La belleza de la matemática.

LA BELLEZA
DE LA MATEMATICA
LA BELLEZA DE LA MATEMATICA
Indefinible. En ocasiones, innalizables. Persuasiva y subyugante. Según Platón, puede cambiar o
desaparecer o, simplemente, ser patentes a unos y no a otros. Musa inspiradora de sentimientos
sublimes y desinteresados, se encarna, se transfigura, ejerce un dominio, pero, en realidad, liberta
a su diáfana dimensión puede trascender de lo efímero a lo imperecedero. Para Heidegger es la
forma de brillar la verdad y para Kant es finalidad sin fin. Mas, sería ambicioso, si no imposible,
delimitar en este breve espacio lo que se ha dicho sobre la belleza. Particularmente acerca de sus
dominios, los cuales no son sólo las artes y la naturaleza en todas sus expresiones. Ella se filtra
hasta en aquellos impenetrables y, para muchos, fríos edificios de las ciencias. Y de esto no
escapa la matemática, que es reina y servidora de todas ellas.
Sin intención de polemizar y dar pie a la exposición, aseguramos que existe belleza en la
matemática. Y aún cuando no se ha establecido una estética propia de esta ciencia, se han
realizado algunos intentos por clasificar dicha belleza. Una de tales clasificaciones es la realizada
por Francois Le Lionnasis, quien toma en consideración que las obras de arte pueden dividirse
según dos grandes rótulos: el del Clasicismo, pletórico de elegancia, orden y sobriedad, y el del
Romanticismo, irrigado por sorprendentes corrientes que tienden al paroxismo. A continuación,
se ofrecerá una serie de hechos matemáticos enmarcados en uno u otro marbete. Necesario es
advertir que esta división es solo un medio para discurrir sobre la belleza de la matemática y de
ninguna manera es una delimitación absoluta. Es factible que en algunos ejemplos coexistan las
dos formas estéticas, más sobresalga una de ellas.
La concepción clásica de la belleza se basa en los puntos de vista que sobre ella emitió
Aristóteles (consiste principalmente en grandeza, integridad y orden), reiterados por San Agustín
(es esplendor del orden) y Tomás de Aquino (consiste en integridad, proporción y claridad). Así,
diremos que un hecho matemático cautiva por su clásica belleza cuando nos muestra un poder
unificador y nos sorprende con un perfecto orden allí donde esperábamos encontrar un natural
desorden.
Aún para un profano no es desconocido que tres puntos cualesquiera pueden estar no alineados y
que tres rectas cualesquiera en un plano pueden no concurrir en un mismo punto. Sin embargo,
en todo triángulo, las rectas que contienen á las medianas concurren en un punto llamado
baricentro, mientras que las rectas que contienen a las alturas lo hacen en el orto centro y las
mediatrices en el circuncentro. Y para coronar esta majestuosa manifestación de clásico orden,
estos puntos, donde confluyen tan variados ríos geométricos, están exactamente en una recta, de
forma tal que siempre el baricentro está en el circuncentro y el ortocentro y a una distancia de
este último que es el doble de laque lo separa del primero.
Pero no es éste el único caso del maravilloso orden que se encuentra en esa modesta rama de la
matemática como lo es la geometría euclideana. Sabido es que, dados tres puntos cualesquiera no
alineados, es posible construir una única circunferencia que pase por ellos (basta determinar el
circucentro del triángulo cuyos vértices sean los puntos dados). Más, si se toman cuatro puntos
cualesquiera, sería realmente cabalístico lograr encontrar una única circunferencia que los
contenga a todos, creciendo la improbabilidad conforme aumente el número de puntos. Sin
embargo, en un triángulo cualquiera, los puntos medios de los tres lados, los pies de las tres
alturas y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices, pertenecen
a una misma circunferencia, llamada de los nueve puntos o Círculo de Euler en honor a quien
tuvo la dicha de descubrir esa circular constelación en el cielo de la geometría. Y aún, más, el
centro del Círculo de Euler es el punto medio del segmento cuyos extremos son el ortocentro y el
circucentro del triángulo. Y a propósito de esto, haré un comentario personal: en mi memoria y
en mi corazón siempre perdurará ese sentimiento de recogimiento espiritual yuxtapuesto al
agradecimiento por haber sido favorecida con la revelación de un divino misterio cuando la tarde
de un sábado me entretenía trazando triángulos de distintas clases, marcando baricentros,
circuncentros y ortocentros y descubrí la inconmovible disposición de estos puntos. Tras breves
instantes, me asaltó una crisis de fe a la sombra de que todo fuese producto de construcciones
particulares. Mi incredulidad me hizo recurrir al arma de la geometría analítica y en un cielo de
coordenadas rectangulares, al despejarse las incógnitas, el milagro cobró universalidad, tomando
la categoría de ley divina y entonces la bendición fue total. Quizás, estos resultados tan sencillos
yacen cuales frías tumbas como teoremas en algún texto. Lo maravilloso fue descubrir esa
belleza sin que nadie me lo hubiese dicho. Es por ello, que nunca les revelo a los estudiantes de
geometría a mi cargo estas maravillas; aprovisionados con regla y compás y mapas algorítmicos
para hallar cada uno de estos puntos mágicos, les guío para emprender la búsqueda y he vivido la
dicha de redescubrir con ellos el tesoro de la ornamentación de la geometría del triángulo.
