Capítulo 2 Deformaciones

Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
Capítulo 2
Deformaciones
2 - 1 : INTRODUCCIÓN
Es bien conocido el hecho que un sólido sometido a un estado de cargas, efectos de
temperatura, etc., sufre un estado de deformación que se puede visualizar por el corrimiento
de sus partículas que pasan de un estado inicial (configuración inicial) a un estado final
deformado (configuración final).
Se podrán entonces medir los desplazamientos de las partículas o también las
deformaciones específicas que producen alargamientos o acortamientos de la distancia entre
dos partículas próximas o bien el cambio de forma producido por la variación de ángulos
entre la configuración final y la inicial.
Analizaremos en este capítulo el Estado de Deformación mediante un estudio
geométrico de los desplazamientos, tratando de interpretarlas con el objeto de relacionarlas a
posteriori con el Estado de Tensiones.
Denominaremos con la palabra "punto" a la posición en el espacio físico y geométrico
y estará determinado por sus coordenadas, mientras que la palabra "partícula" se referirá a un
pequeño elemento de volumen o "punto material" del sólido continuo.
En general las deformaciones se pueden tratar en dos campos:
a)
Deformaciones finitas que conduce a tratamientos no lineales
b)
Deformaciones infinitesimales, que por ser muy pequeñas se consideran
como infinitésimos físicos permitiendo la linealización del planteo matemático, simplificando
enormemente la solución de los problemas.
Trataremos en este capítulo el caso b) de deformaciones infinitesimales, en un medio
continuo con deformaciones lentas representadas por funciones continuas.
2 - 2 : DEFORMACIONES EN TORNO DE UN PUNTO
x3
Sea un sólido deformable, para
el
cual
estudiamos
los
'
δQ
desplazamientos
de
una
partícula
P
de
r
d
coordenadas iniciales (x 1 , x 2 , x 3 ) y el
Q
P'
desplazamiento de otra partícula Q de
δP
u3
su entorno próximo.
u2
P
La partícula P después de la
deformación se traslada a P' con un
u1
x3
desplazamiento:
δP = PP ' = [u 1 , u 2 , u 3 ]
x2
O
x2
mientras que para Q se producirá un
x1
desplazamiento δQ = QQ' .
De la figura y considerando
que PQ = dr es infinitesimal (muy
pequeño) por ser muy próximas las
x1
partículas P y Q y que las funciones de
deformación son continuas, con desplazamientos muy pequeños, tendremos las coordenadas:
dr
Q'
P = [x 1 , x 2 , x 3 ]
Facultad de Ingeniería - U.N.N.E.
P = [x i ]
1
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Capítulo 2: Deformaciones
Q = [x i + dx i ]
Q = [x 1 + dx 1 , x 2 + dx 2 , x 3 + dx 3 ]
dr = [dx 1 , dx 2 , dx 3 ]
dr = [dx i ]
Los desplazamientos de P y Q serán:
δP = [u 1 , u 2 , u 3 ]
δQ = [u 1 + du 1 , u 2 + du 2 , u 3 + du 3 ]
δP = [u i ]
δQ = [u i + du i ]
Donde los desplazamientos (corrimientos) [u i ] son funciones continuas que dependen
de las coordenadas [x i ] de la posición de la partícula.
u 1 = u 1 (x 1 , x 2 , x 3 )
( )
u 2 = u 2 (x 1 , x 2 , x 3 )
ui = ui x j
u 3 = u 3 (x 1 , x 2 , x 3 )
Se cumplirá que, despreciando infinitésimos de segundo orden:
∂u
∂u
∂u
du 1 = 1 .dx 1 + 1 .dx 2 + 1 .dx 3
∂x 3
∂x 1
∂x 2
du 2 =
∂u 2
∂u
∂u
.dx 1 + 2 .dx 2 + 2 .dx 3
∂x 1
∂x 2
∂x 3
du 3 =
∂u 3
∂u
∂u
.dx 1 + 3 .dx 2 + 3 .dx 3
∂x 1
∂x 2
∂x 3
du i =
Matricialmente podemos escribir:
Q'
δQ
δQ = δP + Cdr
Q''
Q
P'
P
∂u i
.dx j = u i , j dx j
∂x j
⎡ ∂u 1
⎢
⎢ ∂x 1
∂u
C = ⎢⎢ 2
∂x
⎢ 1
⎢ ∂u 3
⎢⎣ ∂x 1
∂u 1
∂x 2
∂u 2
∂x 2
∂u 3
∂x 2
con:
∂u 1 ⎤
⎥
∂x 3 ⎥
∂u 2 ⎥
∂x 3 ⎥
⎥
∂u 3 ⎥
∂x 3 ⎥⎦
y
⎡ dx 1 ⎤
⎥
⎢
dr = ⎢dx 2 ⎥
⎢dx ⎥
⎣ 3⎦
Matriz que podemos descomponer en la suma de una matriz simétrica D y una
antisimétrica R.
C + CT
C − CT
[C] = [D] + [R ] ,
D=
R=
y
con
2
2
Siendo:
⎡
∂u 1
⎢
∂x 1
⎢
⎢ 1 ⎛ ∂u
∂u ⎞
D = ⎢ ⎜⎜ 2 + 1 ⎟⎟
⎢ 2 ⎝ ∂x 1 ∂x 2 ⎠
⎢ 1 ⎛ ∂u 3 ∂u 1 ⎞
⎟⎟
+
⎢ ⎜⎜
⎣⎢ 2 ⎝ ∂x 1 ∂x 3 ⎠
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1 ⎛ ∂u 1 ∂u 2
⎜
+
2 ⎜⎝ ∂x 2 ∂x 1
∂u 2
∂x 2
1 ⎛ ∂u 3 ∂u 2
⎜
+
2 ⎜⎝ ∂x 2 ∂x 3
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
1 ⎛ ∂u 1 ∂u 3 ⎞ ⎤
⎜
⎟⎥
+
2 ⎜⎝ ∂x 3 ∂x 1 ⎟⎠ ⎥
1 ⎛ ∂u 2 ∂u 3 ⎞⎥
⎜
⎟⎥
+
2 ⎜⎝ ∂x 3 ∂x 2 ⎟⎠⎥
⎥
∂u 3
⎥
∂x 3
⎦⎥
2
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Capítulo 2: Deformaciones
matriz simétrica, cuyos componentes son infinitésimos de primer orden
⎡
0
⎢
⎢
⎢ 1 ⎛ ∂u
∂u ⎞
R = ⎢ ⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟
⎢ 2 ⎝ ∂x 1 ∂x 2 ⎠
⎢ 1 ⎛ ∂u 3 ∂u 1 ⎞
⎟⎟
−
⎢ ⎜⎜
⎢⎣ 2 ⎝ ∂x 1 ∂x 3 ⎠
1 ⎛ ∂u 1 ∂u 3 ⎞ ⎤
⎜
⎟⎥
−
2 ⎜⎝ ∂x 3 ∂x 1 ⎟⎠ ⎥
1 ⎛ ∂u 2 ∂u 3 ⎞⎥
⎜
⎟⎥
−
0
2 ⎜⎝ ∂x 3 ∂x 2 ⎟⎠⎥
⎥
1 ⎛ ∂u 3 ∂u 2 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
−
0
⎥
2 ⎝ ∂x 2 ∂x 3 ⎠
⎥⎦
matriz antisimétrica, cuyos componentes son infinitésimos de primer orden.
1 ⎛ ∂u 1 ∂u 2
⎜
−
2 ⎜⎝ ∂x 2 ∂x 1
⎞
⎟⎟
⎠
De la figura se desprende:
dr ' = dr + (δQ − δP )
Como teníamos anteriormente:
(δQ − δP ) = C.dr
dr ' = dr + Cdr = I.dr + C.dr = I.dr + D.dr + R.dr
Las matrices D; R; y C tienen carácter tensorial conociéndoselas con el nombre de:
D:
Tensor o matriz de deformación lineal
R:
Tensor o matriz de rotación lineal
Analizaremos por separado los efectos de D y R en el proceso de desplazamiento o
deformación, pero adelantamos que el vector dr está sometido a:
a)
Un desplazamiento paralelo como si fuera un rígido definido por la matriz de
transformación I (unidad)
b)
Una rotación como si fuera un rígido definida por la matriz R
c)
Una deformación (específica) con cambio de módulo y de dirección definido
por la matriz D
como estudiaremos en 2-3 y 2-4
r
r
r
r
2 - 3 : INTERPRETACIÓN DE LA EXPRESIÓN d r ' = I.d r + R.d r + D.d r
Q'
δQ
Q''
Q
P'
P
Veamos ahora de tratar de comprender qué le
pasa al elemento dr=PQ para alcanzar a convertirse en
dr'=P'Q' después de la deformación.
