Errores y obstáculos en el concepto de número decimal de

UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA
DEPARTAMENT DE DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA I DE LES CIÈNCIES
EXPERIMENTALS
Errores y obstáculos en el concepto
de número decimal de alumnos adultos
de diferentes culturas
en un entorno de falta de libertad
Màster de recerca en didàctica de les
matemàtiques i de les ciències experimentals
Autor
Eduard Piñero Nieto
Tutora
Carmen Azcárate Giménez
12 de setiembre de 2011
ii
UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA
DEPARTAMENT DE DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA I DE LES CIÈNCIES
EXPERIMENTALS
Errores y obstáculos en el concepto
de número decimal de alumnos adultos
de diferentes culturas
en un entorno de falta de libertad
Màster de recerca en didàctica de les
matemàtiques i de les ciències experimentals
Autor
Eduard Piñero Nieto
Tutora
Carmen Azcárate Giménez
12 de setiembre de 2011
AGRADECIMIENTOS
En cualquier proceso de creación, ya sea pintar un cuadro, construir una pared o
realizar un trabajo de máster, como éste, hay momentos buenos y, otros, no tan buenos.
En esos momentos no tan buenos, es decir, difíciles, es cuando podemos descubrir las
personas que están realmente con nosotros.
Pues bien, por suerte ha habido muchas personas con las que he podido contar en las
situaciones complicadas que han ido surgiendo durante el proceso de creación de este
trabajo de final de máster. Las dos personas que más cerca han estado en éste, mi
proceso de construcción, han sido mi tutora, Carmen, que me ha guiado magistralmente
en un camino que no era el que le hubiera gustado que siguiera, pero que de todas
formas, siempre ha estado a mi lado, acompañándome, a veces, orientándome, otras; y
mi otra guía, Lourdes, que sin su inestimable ayuda me hubiese ahogado en un mundo
de análisis estadístico que me superaba por completo.
Quiero agradecer a todos los profesores y profesoras del Máster, en especial a Jordi,
porque sin su dedicación, sin su predisposición y sin su profesionalidad no hubiese
recibido todos los muchos conocimientos que aprendí durante este curso necesario para
elaborar este trabajo. A todos mis compañeros y compañeras del Máster porque sin sus
ánimos, sin sus apoyos y sin sus angustias, que también eran las mías, tampoco podría
haber producido nada.
No puedo olvidarme de dar las gracias a las profesoras, maestras y maestros del Cento
de Formación de Adultos Carme Karr que me han dejado que les robara sus clases y sus
alumnos. Como no, a los alumnos, unos alumnos especiales, pero que aún así
contestaron de forma totalmente desinteresada los cuestionarios, la materia prima de
este trabajo.
Para acabar, quiero agradecer a dos personas fundamentales en este trabajo, mi madre y
mi padre, que me dieron la vida y una base sólida para escoger caminos como éste que
me han permitido crecer día tras día.
A todos y todas, muchas gracias; este trabajo, quizás lo haya redactado yo, pero lo
hemos creado entre todos, así que es tan mio como vuestro.
1
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1.
Introducción ....................................................................................................
3
2.
Marco teórico ..................................................................................................
2.1 El error en la historia ...............................................................................
2.2 Aprendizaje, aprendizaje matemático y error ..........................................
2.3 Una explicación al origen del error: los obstáculos en el aprendizaje de
las matemáticas .......................................................................................
2.4 Las dificultades en el concepto de número decimal y la búsqueda de
obstáculos en los errores producidos ......................................................
5
5
7
11
15
3.
Problema y objetivos de la investigación ....................................................
3.1 Problema de investigación ......................................................................
3.2 Objetivos de la investigación ...................................................................
19
19
20
4.
Metodología ....................................................................................................
4.1 Aproximación metodológica .....................................................................
4.2 Población y contexto ...............................................................................
4.3 El instrumento de la investigación: el cuestionario ..................................
4.4 El grupo piloto ..........................................................................................
4.5 La recogida de datos ...............................................................................
21
21
24
28
30
33
5.
Análisis de datos y resultados ......................................................................
