + S2 (x) =
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
m
X
(ai + bi )χAi
i=1
a2 + b2
a1 + b2
a2 + b1
a1 + b1
Funciones simples
Integración de . . .
A1 ∩ B2
Integral de . . .
Funciones . . .
A1 ∩ B1
JJ
II
J
I
A2 ∩ B2
A2 ∩ B1
P
Pm
Análogamente S1 · S2 = m
i=1 ai · bi χAi , y S1 /S2 =
i=1 (ai /bi )χAi son funciones simples
(si S2 (x)
6= 0 para todo x ∈ E en el caso del cociente). Y evidentemente, para todo α ∈ R,
Pm
αS1 = i=1 α · ai χAi es también una función simple.
El siguiente teorema es fundamental para la construcción de la integral:
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Teorema (Aproximación de funciones medibles).
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y f : E −→ R una función medible no negativa. Existe una sucesión
{sn }n de funciones simples de E en R, tales que
1. 0 ≤ sn (x) ≤ sn+1 (x) para todo x ∈ E, para todo n ∈ N
2. lim sn (x) = f (x) para todo x ∈ E
n
Demostración:
Sea n ∈ N fijo. Se definen los conjuntos
Funciones Medibles
E0n = {x ∈ E, f (x) ≥ n}
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
I (Saltar al final de la demostración)
y
Ein = {x ∈ E, (i − 1)2−n ≤ f (x) < i2−n }; 1 ≤ i ≤ n2n
Funciones . . .
que son conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, y se definen las funciones
JJ
II
J
I
sn (x) =
(i − 1)2−n
n
si
si
x ∈ Ein ; 1 ≤ i ≤ n2n
x ∈ E0
es decir,
n
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
sn (x) =
n2
X
i−1
i=1
2n
χEin (x) + nχE0n (x)
Veamos un esquema gráfico de la construcción de los conjuntos y de las funciones, para n = 1
yn=2
2
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
f
f
7/4
6/4
5/4
1
1
3/4
1/2
1/2
1/4
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
E01
E11
s1 (x)
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
E21
E02
E22
E32
E42
E52
E62
E72
E82
s2 (x)
En este caso, el conjunto E12 es vacı́o.
La idea es dividir el eje vertical en bandas horizontales de anchura 2−n , y construir una
funciones escalonadas cuyos escalones están definidos por estas bandas, que estén siempre por
debajo de la gráfica de f , pero lo más cerca posible.
Es evidente por la definición que para todo x ∈ E y para todo n ∈ N, sn (x) ≥ 0.
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
En segundo lugar, dado n ∈ N, poniendo el intervalo
(i − 1) i
2(i − 1) 2i
2(i − 1) 2i − 1
2i − 1 2i
, n =
,
, n+1 ∪
,
=
2n
2
2n+1 2n+1
2n+1
2
2n+1 2n+1
se tiene
(i − 1)
i
≤ f (x) < n } =
n
2
2
2(i − 1)
2i
= {x ∈ E,
≤ f (x) < n+1 } =
n+1
2
2
2(i − 1)
2i − 1
= {x ∈ E,
≤ f (x) < n+1 } ∪
2n+1
2
2i
2i − 1
∪ {x ∈ E, n+1 ≤ f (x) < n+1 } =
2
2
n+1
n+1
= E2(i−2) ∪ E2i−1
Ein = {x ∈ E,
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Ası́ que si x ∈ Ein , para algún i entre 1 y n2n , pueden ocurrir dos cosas:
n+1
O bien x ∈ E2(i−1)
, y entonces
sn+1 (x) =
2(i − 1)
i−1
= n = sn (x)
n+1
2
2
n+1
o bien x ∈ E2i−1
y entonces
sn+1 (x) =
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
2i − 1
i−1
> n = sn (x)
n+1
2
2
Y si x ∈ E0n , es decir, si f (x) ≥ n, también pueden ocurrir dos cosas:
O bien f (x) ≥ (n + 1), en cuyo caso sn+1 (x) = n + 1 > n = sn (x)
O por el contrario n ≤ f (x) < n + 1, y entonces
(n+1)2n+1
f (x) ∈ [n, n + 1] =
[
[
k=n2n+1 +1
k−1 k
,
]
2n+1 2n+1
luego
Funciones Medibles
Funciones simples
sn+1 (x) =
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
k−1
≥ n = sn (x)
2n+1
Es decir, siempre sn (x) ≤ sn+1 (x)
Para terminar la demostración falta ver que limn sn (x) = f (x), pero esto es claro: dado
x ∈ E, sea n0 un número natural tal que f (x) < n0 . Por la definición de las funciones sn , para
todo n ≥ n0 la distancia f (x) − sn (x) es menor que 2−n que es la anchura de los escalones de
sn , luego en efecto
lim |f (x) − sn (x)| ≤ lim 2−n = 0
n
n
J(Volver al enunciado)
Como consecuencia:
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Teorema.
