Valor posicional, propuestas y análisis.
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Escuela Nº 38 Maestras: Sandra Bauzá Ángela Caputo Verónica Fernández Rosario Hernández Adriana Larrosa Milena Martín Introducción El área de Matemática, enfrenta en la actualidad una gama diversa de problemas, no sólo desde su enseñanza sino también desde el aprendizaje de la asignatura. La didáctica de la matemática es hoy día un campo de investigación de gran desarrollo debido a la importancia atribuida a estos problemas y a pesar de ser un área de conocimiento bastante moderna, cuenta ya con múltiples resultados de investigaciones que aportan a la comprensión, análisis y soluciones de muchos de sus problemas. La corriente más reconocida en el momento actual, dada la riqueza y profundidad de sus investigaciones, es la Didáctica Fundamental. Como afirma Brousseau, uno de los objetivos esenciales de la enseñanza de la matemática, es que lo que se enseña esté cargado de significado, o sea que tenga sentido para el niño, ya que sólo así el alumno logrará construir los conocimientos y apropiarse de ellos. Enseñando de esta forma, el niño será capaz de repetir, resignificar, adaptar y transferir los conocimientos por él producidos. El objetivo de que lo enseñado esté cargado de significado para el alumno, representa a su vez para los docentes, uno de los principales problemas a resolver. ¿Qué ocurre hoy en nuestras aulas?, ¿lo que se enseña tiene sentido para el alumno? El docente se enfrenta al problema de cómo lograrlo, debe elegir cómo enseñar, y en esta elección es influido por múltiples factores: su concepción de la enseñanza de la disciplina; los objetivos generales y los particulares del área; el grupo de alumnos; y las demandas de la Institución, del currículo y de la sociedad. En una situación de enseñanza, es posible analizar las relaciones que existen entre: el saber y el docente, el alumno y el docente, el alumno y el saber. En un modelo normativo, la relación que aparece con mayor peso es la establecida entre el saber y el docente, pues el énfasis está puesto en el contenido que debe ser transmitido por el mismo. Cuando la relación que se privilegia es la dada entre alumno y docente, estamos frente al llamado modelo incitativo, el cual se centra en el alumno, en sus intereses y motivaciones, apareciendo el saber ligado a las necesidades de la vida del niño y pasando a un segundo plano la propia estructura de ese saber. Hoy se concibe al niño interactuando con el saber y apropiándose de él a través de sucesivas aproximaciones. Le cabe al docente, mediar entre el conocimiento matemático y el alumno, proponiendo y organizando situaciones con distintos obstáculos. En su planificación, el docente selecciona y jerarquiza los contenidos a trabajar, eligiendo las actividades a través de las cuales abordará dichos contenidos. Enseñar matemática en la escuela, exige para el docente: el conocimiento de la materia, así como también, un conocimiento preciso del proceso de adquisición de cada saber por parte de los alumnos. Citando a Brousseau: “el sentido de un conocimiento matemático se define por el conjunto de situaciones que ha permitido resolver, aquellas en que es realizado como teoría matemática y también por el conjunto de concepciones que rechaza”. Un problema es una situación cuya solución no está fijada de antemano sino que debe ser explorada. Para que un problema sea tal para un determinado grupo de niños, deberá tener sentido para ellos, o sea, deberán poder imaginar una estrategia de solución (aunque la misma sea incorrecta o muy larga); la estrategia por ellos elegida deberá ser insuficiente de modo que les plantee un desafío a los alumnos y los lleve a la reflexión; y además, deberá ser lo suficientemente abierto de manera que admita diversas estrategias para su resolución. Para los maestros no es una tarea sencilla buscar un problema que requiera necesariamente para su resolución, la noción matemática que se desea abordar, y qué sea ese el conocimiento más potente durante la actividad. Para problematizar