MÉTODO DE TAYLOR TEOREMA DE TAYLOR DE ORDEN N Sea y(t)

UNALM-Departamento de Matemática
Profesor: Juan Dueñas B.
Curso: Métodos Numéricos II
UNALM-Departamento de Matemática
Profesor: Juan Dueñas B.
MÉTODO DE TAYLOR
Ejemplo Aplicando el método de Taylor de orden 2 con h=0.5,
calcular y(1), si y'= y - t2 , con y(0) =2
TEOREMA DE TAYLOR DE ORDEN N
Sea y(t) una función tal que sea N veces continuamente
diferenciable en el intervalo [a,b] y existe y(N+1) existe en [a, b]
Para todo tk + h ∈ [a, b] habrá un número ξ(tk) ∈[t k +h, b] tal
que:
y(tk+h)=y(tk)+y'(tk)h+y''(tk)
h
2
N!
(N + 1)!
2!
+…+ y(N)( tk)
h
El método de Taylor de orden 2:
h
2
, k = 0,1,2
2!
Luego, y ( 2 ) =
El valor numérico aproximado de la solución del problema de
valor inicial y'=f(t,y) con y(t0)=y0, en el intervalo [a,b] mediante
el método de Taylor, está basado en la aplicación del teorema
de Taylor en cada subintervalo [tk, tk+1], de manera que el
paso general del método de Taylor de orden N es:
h
Identificando: f( t, y ) =y – t2
t0=0; y0=2; tFINAL=1
(*)
A la fórmula (*) se denomina la fórmula de Taylor(ó la serie
de Taylor) de orden n.
2
Solución:
yk+1 = y k + y'k h + y ( 2k )
N
N +1
+…+y(N)(tk) h +y(N+1)(ξ(tk)) h
2!
yk+1=yk + y'( tk) h+ y''( tk )
Curso: Métodos Numéricos II
Por tanto,
dy ' d(y − t 2 ) dy
=
=
− 2t = y - t2 -2t
dt
dt
dt
2
k
2
k
yk+1 = y k + (y k – t ) h + (y k – t – 2 tk )
N!
2
2!
ITERACION 1:
2
0
h
2
0
y1 = y 0 + (y 0 – t ) h + (y 0 – t – 2 t 0 )
2
2!
N
; para k=0,1,... ,n-1
h
= 2 + (2- 02) ×0.5 + (2- 02 – 2×0 ) ×
0.52
2!
= 3.25
t1 = t0+ h=0 + 0.5= 0.5
Observación: El método de Euler, es el método de Taylor de
orden 1.
ITERACION 2:
2
1
2
1
y2 = y 1 + (y 1 – t ) h + (y 1 – t – 2 t1 )
h
2
2!
= 3.25+ (3.25- 0.52) ×0.5 + (3.25 - 0.52 -2×0.5) ×
0.52
2!
= 5
t2 = t1+ h= 0.5+0.5= 1
Por lo tanto, y(1) ≈ 5
5
6
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Profesor: Juan Dueñas B.
Curso: Métodos Numéricos II
Ejercicio
Ejercicio Aplicando el método de Taylor de orden 2 con h=1,
calcular y(5), si y'= y - t , con y(1) =3
T
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.0000
3.5000
4.0000
4.5000
5.0000
Curso: Métodos Numéricos II
Ejercicio Aplicando el método de Taylor de orden 3 con
h=0.25, calcular y(1), si y'= y - t , con y(0) =2
Calcular la aproximación a y(1) en dos iteraciones
mediante el método de Taylor de orden 3, si y'= 2- t cosy,
con y(0.5) =2
t
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
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yaprox yexacta
3.0000 3.0000
5.5000 5.7183
10.2500 11.3891
20.6250 25.0855
45.0625 60.5982
yaprox
3.0000
4.1458
5.7088
7.9582
11.3374
16.5762
24.8754
38.2115
59.8377
yexacta
3.0000
4.1487
5.7183
7.9817
11.3891
16.6825
25.0855
38.6155
60.5982
t
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.0000
3.5000
4.0000
4.5000
5.0000
t
1.0000
1.2500
1.5000
1.7500
2.0000
2.2500
....
4.0000
4.2500
4.5000
4.7500
5.0000
yaprox
3.0000
4.1250
5.6406
7.7910
10.9729
15.8310
23.4128
35.4208
54.6213
yaprox
3.0000
3.5339
4.1483
4.8662
5.7168
6.7380
.....
25.0534
30.9957
38.5537
48.1861
60.4818
yexacta
3.0000
4.1487
5.7183
7.9817
11.3891
16.6825
25.0855
38.6155
60.5982
yexacta
3.0000
3.5340
4.1487
4.8670
5.7183
6.7403
.....
25.0855
31.0403
38.6155
48.2711
60.5982
7
La solución exacta es: y(t)=1 + t + et
t
0.
0.25
0.5
0.75
1.
HL HL
y aprox
2
2.53385
3.14828
3.86615
4.71683
y exacta
2
2.53403
3.14872
3.867
4.71828
t
0.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
Tabla: método de Taylor de orden 3
t
0.