5.1 Vaciado de los cuestionarios ...................................................................
5.2 Estudio de frecuencias de los errores cometidos ....................................
5.3 Análisis comparativo entre el nivel educativo de los alumnos y los
errores cometidos ....................................................................................
5.4 Los errores cometidos por los alumnos considerados obstáculos
cognitivos .................................................................................................
5.5 Análisis de cuestionarios significativos de alumnos representativos .......
34
34
37
6.
Conclusiones y prospectiva ..........................................................................
6.1 Conclusiones ...........................................................................................
6.2 Prospectiva ..............................................................................................
56
56
59
7.
Bibliografía ......................................................................................................
61
Anexos .............................................................................................................
65
2
42
50
54
1. Introducción
La enseñanza y el aprendizaje de los números constituye un proceso que se
desarrolla a lo largo de toda la escolaridad primaria y secundaria. Este proceso se
estructura alrededor de diferentes sistemas numéricos, comenzando por los números
naturales en la educación primaria y acabando con la introducción de los números reales
y complejos en la enseñanza secundaria.
Un conjunto que resulta especialmente difícil en este proceso de aprendizaje es el de los
números decimales; múltiples estudios confirman la lentitud en la adquisición del
concepto de número decimal que va desde el primer contacto en la educación primaria
hasta la educación secundaria, sin que se pueda asegurar, como veremos en el presente
estudio, que a esta edad estén resueltas todas las dificultades que su aprendizaje
plantea.
La investigación realizada analiza la naturaleza de los errores producidos relacionados
con el concepto de número decimal, con su escritura y con sus operaciones. Así,
siguiendo a Centeno (1988) nuestro trabajo clasifica los errores en cuatro tipos diferentes
atendiendo a su origen. Así tendremos errores relacionados con la lectura y escritura de
los números decimales según el valor de posición, errores relacionados con el cero,
errores debidos al orden de los decimales y errores con las operaciones.
Nuestra conjetura inicial será que los errores sobre los números decimales no son
debidos a distracciones, sino que la hipótesis es que se reproducirán en diferentes
alumnos y situaciones, revelándonos la existencia de modelos implícitos erróneos. Los
errores repetibles y persistentes estarán relacionados con una cierta manera de conocer
que permitirá detectar las resistencias a la evolución de un concepto; es decir, estaremos
ante unos errores sistemáticos debidos a una deficiente estructura conceptual del sistema
numérico decimal.
3
Consideraremos que los errores producidos son debidos a una extensión de reglas que,
aún manifestándose correctas en ciertos casos, resultan equivocadas en otros. Los
alumnos en su proceso de aprendizaje cometen estos errores por un ejercicio racional de
generalización a situaciones que se consideran erróneamente análogas; para ello
seguiremos los postulados de Brousseau (1983) y afirmaremos que estos errores de
orden conceptual serán debidos a obstáculos cognitivos; mostrando como un cierto
número de fuertes convicciones sobre las propiedades que poseen los números y las
operaciones que son realizadas, ligadas a la concepción de número, importadas en los
decimales en el caso de la extensión del concepto, crearán errores sistemáticos
particularmente resistentes.
La investigación experimental llevada a cabo será de tipo empírico que utiliza una
metodología descriptiva para analizar los errores producidos en la respuesta a un
cuestionario con ejercicios y problemas sobre números decimales. El método de
investigación didáctica es cuantitativa con una muestra que se acerca a los doscientos
sujetos. Las respuestas de estos sujetos se analizan mediante herramientas informáticas,
a través de paquetes de procesamiento estadísticos, como el programa SPSS.
4
2. Marco teórico
2.1. El error en la historia
“La escuela del futuro (...) sería aquella en la que el
alumno tendría permiso para cometer ese gran error
que es la esperanza”
(George Steiner: Elogio de la transmisión)
La presencia de dificultades y errores en la adquisición y en el desarrollo del
conocimiento es una constante a lo largo de toda la historia de la humanidad. No
obstante, la manera como la sociedad se ha revelado ante estas dificultades y estos
errores en el progreso del saber humano ha estado en continuo cambio y evolución.