Toda función medible es lı́mite puntual de una sucesión de funciones simples.
Corolario 3.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y f, g : E −→ R dos funciones medibles. Entonces:
1. f + g y f − g son medibles
2. f · g es medible
3. Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ E, f /g es medible
4. |f | es medible
Una última propiedad de las funciones medibles que utilizaremos con frecuencia es la siguiente:
si dos funciones son iguales en “casi todos los puntos de E”, o ambas son medibles, o ninguna
de las dos lo es.
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Proposición.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y f, g : E −→ R dos funciones tales que existe un conjunto Z ⊆ E con
m(Z) = 0 y f (x) = g(x) para todo x ∈ E \ Z. Entonces f es medible si y sólo si g es medible.
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Demostración:
Supongamos que f es medible. Para ver que g es medible, sea U un abierto de cualquiera de
R; podemos poner
g −1 (U ) = g −1 (U ) ∩ (E \ Z) ∪ g −1 (U ) ∩ Z
De aquı́, el primer conjunto es
g −1 (U ) ∩ (E \ Z) = {x ∈ E \ Z : g(x) ∈ U } =
= {x ∈ E \ Z : f (x) ∈ U } = f −1 (U ) ∩ (E \ Z)
que es medible por ser f medible y Z medible.
Y el segundo conjunto es un subconjunto de Z, luego también tiene que tener medida cero,
como Z, y por tanto es medible.
Entonces g −1 (U ) es medible.
Ası́ pues g es una función medible. Análogamente, cambiando los lugares de f y de g se
prueba que si g es medible, f también lo es.
En otras palabras, este resultado muestra que si una función f no es medible, no se puede
“arreglar” cambiando los valores de la función en un conjunto de puntos de medida cero; y que,
recı́procamente, si f es medible, tampoco se va a “estropear” si se cambian sus valores en un
conjunto de puntos de medida cero.
El hecho de que una de propiedad se verifique en “casi todos los puntos” de un conjunto E,
es una caracterı́stica fundamental de la teorı́a de Lebesgue, y recibe un nombre:
Definición (Propiedad en casi todo punto).
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M. Se dice que una cierta propiedad P se verifica en casi todo punto de E
si existe un conjunto Z ⊆ E con m(Z) = 0, tal que P se verifica para todo x ∈ E \ Z.
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
3. Integración de funciones simples
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Vamos ahora a construir la integral de Lebesgue de funciones medibles. La idea es construir la
integral de Lebesgue primero para funciones simples, luego para funciones medibles no negativas, y por último para funciones medibles cualesquiera. En cada caso demostraremos algunas
propiedades elementales que son necesarias para el paso siguiente, y que van encaminadas a
demostrar las propiedades elementales de cualquier procedimiento de integración: la linealidad y
la monotonı́a de la integral, es decir, que la integral de la suma es la suma de las integrales, que
la integral de un número por una función es el producto del número por la integral de la función,
y que si una función es mayor que otra en el mismo conjunto, su integral es también mayor.
Definición (Integral de una función simple no negativa).
n
Sea E ⊆ R , E ∈ M, y sea s : E −→ R una función simple no negativa, s =
ai ≥ 0 para todo i, 1 ≤ i ≤ k, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j, y ∪ki=1 Ai = E Se define la integral de s en
E por
Z
II
J
I
ai χAi , con
i=1
Funciones . . .
JJ
k
X
s=
E
k
X
ai m(Ai )
i=1
con el convenio de que 0 · ∞ = 0
Observaciones:
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
1. La definición es correcta, en el sentido de que el resultado de la integral no depende de la
descomposición de s como combinación lineal de funciones caracterı́sticas, incluso aunque
los conjuntos no sean disjuntos dos a dos.
Vamos a ver que esto es cierto con un ejemplo sencillo: supongamos que s = aχA +
bχB , donde A y B son subconjuntos medibles de un conjunto E, pero no necesariamente
disjuntos. Podemos obtener una descomposición elemental de s de la forma
s = aχA\B + (a + b)χA∩B + bχB\A + 0χE\(A∪B)
Aplicando entonces la definición de la integral
Funciones simples
Integración de . . .
Z
s = am(A \ B) + (a + b)m(A ∩ B) + bm(B \ A)+
Integral de . . .
E
Funciones . . .
JJ
II
J
I
+0m(E \ (A ∪ B)) =
= a (m(A \ B) + m(A ∩ B)) + b(m(A ∩ B) + m(B \ A)) =
= am(A) + bm(B)
(utilizando que A y B son medibles)
2. La
Pmrazón de definir la integral sólo para funciones no negativas es asegurar que la suma
i=1 ai m(Ai ) esté bien definida, que no pueda dar lugar a algo del tipo ∞ − ∞.