la actividad matemática en el aula, el docente debe ser capaz de analizar cuáles son los procesos que dan lugar a la producción de conocimientos, qué características tienen sus problemas, qué papel juegan los contextos particulares, cómo se validan sus soluciones, cómo emergen y se desarrollan diferentes modos de representar los objetos, cómo se constituyen las teorías, cómo intervienen las interacciones sociales y cuál será su papel cómo docente. Para la planificación de una situación determinada, el maestro debe saber con claridad con qué objeto la propone, conocer las ideas previas de sus alumnos, preguntarse de qué manera planteará la consigna, las variables didácticas posibles, realizar un análisis previo de lo que puede ocurrir en el aula, analizar con qué obstáculos se puede encontrar, pensar cómo trabajará el error y ser consciente de que sus intervenciones durante la actividad son muy relevantes y pueden favorecer o dificultar los aprendizajes; hacer uso (en caso de que existan) de los resultados de investigaciones en el área, teniendo en cuenta el marco en el que éstas fueron realizadas y la validez de sus resultados como elementos de análisis y no como algo que debe pasar necesariamente. Muchas veces, los docentes reproducen en el aula, actividades extraídas de algún curso simplemente porque les pareció interesante o porque posibilitan el uso de diversas estrategias; así como también problemas planteados en libros, en los cuáles no se especifica el objetivo con el cual son propuestos. El docente tiene que ser consciente de los objetivos que se propone con cada situación que lleva al aula, así como también es importante que dicha situación esté inserta en una secuencia de actividades para el aprendizaje de un determinado concepto. Es imprescindible hoy, un docente reflexivo acerca de los hechos educativos, conocedor de los nuevos rumbos de enseñanza, crítico ante tendencias sin fundamento, interesado en profundizar y resignificar sus propios conocimientos para lograr así mejorar sus prácticas. Sobre el contenido que se propone a la practicante para desarrollar su actividad Clase: 2º año Se plantea a la practicante trabajar valor posicional como una de las características del SND. Se conversa con ella sobre las actividades previas relacionadas con este aspecto y se le sugiere: plantear una actividad problematizadora; contemplar los conocimientos previos de los niños; pensar en variables didácticas como por ejemplo con qué números es conveniente trabajar de acuerdo al objetivo de la propuesta (cantidad de cifras, si las cifras se repiten, si aparece el cero); atender a cuestiones tales como la presentación de la consigna (oral o escrita), si será un trabajo individual o grupal; pensar si la actividad que se va a plantear es una actividad abierta en cuanto a que admita diferentes resoluciones; el uso de recursos o materiales didácticos; de qué manera se valida la actividad; qué se va a institucionalizar. La consideración oficial del objeto de enseñanza por parte del alumno y del aprendizaje del alumno por parte del maestro es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico. A esta etapa se la conoce con el nombre de institucionalización y consiste en despersonalizar el saber, darle un nombre al mismo, hacer que un conocimiento privado pase a tener un status público (lo que aprendimos hoy es esto). Se conversa acerca de la institucionalización y que si bien el reconocimiento grupal de que determinado conocimiento se ha alcanzado es muy importante, el docente debe reconocer cuándo se puede institucionalizar y cuándo no. Un saber puede ser institucionalizado cuando la mayoría de los niños lograron una cierta comprensión del mismo, sin embargo suele ocurrir que algunos docentes siguen avanzando e institucionalizan conceptos a raíz de unos pocos niños que han logrado más avances respecto a la adquisición de los mismos. Se recomienda como bibliografía: LERNER, Delia; SADOVSKY, Patricia (1994) – “El sistema de numeración: un problema didáctico” en Parra , Cecilia y Saíz, Irma (comps) Didáctica de