Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural Criterios de convergencia Concepto de convergencia en el MEF Q Q Q Al refinar la malla (elementos más pequeños), la solución tiende hacia la solución exacta. X No se conoce, en general, la solución exacta. Se imponen condiciones (criterios) a las funciones de interpolación N para garantizar la convergencia. Los criterios de convergencia no permiten conocer el error, sólo garantizar la tendencia hacia una solución mejor. Real Num. elementos 4 1 8 16 32 Criterios 1 y 2 1. Al imponer unos desplazamientos de sólido rígido se deben obtener tensiones nulas. δR εR = B δ R σ = D εR = D B δ R = 0 2. Al aplicarle las deformaciones adecuadas, el elemento debe representar estados de tensión constante. σ = D B δCte = Cte El elemento debe representar cualquier estado de tensión constante, incluso de tensión nula. 2 Criterios 1 y 2 (cont.) Representar cualquier valor constante de σ σ = D ε = Cte Representar cualquier valor constante de ε ε = B δe = ∂ (n ) N δe = Cte n: orden de derivación del operador ∂ = orden de derivación de u en U. Las N deben ser capaces de representar cualquier valor constante de su derivada n-sima en todo el elemento. Se requieren polinomios completos de orden n como mínimo n=1 3 N=a x + b n=2 N=a x2 + b x + c Criterio 3 Q Las deformaciones unitarias en las fronteras deben ser finitas. X Las deformaciones en las fronteras deber ser continuas. X Puede haber discontinuidad en las ε y las σ. A B A u u B u X ε=du/dx X ε=du/dx X 4 u NO X SI Criterio 3 (cont.) σ Energía almacenada en la estructura ε U = 1 2 ∫ σT ε dv = 1 2 ∑∫ σ T e V ε dv + U cont ve Deformación unitaria en el contorno infinita U cont = 1 2 ∫ σT ∞ dv = indeterminado v =0 Si la deformación unitaria en el contorno es finita U cont = 1 2 ∫ σT εcont dv = 0 v =0 Se requiere ε finita en el contorno del elemento 5 Criterio 3 (cont.) ε debe ser finita en el contorno εcont = Bcont δe = ∂ (n ) Ncont δe = finita Las funciones N deben tener su derivada n-sima finita en todo el contorno. Las funciones N deben tener su derivada n-1 continua en todo el contorno. Se requieren polinomios continuos Cn-1 en el contorno 6 Resumen de los 3 criterios Q Q Criterios 1 y 2: X Representar cualquier campo de σ= Cte en el elemento. X N deben permitir cualquier valor Cte de su derivada n-sima. X Polinomios de orden n. X Elementos completos. Criterio 3 X σ y ε finitas en el contorno (discontinuas). X u continuas en el contorno. X N deben tener: ) ) X 7 derivada n finita en los contornos derivada n-1 continua en los contornos Elementos compatibles Criterios para elasticidad Q Q Q m = 2 orden de la ecuación diferencial n = 1 orden de derivación de u en deformación unitaria (n=m/2) Polinomios de orden 1. Continuidad en contornos C0 u 1 3 2 du ε= dx u U1 N=a x + b U2 U3 X U = σ=Εε X 8 ∫ E ε2 dx 2 d 2u q =− 2 dx EA Criterios para flexión de vigas y placas Q Q Q Ecuación diferencial m=4. Derivada de v en ε n=2 Polinomios de orden 2. Continuidad en contornos C1 Vigas: basta con parábolas para la deformada v. ) Se usan cúbicas. v 1 d 2v ε = −y 2 dx F 3 2 v θ2 θ1 V1 U = V3 V2 X 9 ∫ M2 dx 2EI d 4v q = dx 4 EI Ejemplo Q Q Q Voladizo rectangular L=150 mm H=50 mm. Espesor 10 mm. Carga distribuida de 50 kN en el extremo. Estudio con diversos elementos y densidades de mallado. 10 Convergencia en la deformación vertical Desplazamiento vertical 2,8 2,6 Trian. 3 nudos Cuad. 4 nudos Cuad. 4 nudos corr. Trian 6 nudos Cuad. 8 nudos 2,4 2,2 2 0 50 100 Número de nudos 11 150 Convergencia en la tensión Tensión de V. Mises (x=50, y=50) 1250 1200 Trian. 3 nudos 1150 Cuad. 4 nudos Cuad. 4 nudos corr. Trian 6 nudos 1100 Cuad. 8 nudos 1050 1000 0 500 1000 Número de nudos 12 1500