La evolución de la ciencia, como modelo indiscutible de fiabilidad y de verdad, ha estado
plagado de conocimientos incompletos, insuficientes, deficientes y erróneos. En
diferentes periodos del progreso científico se han tomado como válidos, conceptos y
procedimientos equivocados, ideas contradictorias y justificaciones falsas. El error ha
estado y está presente, de forma constante, en el progreso de la ciencia y son muchos
los filósofos de la ciencia, epistemólogos y pensadores que se han preocupado del papel
central que han ocupado las ideas equivocadas en el avance científico.
Sócrates ya afirmó que “todos nosotros podemos errar, y con frecuencia erramos
individual y colectivamente; pero la idea del error y la fiabilidad implica que podemos
buscar la verdad, la verdad objetiva (...); si respetamos la verdad, debemos aspirar a ella
examinando persistentemente nuestros errores: mediante la infatigable crítica racional y
mediante la autocrítica” (Rico, 1995).
También el filósofo Karl Popper en su obra “Conjeturas y refutaciones” da un rol
destacable a los errores en la adquisición del conocimiento humano como fuente para su
5
progreso. El autor propone que la verdad es difícil de alcanzar y, una vez lograda, se
puede volver a perder fácilmente. Al igual que la verdad científica, ésta no se presenta de
forma manifiesta sino que ha de ser constantemente revisada y evaluada.
Popper nos advierte que no existen fuentes últimas del conocimiento; toda idea y
sugerencia debe ser sometida a examen crítico. La pregunta que debemos hacernos no
es quién hizo una afirmación sino si ésta es cierta y se ajusta a los hechos. La afirmación
realizada quedará, pues, sometida a las revisiones críticas y a las pruebas propias y
ajenas. Estas convicciones enlazan con otra idea importante que se extrae del trabajo de
Popper: ”el conocimiento no puede partir de la nada, su progreso consiste,
principalmente, en la modificación de un conocimiento anterior”.
Estas reflexiones no diferirán substancialmente de otro importante filósofo francés,
Gaston Bachelard, que propone el concepto de obstáculo epistemológico para dar una
explicación a los errores que aparecen de forma inevitable en el progreso de la ciencia.
Comienza su obra “La formación del espíritu científico” afirmando que:
“Cuando se investigan las condiciones psicológicas del progreso de la ciencia hay que
plantear el problema del conocimiento científico en términos de obstáculos; en el acto
mismo de conocer, íntimamente, es donde aparecen, por una especie de necesidad
funcional, los entorpecimientos y las confusiones; es ahí donde mostraremos causas de
estancamiento y hasta de retroceso, es ahí, donde discerniremos causas de inercia que
llamaremos obstáculos epistemológicos.
El conocimiento de lo real es una luz que siempre proyecta alguna sombra; jamás es
inmediata y plena. Al volver sobre un pasado de errores se encuentra la verdad. En
efecto, se conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal
adquiridos y superando aquello que, en el espíritu mismo, obstaculiza.
La noción de obstáculo epistemológico puede ser estudiada en el desarrollo histórico del
pensamiento científico y en la práctica de la educación” (Bachelard, 1988).
En nuestro trabajo veremos que todas estas reflexiones toman sentido y nos serán útiles
para el modo que entendemos la educación en general, y la educación de las
matemáticas, en particular.
6
2.2. Aprendizaje, aprendizaje matemático y error
Las ideas expuestas en el apartado anterior tienen, también, reflejo en la
educación, y sobretodo, en las propuestas constructivistas del aprendizaje. Los diferentes
enfoques del constructivismo coinciden en que el conocimiento es construido mediante
estructuras cognitivas que se activan en la mente del individuo. Estas estructuras, en
continuo desarrollo, se van transformando mediante la actividad educativa. En el proceso
habitual de construcción del conocimiento aparecerán, sin duda, dificultades y errores,
debidos al conflicto producido entre el antiguo y nuevo conocimiento. El proceso descrito
incluirá, entonces, el diagnóstico de errores, su detección, corrección y superación
mediante actividades que promuevan la práctica evaluadora del profesor y el ejercicio
autocrítico de los propios alumnos (Rico, 1995).