Para ello partamos de la expresión final del
tema (2-2): drr ' = I.drr + R.drr + D.drr y pensemos que el
elemento dr llega al dr' mediante tres etapas sucesivas
que en realidad se producen simultáneamente.
Q''
Q
P'
P
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a)
Traslación como un rígido en forma
paralela a si mismo pasando de PQ a P'Q".
Siendo I la matriz unidad, este movimiento queda
definido por la expresión PQ = drr = I.drr = P' Q" , no
significando ni rotaciones ni deformaciones específicas.
3
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Capítulo 2: Deformaciones
Q''
b)
Rotación como un rígido pasando de
dr = I .d Ω
P'Q" a P'Q"' mediante la rotación que
Q'''
produce una traslación Q'Q"' normal a
P'Q",
no
significando
tampoco
( I + R ).dr
deformaciones específicas, y está
representada
por
la
expresión:
P'
Q"Q"'=R.dr.
Los desplazamientos a) y b) para pasar de PQ a P'Q"' son solo movimientos
(desplazamientos) como un rígido que no cambian la longitud de dr, y veremos más adelante
que no produce tensiones al ser nulas las deformaciones específicas, y están representadas por
la expresión I.drr + R.drr = (I + R ).drr
Q'
Q''
D.dr
Q
Q'''
P'
P
c) Desplazamiento debido a deformaciones
específicas para pasar de P'Q"' a P'Q' . Este
desplazamiento definido por la expresión D.dr
produce debido a las deformaciones específicas
∂u j
γ
∂u
∂u
γ ij = i +
ε ii = ii = i
∂x j ∂x i
2 ∂x i
cambio de dirección y de longitud del elemento dr y
que más adelante relacionaremos con el tensor de
tensiones.
2 - 4 : INTERPRETACIÓN DEL TENSOR DE DEFORMACIÓN LINEAL (D)
De acuerdo con (2-2)
dr = [dx 1 , dx 2 , dx 3 ] ∴
dr 2 = dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2
dr ' = [dx 1 + du 1 , dx 2 + du 2 , dx 3 + du 3 ] con
du i =
2
∂u i
∂u
∂u
.dx 1 + i .dx 2 + i .dx 3
∂x 1
∂x 2
∂x 3
⎛
⎞
⎛
⎞
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
dr ' = ⎜⎜ dx 1 + 1 dx 1 + 1 dx 2 + 1 dx 3 ⎟⎟ + ⎜⎜ dx 2 + 2 dx 1 + 2 dx 2 + 2 dx 3 ⎟⎟
∂x 1
∂x 2
∂x 3
∂x 1
∂x 2
∂x 3
⎝
⎠
⎝
⎠
2
2
2
⎛
⎞
∂u
∂u
∂u
+ ⎜⎜ dx 3 + 3 dx 1 + 3 dx 2 + 3 dx 3 ⎟⎟
∂x 1
∂x 2
∂x 3
⎝
⎠
⎛ ∂u ⎞
que desarrollada y considerando a los ⎜ i ⎟ como infinitesimales de primer orden y sus
⎜ ∂x j ⎟
⎝
⎠
productos o cuadrados de segundo orden despreciables, obtendremos:
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⎛
⎛ ∂u
⎛
⎛
∂u ⎞
∂u 2
∂u ⎞
∂u ⎞
dr ' 2 = ⎜⎜1 + 2 1 ⎟⎟dx 21 + ⎜⎜1 + 2 2 ⎟⎟dx 22 + ⎜⎜1 + 2 3 ⎟⎟dx 32 + 2⎜⎜ 1 +
∂x 3 ⎠
∂x 1
∂x 2 ⎠
∂x 1 ⎠
⎝ ∂x 2
⎝
⎝
⎝
⎛ ∂u
⎛ ∂u
∂u 3 ⎞
∂u 1 ⎞
⎟⎟dx 2 .dx 3 + 2⎜⎜ 3 +
⎟dx 3 .dx 1
+ 2⎜⎜ 2 +
∂x 2 ⎠
∂x 3 ⎟⎠
⎝ ∂x 3
⎝ ∂x 1
⎞
⎟⎟dx 1 .dx 2
⎠
longitud al cuadrado deformada (dr ' = P' Q') en función de los desplazamientos u 1 , u 2 , u 3 .
Siendo los cosenos directores de dr:
cos α 1 = n 1 = dx 1
dr
cos α 2 = n 2 = dx 2
dr
dx 3
cos α 3 = n 3 =
dr
∂u j
∂u
y denominando con γ ij = 2ε ij = i +
tendremos
∂x j ∂x i
dr ' 2 = (1 + γ 11 )dx 12 + (1 + γ 22 )dx 22 + (1 + γ 33 )dx 32 + 2γ 12 dx 1 .dx 2 + 2γ 23 .dx 2 .dx 3 + 2γ 31dx 3 .dx 1
dr ' 2
= (1 + γ 11 )n 21 + (1 + γ 22 )n 22 + (1 + γ 33 )n 32 + 2γ 12 n 1 .n 2 + 2γ 23 .n 2 .n 3 + 2γ 31 n 3 .n 1
2
dr
o bien, teniendo en cuenta que: n 21 + n 22 + n 32 = 1
dr ' 2 −dr 2
= γ 11 n 21 + γ 22 n 22 + γ 33 n 32 + 2 γ 12 n 1 .n 2 + 2 γ 23 .n 2 .n 3 + 2 γ 31 n 3 .n 1
2
dr
Interpretemos ahora el significado de los:
∂u
x3
γ ii = 2 i = 2ε ii
∂x i
∂u j
∂u
γ ij = i +
∂x j ∂x i
O
x2
dr2
Q
x1
P'
dr'1
dr
1
P
R
Será:
P = [x1; x 2 ; x 3 ]
R' Q = [x + dx ; x ; x ]
1
1
2
3
R = [x 1 ; x 2 + dx 2 ; x 3 ]
dr1 = dx 1
dr2 = dx 2
dr'2
ϕ1 12
Q'
aplicando las últimas expresiones:
con i≠j
P' Q' = dr '1 = (1 + γ 11 )dx 21
2
2
P' R ' = dr ' 2 = (1 + γ 22 )dx 22
2
2
Q' R ' = (1 + γ 11 )dx 12 + (1 + γ 22 )dx 22 + 2 γ 12 dx 1dx 2
La deformación específica longitudinal (dilatación o contracción) de una fibra en el
sentido de x 1 , será:
Δdr1 Δdx 1
ε1 =
=
dr1
dx 1
dr ' −dr
ε1 = 1 1
dr1
2
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dr '1
2
dr1
2
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= (1 + γ 11 )
dx 12
dr '1
2
2
dr1
2
dr1
⎡⎛ dr ' ⎞ 2 ⎤
⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ = γ 11
⎢⎣⎝ dr1 ⎠
⎥⎦
= (1 + γ 11 )
⎡ dr '1
⎤ ⎡ dr '
⎤
− 1⎥.⎢ 1 + 1⎥ = γ 11
⎢
⎣ dr1
⎦ ⎣ dr1
⎦
dr '1
γ 11
−1 =
dr1
⎡ dr '1 ⎤
+ 1⎥
⎢
⎣ dr1
⎦
En el campo de las deformaciones infinitesimales dr '1 ≈ dr1 y por lo tanto:
⎛ dr '1
⎞
⎜⎜
+ 1⎟⎟ ≈ 2
⎝ dr1
⎠
⎞ γ
dr ' −dr ⎛ dr '
∂u
ε 1 = 1 1 = ⎜⎜ 1 − 1⎟⎟ = 11 = 1 = ε 11
dr1
⎝ dr1
⎠ 2 ∂x 1
γ
∂u
ε 2 = 22 = 2 = ε 22
2
∂x 2
γ
∂u
ε 3 = 33 = 3 = ε 33
2
∂x 3
dr '1
≈1
dr1
Será entonces:
Análogamente:
γ ii ∂u i
=
= ε ii
Deformación específica longitudinal en el sentido de x i
2 ∂x i
A la deformación angular específica podemos obtenerla de la siguiente manera:
εi =
P'
α
dr'2
R'
dr'
1
ϕ12
x2
β
Q'
π
− ϕ12
2
como (α + β ) es pequeño
sen γ 12 = γ 12 = cos ϕ12
