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II. Marco teórico
II-1. Técnicas para la medición de la tensión superficial y la
conductividad Eléctrica
II-1.1 Definiciones
II-1.1.1 Interfases
Una interfase es la región que existe entre la zona de contacto entre dos
fases, en la cual interaccionan las moléculas de ambas. Esto provoca que exista
una diferencia en magnitud de las fuerzas moleculares que se encuentran en el
seno de ambas fases y la interacción de las fuerzas moleculares que actúan en
la interfase, originan lo que se conoce como tensión interfacial. La capa
interfacial es una zona de transición entre las dos fases que se encuentran en
contacto, es decir, sus propiedades varían desde aquellas que corresponden a
una hasta las que caracterizan a otra.
Por convención, la definición de tensión interfacial dinámica se refiere a la
tensión registrada al variar la masa del sistema, produciendo cambios en el área
interfacial, y la tensión interfacial transiente es aquella en la cual se observa un
estado de cuasi equilibrio en el cual el área interfacial cambia debido a la acción
del surfactante.
II-1.1.2 Surfactantes
Los surfactantes son esenciales en gran cantidad de procesos
industriales, como la producción de jabones y artículos de limpieza,
medicamentos, alimentos, recuperación y refinación de crudo, entre otros.
Los agente tensoactivos o surfactantes (SURFace ACTive AgeNT), son
moléculas con una estructura muy característica. Este tipo de estructura les
habilita para adsorber en las interfases, formar agregados y auto asociarse en
soluciones acuosas. Estas moléculas están caracterizadas por la posesión de
5
dos partes de naturaleza opuesta, una polar y otra no polar. La parte polar o
hidrófila de la molécula puede llevar una carga positiva o negativa, y es esta
parte la que define al agente tensoactivo como catiónico o aniónico
respectivamente. Otros agentes tensoactivos en cambio, no muestran carga
iónica (no-iónicos).
La parte apolar o hidrófoba de la molécula generalmente suele ser una
cadena longitudinal de hidrocarbonos. La figura 2.1 muestra un esquema de una
molécula de agente tensoactivo típico.
Figura 2.1: Estructura típica de una molécula de un agente tensoactivo.
Los agentes tensoactivos se pueden clasificar en función de la naturaleza
iónica de la cabeza:
i)
Aniónicos: Se trata de los agentes tensoactivos que presentan la
cabeza hidrófila con carga negativa. Todos ellos poseen un
contra-ion positivo que suele ser el Na+.
ii)
Catiónicos: Los agentes tensoactivos presentan una cabeza
positiva, como por ejemplo el ion trimetil amonio (-N (CH3)3+) y
contra-iones negativos como el Br-.
iii)
Zwitteriónicos: Estos agentes tensoactivos contienen cargas
positivas y negativas en la misma molécula, convirtiéndola en
moléculas neutras sin contra-iones.
iv)
No-iónicos: Éstos carecen de grupos polares cargados, pero
poseen grupos como los etoxilatos, -(O CH2-CH2)m OH, que
muestran gran afinidad hacía las moléculas de agua debido a las
6
fuerte interacciones dipolo-dipolo en los enlaces de hidrógeno. La
parte hidrófoba del agente tensoactivo generalmente es una
cadena simple de hidrocarburo la cual contiene principalmente
grupos olefínicos.
Debido a la baja solubilidad de las cadenas de los hidrocarburos en el
agua, los agentes tensoactivos tienden a minimizar la interfase o la superficie de
contacto agua-hidrocarburo en la disolución acuosa. Para ello, existen dos
posibles mecanismos: A bajas concentraciones de agente tensoactivo, las
moléculas se acumulan en la interfase agua-aire, de manera que la parte
hidrófoba pueda escapar del medio acuoso mientras que la parte hidrófila se
mantiene inmersa en el agua. Sin embargo, por encima de cierta concentración,
conocida como la concentración micelar crítica (CMC), la interfase se ocupa
completamente de moléculas de agentes tensoactivos y éstas se asocian
formando agregados. La interacción entre las cadenas de hidrocarburo y el agua
de la disolución se ve minimizada por la formación de estas estructuras
tridimensionales, en las cuales las cadenas apolares se direccionan hacia el
centro del agregado y las cabezas polares hacia la disolución. Estos agregados,
denominados micelas, pueden tomar varias formas y tamaños en función de la
concentración y naturaleza del tensoactivo. La figura 2.2 muestra una típica
micela esférica.
