TEORIA DE CONJUNTOS Definiciones: 1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Ejemplos: { 1, 3, 7, 10} {xx2 -3x –2= 0} { Inglaterra, Francia, Dinamarca} 2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B. Notación: AB x A xB Ejemplo: El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D. 3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal. Notación: U Ejemplo: A = {1,3,5} B = {2,4,6,8} U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto. Notación: = { x / x x } Ejemplo: B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío. 6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal. Ejemplo: AB U B A 7.-Conjuntos Finitos o Infinitos: no factibles de contar. Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o Ejemplo: M= {a,e,i,o,u}, M es finito. N={1,3,5,7...}, N es infinito. 8.- Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes. Gráficamente: U A B Ejemplo: A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos. OPERACIONES CON CONJUNTOS 1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B. Notación: AB= {x/xA xB} Gráficamente: U A b U A B U B A Ejemplo A={3,4,5,8,9} B={5,7,8,9,10} AB={3,4,5,7,8,9,10} 2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos son comunes a A y B. Notación: A B= {x / x A x B} Gráficamente: A U A U )B AA ) AA ) A B U B A Ejemplo: A={7,8,9,10,11,12} B={5,6,9,11,13,14} A B={9, 11} 3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A y que están en el universo. Notación: Ac = {x / x U x A} Ac = U - A Gráficamente: Ac U A Ejemplo: U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7} Ac= {1,2,5,8,9,10} 4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B. Notación: A - B ={x / x A x B} Gráficamente: U A B U A B U A B Ejemplo: C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q} C - D = {x, y, u} LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO 1.- Asociatividad: C C) (AC = AC) 2.- Conmutatividad: AB = BA 3.- Distributividad: ACC) AC) = (C) 7.-Complemento: AcU Ac = U’= , ’ = U (Ac)c = A 8.- Ley de Morgan: (AB)c = Acc (Ac = Acc A – B = Ac OPERACIONES CON CONJUNTOS En aritmética se suma, resta y multiplica, es decir, a cada par de números x e y se le asigna un número x + y llamado suma de x e y, un número x - y llamado diferencia de x e y y un número xy llamado producto de x e y. Estas asignaciones se llaman operaciones de adición, sustracción y multiplicación de números. En este capítulo se van a definir las operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, es decir, se van a asignar o a hacer corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos A y B. En un capítulo posterior se vera que estas operaciones entre conjuntos se comportan de manera un tanto semejante a la de las anteriores operaciones con números. UNIÓN La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por AUB que se lee «A unión B». Ejemplo 1-1: En el diagrama de Venn de la Figura 2-1, A B aparece rayado, o sea el área de A y el área de B A B A B A B lo rayado Fig. 2-1 Ejemplo 1-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S T = {a, b, c, d, f, g} Ejemplo 1-3: Sean P el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de los números reales negativos. P Q, unión de P y Q, consiste en todos los números reales exceptuado el cero. La unión A y B se puede definir también concisamente así: A B = {x | x A o x B} Observación 2-1: Se sigue inmediatamente de la definición de la unión conjuntos que A B y B A son el mismo conjunto, esto es: de dos AB=BA Observación 2-2: A y B son ambos subconjuntos de A B es decir, que: A (A B) y B (A B) En algunos libros la unión de A y B se denota por A + B y se la llama suma conjuntista de A y B o simplemente A más B LA INTERSECCIÓN La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por AB que se lee «A intersección B». Ejemplo 2-1: En el diagrama de Venn de la Fig. 2-2 se ha rayado A B, el área común a ambos conjuntos A y B. A B A B lo rayado Fig. 2-2 Ejemplo 2-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S T = {b, d} Ejemplo 2-3: Sea V = {2, 4, 6,. . .