γ 12 = (α + β) =
x1
Por el teorema del coseno
2
2
2
Q' R ' = dr1 ' + dr2 ' − 2 dr1 ' dr2 ' . cos ϕ12
2
cos ϕ12 =
2
dr1 ' + dr2 ' − Q' R '
2
2 dr1 ' dr2 '
(1 + γ 11 )dx 2 + (1 + γ 22 )dx 22 − (1 + γ 11 )dx 2 − (1 + γ 22 )dx 22 − 2γ 12 dx 1dx 2
=
2 (1 + γ 11 ). (1 + γ 22 ) dx 1 dx 2
1
=
1
− 2γ 12 dx 1 dx 2
2 (1 + γ 11 ). (1 + γ 22 ) dx 1 dx 2
γ 12
∂u
∂u
≈ γ 12 = 1 + 2
∂x 2 ∂x 1
(1 + γ11 ). (1 + γ 22 )
Análogamente:
γ 23
∂u
∂u
≈ γ 23 = 2 + 3
cos ϕ 23 =
∂x 3 ∂x 2
(1 + γ 22 ). (1 + γ 33 )
cos ϕ12 =
cos ϕ 31 =
γ 31
(1 + γ 33 ). (1 + γ11 )
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≈ γ 31 =
para deformaciones infinitesimales
∂u 3 ∂u 1
+
∂x 1 ∂x 3
6
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
γ ij =
∂u i ∂u j
+
∂x j ∂x i
Deformación angular específica
Aunque es inmediato, analicemos geométricamente las derivadas de los corrimientos u i
⎡
⎤
⎛
⎞
∂u 1
dx 1 ⎟⎟ − u 1 ⎥ − dx 1
⎢dx 1 + ⎜⎜ u 1 +
∂x 1
ΔPQ Δdx 1 ⎣
⎝
⎠
⎦
ε 11 =
=
=
PQ
dx 1
dx 1
∂u 1
∂x 1
Para el cálculo de la variación
angular de dos fibras que antes de la
deformación formaban un ángulo recto y
en el campo de las deformaciones
infinitesimales tendremos:
x3
ε 11 =
u1
∂ u1
u1 +
dx1
∂ x1
x2
P
P'
∂u 2
dx 1
∂x 1
∂u
tg α ≈ α =
= 2
dx 1
∂x 1
Q
Q'
x1
P
P'
u1
dx1
∂u1
dx2
∂x2
α
u2 +
u1 +
β
u2
x1
x2
dx2
∂u 2
dx1
∂x1
∂u 2
dx1
∂x1
∂u1
dx 2
∂x2
∂u 1
dx 2
∂x 2
∂u
= 1
tg β ≈ β =
dx 2
∂x 2
y por lo tanto la deformación angular o
tangencial
γ 12 = α + β =
∂u 2 ∂u 1
+
∂x 1 ∂x 2
Pudiéndose llegar a idénticas
conclusiones para las otras direcciones.
Concluyendo, la matriz D de
deformación lineal representa en sus
términos a las deformaciones específicas
ε i y γ ij que conocemos de Resistencia de
Materiales, recordando que γ ij = 2ε ij :
⎡
⎢ ε 11
⎢γ
D = ⎢ 21
⎢ 2
⎢ γ 31
⎢ 2
⎣
γ 12
2
ε 22
γ 32
2
γ 13 ⎤
2 ⎥
⎡ γ 11
γ 23 ⎥ 1 ⎢
⎥ = γ 21
2 ⎥ 2 ⎢⎢
⎥
⎣ γ 31
ε 33 ⎥
⎦
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γ 12
γ 22
γ 32
γ 13 ⎤ ⎡ ε 11
⎥ ⎢
γ 23 ⎥ = ⎢ε 21
γ 33 ⎥⎦ ⎢⎣ε 31
ε 12
ε 22
ε 32
ε 13 ⎤
⎥
ε 23 ⎥
ε 33 ⎥⎦
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Capítulo 2: Deformaciones
2 - 5: INTERPRETACIÓN DEL TENSOR DE ROTACIÓN LINEAL
Analicemos que pasa con dos fibras de longitud dx 1 = dx 2 y que por simplicidad
suponemos que u 1 = u 2 = 0 o sea P' ≡ P
P ≡ P'
α=
x2
R
β
β=
∂u 1
∂x 2
El eje PC está a un ángulo del eje
P'C' que denominamos ω 3 tal que:
R'
45°
∧
PC = bisectriz QPR
α
45°−(α+β)/2
Q
∂u 2
∂x 1
∧
ω3
Q'
C
C'
x1
representando la rotación sobre el eje x3
deformación.
P' C' = bisectriz Q' P' R'
α+β
45° + ω 3 = 45° −
+α
2
α −β
ω3 =
2
∂u ⎞
1 ⎛ ∂u
ω 3 = ⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟
2 ⎝ ∂x 1 ∂x 2 ⎠
del paralelepípedo P'Q'C'R' después de la
Análogamente con:
∂u ⎞
1 ⎛ ∂u
ω1 = ⎜⎜ 3 − 2 ⎟⎟
2 ⎝ ∂x 2 ∂x 3 ⎠
1 ⎛ ∂u 1 ∂u 3 ⎞
⎟
⎜
−
2 ⎜⎝ ∂x 3 ∂x 1 ⎟⎠
Concluyendo, la matriz R (antisimétrica) está compuesta por términos que representan
las rotaciones respecto de los ejes coordenados no implicando esto deformaciones específicas.
− ω3
ω2 ⎤
⎡ 0
⎥
⎢
R = ⎢ ω3
0
− ω1 ⎥
⎢− ω
ω1
0 ⎥⎦
⎣ 2
ω2 =
2 - 6 : DEFORMACIONES PRINCIPALES. INVARIANTES. DILATACIÓN CÚBICA.
Sea el tensor de deformaciones representado por la matriz
γ 13 ⎤
γ 12
⎡
⎢ ε11
2
2 ⎥
⎢γ
γ 23 ⎥
⎥
ε 22
D = ⎢ 21
2 ⎥
⎢ 2
γ 32
⎢ γ 31
⎥
ε 33 ⎥
⎢ 2
2
⎣
⎦
y como hemos anticipado en 2-3 a) y c) con dr ' = (I + D).dr , busquemos la dirección n del
vector dr para la cual después de la deformación dr' es colineal con dr. Cambia de módulo
dr
pero no de dirección, para ello tomamos el versor n =
colineal con dr
dr
ε = deformación longitudinal en dirección n
con
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Capítulo 2: Deformaciones
⎡ dx 1 ⎤
⎡n1 ⎤ ⎢
dr ⎥
dr ⎢ ⎥ ⎢dx 2 ⎥
= n2 =
n=
dr ⎥
dr ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢
⎢
dx
⎣ n 3 ⎦ ⎢ 3 ⎥⎥
dr ⎦
⎣
⎡ dx 1 ⎤
⎥
r ⎢
d r = ⎢dx 2 ⎥
⎢
⎥
⎣⎢ dx 3 ⎦⎥
r
r
r
d r ' = (I + D ).d r = (1 + ε ).d r
dr '
dr
= (I + D ).
= (I + D ).n = (1 + ε ).n
dr
dr
(I + D ).n = (1 + ε ).n
I.n = 1.n
D.n = ε.n
D.n = I.ε.n
(D − I.ε ).n = 0
⎛⎡
⎜ ⎢ ε 11
⎜⎢
⎜ ⎢ γ 21
⎜⎢ 2
⎜⎢γ
⎜⎜ ⎢ 31
⎝⎣ 2
γ 12
2
ε 22
γ 32
2
⎡
⎢(ε 11 − ε )
⎢ γ
21
⎢
⎢ 2
⎢ γ 31
⎢ 2
⎣
(ε11 − ε ).n 1 +
γ 13 ⎤
2 ⎥ ⎡ε
γ 23 ⎥ ⎢
⎥− 0
2 ⎥ ⎢⎢
⎥ 0
ε 33 ⎥ ⎣
⎦
γ 12
2
(ε 22 − ε )
γ 32
2
0
ε
0
⎞
⎟
0⎤ ⎟ ⎡ n 1 ⎤
⎥⎟ ⎢ ⎥
0⎥ ⎟.⎢n 2 ⎥ = 0
ε ⎥⎦ ⎟ ⎢⎣ n 3 ⎥⎦
⎟⎟
⎠
γ 13
2
γ 23
2
(ε 33
⎤
⎥ ⎡n ⎤
⎥⎢ 1⎥
⎥.⎢n 2 ⎥ = 0
⎥⎢ ⎥
⎥ n
− ε )⎥ ⎣ 3 ⎦
⎦
γ
γ 12
.n 2 + 13 .n 3 = 0
2
2
γ
− ε ).n 2 + 23 .n 3 = 0
2
γ 21
.n 1 + (ε 22
2
γ 31
γ
.n 1 + 32 .n 2 + (ε 33 − ε ).n 3 = 0
2
2
Cuya condición de compatibilidad está dada por la ecuación característica de tercer
grado ( similar a lo ocurrido en tensiones)
ε 3 − I d1 .ε 2 + I d 2 .ε − I d 3 = 0
que nos da tres raíces reales ε (1) , ε ( 2) , ε ( 3) que definen tres direcciones n 1 , n 2 , n 3 (normales
entre sí) denominadas direcciones principales.
