1 Demuestra matemáticamente el principio de conservación de la

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Demuestra matemáticamente el principio de conservación de la energía mecánica.
Solución:
Supongamos un objeto de masa m que cae al vacío desde una altura h. Calculando su Ec y su Ep en dos puntos, 1
y 2, distintos del recorrido, y despreciando el rozamiento:
v 1 = 2 ⋅ g ⋅ (h − h1 )

1

2
Ec 1 = ⋅ m ⋅ v 1 ⇒ Ec 1 = m ⋅ g ⋅ (h − h1 )
2

Ep1 = m ⋅ g ⋅ h1

En el punto 1:
v 2 = 2 ⋅ g ⋅ (h − h 2 )

1

2
Ec 2 = ⋅ m ⋅ v 2 ⇒ Ec 2 = m ⋅ g ⋅ (h − h 2 )
2

Ep 1 = m ⋅ g ⋅ h 2

En el punto 2:
∆Ec = Ec 2 − Ec1 = m ⋅ g ⋅ (h1 − h2 )
 ⇒ ∆Ec = − ∆Ep ⇒ ∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ Ec1 + Ep1 = Ec 2 + Ep2
∆Ep = Ep 2 − Ep1 = m ⋅ g ⋅ (h2 − h1 )
2
¿Se conserva la energía mecánica al soltar un objeto, en contacto con un muelle que se encuentra
comprimido, sin que exista rozamiento alguno?
Solución:
Sí. Cuando el muelle se suelta recupera su posición aumentando su velocidad y, por tanto, su energía cinética y la
del objeto en contacto suyo, a medida que se pierde energía potencial elástica. Si no hay rozamiento, en cualquier
punto del recorrido la suma de la energía cinética más la energía potencial tiene el mismo valor.
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¿Qué tipo de fuerzas hacen que la energía mecánica se mantenga constante?
Solución:
Las fuerzas conservativas, como el peso o la fuerza elástica.
4
Pon algún ejemplo de disipación de energía mecánica.
Solución:
Una pelota de goma va perdiendo energía potencial (altura) y cinética (velocidad), en los sucesivos botes, a causa
del rozamiento.
Un cuerpo que desciende por un plano ligeramente inclinado puede acabar por detenerse a causa del rozamiento.
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Pon algún ejemplo en el que se conserve la energía mecánica, y explícalo.
Solución:
En la caída libre. Cuando un objeto pierde altura, pierde energía potencial, pero gana velocidad y, por tanto,
energía cinética. En cualquier punto del recorrido, la suma de la energía cinética más la energía potencial tiene el
mismo valor.
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Un objeto de masa m cae desde una altura de 25 m. Calcular la velocidad con la que llega al suelo
aplicando el teorema de conservación de la energía mecánica y demostrar que dicha velocidad no depende
de la masa.
Solución:
∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ Ec f − Ec 0 = ∆Ep ⇒
v0 = 0 ⇒
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1
1
⋅ m ⋅ v 2f − ⋅ m ⋅ v 20 = m ⋅ g ⋅ ∆h
2
2
1
⋅ m ⋅ v 2f − 0 = m ⋅ g ⋅ ∆h ⇒ v f = 2 ⋅ g ⋅ ∆h ⇒ v f = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 25 = 22,13 m/s
2
Demuestra que la velocidad con la que un objeto llega al suelo, no depende de la masa que tenga.
Solución:
Supongamos un objeto de masa m que cae al vacío desde una altura h, sin rozamiento.
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1
∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ Ec f − Ec 0 = ∆Ep ⇒ ⋅ m ⋅ v 2f − ⋅ m ⋅ v 02 = m ⋅ g ⋅ ∆h
2
2
1
2
v 0 = 0 ⇒ ⋅ m ⋅ v f − 0 = m ⋅ g ⋅ ∆h ⇒ v f = 2 ⋅ g ⋅ ∆h
2
con lo que queda demostrado que el valor de la velocidad es independiente del valor de la masa.
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Un objeto de 4 kg cae desde una altura de 22 m. Calcular:
a) A qué altura sobre el suelo se igualan su Ec y su Ep.
b) La velocidad en ese punto.
c) La velocidad en el instante de tocar el suelo.
Solución:
a) ∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ (Ec f − Ec 0 ) + (Ep f − Ep0 ) = 0
Ec f = Ep f = m ⋅ g ⋅ hf ⇒ (m ⋅ g ⋅ h f − 0 ) + (m ⋅ g ⋅ hf - m ⋅ g ⋅ h0 ) = 0
2 ⋅ m ⋅ g ⋅ h f = m ⋅ g ⋅ h0 ⇒ h f =
h0 22
=
= 11 m
2
2
1
⋅ m ⋅ v 2 = m ⋅ g ⋅ h ⇒ v = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 11 = 14,68 m/s
2
1
2
= Eparriba ⇒ ⋅ m ⋅ v abajo
= m ⋅ g ⋅ harriba ⇒ v abajo = 2 ⋅ g ⋅ harriba = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 22 = 20,76 m/s
2
b) Ec = Ep ⇒
c) Ec abajo
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¿De qué manera el rozamiento produce una disipación de la energía mecánica?
Solución:
El rozamiento se opone siempre al movimiento y produce, por tanto, un trabajo negativo, lo que provoca una
pérdida de energía mecánica.
∆Ec + ∆Ep = TFr
10 Un objeto de masa 2 kg cae al vacío desde una altura de h. Calcula la variación de energía mecánica entre
dos puntos situados a 15 y 10 m de altura:
a) Si no hay rozamiento.
b) Si hay un rozamiento que produce un trabajo de 3 J
Solución:
a) Si no hay rozamiento:
v1 = 2 ⋅ g ⋅ (h − h1 )