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
3. La integral será no negativa, pero puede valer infinito
Z
s≤∞
0≤
E
4. Geométricamente, la integral de s es la suma de los “volúmenes”, o mejor habrı́a que decir
la suma de las medidas, de los prismas de base los conjuntos Ai y alturas respectivas ai
a3
a4
Funciones Medibles
Funciones simples
a2
Integración de . . .
a1
Integral de . . .
Funciones . . .
A4
JJ
II
J
I
A1
A3
A2
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Proposición.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y sean s1 , s2 : E −→ R funciones simples no negativas. Entonces:
Z
Z
Z
1.
(s1 + s2 ) =
s1 +
s2
E
E
E
Z
2. Para todo α ∈ R, α ≥ 0,
Z
αs1 = α
E
s1
E
3. Si
Z existe ZZ ⊆ E con m(Z) = 0, tal que s1 (x) ≤ s2 (x) para todo x ∈ E \ Z, entonces
s1 ≤
s2
E
E
Demostración:
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
ConsideremosPpara s1 y para s2 descomposiciones
elementales respecto a la misma familia de
Pm
conjuntos, s1 = m
a
χ
y
s
=
b
χ
.
2
i=1 i Ai
i=1 i Ai
Las demostraciones de los apartados (1) y (2) son triviales.
Para el apartado (3), sea Z ⊆ E un conjunto de medida cero tal que s1 (x) ≤ s2 (x) para
todo x ∈ E \ Z. Entonces para cada conjunto Ai , como Z es medible, se tiene
m(Ai ) = m(Ai ∩ Z) + m(Ai \ Z) = m(Ai \ Z)
ya que Ai ∩ Z tiene medida cero.
Además, si existe algún punto x ∈ Ai \ Z, s1 (x) = ai ≤ s2 (x) = bi luego
ai m(Ai \ Z) ≤ bi m(Ai \ Z)
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
y si Ai \ Z = ∅, también trivialmente
ai m(Ai \ Z) = 0 = bi m(Ai \ Z)
Por tanto
Z
m
m
X
X
s1 =
ai m(Ai ) =
ai m(Ai \ Z) ≤
E
i=1
≤
m
X
i=1
i=1
bi m(Ai \ Z) =
m
X
i=1
Z
bi m(Ai ) =
s2
E
4. Integral de funciones no negativas
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Definición.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y f : E −→ R una función medible con f (x) ≥ 0 para todo x ∈ E. Se
define la integral de f en E por
Z
Z
f = sup{ s, s función simple, 0 ≤ s ≤ f }
E
E
Observaciones:
1. Se puede sustituir la condición 0 ≤ s ≤ f en E, por la condición 0 ≤ s(x) ≤ f (x) en casi
todo E.
2. La integral de una función medible no negativa será siempre no negativa también, pero
puede ser infinita.
3. Geométricamente el significado de esta integral es similar a las sumas inferiores de Riemann.
La diferencia fundamental está en los conjuntos Ai que utilizamos para dividir el conjunto
E: podemos escoger cualquier clase de conjuntos medibles, no solamente rectángulos.
f
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
a2
a4
a3
a1
A1
A2
A3
A4
La proposición siguiente es consecuencia inmediata de las propiedades de la integral de funciones simples no negativas:
Proposición.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y sean f, g : E −→ZR funciones
medibles no negativas. Se tiene:
Z
a) Si f ≤ g en casi todo E, entonces
f≤
g
ZE
ZE
b) Si f = g en casi todo E, entonces
f=
g
E
E
Z
Z
c) Si α > 0,
αf = α f
E
E
5. Funciones Integrables–Lebesgue. Relación con la Integral
de Riemann.
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Aunque la definición de la integral de Lebesgue es correcta para cualquier función medible no
negativa, sólo vamos a llamar integrables a las funciones cuya integral es finita; más exactamente,
Definición (Función Integrable Lebesgue).
n
Sea
Z E ⊆ R , E ∈ M y f : E −→ R. Se dice que f es integrable – Lebesgue en E si es medible
y
|f | < ∞. Se define entonces la integral en E de f por
E
Z
Z
Z
+
f=
f −
f−
E
E
E
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Observaciones:
R
Obsérvese
de que como R0 ≤ f + ≤
R + queR E f está bien definida, en el sentido
R |f |, entonces
−
−
0 ≤ E f ≤ E |f | < ∞; y también
0 ≤ f ≤ |f |, ası́ que 0 ≤ E f ≤ E |f | < ∞. Si f
es integrable, su integral es un número.
Proposición.