}, es decir, los múltiplos de 2; y sea W = {3, 6, 9, . . .}, o sean los múltiplos de 3. Entonces V W = {6, 12, 18,...} La intersección de A y B también se puede definir concisamente así: A B = {x | x A, x B} Aquí la coma tiene el significado de «y». Observación 2-3: Se sigue inmediatamente de la definición de intersección de dos conjuntos que AB=BA Observación 2-4: Cada uno de los conjuntos A y B contiene al A B como subconjunto, es decir, (A B) A y (A B) B Observación 2-5: Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si A y B son disjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto vacío, o sea A B = . En algunos libros, sobre todo de probabilidades, la intersección de A y B se denota por AB y se llama producto conjuntista de A y B o simplemente A por B. DIFERENCIA La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A. pero no a B. Se denota la diferencia de A y B por A-B que se lee «A diferencia B» o simplemente «A menos B». Ejemplo 3-1: En el diagrama de Venn de la Fig. 2-3 se ha rayado A – B, el área no es parte de B. A B A – B lo rayado Fig. 2-3 Ejemplo 3-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Se tiene: S – T = {a, c} Ejemplo 3-3: Sean R el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los números racionales. Entonces R – Q es el conjunto de los números irracionales. La diferencia de A y B se pueden también definir concisamente como A – B = {x | x A, x B} Observación 2-6: El conjunto A contiene al A – B como subconjunto, esto es: (A - B) A Observación 2-7: Los conjuntos (A - B), A B y (B - A) son mutuamente, esto es decir, la intersección de dos cualesquiera es vacía. La diferencia de A y B se denota a veces por A/B o bien por A B. COMPLEMENTO El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del A. se denota el complemento de A por A' Ejemplo 4-1: En el diagrama de Venn de la fig. 2-4 se ha rayado el complemento de A, o sea el área exterior a A. Se supone que el conjunto universal U es el área del rectángulo. A B A' lo rayado Fig. 2-4 Ejemplo 4-2: Siguiendo que el conjunto universal U sea el alfabeto, dado T = {a, b, c}, entonces T = {d, e, f,….y, z} Ejemplo 4-3: Sea E = {2, 4, 6,….}, o sea los números pares. Entonces E’ = {1, 3, 5,….}, que son los impares. Aquí se supone que el conjunto universal es el de los números naturales, 1, 2, 3,…. También se puede definir el complemento de A concisamente así: o simplemente: A' = {x|x U, x A} A' = {x|x A} Lo que se establece en seguida resulta directamente de la definición del complemento de un conjunto. Observación 2-8: La unión de cualquier conjunto A y su complemento A’ es el conjunto universal, o sea que A A' = U Por otra parte, el conjunto A y su complemento A' son disjuntos, es decir. A A' = Observación 2-9: EL complemento del conjunto universal U es el conjunto vacío , y viceversa, o sea que: U' = y ' = U Observación 2-10: El complemento del complemento de un conjunto A es el conjunto A mismo. Más breve: (A') = A La siguiente observación muestra cómo la diferencia de dos conjuntos podría ser definida por el complemento de un conjunto y la intersección de dos conjuntos. En efecto, se tiene la siguiente relación fundamental: Observación 2-11: La diferencia de A y B es igual a la intersección de A y el complemento de B. o sea: A - B = A B' La demostración de la Observación 2-11 se sigue inmediatamente de las definiciones: A - B = [x|x A, x B} = {x [x A, x B'} = A B' PROBLEMAS RESUELTOS UNIÓN 1. En los diagramas de Venn que siguen, rayar A unión B, o sea A B: A B B (a) B A A B A (b) (c) (d) Solución: La unión de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se rayan entonces las áreas de A y de B como sigue: B (a) A (b) B A (c) A B (d) A B lo rayado 2. Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A B, (b) A C (c) B C, (d) B B. Solución: Para formar la unión de A y B se reúnen todos los elementos de A con todos los elementos de B. De modo que De igual manera. A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} A C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B C = {2, 4, 6, 8, 3, 5} B B = {2, 4, 6, 8} Nótese que B B es precisamente B. 3. Sean A, B y C los conjuntos del Problema 2. Hallar (1) (A B) C, (2) A (B C). Solución: (1) Se determina primero A B = {1,2, 3, 4, 6, 8}. Entonces la unión de A U B y C es (A B) C = {1, 2, 3, 4. 6, 8,5} (2) Se determina primero B C = {2, 4, 6, 8, 3, 5}. Entonces la unión de A y B C es A (B C) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 5} Nótese que (A B) C = A (B C). 4. Sean el conjunto X = (Tomás, Ricardo, Enrique}, el conjunto Y = {Tomás, Marcos, Emilio} y Z = Marcos, Emilio, Eduardo}. Hallar (a) X Y, (b) Y Z, (c) X Z. Solución: Para hallar X Y se hace la lista de los nombres de X con los nombres de Y; así A Y = {Tomás, Ricardo, Enrique, Marcos, Emilio} Del mismo modo Y Z = {Tomás, Marcos, Emilio, Eduardo} X Z = {Tomás, Ricardo, Enrique. Marcos, Emilio, Eduardo} INTERSECCIÓN 5. En los diagramas de Venn del Problema 1, rayar la intersección de A y B, esto es, de A B. Solución: La intersección de A y B consiste en el área que es común tanto a A como a B. Para encontrar A B, se raya primero A con trazos oblicuos hacia la derecha (////) y luego se raya B con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\) como se ve en la figura: B B (a) A A A (b) (c) B (d) Entonces A B es el área que tiene los dos rayados. El resultado final, que es A B, se raya ahora con líneas horizontales, como sigue: B A (a) (b) B A (c) A B (d) A B lo rayado Nótese que A B es vacía en (c) en que A y B son disjuntos. 6. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A B, (b) A C, (c) B C, (d) B B. Solución: Para formar la intersección de A y B se inscriben todos los elementos comunes a A y B; así A B = (2, 4}. De igual manera, A C = {3, 4}, B C = {4, 6} y B B = {2, 4, 6, 8}. Nótese que B B es efectivamente B. 7. Sean A, B y C los conjuntos del Problema 12. Hallar (a) (A B) C, C). (b) A (B Solución: (a) A B = (2, 4). Así que la intersección de {2, 4} con C es (A B) C = {4}. (b) B C = {4, 6}. La intersección de este conjunto con el A es {4}, esto es, A (B C) = {4}. Nótese que (A B) C = A (B C). 8. DIFERENCIA 9. Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) (A - B), A), (c) (B - C), (d) (B - A), (e) (B - B). (b) (C - Solución: (a) El conjunto A - B consiste en los elementos de A que no están en B. Como A = {l, 2, 3, 4} y 2, 4 B, entonces A - B = {1, 3}. (b) Los únicos elementos de C que no están en A son 5 y 6; por tanto, C - A = {5, 6}. (c) B - C = {2, 8}. (d) B – A = {6, 8}. (e) B–B= 10. En los diagramas de Venn del problema 1, rayar A menos B, o sea A – B. Solución. En cada caso el conjunto A – B consiste en los elementos de A que no están en B, es decir, el área en A que no está en B. B (a) A A (b) (c) A - B lo rayado COMPLEMENTO B B B (d) 11. Sean U = {1, 2, 3,..., 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}. B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A', (b) B', (c) (A C) ', (d) (A B) ', (e) (A')v, (f) (B - C)'. Solución: (a) El conjunto A' consiste en los elementos que están en U pero no en A. Por tanto, A' = {5. 6, 7, 8,}. (b) El conjunto de los elementos de U que no están en B es B'= {1,3, 5, 7, 9} (c) (A C) = {3, 4} y entonces (A C)' = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9). (d) (A B) = {1, 2, 3, 4, 6, 8} y entonces (A B)' = {5, 7, 9}. (e) A' = {5, 6, 7, 8, 9} y entonces (A')' = {1,2, 3, 4}, es decir, (A')' = A. (f) (B - C') = {2, 8} y entonces (B – C)' = {1. 3, 4, 5, 6, 7, 9}. 