matemáticas. Paidós Educador. Bs. As. CHARNAY, Roland (1993) - “Aprender (por medio) de la resolución de problemas” en Parra, Cecilia y Saiz, Irma (Comps). Didáctica de Matemáticas. Paidós Educador. Bs. As. Respecto de la Numeración Para responder a la pregunta de ¿cómo se aproximan los niños al conocimiento del sistema de numeración?, se han llevado a cabo diversas investigaciones. Los niños, desde mucho antes de ingresar al primer grado de primaria, ya tuvieron oportunidades de elaborar conocimientos acerca del sistema de numeración debido a que el mismo es un producto cultural y por tanto, es objeto de uso social cotidiano. Algunas hipótesis que se generan en el conjunto de los naturales como la hipótesis de cantidad (el número que tiene más cifras es mayor) o la de que el primero es el que manda (al comparar dos números con igual cantidad de cifras, es mayor el número cuya primera cifra sea mayor), son obstáculos para la numeración racional. También se han detectado diferencias entre la numeración oral y la escrita observándose por ello dificultades para pasar de una a otra, por ejemplo: si se le dice al niño que escriba el número dieciséis (se dice en forma aditiva) y el niño escribe 106 (intenta escribirlo también aditivamente, pero la escritura de los números es posicional). El material concreto, a menudo empleado como un artificio para la enseñanza del sistema de numeración, puede resultar peligroso en la medida que imposibilite poner en juego las conceptualizaciones de los niños, por ejemplo, cuando el mismo hace que desaparezca la posicionalidad del sistema, transformándolo en un sistema aditivo. También pueden apreciarse, obstáculos propios del desarrollo del niño como por ejemplo: no reconocer símbolos convencionales, la ausencia del principio de correspondencia o de cardinalización. Deberían proponerse al alumno, situaciones que le permitan interactuar con el sistema de numeración de tal modo que pueda explicitar y confrontar sus conceptualizaciones, y que lo lleven a plantearse interrogantes o conflictos para revisar las mismas. Aspectos a trabajar de la numeración: • Comparación y conteo de colecciones • Conteo (recitado, establecer correspondencias, cardinalización). El recitado, por ejemplo, puede al principio ser una mera memorización, pero inmediatamente se convierte en reflexión, pues al avanzar el niño va descubriendo reglas que le permiten continuar avanzando, sabe que hay un orden, está reconociendo regularidades del sistema (ej. Si al 20 le siguen 21, 22, 23 y al 30, 31, 32, 33; entonces al 80 le seguirán 81, 82, 83…) • Orden (Comparación de cantidades: hipótesis de cantidad y de jerarquización) • Representaciones. (idiosincrásicas, pictográficas, icónicas, y distintas representaciones simbólicas) • Interpretación (leer y escribir números). • Valor posicional. Características del Sistema de Numeración Decimal • • • Es de base 10 Es posicional (La posicionalidad que por un lado le da economía al sistema pues utiliza solamente 10 números, y que a su vez, lo hace hermético) Presencia del cero. Diferencias del S.N.D. con el concepto de número: Número Construcción personal Interna al sujeto Sistema de Numeración Decimal Construcción colectiva. Producto Cultural externo al sujeto, pero Objeto matemático del cual el niño debe apropiarse. Observaciones acerca de la planificación presentada por la practicante En cuanto a la contextualización: los números que pueden formarse de acuerdo a los dígitos que aparezcan en las tarjetas (al agregarse la tercera tarjeta), si se les dirá a los niños que corresponden también al resultado de un partido de básquetbol y si ese es el caso, si resultan pertinentes. Respecto al antecedente, ¿es el empleo de los dígitos 1, 2 y 5? No está claro. En el desarrollo de la actividad, se hace referencia a “grupos” de trabajo pero no se determina la cantidad de integrantes de cada grupo, lo cual es relevante ya que la cantidad de niños por grupo debería ser adecuada para permitir el diálogo y para que los niños puedan manipular el material que se les presenta (en este caso las