0.25
0.5
0.75
1.
HL HL
y aprox
2
2.53125
3.1416
3.8533
4.69486
y exacta
2
2.53403
3.14872
3.867
4.71828
t
0.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
HL HL
y aprox
2
2.20517
2.42139
2.64984
2.8918
3.14869
3.42208
3.7137
4.02547
4.35952
4.71818
y exacta
2
2.20517
2.4214
2.64986
2.89182
3.14872
3.42212
3.71375
4.02554
4.3596
4.71828
HL HL
y aprox
2
2.205
2.42103
2.64923
2.8909
3.14745
3.42043
3.71157
4.02279
4.35618
4.71408
y exacta
2
2.20517
2.4214
2.64986
2.89182
3.14872
3.42212
3.71375
4.02554
4.3596
4.71828
Tabla: método de Taylor de orden 2
t
0.
0.25
0.5
0.75
1.
HL HL
y aprox
2
2.53402
3.1487
3.86696
4.71821
y exacta
2
2.53403
3.14872
3.867
4.71828
t
0.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
HL HL
y aprox
2
2.20517
2.4214
2.64986
2.89182
3.14872
3.42212
3.71375
4.02554
4.3596
4.71828
y exacta
2
2.20517
2.4214
2.64986
2.89182
3.14872
3.42212
3.71375
4.02554
4.3596
4.71828
Tabla: método de Taylor de orden 4
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Valoración de un método
Para
la
valoración
de
un
método
numérico,
fundamentalmente, se consideran dos aspectos:
a) La simplicidad del algoritmo del cálculo
b) La velocidad de convergencia ó exactitud del método, las
cuales están asociados al orden del método.
El algoritmo de cálculo en el método de Euler es muy simple;
sin embargo, se demuestra que para lograr una buena
exactitud se tiene que realizar muchos cálculos.
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Curso: Métodos Numéricos II
Nota. El error global final: ⏐y(tM)-yM ⏐se usa para estudiar el
comportamiento del error para tamaños de pasos
diferentes y nos permite tener una idea del esfuerzo
computacional que hay que realizar para obtener
aproximaciones con la precisión deseada.
Error de truncamiento local
Si y(t) es la solución de la ecuación diferencial: y’(t) = f(y(t); t)
y consideramos t* y h fijos, el error de truncamiento local,
denotado por τ, se define como:
y(t* + h) = y(t*) + h φ (t*; y(t*); h) + h τ
ERROR EN UN METODO NUMERICO
Supongamos
{(t , y )}M
k k k =0
es
un
conjunto
finito
de
aproximaciones a la única solución de un problema de valor
inicial obtenido con el método yk+1 = yk + h φ( tk, yk).
• El error de truncamiento global ó error de truncamiento
global en el k-ésimo paso, denotado por ek se define
como:
ek = y(tk) - yk para k=0,1,..,M
Ejemplo: Determinar el error de truncamiento local para el
método de Euler
Solución:
El error de truncamiento de método de Euler:
y(t* + h) = y(t*) + h f(t*, y(t*) ) + h τ
Este error es la diferencia entre la solución exacta y la
calculada con el método en el nodo correspondiente.
Supongamos que la solución x(t) es suave (por ejemplo x’’ es
acotada ). Luego, por la serie de Taylor:
• El error de truncamiento local ó error de truncamiento
local en el k-ésimo paso, denotado por εk, se define como:
εk= y (tk) – yk ,para k=1,..,M,
⎧ y ' = f(t,y(t))
donde y (t) es la solución de ⎨
⎩ y(t k −1 ) = yk −1,
y(t* + h) = y(t*) + h y’ (t*) +
h2
2!
y’’ (η), para algún η.
↓
*
*
*
= y(t ) + h f (t , y(t ) ) +
h2
2!
y’’ (η), para algún η.
De aquí, obtenemos:
Este error es el que se comete en un solo paso, el que nos
lleva desde el nodo tk hasta el nodo tk+1
9
τ=
h
2!
y’’ (η)
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Ejercicio: Demostrar que el error truncamiento local para el
método de Taylor de orden k.
Rpta.: τ =
hk
y(k +1) (η)
(k + 1)!
ORDEN DE UN METODO DE UN PASO
Diremos que el método yi+1 = yi + h φ( ti, yi) es de orden k,
denotado por O(hk), si existe una constante C>0 tal que,
⏐τ⏐ ≤ c h k , cuando h es suficientemente pequeña.
Nota: Si un método es de orden k, y si h se reduce a la mitad,
el nuevo error es, aproximadamente c(h/2)k = chk/2k ;
esto es; el error se reduce por un factor 1/2k.
Ejemplo: Determinar el orden del método de Euler.
Solución: Se sabe que el error de truncamiento local τ del
método de Euler es: τi+1 = h y’’ (ηi) , para cada ηi∈(t i,t i+1)
2!
Si y’’(t) está acotado por una constante M en [a,b], ello implica
que: ⏐τ i+1⏐ ≤ h M, así que el error local de truncamiento en el
2!
método de Euler es O(h).
Por lo tanto, el orden del método de Euler es 1.
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