Denominaremos como invariantes a:
I d1 = ε 11 + ε 22 + ε 33
I d 2 = ε 11 ε 22 + ε 22 ε 33 + ε 33 ε 11 −
2
γ2
γ2
γ 12
− 23 − 31
4
4
4
I d 3 = Determinante de D = D
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9
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
Referida a sus ejes principales tendremos:
⎡ε (1)
⎢
D=⎢ 0
⎢
⎣ 0
0 ⎤
⎥
0 ⎥
ε ( 2)
⎥
0
ε ( 3) ⎦
Denominamos dilatación cúbica al
valor del invariante de primer orden
I d1 = ε 11 + ε 22 + ε 33 = ε (1) + ε ( 2) + ε ( 3) = e
ya que representa la variación de volumen
específico del paralelepípedo referido a sus
direcciones principales:
dx(3)
Dx(3).(1+ε(3))
x3=x(3)
0
dx
dx(2)
Dx(2).(1+ε(2))
)
(1
dx
+ε
.(1
)
x2=x(2)
ΔV
=
V
(1 + ε (1) )dx 1 .(1 + ε ( 2) )dx 2 .(1 + ε (3) )dx 3 − dx 1dx 2 dx 3
)
(1
e=
)
(1
x1=x(1)
dx 1 dx 2 dx 3
e = ε (1) + ε ( 2) + ε ( 3)
al despreciar los productos de ε ( i ) ε ( j) .
2 - 7 : DEFORMACIÓN ESPECÍFICA EN UNA DIRECCIÓN n CUALQUIERA
r
Sea el versor n = [n 1 , n 2 , n 3 ] que define la dirección del vector dr = [dx 1 , dx 2 , dx 3 ]
n
→
dri* = D .dr
Q'
dx i
donde:
dr
r
r
QQ' = dr * = D.d r = [D][
. d r ] con
Con n i =
r
r r
dr ' = dr + dr *
Q
→
dr
P ≡ P'
→
dr ' = ( I + D ).dr
⎡
⎢ ε 11
⎢γ
D = ⎢ 21
⎢ 2
⎢ γ 31
⎢ 2
⎣
γ 12
2
ε 22
γ 32
2
γ 13 ⎤
2 ⎥
γ 23 ⎥
⎥
2 ⎥
⎥
ε 33 ⎥
⎦
γ 13
γ 12
⎡
⎤
⎡ dx 1 ⎤
⎢ ε 11 .dx 1 + 2 .dx 2 + 2 .dx 3 ⎥
⎡ n1 ⎤ ⎢
dr ⎥
⎢γ
⎥
γ 23
⎢ ⎥ ⎢dx 2 ⎥
r
*
21
dr = D.dr = ⎢
.dx 1 + ε 22 .dx 2 +
.dx 3 ⎥ y con n = ⎢n 2 ⎥ = ⎢
dr ⎥
2
⎢ 2
⎥
⎢
⎥
dx
⎢
γ 32
⎢ γ 31
⎥
⎣ n 3 ⎦ ⎢ 3 ⎥⎥
.
dx
.
dx
.
dx
+
+
ε
dr ⎦
1
2
33
3
⎣
⎢ 2
⎥
2
⎣
⎦
Si queremos reducir todo a un vector unitario dr obtenemos un vector de deformación
unitaria ε
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10
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
γ 13
γ 12
⎧
⎫
⎪ ε 11 .n 1 + 2 .n 2 + 2 .n 3 ⎪
r*
r
⎪
⎪
γ 23
dr
⎪
r dr
r ⎪ γ 21
ε=
= D.
= D.n = ⎨
.n 1 + ε 22 .n 2 +
.n 3 ⎬
dr
dr
2
⎪ 2
⎪
γ
γ
31
32
⎪
.n +
.n 2 + ε 33 .n 3 ⎪
⎪⎩ 2 1
⎪⎭
2
n
→
εn
ε = D.n
Expresiones con una estructura similar a
t = T.n (del tema 1-3) al tratar el tensor de tensiones.
Podemos decir que las deformaciones también tienen
carácter tensorial.
n
1
γn
2
una dirección del versor n (ε n )
r
También en este caso podemos descomponer ε en
⎛1 ⎞
y en una dirección normal ⎜ γ n ⎟ .
⎝2 ⎠
1
r
ε n = ε.n = n T .D.n y tal que γ 2n = ε 2 − ε 2n
4
2
2
2
ε n = ε1 .n 1 + ε 2 .n 2 + ε 3 .n 3 + γ 12 .n 1 .n 2 + γ 23 .n 2 .n 3 + γ 31 .n 3 .n 1
Expresión de la "forma bilineal del tensor de deformaciones". Que referida a los ejes
principales (2-4):
ε n = ε (1) .n 12 + ε ( 2) .n 22 + ε (3) .n 32
x3
Al igual que en el caso de tensiones podremos
definir la Cuádrica de Indicatriz (de Cauchy) de
deformaciones de manera tal que:
n
Q
→
r
O
x1
x2
OQ = r =
k
εn
obteniendo:
ε 11 .x 12 + ε 22 .x 22 + ε 33 .x 32 + γ 12 .x 1 .x 2 + γ 23 .x 2 .x 3 + γ 31 .x 3 .x 1 = ± k 2
y referido a ejes principales:
ε (1) .x 12 + ε ( 2 ) .x 22 + ε ( 3) .x 32 = ± k 2
Ecuación de segundo grado representativa de una cuádrica.
Al igual que en tensiones, y referido a ejes principales se puede obtener el elipsoide de
tensiones (o de Lamé):
x 32
x 12
x 22
+
+
=1
ε 2(1) ε 2( 2 ) ε 2( 3 )
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Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
Razones de tiempo no aconsejan desarrollos de estas expresiones, que al igual que en
tensiones son producto de que las deformaciones también tienen carácter tensorial y por lo
tanto le son aplicables todas sus propiedades.
2 - 8 : TENSOR ESFÉRICO Y TENSOR DESVIADOR
Tomemos el tensor de deformaciones D
γ 13 ⎤
γ 12
⎡
⎢ ε11
2
2 ⎥
⎢γ
γ 23 ⎥
⎥
D = ⎢ 21
ε 22
2 ⎥
⎢ 2
γ 32
⎥
⎢ γ 31
ε 33 ⎥
⎢ 2
2
⎦
⎣
donde denominamos con:
e 1
ε m = ε 0 = = [ε 11 + ε 22 + ε 33 ]
3 3
pudiéndose descomponer D en la suma de D 0 (tensor esférico) y D d (tensor desviador)
⎡ε 0
⎢
D0 = ⎢ 0
⎢0
⎣
0
ε0
0
0⎤
⎥
0⎥
ε 0 ⎥⎦
⎡
⎢(ε 11 − ε 0 )
⎢ γ
21
Dd = ⎢
2
⎢
⎢ γ 31
⎢
2
⎣
γ 13
2
γ 23
2
γ 12
2
(ε 22 − ε 0 )
γ 32
2
(ε 33
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
− ε 0 )⎥
⎦
D = D0 + Dd
Como la deformación volumétrica de D (I d1 ) y de D 0 (I 0d1 ) son iguales:
e = I d1 = ε (1) + ε ( 2 ) + ε ( 3) = (ε 0 + ε 0 + ε 0 ) = I 0d1
es posible verificar que la variación volumétrica de D d (I dd1 ) es nula:
I dd1 = (ε 11 − ε 0 ) + (ε 22 − ε 0 ) + (ε 33 − ε 0 ) = 0
Esto indica que D d implica un cambio de forma sin variación de volumen, mientras
D 0 representa un cambio de volumen sin variación de ángulos o forma.