Sin embargo, no sólo en geometría se halla la clásica belleza matemática. Otro paradigma de
poder unificador lo representa la llamada Fórmula Más Hermosa de la Matemática:
que es un armonioso y solidario concierto ejecutado por los números más importantes: el 1
(principio de todos los números), el 2 (el único número natural par y primo), π (relación entre la
longitud de una circunferencia y su diámetro), i (la unidad imaginaria, la misteriosa y
(base de los logaritmos neperianos).
Pero, no sólo existe esa integración esplendorosa de orden entre números para conjurar fórmulas
y entre puntos para engendrar figuras. La monumental conexión entre dos ramas de la
matemática como el álgebra y la geometría conforma la geometría analítica, esa hermosa
traductora que nos comunica que toda ecuación se asocia a una curva y viceversa.
Contrastando con la belleza clásica, existe otro tipo de belleza que ha sido denominada
romántica y en cuyas aras se aviva el fuego en honor a las emociones, al inconformismo y, a
veces, a lo extravagante. Iniciemos este conjunto de ejemplos con un descubrimiento que mantuvo a toda una época con la expectativa de desentrañar arcanos sacrílegos: la asíntota.
Imaginemos las disonancias cognoscitivas de los primeros que la hallaron en su camino. Escribió
Montaigne que Jacques Peletier le comunicó que había encontrado dos líneas que van una al
encuentro de la otra para interceptarse y él mismo pudo verificar que nunca llegan a tocarse.
Una de las ramas más complejas de la matemática, la topología, en su génesis llamada analysis
situs, es rico manantial de hecho que nos juegan escaramuzas, nos hacen ver espejismos y nos
engañan con lo aparentemente obvio. Tomemos una tira de papel y peguemos sus extremos para
formar un anillo, habiendo hecho girar previamente uno de los extremos de la tira. Obtendremos,
así, la llamada Cinta de Móbius (Augusto Ferdinand Móbius fue un matemático alemán cuya
vida estuvo comprendida entre 1.790 y 1.868 y que estudió las superficies de este tipo). Si ahora
cortamos esta cinta a lo largo de su eje, ¿qué cree, estimado lector, que obtendremos?. ¿Dos
cintas?. ¡No!, en lugar de obtener dos cintas; tendremos una sola tira, más angosta que la
original, por supuesto. Pero aún hay más, si se repite la misma operación con este anillo, ¿qué se
obtiene?. Me reservo la respuesta, para que la curiosidad espolee al lector a realizar la
experiencia.
Durante casi dos milenios, le geometría euclidiana se mantenía como la única geometría y se
estudiaba prácticamente como Euclides la postuló. La grieta abierta por el postulado de las
paralelas fue, durante muchos años, el escándalo de la geometría y la desesperación de los
geómetras, como llegó a decir D'Alembert. Pareció un intolerable golpe de estado cuando el
postulado en cuestión fue reemplazado por el de Lobachevski-Bolya¡ o el de Riemann, tomando
el poder de la atención las llamadas geometrías no euclidianas, sin las cuales no habría podido
desarrollarse la teoría de la relatividad.
Quizás, para algunos será sorprendente la aparición del número π en el cálculo de probabilidades.
Consideremos la experiencia denominada de la aguja de Buffon. Tracemos sobre un plano, rectas
paralelas equidistantes. Si lanzamos al azar una aguja cuya longitud sea igual a la distancia entre
dos rectas paralelas consecutivas, y contamos el número de veces que la aguja cae entre dos
rectas sin tocarlas y el número de veces que cae interceptando a una recta, hallaremos que el
cociente entre estos dos números es tanto más cercano a π cuanto mayor sea el número de
experiencias realizadas. Si se reflexiona un poco, se llega a comprender que la construcción de la
experiencia introduce circunferencias y su diámetro, cuyas longitudes tienen por razón a π.
Para finalizar esta serie de ejemplos de la belleza romántica de la matemática, citaremos un
hecho en el que la creatividad y el inconformismo alcanzaron altos grados. Riemann y
Weierstrass dieron a conocer la existencia de funciones continuas sin derivadas y un grupo de
matemáticos se negaban a darles la bienvenida. Es más, Charles Hermitte exclamó: "me aparto
con espanto y horror de esta lamentable plaga de las funciones continuas que no tienen
derivada". ¿Sería la reacción de un amante de la belleza clásica de la matemática ante el hecho de
que ésta también puede sorprender con alguna extravagancia?.
Independientemente de cuál sea el tipo de belleza con el que nos cautiva un determinado hecho
matemático, existe una razón por la que la ciencia de las ciencias ejerce una poderosa atracción:
involucra el sentimiento y el pensamiento de quien disfruta de su belleza. Esto lo resumió en una
frase el notable matemático Bertrand Russell al expresar:
"La matemática, cuando se la comprende bien, posee no solamente la verdad, sino también la
suprema belleza".
BIBLIOGRAFIA
BEARDSLEY, Monroe. Estética: Historia y Fundamentos. Madrid, 1984.
CHARLTON, W. Introducción a la estética. Buenos Aires. Edit. Eudeba, 1976.
LE LIONNAIS, Francois. Las grandes corrientes del pensamiento matemático. Buenos Aires.
Edit. Eudeba, 1962.