Figura 2.2 Micela esférica.
7
En los procesos de adsorción en la interfase y micelización, las cadenas
de hidrocarburos tienden a minimizar el contacto con las moléculas de agua. La
interacción entre las cadenas de hidrocarburos y las moléculas de agua que las
rodean son entrópicamente desfavorables. La interacción atractiva que ocurre
entre los grupos apolares y la cual hace que se agreguen se denomina efecto
hidrófobo. La figura 2.3 muestra esquemáticamente varias conformaciones de
los tensoactivos en disolución y en la interfase agua-aire.
Figura 2.3: Mecanismos de adsorción de los tensoactivos en las interfases de las emulsiones e
interfase agua-aire.
En la interfase, las moléculas de los tensoactivos experimentan menos
interacciones con otras moléculas y por lo tanto, llevar una molécula de la
disolución a la interfase requiere energía. [4]
8
II-1.1.3 Polímeros
Los polímeros están constituidos por moléculas formadas por la repetición
de una unidad básica, el “monómero”. De esta manera, se pueden formar
moléculas gigantes (o macromoléculas) de alto peso molecular.
Según el tipo de monómero que se emplee para formar un polímero, este
puede tener diferentes propiedades fisicoquímicas. Podemos catalogar a los
polímeros en dos clases: los hidrosolubles y los anfifílicos. En esta investigación
se estudiaron las interacciones con un polímero anfifílico.
En el primer caso, se trata de polímeros que son solubles en agua debido
a la polaridad del monómero y por lo tanto, de la macromolécula. Ejemplos de
estos son el polietilenglicol (PEG) y el polivinilpirrolidone (PVP). Pero existe otro
tipo de polímeros, los anfifílicos, formados por bloques tanto hidrofílicos como
hidrofóbicos. Debido a su parte hidrofóbica, que los asemeja a un tensoactivo,
estos polímeros tienen una tendencia a formar agregados por sí solos o a
adsorberse a interfaces agua-aire o agua-aceite. Hay muchos ejemplos en la
literatura de este tipo de materiales también conocidos como polímeros
“asociativos”. La figura 2.4 muestra una representación de un polímero anfifílico.
Figura 2.4. Representación de un polímero anfifílico
9
II-1.2 Tensión superficial
Las moléculas presentes en la superficie de un líquido son objeto de las
intensas fuerzas de atracción de las moléculas interiores. Una fuerza resultante
cuya dirección se encuentra en un plano tangente a la superficie en un punto en
particular, actúa para hacer que la superficie del líquido sea lo más pequeña
posible. La magnitud de esta fuerza actuando perpendicular a una unidad de
longitud de una línea en la superficie, se denomina Tensión Superficial (γ). La
superficie, o interfase, en donde existe la tensión se encuentra entre el líquido y
su vapor saturado en el aire, ordinariamente a presión atmosférica. También
puede
existir
una
tensión
en
la
interfase
entre
líquidos
inmiscibles;
ordinariamente a esto se le denomina tensión interfacial. Las dimensiones de la
tensión superficial son de fuerza por unidad de longitud y ordinariamente se
expresan en milinewtons por metro. [5]
La tensión superficial es una propiedad de una interfase. Ordinariamente
se mide balanceándola a lo largo de cierta línea limítrofe, con una fuerza igual
contra la cual puede medirse. Se denomina energía o tensión superficial del
líquido al cociente de la energía suministrada ΔE y la variación de área ΔA, a
temperatura constante:
γ =
ΔE
ΔA
(1)
Para la determinación de la tensión superficial existen diversos métodos
entre los cuales están el anillo de Du Nouy, la pesada hidrostática, la gota
colgante y los capilares. [6]
10
II-1.2.1 Anillo de Du Nouy
El método de Du Nouy es uno de los más conocidos. Se mide la fuerza
adicional ΔF que hay que ejercer sobre un anillo de metal justo en el momento
en el que la lámina de líquido se va a romper. El montaje más común de la
técnica se muestra en la figura 2.5.