Por último, dejamos expresado que la bibliografía utiliza distintos tipos de matrices (o
tensores) para expresar las deformaciones, entre los cuales tenemos:
⎡ ∂u 1
∂u 3 ⎤
∂u 2
⎢
⎥
∂x 1
∂x 1 ⎥
⎢ ∂x 1
∂u 3 ⎥
∂u
∂u 2
C=⎢ 2
⎢ ∂x
∂x 2
∂x 2 ⎥
⎢ ∂u 1
∂u 3 ⎥⎥
∂u 2
⎢ 3
∂x 3
∂x 3 ⎦⎥
⎣⎢ ∂x 1
⎡
⎢ ε11
⎢γ
D = ⎢ 21
⎢ 2
⎢ γ 31
⎢ 2
⎣
γ 12
2
ε 22
γ 32
2
γ 13 ⎤
2 ⎥
γ 23 ⎥
⎥
2 ⎥
⎥
ε 33 ⎥
⎦
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Estabilidad IV-a
⎡ γ 11
⎢
2D = ⎢ γ 21
⎢γ
⎣ 31
Capítulo 2: Deformaciones
γ 12
γ 22
γ 23
⎡(1 + γ 11 )
(I + 2D ) = ⎢⎢ γ 21
⎢ γ
⎣ 31
γ 13 ⎤
⎥
γ 23 ⎥
γ 33 ⎥⎦
γ 12
(1 + γ 22 )
γ 23
γ 13
⎤
⎥
γ 23 ⎥
(1 + γ 33 )⎥⎦
2 - 9 : ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
Hemos visto en cursos anteriores que la resolución de ciertos problemas necesita de la
utilización no solo de ecuaciones de equilibrio, sino también de ecuaciones donde intervienen
los desplazamientos (Deformaciones).
Analicemos ahora que sucede con las funciones ε ii ; γ ij de deformación.
El sólido deformable
sometido a un estado de cargas, tendrá un estado de tensiones y
r
de desplazamientos δ de cada una de las partículas que lo componen. El desplazamiento de
una partícula genérica queda definido por sus tres proyecciones (o coordenadas
u = [u 1 ; u 2 ; u 3 ] ).
Si analizamos el tensor de deformaciones (simétrico) D tenemos definidas seis
funciones:
⎛ ∂u
∂u j ⎞
∂u
⎟
ε ii = i
γ ij = γ ji = ⎜ i +
⎜ ∂x
⎟
∂x i
x
∂
j
i
⎝
⎠
El problema consiste en que tengo 6 ecuaciones:
ε 11 =
∂u 1
∂x 1
∂u
1
1 ⎛ ∂u
γ 12 = ⎜⎜ 1 + 2
2
2 ⎝ ∂x 2 ∂x 1
ε 22 =
⎞
⎟⎟
⎠
∂u 2
∂x 2
∂u
1
1 ⎛ ∂u
γ 23 = ⎜⎜ 2 + 3
2
2 ⎝ ∂x 3 ∂x 2
ε 33 =
⎞
⎟⎟
⎠
∂u 3
∂x 3
∂u ⎞
1
1 ⎛ ∂u
γ 31 = ⎜⎜ 3 + 1 ⎟⎟
2
2 ⎝ ∂x 1 ∂x 3 ⎠
con 3 incógnitas: las variables u 1 , u 2 , u 3 .
Dado el desplazamiento u i es posible calcular las derivadas
∂u i
y por lo tanto las ε ii ;
∂x i
γ ij que definen D.
El proceso inverso no es tan sencillo. Dados D definido por las 6 ε ii γ ij , estas últimas
6 son funciones de sólo 3 u i (incógnitas) lo cual implica que las seis primeras no pueden ser
arbitrarias sino que deben cumplir con ciertas condiciones para que el sistema sea compatible
y por lo tanto integrable. Estas son las condiciones de compatibilidad (ecuaciones
diferenciales), cuya demostración no realizaremos pero son fáciles de encontrar en la
bibliografía, y que se expresan matemáticamente como sigue:
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Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
∂ γ 12
∂ ε 11 ∂ ε 22
=
+
2
∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 2
∂x 1
2
2
2
∂ 2 γ 23
∂ 2 ε 22 ∂ 2 ε 33
=
+
2
∂x 2 ∂x 3 ∂x 3 2
∂x 2
∂ 2 γ 31
∂ 2 ε 33 ∂ 2 ε 11
=
+
2
∂x 3 ∂x 1 ∂x 1 2
∂x 3
∂ 2 ε 11
∂
=
2
∂x 2 ∂x 3 ∂x 1
⎛ ∂γ 23 ∂γ 31 ∂γ 12
⎜⎜ −
+
+
⎝ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
⎞
⎟⎟
⎠
∂ 2 ε 22
∂
=
2
∂x 1 ∂x 3 ∂x 2
⎛ ∂γ 31 ∂γ 12 ∂γ 23
⎜⎜ −
+
+
∂x 1
⎝ ∂x 2 ∂x 3
⎞
⎟⎟
⎠
∂ 2 ε 33
∂ ⎛ ∂γ 12 ∂γ 23 ∂γ 31 ⎞
⎜−
⎟
+
+
=
2
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎜⎝ ∂x 3
∂x 1 ∂x 2 ⎟⎠
Condiciones que deben cumplir los componentes de D para poder representar un
estado de deformación físicamente posible.
En sistemas simplemente conexos el cumplimiento de estas condiciones implica en
general que:
a)
u i son funciones continuas de las x i
se cumplen las relaciones entre ε ii γ ij y las u i
b)
c)
si bien puede haber (en determinados casos) más de un vector desplazamiento
δ(u 1 , u 2 , u 3 ) solución al problema, la diferencia de estos es equivalente al desplazamiento de
un sólido rígido.
Esto último implica que si hay una relación biunívoca entre las tensiones y las
d)
deformaciones, el campo de tensiones es único.
Con el fin de fijar ideas pensemos que el sólido continuo es hiperestático y analicemos
lo aprendido en el curso de hiperestática de estructuras.
Para su resolución era necesario el planteo de ecuaciones de equilibrio a las cuales
debíamos adicionar ecuaciones de compatibilidad de deformación, todas ellas algebraicas que
formaban un sistema de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas.
En el caso del sólido continuo para el estudio de las tensiones y deformaciones
también debemos plantear:
Ecuaciones de equilibrio (Diferenciales)
a)
b)
Ecuaciones de compatibilidad (Diferenciales)
En el sólido elástico lineal a) y b) se relacionan mediante leyes de dependencia lineal
que son conocidas como Ley de Hooke, al igual que lo hecho en la resolución de las
estructuras.
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14
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
2 - 10 TENSOR DE DEFORMACIONES FINITAS (problema no lineal)
Caída de la linealidad en grandes deformaciones:
Desgraciadamente, no se puede separar en forma aditiva rotaciones de deformaciones
provocando la imposibilidad de sostener lo visto (repercute en compatibilidad, deformaciones
no irrotacionales):
Magnitud de desplazamientos y / o deformaciones.
• Tensor R no mide rotaciones
• Tensor D no mide deformaciones
• Tensor T (tensiones) tiene trampas!!!!
No se puede
simplificar!!
Problema Î se tiene en cuenta el cuerpo deformado afectando tensiones y def.