Centrándonos en la disciplina matemáticas, según Martín Socas, “la mayoría de los
autores consideran que los errores no tienen un carácter accidental sino que surgen por
las estrategias y reglas personales que los alumnos emplean en la resolución de la
situación problemática y son consecuencia de las experiencias anteriores en
Matemáticas” (Socas, 2007). Y sigue afirmando, que sería necesario, pues, “diagnosticar
y tratar mucho más seriamente de cómo lo hacemos, los errores de los alumnos. Esta
información permitirá al profesorado arbitrar procedimientos y remedios efectivos para
ayudar a los alumnos en la corrección de dichos errores”.
Una aproximación histórica a la evolución que ha tenido el estudio de las producciones
matemáticas de los alumnos que contienen errores nos lleva a distinguir tres periodos o
etapas (Socas, 2007):
1ª Etapa: Durante este primer periodo que va desde principios del siglo XX hasta la
década de los años setenta las investigaciones sobre errores se basaban en la idea de
que éstos eran una anomalía que era necesario subsanar. Los estudios focalizaban su
atención, substancialmente, en el recuento del número de soluciones incorrectas que
daban los alumnos a diferentes problemas, realizando posteriormente, una clasificación
que permitiera discernir de qué forma surgen los errores, partiendo siempre de la solución
7
correcta. Finalmente, se efectuaban inferencias sobre qué factores, sobretodo de
contenido matemático, podían haber producido el error.
2ª Etapa: A partir de los años ochenta, se consideran las producciones incorrectas de los
alumnos como algo consustancial a los procesos de enseñanza y aprendizaje. Se
normaliza así el error y el objetivo será, en este periodo, indagar sobre los equívocos de
los alumnos, pero no solo a través de su clasificación, sino sobretodo, profundizar en el
pensamiento del alumno en el proceso de construcción de los objetos matemáticos.
En esta etapa destacan las aportaciones de Brousseau, Davis y Werner (1986)
describiendo que “los errores que cometen los alumnos muestran, en algunos casos, un
patrón consistente; los alumnos tienen con frecuencia concepciones inadecuadas sobre
los objetos matemáticos; a veces, estas concepciones inadecuadas les conducen a usar
procedimientos inadecuados que no son reconocidos como tales por sus profesores.
Llegan a utilizar, en algunos casos, métodos propios ignorando el método propuesto por
el profesor. Esto les lleva a señalar posibles caminos en los que el error puede
presentarse: los errores como consecuencia de concepciones inadecuadas, los errores
como la aplicación correcta de un procedimiento sistematizado que es inapropiado, los
errores como consecuencia del uso de métodos propios del estudiante, en general
informales, entre otros” (citado en Socas, 2007).
Otra contribución importante durante este periodo son los estudios de Mulhern que
caracteriza
los
errores
cometidos
por
los
alumnos
como:
sorprendentes
y
extremadamente persistentes; éstos pueden ser sistemáticos o por azar, siendo más
interesantes e importantes, desde el punto de vista didáctico, los primeros; finalmente, el
autor afirma que los alumnos que cometen errores ignoran el significado de los objetos
matemáticos; es decir, las respuestas que son incorrectas no son puestas en cuestión por
estos alumnos (Mulhern, 1989).
Un logro importante durante esta etapa es reconocer que los errores no son debidos solo
a los alumnos; son también motivados por otros elementos del proceso educativo, ya sea
el profesorado, el currículo o el contexto sociocultural e institucional, así como sus
interrelaciones. El estudio sobre errores se centrará no, únicamente, en las producciones
8
de los alumnos sino, sobretodo, en los procesos de enseñanza-aprendizaje y en todos los
elementos que intervienen.
3ª Etapa: En la actualidad, según Socas (2007), “parece necesario desde la Didáctica de
la Matemática, avanzar en la delimitación de las causas posibles de los errores que
cometen los alumnos y tener una explicación de cada error particular del alumno, de
manera que podamos actuar sobre él a nivel de grupo o a nivel individual, siendo
conscientes de las dificultades debidas a las distintas variables que interaccionan en el
proceso educativo y que condicionan el error al convertirse en dificultades u obstáculos
en el aprendizaje”.