Figura 2.5: Montaje Anillo de Du Nuoy
La tensión superficial del líquido se calcula a partir del diámetro 2R del
anillo y del valor de la fuerza ΔF que mide el dinamómetro.
(2)
Para determinar la tensión superficial de un líquido, se coloca el mismo en
una caja de Petri, cuyo diámetro debe ser mucho mayor que el correspondiente
al del anillo de metal. La plataforma puede desplazarse verticalmente accionado
manualmente un juego de tornillos que vienen dispuestos en el equipo.
El anillo suspendido de la palanca se introduce en el líquido y mediante
movimientos verticales de la plataforma y simultáneamente modificando la
11
tensión del alambre, se busca desprender el anillo de la superficie del líquido.
Debe mantenerse horizontal a la palanca durante la medida. Cuando el anillo se
desprende bruscamente de la superficie del líquido, la fuerza aplicada es el valor
máximo necesario para superar el anillo de la superficie. Esta fuerza es
directamente proporcional a la tensión. Se procede de este modo varias veces
con el fin de promediar los valores de las lecturas efectuadas sobre el
dinamómetro.
Figura 2.6 Secuencia del experimento de DuNouy
En la figura 2.6 se representa la secuencia del experimento de Du Nouy
en donde: a) El inicio del experimento; b) Cuando se va formando una lámina de
líquido; c) La situación final, cuando la lámina comprende únicamente dos
superficies (en esta situación la medida de la fuerza es la correcta) justo antes
de romperse. Si el anillo tiene el borde puntiagudo, el peso del líquido que se ha
elevado por encima de la superficie del líquido sin perturbar, es despreciable. [6]
12
II-1.2.2 Capilares
Un capilar es un tubo de diámetro muy delgado. En las proximidades de
la pared de un recipiente o capilar, una molécula del líquido experimenta las
siguientes fuerzas:
•
Su peso, P
•
La fuerza de cohesión que ejercen el resto de las moléculas del líquido
sobre dicha molécula Fc.
•
La fuerza de adherencia que ejercen las moléculas de la pared sobre la
molécula del líquido Fa.
Figura 2.7 Vista del menisco
Supondremos despreciable la fuerza que ejercen sobre la molécula
considerada las moléculas de vapor por encima de la superficie del líquido. En el
esquema de la izquierda de la figura 2.7 se muestran las fuerzas sobre dos
moléculas, una que está muy cerca de la pared y otra que está más alejada.
En el esquema de la derecha de la figura 2.7 se muestra la resultante de
dichas fuerzas. La superficie es siempre normal a la resultante. Cuando las
moléculas están alejadas de la pared, la resultante debido al peso y a las
fuerzas de cohesión (las fuerzas de adherencia son despreciables) es vertical
hacia abajo, la superficie es entonces, horizontal. Pueden ocurrir dos casos
según sea la intensidad de las fuerzas de cohesión y adherencia:
•
Que el líquido “moje”, por ejemplo, agua en un recipiente de vidrio. Las
fuerzas de adherencia son mucho mayores que las de cohesión.
13
•
Que el líquido no “moje”, por ejemplo, mercurio en un recipiente de vidrio.
Las fuerzas de cohesión son mayores que las de adherencia.
En los líquidos que mojan, la resultante de las fuerzas que actúan sobre las
moléculas próximas a la pared, está dirigida hacia el interior de la pared, por lo
que la forma de la superficie del líquido es cóncava (menisco cóncavo). En los
líquidos que no mojan, la resultante de las fuerzas que actúan sobre las
moléculas próximas a la pared, está dirigida hacia el interior del líquido, por lo
que la forma de la superficie del líquido será convexa (menisco convexo).