tarjetas). Se sugiere aclarar si los grupos recibirán tarjetas con números iguales o diferentes. Sería pertinente adjuntar a la planificación, las tarjetas que serán entregadas a los niños dado que es relevante qué dígitos podrán ser utilizados como cifras. No queda muy claro el cierre de la actividad, qué se pretende institucionalizar y si se hará un registro escrito o no. En lo referente a la fundamentación presentada por la practicante, se considera que es adecuada, se le solicita que aclare uno de los párrafos, el cual quedó inconcluso. Se le realiza además, como observación, que debería explicitar también otros aspectos como por ejemplo, sobre el por qué de trabajar en grupos, de los materiales elegidos. Análisis a priori (Realizado en forma conjunta practicante y maestro adscriptor de la clase) El análisis a priori o previo, puede ser concebido como un análisis para controlar significados. En un texto preparado por investigadores del IREM de Bordeaux (1986), titulado “Algunas preguntas para el control a priori de una situación determinada” se realiza una muestra de las características del análisis a priori. Se transcriben a continuación, los rasgos considerados el mencionado texto para un análisis a priori: 1) ¿Cuál es el problema que cada uno de los estudiantes tiene para resolver? 2) ¿Es posible explicitar este problema en términos de la teoría de juegos? 3) ¿Qué conocimientos debe poseer el alumno o qué debe poder hacer para comprender el enunciado (entrar en el juego)? 4) ¿Qué conocimientos deber poseer el alumno o qué debe poder hacer para tener éxito (ganar el juego)? 5) ¿Qué control tiene el alumno sobre su acción? 6) ¿Hay numerosas fases? Consideramos que es realmente importante realizar junto a los practicantes el análisis a priori de las actividades, de modo de que observen el valor de pensar previamente los posibles procedimientos o estrategias de los niños; analizar lo que involucra cada estrategia, qué conocimientos hay detrás de cada uno de esos procedimientos (acertados o erróneos) y de qué modo puede intervenir el docente en cada caso, si la validación de la actividad es empírica o no. En el caso de la actividad a ser propuesta, puede llegar a evidenciarse la hipótesis de que el primero es el que manda, en el caso de que los niños argumenten que deben colocar como primera cifra el número mayor; no así la hipótesis de cantidad, pues en ningún caso son comparados números de distinta cantidad de cifras. En el cuadro que sigue a continuación, se analizan los resultados o las estrategias esperadas y las posibles intervenciones docentes ante las mismas. Resultados posibles Que en alguno de los grupos el número formado, tanto el de dos como de tres cifras, no sea el mayor posible. Que en alguno de los grupos se generen discusiones entre los niños sobre cómo formar el mayor número posible. Que alguno de los grupos resuelva las situaciones rápidamente y sin dificultades. Posibles intervenciones docentes Podría anotarse ese número y el o los otros posibles (dependiendo si fue formado con dos o tres dígitos) y los otros números posibles para ser comparados. Motivar a los niños a que argumenten sus opiniones y expliquen a sus compañeros, podría ser a través de algún ejemplo. Podría intervenirse entregando una cuarta tarjeta para que con las cuatro, formen el mayor número de tres cifras posible. Que en alguno de los grupos, al ser entregada la Preguntar a los niños cuántos números distintos tercera tarjeta, mantengan las dos primeras fijas y por pueden formarse, si no contemplan los que tanto, coloquen la tercera tarjeta al principio o al comienzan con alguno de los dígitos, preguntarles si final, pero no en medio de ellas. no podrían comenzar por ese número. Análisis a posteriori El análisis a posteriori está basado en el conjunto de datos que son recogidos a lo largo de la experimentación o situación didáctica planteada, las observaciones que fueron realizadas, las estrategias o producciones de los niños, la incidencia y la pertinencia de las intervenciones del docente, la existencia y adecuación de la institucionalización. Luego de realizada la actividad se analizó junto a la practicante el desarrollo de la misma, los aspectos mencionados en el párrafo anterior, si resultó o no ser un problema para los niños, si permitió avances conceptuales. 