1

h = 15 m : Ec1 = ⋅ m ⋅ v12 ⇒ Ec1 = m ⋅ g ⋅ (h − h1 )
2

Ep1 = m ⋅ g ⋅ h1 = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 15 = 294 J

v 2 = 2 ⋅ g ⋅ (h − h2 )

1

h = 10 m : Ec 2 = ⋅ m ⋅ v 22 ⇒ Ec 2 = m ⋅ g ⋅ (h − h2 )
2

Ep 2 = m ⋅ g ⋅ h2 = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 10 = 196 J

∆Ec = Ec 2 − Ec 1 = m ⋅ g ⋅ (h1 − h 2 ) = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 5 = 98 J

∆Ep = Ep 2 − Ep1 = 196 − 294 = −98 J

∆Em = ∆Ec + ∆Ep = 98 − 98 = 0 ⇒ E m = cte
b) Si hay rozamiento:
∆Em = ∆Ec + ∆Ep = TFr = 3 J ⇒
No se conserva la energía mecánica.
11 Dos pesas de 5 y 7 kg penden de los extremos de una cuerda que pasa por la garganta de una polea,
ambas de masa despreciable. Si inicialmente las dos pesas se encuentran en reposo y a la misma altura,
calcular, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, la velocidad del sistema cuando,
una vez dejado en libertad, las pesas estén separadas una distancia vertical de 1,6 m.
Solución:
∆Ec + ∆Ep = 0
1
1
2
2
 2 ⋅ (m1 + m2 ) ⋅ v f − 2 ⋅ (m1 + m2 ) ⋅ v 0  + (m1 ⋅ g ⋅ ∆h - m1 ⋅ g ⋅ ∆h ) = 0


1
⋅ (5 + 7 ) ⋅ v 2f − 0 + 5 ⋅ 9,8 ⋅ 0,8 − 7 ⋅ 9,8 ⋅ 0,8 = 0 ⇒ 6 ⋅ v 2f + 39,2 − 54,88 = 0
2
v=
54,88 − 39,2
= 1,61 m/s
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12 Se lanza una pelota hacia arriba, alcanzando los 7 m de altura. Calcular:
a) A qué altura sobre el suelo se igualan su Ec y su Ep.
b) La velocidad en ese punto.
c) La velocidad con la que se ha lanzado la pelota.
Solución:
a) Al igualarse la energía potencial y la cinética se tiene:
∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ (Ec f − Ec 0 ) + (Ep f − Ep 0 ) = 0
Ec f = Ep f = m ⋅ g ⋅ h f ⇒ (m ⋅ g ⋅ h f − 0 ) + (m ⋅ g ⋅ h f - m ⋅ g ⋅ h0 ) = 0
2 ⋅ m ⋅ g ⋅ h f = m ⋅ g ⋅ h0 ⇒ h f =
Ec = Ep ⇒
h0 7
= = 3,5 m
2
2
1
⋅ m ⋅ v 2 = m ⋅ g ⋅ h ⇒ v = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 3,5 = 8,28 m/s
2
b)
Ec abajo = Ep arriba ⇒
1
2
⋅ m ⋅ v abajo
= m ⋅ g ⋅ harriba ⇒ v abajo = 2 ⋅ g ⋅ harriba = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 7 = 11,71 m/s
2
c)
13 Una masa de 3,8 kg, inicialmente en reposo, desciende por un plano inclinado, sin rozamiento, que forma
un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular:
a) La energía cinética cuando ha descendido 34 m.
b) La energía cinética suponiendo que existe un coeficiente de rozamiento de 0,15.
Solución:
∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ (Ec f − 0 ) − m ⋅ g ⋅ h = 0 ⇒ Ec f = m ⋅ g ⋅ h = 3,8 ⋅ 9,8 ⋅ 34 ⋅ sen 60º = 1096,5 J
a)
b) Al haber rozamiento se tiene:
Fr = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α = 0,15 ⋅ 3,8 ⋅ 9,8 ⋅ cos 60º = 2,8 N
∆Ec + ∆Ep = TFr ⇒ (Ec f − 0 ) − m ⋅ g ⋅ h = Fr ⋅ ∆x ⋅ cos β
Ec f = 3,8 ⋅ 9,8 ⋅ 34 ⋅ sen 60º +2,8 ⋅ 34 ⋅ cos 180º = 1096,5 - 95,2 = 1001,3 J
14 Una masa de 350 g, inicialmente en reposo, desciende por un plano inclinado, sin rozamiento, que forma un
ángulo de 45º con la horizontal. Calcular:
a) La energía cinética cuando ha descendido 12 m.
b) La energía cinética suponiendo que existe un coeficiente de rozamiento de 0,25.
Solución:
∆Ec + ∆Ep = 0 ⇒ (Ec f − 0 ) − m ⋅ g ⋅ h = 0 ⇒ Ec f = m ⋅ g ⋅ h = 0,35 ⋅ 9,8 ⋅ 12 ⋅ sen 45º = 29,1 J
a)
b) Al haber rozamiento se tiene:
Fr = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α = 0,25 ⋅ 0,35 ⋅ 9,8 ⋅ cos 45º = 0,6 N
∆Ec + ∆Ep = TFr ⇒ (Ec f − 0 ) − m ⋅ g ⋅ h = Fr ⋅ ∆x ⋅ cos β
Ec f = 0,35 ⋅ 9,8 ⋅ 12 ⋅ sen 45º +0,6 ⋅ 12 ⋅ cos 180º = 29,1 - 7,2 = 21,9 J