Corriente Alterna:Ondas Senoidales. Herramientas

Corriente Alterna:Ondas Senoidales.
Herramientas Matemáticas
Antes de nada debemos comenzar por definir que es una onda, aunque seguro que tú ya
tienes una idea sobre ello. En física, se considera onda a la propagación de una perturbación
de alguna propiedad de un medio. Esta propiedad del medio, o magnitud, suele variar en
función del tiempo. Existen muchos tipos de ondas (olas, ondas de radio, sísmicas, etc.) y se
pueden clasificar de diferentes maneras (según el medio de propagación, según la dirección
de la perturbación, según su periodicidad, etc.). Estas últimas, las periódicas, son las que a
nosotros nos interesan.
Una onda periódica es aquella en la que la perturbación que las origina se produce en ciclos
repetitivos, tal es el caso de las ondas senoidales, que son las que van a ocupar nuestro
tiempo en este tema.
Imagen 1. Onda Senoidal.
Fuente: Elaboración propia.
Puesto que la magnitud oscila en función del tiempo f(t), y puesto que al cabo de un
intervalo de tiempo T los valores de la magnitud se repetirán, tendremos f(t)= f(t+T)=
f(t+2T)= ———————= f(t+nT), siendo T el tiempo que transcurre entre repetición y repetición y
que recibe el nombre de período.
Las ondas periódicas pueden ser pulsantes o alternas. Las pulsantes toman valores que van
desde el nulo al máximo positivo y las alternas toman valores que van del máximo positivo
al máximo negativo pasando por el nulo y viceversa. Esto significa que las primeras no
cambian de sentido y las segundas, las alternas, sí cambian de sentido.
Por si no lo recuerdas, te diré que la velocidad angular ω o pulsación era la relación
entre las vueltas recorridas y el tiempo transcurrido. Recordarás que una vuelta son
2π radianes y esa vuelta o ciclo habrá transcurrido en un tiempo T (el periodo), por lo
que:
1. Magnitudes Fundamentales de una Onda
Habiendo definido ya qué es una onda periódica, es el momento de conocer los elementos
característicos de la misma y ver de que manera están relacionados.
Frecuencia (f): se define frecuencia como el número de repeticiones que un fenómeno o
suceso periódico se repite en la unidad de tiempo. Para el caso que nos ocupa, la frecuencia
será el número de ondas completas, o ciclos que se producen en un segundo. La unidad de
medida es el hercio (Hertz) y se designa por Hz. Si nos atenemos al ejemplo de la figura:
Imagen 2: Frecuencia y período.
Fuente: Elaboración propia.
Pulsa sobre la imagen para ampliarla.
Observamos que en un segundo se producen dos ondas, por lo tanto cada onda se producirá
en 1/2 segundo y la frecuencia será de dos ondas por segundo. Si entiendes esto,
entenderás que el período T es el inverso de la frecuencia f y viceversa. Expresando esto en
una relación matemática, tendremos:
La corriente alterna que recibimos en nuestros hogares es producida con una frecuencia de
50 Hz, lo que significa que en un segundo se han producido 50 ondas; es decir una onda se
produce en 0,02 segundos. En 2 centésimas de segundo ha producido una semionda positiva
y otra negativa, es decir cada 0,01 segundos la corriente invierte su polaridad pasando por
un valor 0 de tensión; eso supone que si estuviéramos mirando una bombilla deberíamos
ver como en cada segundo se enciende y apaga 100 veces. Menos mal que nuestro ojo no es
capaz de apreciar esa fluctuación.
En el apartado anterior vimos la relación entre ω y T; si profundizamos un poco más
tendremos:
Período (T): ya lo hemos citado en la introducción, no obstante lo volvemos a recordar.
Es el tiempo que invierte una onda en realizar un ciclo; se mide en segundos.
Fase: la fase de una onda relaciona la posición de una característica determinada del
ciclo, como por ejemplo la cresta o el valle, con la posición de la misma característica en
otra onda y se puede medir en tiempo, distancia o ángulo. De igual manera, dentro de una
misma onda podemos encontrar que puntos iguales de la onda en diferentes períodos
representan el mismo estado, por lo que decimos que están en fase.
Amplitud: dijimos que las ondas senoidales responden a la expresión que se indica más
abajo, y en ella se puede observar que el valor de x será máximo, es decir, será igual a xm
cuando sen (ωt) valga la unidad. A ese valor máximo lo llamamos amplitud.
1.1. Valores de una Onda Senoidal
En corriente alterna se suele trabajar con otros parámetros aparte de los ya mencionados,
que en realidad son valores que toma la onda. Antes de que avances en este apartado, te
tengo que decir que no debes asustarte por las integrales que aparecen, pues no se te pide
que las resuelvas, aunque podrías hacerlo. Lo que realmente nos interesa son las
expresiones finales que esas integrales nos dan y que son las que usaremos. Ahora sí,
pasemos a ver algunos de ellos:
Valor instantáneo: Es el que toma la ordenada (tensión o intensidad) en un instante, t,
determinado.