1º Momento de la actividad (formando números de dos cifras) La estudiante realizó una buena motivación tomando en cuenta uno de los intereses de la clase como es el deporte. Trabajó en grupos de 4 ó 5 alumnos y explicitó oralmente la consigna antes de presentar el material. Esta primera consigna (ver planificación) no presentó dificultades para ninguno de los grupos. Todos los grupos resolvieron la situación sin discusiones por lo tanto se concluye que esta primera parte de la actividad no constituyó un problema para los alumnos, probablemente también por el dominio numérico manejado, o sea, el hecho de tratarse de números de dos cifras; de los cuales tienen un conocimiento más amplio, ya que los han comparado, ordenado, compuesto y descompuesto de diversas formas durante primer año y también segundo. En la puesta en común surgieron intervenciones que permitieron retomar estas construcciones e institucionalizar nuevamente (en forma oral) distintas hipótesis de los niños. Ante la pregunta de la practicante: “¿Qué hicieron para formar el número mayor?”, las respuestas provocaron confrontaciones e interacciones entre los alumnos, por ejemplo, un niño dijo: “el de adelante tiene que ser más alto”, otro corrigió “más alto no, mayor se dice”. Estas intervenciones de los alumnos, evidencian la hipótesis de que “el primero manda”. A continuación, otro alumno agregó “sí, porque el de adelante vale 70” (señalando uno de los ejemplos, el número 73). “Sí” − dijo otro − “adelante son los dieces, 7 es setenta y 3 es tres”. En estos casos, los alumnos demuestran tener conocimiento del valor posicional. La estudiante magisterial interviene preguntando: “¿Cuánto vale cada una de las cifras aquí?”, señalando uno de los números formados, y luego pregunta de igual modo acerca del resto de los números formados por los equipos. Un alumno aporta la siguiente idea; “Acá hicimos esto porque nos diste cifras diferentes, si nos dabas dos iguales no importaba, si eran dos números 2 era lo mismo, quedaba siempre 22”. 2º Momento de la actividad (formando números de tres cifras) Luego de la primera etapa de la actividad, la estudiante incorporó la variable prevista, entregándoles una tercera tarjeta y proponiéndoles a los niños que agreguen ese número en el lugar que crean conveniente para formar nuevamente el mayor número posible, pero de tres cifras (consigna oral). La practicante va recorriendo las mesas y observando el trabajo de los niños. En uno de los grupos se encuentra con que no lograban ponerse de acuerdo sobre qué número formar. Pasado el tiempo establecido y cuando los demás grupos ya habían terminado, ese grupo continuaba sin llegar a un acuerdo. La estudiante le plantea a la clase que en ese grupo surgió una discusión interesante y que mientras el resto de los grupos pasa a anotar los números en el pizarrón; ese grupo continuará pensando, y quedará para el final su resolución. La tercera tarjeta fue entregada de manera que hubiera que colocarla adelante, atrás o entre ambos dígitos. Ejemplos: Grupos 1 2 3 4 5 6 Número formado de 2 cifras 73 21 64 85 95 61 Tercera tarjeta 1 9 2 3 9 2 Número de 3 cifras 731 921 642 853 995 621 Lugar de la 3ª tarjeta Al final Adelante Al final Al final Adelante o al medio En el medio En el grupo 6, donde la tarjeta debía ser colocada entre los otros dos números para formar el mayor posible, fue donde surgieron las dudas. Dos niñas del equipo dijeron que iba detrás (612), otras dos niñas querían formar el 126 (cambiando todas las cifras de lugar) y un niño los confrontaba diciendo que si formaban el 621, o sea si el 2 iba en las decenas, ese era el mayor número que podían formar. La estudiante anotó los tres números planteados por los niños en el pizarrón y el resto de la clase comenzó a opinar. Inmediatamente descartaron el 126, y para justificar la decisión