Figura 2.8 Angulo del menisco
Recibe el nombre de ángulo θ de contacto (figura 2.8), al formado por la
tangente a la superficie del menisco en el punto de contacto con la pared. Este
ángulo es agudo cuando el líquido moja y es obtuso cuando el líquido no moja.
[6]
Fenómenos capilares. (Ley de Jurín). Si se coloca un capilar
verticalmente en un recipiente de líquido que “moje”, el líquido asciende por el
capilar, hasta alcanzar determinada altura. Si el líquido no moja, el nivel de
líquido en el capilar es menor que en el recipiente. Debido a la curvatura de una
superficie se produce una sobrepresión en su interior.
14
Figura 2.9 Vista del capilar
Aplicamos la fórmula obtenida a la superficie del menisco en el capilar
que con gran aproximación puede considerarse como un casquete esférico de
radio R. La relación entre el radio del capilar r, el radio del menisco R y el ángulo
de contacto θ , se puede ver en la figura 2.9.
r=Rcosθ
 
Debido a la curvatura de la superficie habrá una sobrepresión hacia el
centro del menisco, que de acuerdo con la ley de Laplace (superficie de una
cara), valdrá
(4)
Por efecto de esta sobrepresión, el líquido asciende una altura h.
Δ p=ρ gh
(5)
La altura h a la que asciende el nivel del líquido en el capilar será
(6)
Esta expresión es la denominada ley de Jurín. La altura a la que se eleva
o desciende un líquido en un capilar es directamente proporcional a su tensión
superficial y está en razón inversa a la densidad del líquido y del radio del tubo.
15
En esta experiencia simulada, supondremos que el ángulo de contacto θ de los
líquidos es pequeño de modo que cosθ ≅ 1. [6]
(7)
II-1.2.3 Pesada hidrostática
Un método sencillo para realizar medidas relativas de la tensión
superficial se basa en la formación de gotas.
Figura 2.10 Vista de la gota y parámetros
La gota se desprende del tubo en el instante en el que su peso iguala a
las fuerzas de tensión superficial que la sostiene y que actúan a lo largo de la
circunferencia AB de contacto con el tubo (figura 2.10). Debido a que la gota no
se rompe justo en el extremo del tubo, sino más abajo en la línea A’B’ de menor
diámetro y que no hay seguridad de que el líquido situado entre los niveles AB y
A’B’ sea arrastrado por la gota, la fórmula a emplear es:
P=k2π rγ
(8)
16
Siendo P el peso de la gota, y k un coeficiente de contracción que se ha
de determinar experimentalmente.
Esta es la denominada ley de Tate, el peso de la gota es proporcional al
radio del tubo r y a la tensión superficial del líquido γ.
La aplicación de esta ley nos permite realizar medidas relativas de la
tensión superficial. Conociendo la tensión superficial del agua podemos medir la
tensión superficial del líquido problema.
Llenamos un cuentagotas de agua cuya tensión superficial es γ, y
dejamos caer un número n de gotas sobre el platillo de una balanza, medimos
su masa m. Llenamos el mismo cuentagotas con un líquido cuya tensión
superficial es desconocida γ’, dejamos caer el mismo número n de gotas sobre el
platillo de la balanza y medimos su masa m’. [6]
La ley de Tate nos dice que se deberá cumplir la relación
(9)
II-1.2.4 Gota colgante (Tensiómetro de gota)
Una gota colgante es una gota que se encuentra suspendida de cualquier
sólido, en este caso, del extremo de un capilar. Ésta suele estirarse y
desarrollarse en gran parte debido a la variación de la presión hidrostática, la
cual llega a ser apreciable en comparación con aquella dada por la curvatura en
el ápice de la gota.