12. En el diagrama de Venn siguiente, rayar (a) B', (b) (A B)', (c) (B – A)', (d) A' B' A B Solución: (a) Como B', complemento de B, consta de los elementos que no están en B, se raya el área exterior a B. A B B' lo rayado (b) Primero se raya el área A B: luego, (A B)' es el área exterior a (A B). A U B lo rayado (c) (A B)' lo rayado Primero se raya B - A; y así (B - A)' es el área exterior a B – A A B B - A lo rayado (B - A)' lo rayado (d) Primero se raya A', el área exterior a A, con trazos oblicuos inclinados a la derecha (////) y se raya B' con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\), entonces A’ B’ resulta ser el área con doble rayado. A' y B' con doble rayado A' B' lo rayado Nótese que el área de (A U B)' es la misma que la de A' B'. 13. Demostrar el Teorema de De Morgan: (A B)' = A' B'. Solución: Sea x (A B)'; así, pues, x no pertenece a A B. Por tanto, x A y x B, es decir, x A' y x B y, por la definición de intersección, x pertenece a A' B'. Se ha demostrado que x (A B)' implica x (A' B'), es decir, que (A B)' (A' B') Sea ahora y A’ B'; entonces y pertenece a A' e y pertenece a B'. Así que y A e y B y, por tanto. y A B. o sea que y (A B)'. Queda demostrado que y , (A' B') implica y (A B)’, es decir, que (A' B') (A B)'. Por consiguiente, por la Definición 1-1, (A' B') = (A B)'. PROBLEMAS DIVERSOS 14. Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Hallar (a) A B, (b) B A, (c) B', (d) B – A, (e) A' B, (f) A B', (g) A' B', (h) B' - A', (i) (A B'), (j) (A B'). Solución: (a) La unión de A y B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir, A B = {a, b, d, e}. (b) (c) La intersección de A y B consta de los elementos que son comunes a A y B, es decir, A B = {b, d}. El complemento de B consta de las letras que están en U pero no en B; así que B' = {a, c}. (d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, esto es, B A = {e}. (e) A' = {c, e} y B= {b, d, e}; así que A' B = {e} (f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; así que A B' = {a, b, c, d}. (g) A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A' B' = {c}. (h) B' - A' = {a}. (i) Según (b), A B = (b, d}; luego (A B)' = {a,c,e}. (j) Según (a), A B = {a, b, d, e}; luego (A B) ‘ = {c}. 15. En el diagrama de Venn que sigue, rayar (1) A (B C), (2) (A B) (A C), (3) A (B C), (4) (A B) (A C). A B C Solución: (1) Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha y rayar B C con trazos inclinados a la izquierda; entonces A (B C) es el área con doble rayado. A y B C aparecen rayados A (B C) lo rayado (2) Primero rayar A B con trazos inclinados a la derecha y A C con trazos inclinados a la izquierda; entonces (A B) (A C) resulta ser el área total rayada como se muestra enseguida. A B y A C lo rayado (A B) (A B) lo rayado Nótese que A (B C) = (A B) (A C). (3) Primero se raya, A con trazos inclinados a la derecha y se raya B C con trazos inclinados a la izquierda: así resulta ser A (B C) el área total rayada. A y B C lo rayado (1) A (B C) lo rayado Primero se raya A B con trazos inclinados a la derecha y se raya A C con trazos inclinados a la izquierda; (A B) (A C) es el área con doble rayado. A B y A C lo rayado (A B) (A C) lo rayado. Nótese que A (B C) = (A B) (A C). 16. Demostrar: B- A es un subconjunto de A’. Solución: Sea x perteneciente a B- A. Entonces x B y x A: por tanto, x es elemento de A’. Como x B - A implica x A’. B - A es subconjunto de A’. 17. Demostrar: B - A’ = B A. Solución: B - A’ = {x | x B, x A’} = { x|x B, x A} = B A. PROBLEMAS PROPUESTOS 18. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e ,f , g}. Hallar: (1) A C (3) C – B (5) A' – B (7) (A – C)' (9) (A - B')' (2) B A (4) B' (6) B' C (8) C' A (10) (A A')' 19. Demostrar: Si A B = , entonces A B'. 20. En los diagramas de Venn que siguen, rayar (1) V W, (2) W', (3) W - V (4) V' W, (5) V W’, (6) V’ - W’. V W V W (a) (b) 21. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y C tengan las siguientes características: (1) A B, C B, A C = (3) A C, A C, B C = (2) A B, C B, A C (4) A (B C), B C, C B, A C 22. Determinar: (1) U A(3) ' (2) A A (4) A (5) A' A (6) U’ (7) U A (8) A' A (9) A A (10) A. 23. Completar las siguientes afirmaciones insertando , o no (no comparables) entre cada par de conjuntos. Aquí A y B son conjuntos arbitrarios. (1) A....A - B (3) A'....B - A (5) A'....A - B (2) A....A B; (4) A.... A B (6) A....B - A 24. La fórmula A - B = A B' puede definir la diferencia de dos conjuntos mediante las solas operaciones de intersección y complemento. Encontrar una fórmula que defina la unión de dos conjuntos, A B, mediante estas dos operaciones de intersección y complemento. 25. Demostrar: A - B es un subconjunto de A B. 26. Demostrar el Teorema 2-1: A B implica A B = A. 27. Demostrar: Si A B = , entonces B A' = B. 28. Demostrar el Teorema 2-2: A B implica A B = B. 29. Demostrar: A' - B' = B - A. 30. Demostrar el Teorema 2-3: A B implica B' A'. 31. Demostrar: Si A B = , entonces A B' = B'. 32. Demostrar: (A B)' = A' B'. 33. Demostrar el Teorema 2-4: A B implica A (B - A) = B. RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 31. (1) U (2){a, c, e} (3) {b, f} (5) {f} (7) C = {b, e, f, g} (9) {b, d, f, g} (4) {b, d, f} (6) {b, d, f, e, g} (8) {a, c, d} (10) U 32. Demostración: Sea x A. Como A y B son disjuntos, x B; luego x pertenece a B’. Queda demostrado que x A implica x B’, es decir, que A B’. 33. (a) (1) V W lo rayado V W’ lo rayado (3) W – V lo rayado (2) V (4) W W' lo rayado (b) W V W lo rayado (2) V (6) W V' W lo rayado V' - W' lo rayado (3) V (5) V W W - V lo rayado W (1) V W V W' lo rayado (4) W' lo rayado 34. V (1) V (5) (6) V W V' W lo rayado W V' - W' lo rayado (3) B A C A B C (2) (4) A A B C A B 35. (1) A 36. (1) (2) A (2) (3) U (4) A (3) (4) (5) (6) (5) ne (7) U (8) U (9) A (10) (6) ne 37. A B = (A' B') '. EJERCICIOS RESUELTOS Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por alguna radio F.M. de la región, señaló que: 277 preferían Carolina 233 preferían Manquehue 405 preferían Tiempo 165 preferían Manquehue y Tiempo 120 preferían Manquehue y Carolina 190 preferían Carolina y Tiempo 105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas Determine: a) ¿Cuántos jóvenes fueron encuestados? b) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina? c) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo? Solo C= 277-120+105-190+105-105 Solo M= 233-120+105-105-165+105 Solo C= 72 jóvenes Solo M= 53 jóvenes Solo C y M= 120-105= 15 Jóvenes Solo M y T= 165-105= 60 jóvenes Solo C y T= 190-105= 85 jóvenes Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545 jóveses a) Fueron encuestados 545 jóvenes b) Sólo Carolina prefieren 72 jóvenes c) Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicios 1.- Una encuesta realizada a 2000 hombres reveló distintos tipos de mujeres: lo siguiente respecto a sus gustos por 800 preferían las rubias; 950 preferían las morenas; 750 preferían las colorinas; 150 preferían las rubias y morenas; 300 preferían las morenas y colorinas 250 preferían las rubias y colorinas 200 Sólo morenas y colorinas Determine el número de hombres que : a) Preferían los tres tipos de mujeres encuestados. b) No preferían estos tipos de mujeres. 2.- En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último nueve a las fiestas y el vino. Determinar: a) El número de personas que es aficionada al vino solamente. b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente 3.- En una encuesta realizada a 320 alumnos de Ingeniería Comercial de la Universidad de Valparaíso, se descubrió que estos prefieren tres lugares para sus “carretes” de fin de semana: 95 prefieren ir al “Kamikaze”; 90 prefieren ir al “Playa”; 120 prefieren ir al “Bar de los Cuatro Vientos”; 30 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Playa” 10 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Bar de los Cuatro Vientos” 40 prefieren ir al “Playa” solamente 60 prefieren ir al “Kamikaze” solamente Determine el número de estudiantes que prefieren: a) Sólo ir al “Bar de los Cuatro Vientos” b) Ir a los tres lugares c) No salir y quedarse estudiando el fin de semana