Medición de deformaciones y desplazamientos:
Introducimos la nomenclatura: x i = X i + u i , N =
Xi
x
y n= i
Xi
xi
⎧
Tensor gradiente materialde deformación (F = ∂x i
)
∂X j
⎪
⎪
Tensor gradiente de desplazamiento material( C = ∂u i
)
⎪
∂X j
⎪
•
•
•
⎪
⎪T. gradiente de la tasa de desplazamiento espacial (c = D = ∂ u i
)
Algunas maneras ⎨
∂x j
⎪
∂u
⎪T. material de defor.(Green Lagr.)( L = 1 ( ∂u i + j + ∂u k . ∂u k ))
2 ∂X j ∂Xi ∂Xi ∂X j
⎪
⎪
∂u
⎪ T. espacial de defor.(Almansi)( l = 1 ( ∂u i + j − ∂u k . ∂u k ))
2 ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j
⎪⎩
Veamos uno (el que se desprende más fácil):
Partiendo del apartado 2-2:
dr 2 = dx12 + dx 2 2 + dx 3 2
dr '2 = (dX1 + du1 )2 + (dX 2 + du 2 )2 + (dX 3 + du 3 )2
sustituyendo a du 1 , du 2 y du 3 por las ecuaciones de página 2
2
⎛
⎞
⎞ ⎛
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
dr ' = ⎜⎜ dX1 + 1 dX1 + 1 dX 2 + 1 dX 3 ⎟⎟ + ⎜⎜ dX 2 + 2 dX1 + 2 dX 2 + 2 dX 3 ⎟⎟
∂X 3
∂X 3
∂X 2
∂X 2
∂X1
∂X1
⎝
⎠
⎠ ⎝
2
⎛
⎞
∂u
∂u
∂u
+ ⎜⎜ dX 3 + 3 dX1 + 3 dx 2 + 3 dX 3 ⎟⎟
∂X 2
∂X 3
∂X1
⎝
⎠
Desarrollando la expresión y llamando:
2
γ 11
2
2
2
⎛ ∂u ∂u 1 ∂u 2 ∂u 2 ∂u 3 ∂u 3
∂u
∂u
∂u 1 ⎛⎜ ⎛ ∂u 1 ⎞ ⎛ ∂u 2 ⎞ ⎛ ∂u 3 ⎞ ⎞⎟ ,
γ12 = 1 + 2 + ⎜⎜ 1
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=2
+ ⎜
+
+
∂X 2 ∂X1 ⎝ ∂X1 ∂X 2 ∂X1 ∂X 2 ∂X1 ∂X 2
∂X 1 ⎜ ⎝ ∂X 1 ⎟⎠ ⎜⎝ ∂X 1 ⎟⎠ ⎜⎝ ∂X 1 ⎟⎠ ⎟
⎝
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
Compactado:
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2
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
∂u i ∂u j ⎛⎜ ∂u k ∂u k ⎞⎟
i,j,k=1,2,3
+
+
∂X j ∂X i ⎜⎝ ∂X i ∂X j ⎟⎠
queda:
dr '2 = (1 + γ11 )dX12 + (1 + γ 22 )dX 2 2 + (1 + γ 33 )dX 3 2 + 2.γ12 dX1dX 2 + 2.γ13dX1dX 3 + 2.γ 23dX 2 dX 3
γ ij =
El tensor de Green-lagrange se forma L= γ ij .
Relaciones:
1) C = F − I
3) L = 1 (C + C T + CC T )
2
T
1
5) L =
(F F − I) 6) l = 1 (I − F− T F −1 )
2
2
2) c = I − F −1
4) l = 1 (c + c T − cc T )
2
Significado:
• L ó l, calculan deformaciones sin afectarse por rotaciones.
L invariante ante rotación; l transforma objetivamente.
Ejes principales de L rotan a ejes principales de l
• L: Calcula deformaciones con la fibra inicial ε = 1 + 2 N.L.N − 1
1
• l: Calcula def. con la fibra en la posición final ε =
−1
1 − 2 n.l.n
Y las Rotaciones??
A, F se lo descompone en un tensor ortogonal y uno simétrico.
F = Q.U , con U = (FT F)1 2 y Q = FU −1
U es otra medida de deformación (tensor derecho de deformación)
• Q es la rotación!!!!!!!
Y como volvemos a pequeñas???:
1) Gradiente de deformación F = I + C si C Î 0 entonces FÎI;
2) Green Lagrange: Eliminando la porción no lineal L Î D.
3) Almansi c = I − F −1 = I - I = 0
C2 =0
serieC→0
1
T
T
4) Tensor U = F F = (I + C ).(I + C) → (I + CT + C) → I + (CT + C) → I + D
2
−1
5) Tensor Q=I+R ( F = I + C y U = (I + D)
−1
serie, D→0 sust. en F.U-1
→
;Q→I+R )
Medición de Tensiones:
Debemos usar tensores que sean conjugados de las deformaciones vistas.
ρ
⎧
Primer tensor de Piola Kirchhoff (P = 0 F-1.T)
⎪
ρ
⎪
ρ
⎪
Segundo tensor de Piola kirchoff ( S = 0 F-1.T.F- T )
⎪
ρ
Algunas maneras ⎨
⎪
ρ
⎪
Tensor Co - rotado de Kirchhoff ( τ = 0 Q T .T.Q)
⎪
ρ
⎪Tasas de tensores (Jaumann, Truesdell, Green Naghdi, etc.)
⎩
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16
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
Significado:
Se formulan evitando que los desplazamientos como rígido los afecten.
P y S se definen de modo de calcular la tensión sobre una superficie a partir del cuerpo sin
deformar o deformado.
El co-rotado acompaña la rotación (OBVIO)
Las tasas (derivadas en el tiempo) se usan para la formulación de principios en
términos de potencia mecánica y resultan cómodos para formular grandes deformaciones en
forma semejante a pequeñas.
Ecuaciones principales:
Equilibrio:
∂Pi, j
∂X j
+ Xi = 0 ó
∂Ti, j
∂x j
+ xi = 0
Compatibilidad:
FATAL!!!!. Nunca usadas.
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17
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
PRÁCTICO DE DEFORMACIONES
Problemas resueltos
Problema 1:
0,10
0, 20 − 0, 40
a) Dado el tensor de desplazamiento relativo: C = − 0,20 0,15 − 0,15
0, 40
Obtener:
a.1) D (Tensor deformación)
a.2) R (Tensor rotación)
a.3) Direcciones principales de D.
r
a.4) El desplazamiento relativo en n
(
1
1
1
2, 2,
2
0,30
0,30
)
Solución:
0,10
0
0
a.1) D = 0
0,15
0,075
0
0,075
0,3
0
a.2) R = − 0,20
0, 40
0, 20
− 0, 225
0
0,225
0
1
a.3) n 1 = 0
0
a.3)
− 0, 40
0
n 2 = 0.924
− 0.383
0
n 3 = 0.383
0.924
ε n = n T .D.n = 0.266
Problema 2:
El campo de desplazamiento es: u 1 = 10 x 1 + 3x 2 , u 2 = 3x 1 + 2 x 2 , u 3 = 6x 3
Probar que no hay rotaciones en pequeñas deformaciones.
Solución:
Al realizar el cálculo de la matriz C, esta resulta simétrica debido a que las derivadas cruzadas
resultan iguales. Por lo anterior, no hay rotaciones.
Problema 3:
La matriz de deformación en un punto del sólido elástico es (pequeñas
deformaciones)
3k
0
−k
D= 0
k
2k
2k
2k
−k
con k = cte.
1) Calcular la deformación longitudinal unitaria en la dirección n 1 ( 13 , 2 3 , 2 3 )
2) Calcular la deformación del ángulo formado por n1 y n 2 − 2 5 , 1 5 ,0
(
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)
18
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
3) Determinar la deformación angular máxima.
4) Hallar la matriz desviadora y calcular las deformaciones principales.
Solución:
Punto 1:
Aplicando la forma bilineal:
εn = nT * D * n
ε n = 3k
Punto 2:
Para determinar lo pedido, analizaremos la expresión:
d ' r = I * dr + D * dr + R * dr
(Pag. 3 de Deformaciones)
Gráficamente:
Q
dr '
R * dr
dr
D * dr
dr
δP
P
(I + R ) * dr
P'
dr1 ϕ12
P
dr 2
? = ϕ'12
dr1 '
δP
P'
dr 2 '
Se pide determinar:
dr1 'T *dr 2 ' = dr1 ' * dr2 ' * cos ϕ'12
⇒
cos ϕ'12 =
dr1 'T *dr 2 '
dr1 ' * dr2 '
Utilizando la expresión de arriba
T
T
dr 1 * (I + D + R ) * (I + D + R ) * dr 2
cos ϕ'12 =
dr1 ' * dr2 '
Pero despreciando infinitésimos de orden superior y sabiendo que R = - RT por ser
hemisimétrico:
T
T
dr 1 * (I + 2D ) * dr 2
cos ϕ'12 =
dr1 ' * dr2 '
T
T
dr 1 * dr 2
dr 1
dr 2
D
+2
dr1 ' * dr2 '
dr1 '
dr2 '
Sabemos que la forma bilineal de la deformación específica en una dirección cualquiera:
dr1 '
dr '
ε dr1 = 1 − 1
⇒
= ε dr + 1 = εˆ dr1
dr1
dr1
cos ϕ'12 =
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19
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
cos ϕ'12 =
T
T
dr1
dr 2
dr1
dr 2
+2
D
εˆ dr1 * dr1 εˆ dr2 * dr2
εˆ dr1 dr1 εˆ dr2 dr2
T
T
n n2
n *D*n2
cos ϕ'12 = 1
+2 1
εˆ dr1 εˆ dr2
εˆ dr1 * εˆ dr2
T
cos ϕ12 + 2 * n 1 * D * n 2
cos ϕ'12 =
εˆ dr1 * εˆ dr2
εˆ dr1 *εˆ dr2 = 1 + ε dr1 + ε dr2
Podrá suponerse que:
cos ϕ'12 =
cos ϕ12 + 2 * n1 * D * n 2
1 + ε dr1 + ε dr2
ϕ12 = 90° ⇒ el denominador será ≅ 1 ⇒
cos ϕ'12 = sen (π 2 − ϕ'12 ) ≅ π − ϕ'12 = ϕ12 − ϕ'12
2
T
8
⇒ γ 12 = 2 * n 1 * D * n 2 =
k
3 5
Punto 3: la deformación angular máxima es γmax . Para ello las deformaciones principales
son:
3k − ε
0
−k
Para el caso tomado
0
k−ε
2k
−k
2k
2k − ε
=0
⇒ ε 1 = 4,14k; ε 2 = −2,53k; ε 3 = −0.67k ojo con esto
4,14 − (− 0,67 )
⇒ γ max. =
k = 2.405k
2
Punto 4:
3k
0
−k
2k
0
0
0
k
2k = 0
2k
0 + 0
k
−k
2k
2k
0
0
2k − k
Las deformaciones principales desviadoras son:
ε d (1) = 2,14k;
ε d ( 2) = 0,53k;
0
−k
−k
2k
2k
0
ε d (3) = −2.67 k
Problema 4:
A partir de las ecuaciones de deformación lineales, deducir por inversión de
operador, las ecuaciones de compatibilidad del primer grupo.