Imagen 4. Valor instantáneo.
Fuente: Elaboración propia.
Valor de cresta o pico: Es el valor máximo que toma la onda y que conocemos como
Amplitud.
Valor medio Xm: antes de nada conviene aclarar que no es lo mismo Xm que xm. El
primero, en mayúsculas corresponde al valor medio y el segundo, en minúsculas, al valor
máximo de cresta de la onda. Pues bien, se define valor medio como la media aritmética de
todos los valores instantáneos que adquiere la onda en un intervalo de tiempo. Si
analizamos un período, el valor medio será cero, pues los valores de la semionda positiva
quedarán anulados por los de la semionda negativa. No obstante en las ondas senoidales se
considera un semiperíodo. Su expresión matemática es:
Recordando que la función senoidal f(t) era del tipo x=xm sen(ωt) y sustituyendo y
resolviendo la integral, nos quedará:
Valor eficaz X: El valor eficaz de una corriente alterna es el valor que tendría una
Vamos a aplicar las expresiones que acabamos de aprender con un ejercicio.
Supongamos que tenemos una función senoidal del tipo x=50 sen(20t).
Deseamos conocer:
El período y la frecuencia.
La amplitud.
Valor eficaz.
Valor medio.
Tal vez te sea útil la siguiente animación. La finalidad de la misma no es complicarte
la vida con el cálculo integral, sino hacerte ver que es posible con los conocimientos
que tienes de matemáticas resolverla; de cualquier manera, lo que a ti se te pide es
que sepas calcular el valor medio y eficaz de una corriente alterna.
Animación 1. Obtención del valor medio de una función senoidal.
Fuente: Elaboración propia.
¿Cuál será el valor instantáneo de una onda senoidal que tiene un valor de pico de 125
V y una frecuencia de 50 Hz a 2ms de comenzar el ciclo? ¿Y a los 10 y 15ms?
Recuerda que ω la obtendremos en radianes/s y que habrá que pasar los radianes a
grados para poder calcular el seno del ángulo.
2. Representación Gráfica de una Onda
Cuando hablamos de corriente continua es sencillo representar la tensión y la intensidad
pues los valores de las mismas no cambian con el tiempo y un escalar puede representarlas
perfectamente. No ocurre lo mismo en el caso de la corriente alterna, pues al ser una
función senoidal los valores de tensión e intensidad dependen de la velocidad angular ω con
que gira la máquina que produce la corriente. Para poder representarla lo que haremos será
dar un carácter vectorial a ambas magnitudes que tendrán por módulo el valor máximo o
amplitud xm y que giran con una velocidad ω en sentido antihorario. El vector tensión o
intensidad irá adoptando distintas posiciones en función del instante considerado; y el valor
de la proyección del vector sobre el eje de ordenadas nos dará el de la tensión o intensidad
instantánea.
Un vector como el explicado más arriba y que se representa en distintas secuencias en las
imágenes inferiores recibe el nombre de fasor.
Imagen 5: Movimiento del fasor.
Fuente: Elaboración propia.
Pulsa sobre la imagen para ampliarla
Imagen 6: Movimiento del fasor.
Fuente: Elaboración propia.
Pulsa sobre la imagen para ampliarla.
Imagen 7: Movimiento del fasor.
El concepto de desfase positivo y negativo te puede liar por eso recuerda:
Decimos que tenemos desfase positivo cuando V adelanta a I y en ese caso en la
expresión senoidal de la intensidad φ viene con signo negativo, porque I va
retrasada.
Decimos que tenemos desfase negativo cuando I adelanta a V y ahora en la
expresión senoidal de la intensidad φ viene con signo positivo, porque I va
adelantada.
3. Los Números Complejos y su Representación
en Circuitos CA
Muy probablemente, en todo el bachillerato no hayas estudiado los números complejos; pero
no te preocupes, que nosotros nos vamos a centrar solo de la parte que nos es útil; y es que
ese es el motivo por el que los usamos, su utilidad.
Sabrás que el origen de los mismos es dar solución a las raíces cuadradas de números
negativos, de tal manera que:
Como puedes imaginar, si nosotros utilizamos i para representar la intensidad y además para
representar los números complejos nos vamos a hacer un lío, por lo que de aquí en adelante
sustituiremos la i por j, o sea, que tal y como indican los ejemplos:
Los números complejos se pueden expresar de forma binómica, polar y exponencial; pero a
nosotros nos basta con las dos primeras.
Forma binómica: la formarán un par de números reales, al primero, a, se le denomina
parte real y al segundo, b, parte imaginaria; pudiéndose escribir en la forma (a,b) o
(a+bj). Si llevamos al valor de a sobre la abscisa de unos ejes coordenados y b sobre la
ordenada, la intersección de las proyecciones me dará un punto, que desde el origen se
corresponderá con el módulo de un fasor. A a la llamamos parte real y a b parte
imaginaria.
Imagen 12: Complejo en forma binómica.
Fuente: Elaboración propia.