El método de la gota colgante permite la determinación de la tensión
superficial a partir del cálculo de diversos parámetros geométricos, tales como:
diámetro máximo o ecuatorial de la gota (DE), diámetro del cuello (DS), y radio
17
de curvatura medio en el ápice de la gota (Ro), tal y como se aprecia en la figura
2.11:
Figura 2.11 Diagrama de la gota colgante
Utilizando el método de integración numérica de Kutta-Merson con un
paso de integración variable se resolvió la ecuación de Laplace-Young. El perfil
de cada gota generada se mide matemáticamente mediante la determinación de
DE y DS. A partir de ellos se correlaciona la tensión superficial con el factor de
forma σ=DS/DE, obteniendo:
β=
Δρ .g .R02
γ
= 0.12836 − 0.7577γ + 1.7713γ 2 − 0.5426γ 3
(10)
Donde γ es la tensión superficial, g es la aceleración de la gravedad y Δρ
la diferencia de densidad entre la fase líquida y la gaseosa.
El método de la gota colgante, al no depender del ángulo de contacto,
resulta una de las formas más fáciles y rápidas para el cálculo de la tensión
superficial. El método geométrico que permite calcular la tensión superficial en la
ecuación (10) a partir de los diámetros DS y DE, no es válida cuando la gota no
es lo suficientemente alargada. [7]
18
II-1.3. Conductividad eléctrica
La cantidad de carga eléctrica que pasa por cualquier punto de un
conductor por unidad de tiempo es la corriente eléctrica. La corriente eléctrica
que pasa a través de un área unitaria perpendicular a la dirección de esta
corriente es la densidad de corriente j. Según la ley general de transporte, la
densidad de corriente en la dirección x es proporcional al gradiente del potencial
j = −k
∂φ
∂x
(11)
La constante de proporcionalidad k es la conductividad eléctrica de la
sustancia o solución. El campo eléctrico E está definido por E = − ∂φ ∂x , así que
la ecuación (11) puede expresarse en la forma
j = kE
(12)
Las ecuaciones anteriores son expresiones de la ley de Ohm. Para
expresar la ley de Ohm en una forma más conocida, consideramos un conductor
de longitud l y área de sección transversal A. Si la diferencia de potencial
eléctrico
a
través
de
los
extremos
es
Δφ = φ 2 − φ1 ,
entonces
E = (φ 2 − φ1 ) / l = Δφ / l . La corriente I transportada por el conductor está
relacionada con la densidad de la corriente mediante I=jA. Aplicando estas
expresiones para E y j en la ecuación (12), tenemos que:
I=
kAΔφ
l
(13)
Definimos la conductancia L=kA/l. Entonces:
I = LΔφ
(14)
La resistencia R del conductor está definida por R=1/L=l/kA, donde la
resistividad ρ=l/k. Esta definición permite expresar la ley de Ohm en su forma
conocida
Δφ = IR
(15)
Aplicando la definición de la resistividad en la ecuación (12), obtenemos:
19
E = jρ
(16)
Normalmente, se utiliza la ley de Ohm tanto de la forma anterior o como
en la segunda ecuación. Esto es conveniente ya que k y ρ son propiedades del
material y no dependen de la geometría del conductor. La resistencia depende
de la geometría del conductor según la relación
R=
ρl
A
(17)
Alargando el conductor se aumenta su resistencia, en tanto que
engrosándolo se disminuye. [10]
II-1.3.1 La corriente eléctrica en soluciones iónicas
El paso de una corriente eléctrica por una solución iónica es un fenómeno
más complejo que el paso de una corriente eléctrica por un metal. En el metal,
los ingrávidos electrones transportan toda la corriente. En la solución iónica, la
corriente es transportada por el movimiento de iones positivos y negativos
masivos. En consecuencia, el paso de la corriente eléctrica va acompañado de
transporte de materia. Los iones positivos y negativos no transportan igual
cantidad de corriente, de manera que se produce un gradiente de concentración
en la solución. Además, la transferencia de la carga eléctrica a través de la
interfaz solución-electrodo va acompañada de una reacción química (electrólisis)
en cada electrodo. Para evitar confusiones, separaremos el fenómeno que se
produce en la solución del que tiene lugar en los electrodos. Trataremos primero
brevemente el fenómeno en los electrodos (electrólisis), y luego analizaremos lo
que sucede en la solución propiamente dicha.