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20
Estabilidad IV-a
∂
∂x 1
0
Capítulo 2: Deformaciones
∂
0
∂
∂
∂x 2
∂x 3
0
∂
∂
0
0
0 0 0
∂x 2
0
0
0 0 0
∂x 3
0
0 0 0 u
3
∂
∂x 1
0
∂x 3
∂
∂
1 0 0
∂x 1
0 1 0
∂x 2
0 0 1
u1
ε11
u2
ε 22
0
0
0
=
ε 33
⇒ A.u = ε
γ12
γ 13
γ 23
Resolución:
Multiplicar la 1ra, 2da y 3ra ecuación por ∂
−1
−1
; ∂
−1
; ∂
. Luego con las
∂x 2
∂x 3
y la 2da por ∂
para luego sumando la
tres modificadas, si se multiplica la 1ra por ∂
∂x 2
∂x 1
cuarta ecuación Recordar que lo que se pretende es tornar unitaria a la matriz A para despejar
u.
∂ −1 ∂
∂ −1
∂ −1
∂ −n
∂n
∂0
(u 1 ) = −1 .ε11 ⇒ u 1 = −1 .ε11
.
.
=
=1
−n
n
0
∂x −1 1 ∂x 1
∂x 1
∂x 1
∂x 1 ∂x 1
∂x 1
∂ −1
∂x 2
.
−1
∂ −1
.
−1
∂x 3
Luego:
⎛ ∂
⎜⎜
⎝ ∂x 2
∂x 1
−1
∂
(u 2 ) = ∂ −1 .ε 22
∂x 2
∂x 2
⇒ u2 =
−1
∂
(u 3 ) = ∂ −1 .ε 33
∂x 3
∂x 3
⇒ u3 =
∂ −1
.ε 22
−1
∂x 2
∂ −n
∂x 2
∂ −1
∂x 3
.ε 33
−1
−n
∂ −n
∂x 3
−n
.
.
∂n
∂x 2
n
=
n
=
∂n
∂x 3
∂0
0
=1
0
=1
∂x 2
∂0
∂x 3
⎫
⎞
∂ ∂ −1
⎟⎟ u 1 =
ε
⎪
11
∂x 2 ∂x 1 −1
⎠
⎪
es sumado con signo cambiado a la 4 ta ecuación
⎬
⎛ ∂ ⎞
∂ ∂ −1
⎪
⎜⎜
⎟⎟ u 2 =
ε
−1 22 ⎪
∂x 1 ∂x 2
⎝ ∂x 1 ⎠
⎭
⎛ ∂
⎛ ∂
∂ ∂ −1
∂ ⎞
∂ ∂ −1
∂ ⎞
⎟⎟u 2 = −
⎟⎟u 1 + ⎜⎜
⎜⎜
−
ε
−
−
ε 22 + γ 12
11
∂x 2 ∂x 1 −1
∂x 1 ∂x 2 −1
⎝ ∂x 2 ∂x 1 ⎠
⎝ ∂x 2 ∂x 2 ⎠
La matriz quedará, haciendo lo mismo en la 5ta y 6ta:
∂ −1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0
−1
0
u1
u2
u3
=⎛
0 ⎜⎜ −
⎝
0
⎛
⎜⎜ −
0
⎝
∂x 1
∂ −1
0
⎞
−1 ⎟
∂x 2
∂x 1 ⎟⎠
⎞
∂
∂ −1
⎟
−1 ⎟
∂x 3
∂x 1 ⎠
∂
∂ −1
0
∂x 2
−1
0
−1
⎛ ∂
⎞
⎜⎜ − ∂x ∂
−1 ⎟
∂x 2 ⎟⎠
1
⎝
0
⎛ ∂
⎞
∂ −1
⎜⎜ −
−1 ⎟
⎟
∂
x
∂
x
3
2 ⎠
⎝
∂
0
0 0 0
0
0 0 0
−1
∂x 3
0
−1
0 0 0
1 0 0
⎛ ∂
⎞
∂ −1
⎟ 0 1 0
−1 ⎟
⎜⎜ − ∂x 1
∂x 3 ⎠
⎝
⎛ ∂
⎞
∂ −1
⎜⎜ −
−1 ⎟
⎟ 0 0 1
x
∂
x
∂
2
3 ⎠
⎝
Tomando las tres últimas e igualando a cero tenemos:
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21
ε11
ε 22
ε 33
γ 12
γ 13
γ 23
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
−1
∂
∂ ∂
ε −
−1 11
∂x1
∂x 2 ∂x1
∂ ∂
∂
−
ε 11 −
∂x 2 ∂x 2
∂x 1
−
−1
∂
∂
∂
ε + γ12 = 0 multiplico por
y
−1 22
∂x 1 ∂x 2
∂x 2
∂
∂ ∂
ε 22 +
γ 12 = 0
∂x 1
∂x 1 ∂x 2
∂ 2 ε11 ∂ 2 ε 22
∂ 2 γ12 ⎫
+
=
⎪
2
2
∂x 1∂x 2 ⎪
∂x 1
∂x 2
∂ 2 γ13 ⎪⎪
∂ 2 ε11 ∂ 2 ε 33
+
=
Las otras dan:
⎬Primer grupo de las ecuaciones de Saint - Venant
2
2
∂x 1∂x 3 ⎪
∂x 3
∂x 1
∂ 2 γ 23 ⎪
∂ 2 ε 22 ∂ 2 ε 33
⎪
+
=
2
2
∂x 3∂x 2 ⎪⎭
∂x 3
∂x 2
Problema 5:
Un elemento rota un ángulo θ a partir del origen. No sufre distorsión y solo rotación. Evaluar
el tensor de deformaciones lineales (trabajar en el plano).
Resolución:
La matriz de rotación de un cuerpo en dos dimensiones viene dada por:
x1
x2
X2
=
u2
θ
sen θ
cos θ
*
X1
.;
x1
X2 x2
= R´*
X1
X2
Si se tiene en cuenta que x i = X i + u i
(x1 , x 2 )
u1
cos θ − sen θ
( X1 , X 2 )
X1
u 1 cos θ − sen θ X1 X1
*
=
.=
−
u 2 sen θ cos θ X 2 X 2
( cos θ) − 1
sen θ
− sen θ
*
X1
( cos θ) − 1 X 2
. = (R´− I) *
X1
X2
= CR
X1
X2
;
con C R = C para rotación exclusivamente.
⎡ ∂u 1
⎢ ∂x
Con C = ⎢ 1
⎢ ∂u 2
⎢⎣ ∂x 1
∂u 1 ⎤
∂x 2 ⎥
⎥ para el caso plano.
∂u 2 ⎥
∂x 2 ⎥⎦
Además, para terminar la comparación, si (cos θ )-1 ≅ 0 y sen θ ≅ θ ; C R =
0 −θ
=R
+θ
0
definido en el curso con ∂u 1
= −θ y ∂u 2
= +θ .