Sea E ⊆ Rn , E ∈ M, y f : E −→ R integrable. Entonces
Z
Z
| f| ≤
|f |
E
E
Demostración:
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
R
R
De las desigualdades
0 ≤ E f + ≤ E |f | < ∞
deduce
Z
Z
Z
Z
+
−
f −
f ≤
|f |
− |f | ≤
E
E
E
y
0 ≤
R
E
f− ≤
R
E
|f | < ∞
se
E
luego en efecto
Z
Z
| f| ≤
|f |
E
E
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Tendremos que demostrar que esta forma de integrar tiene las propiedades fundamentales
que debe tener cualquier método de integración, alguna de las cuales hemos ido demostrando
en las casos anteriores para funciones simples y funciones medibles no negativas: la linealidad
de la integral, y la aditividad con respecto al dominio. Pero vamos a dejar el estudio de estas
propiedades hasta el próximo capı́tulo.
Antes vamos a ver que la integral de Lebesgue generaliza a la de Riemann, en el sentido
de que si E es un rectángulo y f : E −→ R es integrable–Riemann, entonces
R f es medible,
integrable–Lebesgue, y ademásR las dos integrales coinciden. Llamaremos (R) E f a la integral
de Riemann de f en E, y (L) E f a la integral de Lebesgue.
Teorema (Relación con la Integral de Riemann).
Sea E un rectángulo en Rn, y f : E −→ R una función integrable
Riemann. Entonces f es también integrable Lebesgue, y
Z
Z
(R) f = (L) (f )
E
E
Demostración:
I (Saltar al final de la demostración)
Observemos en primer lugar que como E es un rectángulo, es un conjunto medible Lebesgue.
Vamos a demostrar que f es medible Lebesgue, que es integrable, y que su integral de Lebesgue
coincide con su integral de Riemann.
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Como f es integrable Riemann, es acotada, y existe un conjunto Z ⊆ E con m(Z) = 0 de
modo que la restricción de f a E \ Z es continua.
Sea G un abierto de R. Podemos poner
f −1 (G) = f −1 (G) ∩ Z ∪ f −1 (G) ∩ (E \ Z)
De estos dos conjuntos f −1 (G) ∩ Z ⊆ Z, luego tiene medida cero y por tanto es medible
Lebesgue.
Y f −1 (G) ∩ (E \ Z) = (f |E\Z )−1 (G) que es un abierto de E \ Z por la continuidad de f en
ese conjunto, luego existe un abierto U de Rn de modo que
f −1 (G) ∩ (E \ Z) = U ∩ (E \ Z)
que es medible.
Ası́ pues, para todo abierto G de R, f −1 (G) es medible, y por tanto f es medible Lebesgue.
Por otro lado, de la acotación de F se tiene que existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M para
todo x de E, o lo que es lo mismo, |f | ≤ M χE . Entonces por las propiedades de la integral de
Lebesgue de funciones medibles no negativas,
Z
Z
|f | ≤
M χE = M m(E) = M v(E) < ∞
E
E
Para demostrar la igualdad entre las dos integrales, supongamos primero que f es no negativa.
Para cada partición P de E, definimos la función simple
X
MR (f ) χR (x)
s(x) =
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
R∈RP
Esta función verifica
0 ≤ f (x) ≤ s(x) para todo x ∈ E, y por las propiedades de la
integral de Lebesgue de funciones medibles no negativas, entonces
Z
Z
X
(L) f ≤ (L) s =
MR (f ) m(R) = S(f, P )
E
E
R∈RP
Tomando ı́nfimos entre todas las particiones de E, se tiene
Z
Z
(L) f ≤ (R) f
E
E
Definimos ahora la función simple
X
k(x) =
mR (f ) χR0 (x)
R∈RP
Funciones . . .
JJ
II
J
I
Esta función verifica que 0 ≤ k(x) ≤ f (x) para todo x ∈ E, y por las propiedades de la
integral de Lebesgue de funciones medibles no negativas,
Z
Z
X
mR (f ) m(R0 ) = S(f, P )
(L) f ≥ (L) k =
E
E
R∈RP
Tomando supremos entre todas las particiones de E, se tiene
Z
Z
(L) f ≥ (R) f
Funciones
medibles.
Funciones
integrables
–Lebesgue.
Relación con la
integral de
Riemann
Funciones Medibles
Funciones simples
Integración de . . .
Integral de . . .
Funciones . . .
JJ
II
J
I
E
E
Para terminar, en el caso general (sin suponer que f es no negativa), basta considerar las
funciones f + y f − : Si f es integrable Riemann, también f + y f − son integrables Riemann, y
además como f = f + − f − , se tiene
Z
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
−
(R) f = (R) f − (R) f = (L) f − (L) f = (L) f
E
E
E
con lo que queda demostrado el teorema.
J(Volver al enunciado)
E
E
E