Si se pasa una corriente continua entre dos electrodos en una solución
electrolítica, se produce una reacción química (electrólisis) en los electrodos.
Después de estudiar varios tipos de reacciones electrolíticas, Faraday (1834)
20
descubrió dos reglas simples y fundamentales del comportamiento, conocidas
ahora como leyes de electrólisis de Faraday. La primera ley de Faraday
establece la cantidad de reacción química que tiene lugar en cualquier electrodo
es proporcional a la cantidad Q de corriente eléctrica que ha pasado; Q es el
producto de la corriente y el tiempo, Q=I*t. La segunda ley establece que el paso
de una cantidad fija de corriente eléctrica produce cantidades de dos sustancias
diferentes en proporción a su equivalente químico. Los experimentos de Faraday
mostraron que estas reglas se seguían con gran exactitud. Según lo que
sabemos, estas leyes son exactas. Cualquier reacción electrolítica puede
escribirse en la forma siguiente:
0 = Σ vi Ai + (±1)e −
i
(18)
En las que Ai son las fórmulas químicas de las sustancias que toman
parte en la reacción y los vi son los coeficientes estequiométricos; los vi son
positivos para productos y negativos para reactivos. La ecuación ha sido
balanceada de manera que se consume un mol de electrones en el cátodo (ve=1) o se producen en el ánodo (ve=+1). Esta ecuación establece que para cada
mol de electrones que pasa, |vi| moles de Ai se producen o consumen. Si se
pasa una cantidad de corriente eléctrica, Q=It, entonces el número de moles de
Ai producidos o consumidos es
ni =
| vi | Q | vi | It
=
F
F
(19)
Donde F=96484.56 C/mol. Si mi es la masa de Ai producida o consumida
y Mi es el peso molecular, entonces
mi =
| vi | M i It
F
(20)
La cantidad |vi|Mi define el “peso equivalente” de Ai. Por tanto, si un
“equivalente” de corriente eléctrica pasa (96485 coulombs), se produce o se
consume un “equivalente” de cada sustancia de la reacción. La ecuación anterior
expresa las dos leyes de Faraday. El uso de los “pesos equivalentes” está
quedando anticuado y se prefiere una formulación como la ecuación (20). [10]
21
II-1.3.2 Medición de la conductividad eléctrica en
soluciones electrolíticas
En la figura 2.12 se ilustra una celda simple de conductividad eléctrica. En
los extremos están colocados dos electrodos de platino. Estos suelen estar
cubiertos con un depósito de platino finamente dividido, negro de platino, para
eliminar algunos defectos de la electrólisis. La celda se llena con la solución y la
resistencia de la celda se mide mediante la colocación de ésta sobre un puente
de Wheatstone para corriente alterna. La frecuencia de la corriente empleada es
normalmente 1000Hz.
Figura 2.12 Celda para medir la conductividad eléctrica
Sabemos entonces que la resistencia es
R=
Dado que
ρl
A
=
l
kA
(21)
=1/k. Para k, obtenemos
k=
l
RA
(22)
La constante de la celda K=l/A depende de su forma geométrica; para
celdas de diseño especial puede determinarse midiendo la distancia l entre los
electrodos y el área A de éstos. En mediciones rutinarias, la constante de la
celda se determina indirectamente midiendo su resistencia cuando contiene una
solución estándar de conductividad
eléctrica conocida. Para este fin suelen
utilizarse soluciones de KCl. Si Rs es la resistencia de una celda que contiene
una solución de conductividad eléctrica conocida ks, entonces
22
l
= k s Rs
A
(23)
⎛R ⎞
k = ks ⎜ s ⎟
⎝ R⎠
(24)
K=
De modo que:
En trabajos de precisión debe tenerse mucho cuidado de eliminar los
efectos debidos a la electrólisis y a la variación de la temperatura. El control de
la temperatura es un problema particularmente difícil., debido a los efectos
térmicos de la corriente. Debe emplearse agua de alta pureza, porque cualquier
traza de impurezas puede producir variaciones sensibles en el valor de la
conductividad eléctrica de la solución. Hay que restar del valor medido en la
solución la propia conductividad del agua. [10]
23
II-2. Caracterización de una técnica óptica para determinación de la
tensión superficial
Es posible medir la tensión superficial de una solución al provocar ondas
provenientes de una perturbación en la superficie de la misma. Un pequeño
cable conectado en un altavoz controlado por un generador de funciones puede
funcionar como el agente perturbador de la superficie. Además de esto, un láser
es dirigido hacia la solución. Las ondas actúan como una rejilla de difracción
[12], produciendo puntos de interferencia en una pantalla. Si variamos la
frecuencia y la amplitud del generador de funciones, podemos medir las
diferencias entre los puntos de interferencia y a partir de esto, podemos calcular
la tensión superficial. El arreglo experimental es similar al que se muestra en la
figura 2.13.