de que el mayor era el 621, los niños que intervinieron explicaron de las siguientes formas: • Como tienen iguales los cienes nos fijamos en el que sigue y el 2 es mayor que 1. • Son dos dieces (refiriéndose al 621) y el otro tiene 1 en las decenas (612). • El dos en el primero (621) vale 20 y en el otro (612) vale dos de uno. • Como los seis valen lo mismo, los podemos sacar y quedan el 21 y el 12, y el 21 es mayor que el 12, entonces el 621 es mayor que el 612. Frente a la duda de una de las niñas del equipo, una alumna le dijo que mirara la tabla de los números (del 1 al 100) y le ubicó el 12 y el 21, añadiendo que es lo mismo pero con seis de cien adelante. La practicante permitió el diálogo entre los niños e intervino únicamente para que respetaran turnos, se escucharan y para apoyar las justificaciones de los niños. Una de las niñas que había formado el 126 seguía insistiendo que ese era el número mayor, a pesar de las explicaciones de sus compañeros. Nuevamente intervino la practicante y le dio a los números una unidad (pesos), le dijo a la alumna: “Si fuera dinero, ¿cuántos billetes de 100 tenemos aquí?” (en el 126). La niña responde 1 sin dudarlo. “¿Y aquí?” (621). Niña: “Ah, ya entendí”. La estudiante utilizó material que había en la clase, billetes y monedas de papel. Al darle al número ese valor, la niña pudo formar luego las cantidades con billetes y monedas y comprobar al compararlos cuál era el mayor. Finalmente, la practicante realizó una síntesis junto a los niños, evidenciándose la importancia del lugar que ocupa cada cifra para la comparación y orden de los números. Si bien en la mayoría de los grupos no hubieron dificultades para formar el número mayor de tres cifras, las controversias generadas en el grupo 6 (posiblemente debido al lugar donde debían ubicar esa tercer cifra) enriquecieron la actividad y permitieron a los niños verbalizar sus opiniones y argumentarlas; favoreciéndose así la metacognición. Presentamos ahora una secuencia de actividades para continuar abordando Valor Posicional Actividad 1 ALCANCÍAS Sebastián ahorró $ 659 $ 691 ahorró Andrea Quieren saber cuánto dinero más que Sebastián tiene Andrea Sin calcularlo, decide si la diferencia será: • Más que 100 • Menos que 100 pero más que 10 • Menos que 10 pero más que 1 ¿Qué observaste para tomar tu decisión? Actividad 2 Observa el siguiente cuadro Escribe en la columna del medio, qué número habría que agregarle a los números de la primera columna para obtener los de la tercera. No vale hacer cuentas. 123 782 160 366 64 34 939 291 708 234 125 982 170 396 68 39 999 298 768 345 Actividad 3 Ingresar el número 428 en la calculadora. Transformar en cero la cifra marcada, realizando una sola operación. Las restantes cifras deben quedar iguales. Ingresar el número 387 en la calculadora. Realizando una sola operación transformar dicho número en 297. Actividad 4 Consigna: En estos números se borró alguna cifra (en el lugar de la rayita): 120 19_ ¿Puedes saber cuál de ellos es mayor? ¿Por qué? Actividad 5 Cada rayita corresponde a una cifra que se borró. Marca el mayor de cada pareja de números. Explica por qué lo elegiste. 3 __2 3 __ 8_6 79_ _ _8 _ _ 5 8__ 5__ Bibliografía ARTIGUE, Michèle; DOUADY, Régine; MORENO, Luis; GÓMEZ, Pedro – “Ingeniería Didáctica en educación matemática” (Grupo Editorial Iberoamérica) BLOCK, David (1996) – “Análisis de situaciones didácticas” en Básica. Revista de la escuela y del Maestro. Fundación SNTE para la cultura del maestro mexicano. Año II. N° 11. México. CHARNAY, Roland (1993) - “Aprender (por medio) de la resolución de problemas” en Parra, Cecilia y Saiz, Irma (Comps). Didáctica de Matemáticas. Paidós Educador. Bs. As. LERNER, Delia (1999) – “Reflexiones sobre: - uso del material concreto en Matemáticas; - problemas de la vida cotidiana ” en Revista Quehacer Educativo Nº 34, Federación Uruguaya del Magisterio, Montevideo. LERNER, Delia; SADOVSKY, Patricia (1994) – “El sistema de numeración: un problema didáctico” en Parra , C. y Saíz, I. (comps) Didáctica de matemáticas. Paidós Educador. Bs. As.