Forma polar: el mismo punto anterior lo podíamos haber representado si hubiéramos
conocido el módulo del fasor y el valor del ángulo que forma con la horizontal o
argumento. En este caso lo expresamos de la forma rα:
3.1. Cambio de Forma de Complejos
Una vez que conocemos las distintas formas de representar los números complejos, vamos a
ver de qué manera se puede pasar de una a otra.
Paso de forma binómica a polar: Tal y como indica la gráfica inferior el complejo en
forma binómica será a+bj;
Imagen 16: Representación de un Número Complejo.
Fuente: Elaboración propia.
por lo que para obtener el módulo del fasor, r, habrá que aplicar Pitágoras en el triángulo
rectángulo formado por a, b y r:
Si queremos obtener el ángulo alfa, α, recurriremos a la razón trigonométrica tangente:
Paso de forma polar a binómica: En este caso, tendremos el complejo expresado en
la forma rα y no es que lo anterior haya sido difícil, pero este paso es aún más sencillo.
Basta con aplicar las relaciones trigonométricas seno y coseno.
Vamos a practicar lo expuesto anteriormente con unos ejemplos. Dado su sencillez,
solo se indican los resultados de cada ejercicio.
Pasa de forma los siguientes complejos:
1. A forma polar
(3-2j)
(-5+2j)
(-2-5j)
2. A forma binómica
4,525º
1275º
8225º
Puede ser interesante que te pongas tú unos cuantos ejemplos y que practiques. La
mayoría de las calculadoras convierten complejos, así que busca el manual y lo
refrescas que así sacarás partido a esa máquina que te costó tan cara y solo usas para
cuatro cosas. Si ese no fuera tu caso, tal vez te venga bien visitar esta página de
números complejos.
Por si tu navegador te da problemas, aquí te dejo la dirección para que la uses con el
que prefieras:
http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/descartes/complejos
/complejos.htm
3.2. Operaciones con Complejos
Para poder operar con complejos es necesario saber primero que es un complejo conjugado y
un opuesto.
Dado el complejo en forma binómica (a+bj), su conjugado será (a-bj); es decir, sus partes
reales son iguales y las imaginarias tienen signos opuestos. Si el complejo está en forma
polar rα el conjugado será r-α ; es decir, al argumento tiene signo opuesto.
Por otro lado, tendremos complejos opuestos cuando estando en forma binómica, los signos
de la parte real e imaginaria sean opuesto, es decir, si tenemos (a+bj), el opuesto será
(-a-bj). Otro ejemplo; si tenemos (-a+bj) el opuesto será (a-bj). Si el complejo está en
forma polar, el opuesto de rα será rα+π . La imagen inferior tal vez ayude a aclarar estos
conceptos. El complejo representado en verde (a+bj) tiene un conjugado en rojo (a-bj) y
un opuesto en amarillo (-a-bj); en la imagen también se muestra su notación polar.
Imagen 17: Complejos, Conjugados y Opuestos.
Fuente: Elaboración propia.
Suma de complejos: De manera general, se suman complejos en su forma binómica,
dada su sencillez. Se procede sumando por un lado las partes reales y por otro las
imaginarias. Por ejemplo:
Producto de complejos: Para multiplicar complejos en forma binómica se procede
multiplicando todos los términos de uno por todos los del otro, recordando que
j—j=√-1—√-1=-1
Si los complejos están en forma polar, entonces el complejo producto será el que resulte de
multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos.
Resuelve las siguientes operaciones con complejos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(2+j)-(3-2j)
(-3-2j)—(2-5j)
425º—375º
(-1-j)/(2+2j)
525º/240º
(3+2j)—(-1-5j)
3.3. Representación de la Intensidad y Tensión en
Corriente Alterna
En el apartado 1.2 se habló de si podían producirse al mismo tiempo, o no, los valores máximos
de V e I. Se dijo también que en el caso de tener condensadores o bobinas la intensidad se
adelanta o retrasa respectivamente con respecto a la tensión. Viene esto al caso, porque
venimos hablando de lo útiles que son los complejos en corriente alterna y hemos estudiado las
operaciones elementales con los mismos, pero no hemos visto ningún ejemplo concreto.
Pues bien, vamos a ver que sucede en un circuito que tenga los elementos básicos, a saber,
resistencias, bobinas y condensadores.
Si nuestro circuito tiene una resistencia, ésta no produce desfase ninguno y la tensión y la
intensidad se producen en el mismo momento, ambas sobre el eje real.
Si el circuito tiene condensadores, la intensidad quedará desfasada sobre la tensión. Si nos
llevamos la intensidad sobre el eje de abscisas y teniendo en cuenta que el condensador
provoca que I adelante a V, entonces V estará representada sobre el eje imaginario negativo
ya que V va retrasada.
Si el circuito tiene bobinas, también la intensidad quedará desfasada sobre la tensión, pero en
este caso V adelanta a I, por lo que al figurar I sobre el eje de abscisas la tensión estará
representada sobre el eje imaginario positivo.
Tal vez, todo esto quede más claro con una gráfica.
Imagen 18. Representación de V e I en un circuito R, L, C.
Fuente: Elaboración propia.