Figura 2.13 Diagrama del montaje experimental de la técnica óptica
El principio de esta técnica se basa en la inestabilidad y
desbalance de fuerzas que se provoca en la interfase y que hace que la
superficie se comporte como una membrana. La combinación de gravedad y
tensión superficial permite al líquido la propagación de las ondas en la interfase.
En 1894, Lord Rayleigh midió la tensión superficial del agua analizando las
ondas. Su resultado de 74 mN/m como valor final a 20 grados centígrados se
encontraba muy cerca del valor aceptado de 72.75mN/m.
24
El desarrollo teórico de la técnica se presenta a continuación. La relación
para dispersión de ondas en superficies líquidas está dada por [11]:
⎛
γ ⎞
ω 2 = ⎜⎜ gq + q 3 ⎟⎟ tanh(qD)
ρ ⎠
⎝
(25)
Donde, de la literatura [13] sabemos que:
q=
2π
r⎞
r ⎞⎤
⎛
⎛ r ⎞⎡ ⎛
sen⎜ ⎟ ⎢ sen⎜θ − ⎟ + sen⎜θ + ⎟⎥
λ
2⎠
2 ⎠⎦
⎝ 2 ⎠⎣ ⎝
⎝
(26)
Donde r y θ están en radianes, ω es la frecuencia angular, g es la
aceleración de la gravedad, γ es la tensión superficial, ρ es la densidad del
líquido y D es la profundidad del líquido. El termino gq es el término debido a la
gravedad y el término (γ/ρ)q3 es debido a la tensión superficial. El término
tanh(qD) es un factor aproximadamente igual a 1 para recipientes profundos y/o
números de onda muy grandes.
Se ha mostrado que las ondas superficiales se comportaban como una
rejilla de difracción [12]
y que el espaciado efectivo de la rejilla λs de una
superficie esta dado por:
λs =
2π
senθ
q
(27)
Donde θ es el ángulo del haz del láser medido desde el eje horizontal.
Esto provoca una difracción de la luz en un ángulo r, que satisface la expresión:
λ=
2π
sen r senθ
q
(28)
25
Donde λ es la longitud de onda del láser. Utilizando la aproximación para
ángulos muy pequeños, podemos decir que:
q=
2π
λ
rθ
(29)
Que usando la aproximación para ángulos pequeños podemos obtener de
nuevo la segunda ecuación. De la imagen del montaje podemos ver que:
⎛ Δx ⎞
r ≈ tan −1 ⎜ ⎟
⎝ L ⎠
(30)
Donde Δx es la distancia entre los puntos de interferencia adyacentes. El
punto óptimo para apuntar el láser es cerca del centro de la perturbación, como
se muestra en la figura 2.14. [12]
Figura 2.14 Diagrama del haz incidiendo en la muestra
Con todas las consideraciones y expresiones anteriores es posible montar
el experimento si se tiene la disposición de los equipos mencionados. De
acuerdo a las posibilidades en el montaje se deberá de analizar los ajustes
necesarios a la técnica buscando optimizar la precisión del resultado y
reduciendo las fuentes de error.
26