∂x 2
∂x 1
Cuando se desea calcular las deformaciones lineales a partir de la definición de los
corrimientos obtenidos arriba, se llega a:
ε11 = ∂u1
∂x1
= (cos θ) − 1 ; ε 22 = ∂u 2
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∂x 2
= (cos θ) − 1 ; γ12 = senθ − senθ = 0
22
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
Claramente, las deformaciones longitudinales deberían ser nulas porque estamos ante un caso
de rotación pura. Para que estas deformaciones se anulen, los cosenos deben tender a uno, y el
seno al valor del ángulo, algo que ya se indicó arriba. Ahora bien, cuanto debe valer θ para
poder hacer esta suposición. Desarrollemos en serie el valor de ε11 en las proximidades de
θ =0:
ε11 = 1 − θ
2
2
+ ∈ (θ 4 ) − 1 = − θ
2
2
Si se desea una deformación con precisión 10 −2 y se acepta un error del 1%, las rotaciones
deberán ser del orden de 10 −2 , pues, elevadas al cuadrado como indica el desarrollo en serie,
darían una deformación real del orden de 10 −4 que es el 1% de 10 −2 , es por lo tanto un error
dentro de la tolerancia (equivale a decir que es despreciable). Presentada esta circunstancia,
los tensores R y D de pagina 2 del presente apunte, serán tensores de rotación y deformación
respectivamente, ya que este último será nulo y R = C R . Rotaciones mayores, inducirán al
análisis de deformaciones finitas según apartado 2-8. (Numéricamente, el ángulo va hasta
0.03 rad o 1.72 grados)
Problema 6:
Calcular las ecuaciones de .compatibilidad de un campo vectorial cualquiera “v” denominado
potencial (esto se debe a que se deduce de una función escalar).
Resolución:
Para que un campo vectorial se deduzca de un potencial, se debe cumplir:
v = ∇φ ó v i = ∂φ
Con φ siendo campo escalar.
∂x i
esta expresión también puede escribirse:
v i − ∂φ
=0
∂x i
pero estamos ante un caso de un sistema superabundante ya que, no se conoce el campo
escalar y si se conoce el vector, son tres ecuaciones con una incógnita. Para que esto tenga
solución es necesario deducir un conjunto de ecuaciones que restrinja el problema: derivamos
la anterior con relación a las coordenadas:
2
2
2
∂v j
∂v i
= ∂ φ 2 ; ∂v i
=∂ φ
=∂ φ
(9 ecuaciones)
;
∂x i
∂x j
∂x i ∂x j
∂x i
∂x j∂x i
∂x i
2
por teorema de Schwartz, ∂ φ
de donde se deduce que :
∂v i
∂x i ∂x j
∂x j
que escritas en forma desarrollada:
∂v1
∂x 2
− ∂v 2
∂x1
−
= S3 ; ∂v 2
2
=∂ φ
∂v j
∂x 3
∂x j∂x i
∂x i
−
(quedan solo 6 ecuaciones)
= 0 (3 ecuaciones)
∂v 3
∂x 2
= S1 ;
∂v 3
∂x 1
− ∂v1
∂x 3
= S2
que no es otra cosa que
Si = rot ( v) = ∇ × v = 0
(a)
donde el signo “ × ” indica producto vectorial. Por esto se enuncia que, dado un campo
vectorial cualquiera, para que exista un campo φ escalar del que pueda deducirse el campo
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23
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
vectorial, es condición necesaria y suficiente que el rotor de ese campo sea nulo (campo
irrotacional) o lo que es lo mismo, el rotor de un campo vectorial potencial es siempre nulo.
La idea de irrotacionalidad se puede adquirir pensando en la siguiente operación: supongamos
el siguiente campo vectorial
X3
R
X2
∇× R(0,0,2)
X1
R
R = (− X 2 , X1 ,0) ; ∇ × R = (0,0,2)
Como puede apreciarse en el dibujo de la
Izquierda, el campo vectorial gira en torno a el
eje vertical y el producto vectorial indica un
vector coincidente con ese eje y de valor
constante. Por eso se llama “rotor” porque
indica una rotación en torno a algún eje.
Volviendo al ejercicio, a esta expresión (a), se
la denomina Ecuaciones de Compatibilidad del
campo vectorial.
Esta conclusión puede también apoyarse en el
teorema de Stokes (formula 29 del Balloffet,
M. G.):
∫Ω n.(∇ × v) dΩ = ∫∂Ω t̂.v ds
n : normal a la superficie Ω (unitario)
t̂ : tangente a la curva que rodea a Ω (unitario)
Si v = ∇φ , la derivada direccional de ese campo escalar es: dφ = ∇φ.t̂ , si se integra esta
ds
dφ
expresión sobre una curva cerrada: ∫
.ds = φ(s1 ) − φ(s1 ) = 0 ( φ es función de estado o
∂Ω ds
diferencial perfecto) y aplicada al otro miembro de la derivada direccional:
∫ ∇φ.t̂ ds = ∫ v.t̂ ds = 0 , y aplicando esto a Stokes: ∫ n.(∇ × v) dΩ = 0 ⇒ ∇ × v = 0 ; que no es
∂Ω
∂Ω
Ω
otra conclusión que si el campo vectorial que atraviesa la superficie se deduce de un
potencial, su rotor debe ser nulo.
Otra conclusión: si se aplica:
∇.(∇ × v) = 0
Ya que es el producto escalar entre vectores normales (por propiedad del producto vectorial),
por lo que ∇.S = 0 : Las ecuaciones de compatibilidad NO SON LINEALMENTE
INDEPENDIENTES.
Finalmente, esta deducción puede aplicarse al caso de un campo tensorial que se deduce de
uno vectorial.
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24
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
Problemas propuestos
Problema 1:
∂u i
, la posición
∂x j
Esquematice para los siguientes tensores gradiente de desplazamiento
deformada de un elemento inicialmente cuadrado en el plano x1-x2 y con lados paralelos a los
ejes.
0
0.01
0
0.01
0
0
0
0
0
0
− 0.01
0
0.01
0
0
0
0
0
0
0.02
0
0
0
0
0
0
0
Problema 2:
Para cada una de las matrices gradiente de desplazamiento, determine la matriz de
deformación, la matriz de rotación, la deformación volumétrica y la matriz de deformación
desviadora.
10
−4
9
− 10
− 14
10
18
− 18
−4
− 18
27
y
10
−4
4
−1
0
1
−4
2
4
0
6
Problema 3:
En un cubo simple de un cristal cuyas caras son paralelas a los ejes, los deslizamientos solo
tienen lugar en planos paralelos a los cartesianos dados por la matriz de abajo:
0
ε 21
ε 31
ε12
0
ε 32
ε13
ε 23
0
Encontrar una ecuación que permita determinar la máxima deformación longitudinal y
explique como calcularía ese valor si se dieran números a la matriz de deformación.
Problema 4:
Si el plano x2-x3 es un plano de simetría para la distribución de desplazamientos de modo que
cualquier desplazamiento u i de un punto (-a, b, c) es una imagen en espejo del
desplazamiento de u i en (a, b, c) , cual componente rectangular en pequeñas deformaciones
son funciones pares en x1 y cual es impar. Ayuda: la diferenciación cambia una función par en
impar.
Problema 5:
Usando como base el problema 4 de la guía de ejercicios resueltos, calcular el segundo grupo
de ecuaciones de Saint Venant.
Problema 6:
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25
Estabilidad IV-a
Capítulo 2: Deformaciones
Usando como base el problema 5 de la guía de ejercicios resueltos, probar que las ecuaciones
de compatibilidad del tensor D se pueden deducir de:
(∇ × D) × ∇ = ∇ × (D × ∇) = 0
Nota: para resolver, tener en cuenta:
(∇ × D) = g pkq D km,p e q e m y (D × ∇) = D rs,p g spq e r e q
⎧ 0 cuando los indices se repiten.
⎪
donde g eij = ⎨ + 1 cuando i, j, k es 1,2,3 o una permutación par (doble permutación)
⎪− 1 cuando i, j, k es una permutación impar(simple permutación)
⎩
denominado operador de Levi Civita, que responde a la expresión:
e i ∧ e j = g ijk e k con e i , e j y e k son versores ortogonales en el espacio.
Donde la razón de la permutación se basa en la anticonmutatividad del producto vectorial.
g123 = g 231 = g 312 = +1
Ejemplo: g132 = g 213 = g 321 = −1
e1,2,3 = base ortogonal
g112 = g122 = g 222 = 0
Tener en cuenta que el tensor deformación se escribe: D ije i e j si se toma la versión de
combinación lineal de díadas (diádica).
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