Luis Rico propone cuatro principales líneas de investigación, no excluyentes, en el
estudio de errores en el aprendizaje de las matemáticas (Rico, 1995):
a) Estudios sobre análisis de errores, causas que los producen o elementos que
los explican; realizando clasificaciones y taxonomías de los errores detectados.
b) Trabajos acerca del tratamiento curricular de los errores en el aprendizaje de
las matemáticas. Se incluyen aquí estudios sobre la previsión de errores, su detección y
propuesta de medios para su corrección, debidos al contenido matemático y a la
organización en la enseñanza de las matemáticas.
c) Estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto a la capacidad para
detectar, analizar, interpretar y tratar los errores de sus alumnos.
d) Trabajos de carácter técnico que incluyen procedimientos estadísticos y
elementos psicométricos, que permiten realizar investigaciones de contraste de hipótesis
que justifiquen el origen o la causa de determinados errores.
En nuestro trabajo nos situaremos en la primera línea de investigación analizada por el
profesor Luis Rico, centrándonos en la aproximación epistemológica en el estudio de los
errores. El mismo autor nos muestra las ideas generales de este planteamiento extraídas
9
de González, J. L. (1992): Pensamiento Relativo. Análisis de errores en tareas de
traducción-interacción entre sistemas de representación. Tesis Doctoral Inédita y que
nosotros reproducimos íntegramente, por su interés en nuestro estudio (Rico, 1995):
“La reconstrucción y apropiación de conocimiento matemático exige una labor depurativa
constante en la que se ponga en cuestión el conocimiento vulgar, empírico, parcial, falso
en unos casos o superficial en otros, que tienen los individuos en cada momento
educativo, para que se produzcan rupturas con los conceptos y representaciones
necesariamente limitados, y que aparezcan en su lugar nuevas concepciones, teorías y
procedimientos, como alternativas más amplias, profundas e integradoras. Este punto de
vista caracteriza el proceso de aprendizaje como resultado de modificaciones cualitativas
del conocimiento en la dirección del conocimiento científico y por tanto de un
pensamiento más evolucionado. A grandes rasgos, el conocimiento matemático se
construye paulatinamente mediante actos sucesivos de abstracción, a partir de la
realidad, para desembocar en un nivel en el que el trabajo se realiza con entes y
relaciones matemáticas con poca o nula conexión con la realidad en la mayoría de los
casos. Se trata de un proceso en cadena con sucesivas rupturas y ampliaciones, en el
que aparecen dificultades inherentes al salto cualitativo que supone el paso de la realidad
concreta cotidiana a la realidad matemática formal. En este proceso, el individuo debe ir
abandonando y sustituyendo progresivamente ciertos tipos de conocimiento por otros
más evolucionados, venciendo las resistencias naturales que suelen presentarse ante
modificaciones. Los conocimientos antiguos que funcionan no son desechados
completamente sino que quedan integrados y valorados dentro de la nueva y más
completa visión que surge del aprendizaje. En esta dinámica, los errores que cometen los
individuos de forma persistente son manifestaciones de la presencia de un fenómeno
más amplio, que algunos autores denominan inadaptación del conocimiento, provocada
por obstáculo. El error dentro de esta interpretación es un hecho constatable que tiene su
origen o es debido a la presencia de uno o varios obstáculos como fenómenos más
generales y arraigados en el individuo "
Desarrollemos este enfoque epistemológico en el estudio de errores en el siguiente
apartado.
10
2.3. Una explicación al origen del error: los obstáculos en el
aprendizaje de las matemáticas
Según Socas (2007) los errores aparecen en los alumnos cuando han de resolver
nuevos problemas que los obligan a hacer una revisión o re-estructuración de los
conocimientos que tienen adquiridos. Matz (1980) lo resume afirmando que “los errores
son intentos razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una
nueva situación”
Siguiendo con otro trabajo previo de Socas (1997), se consideran tres ejes en el análisis
del origen de los errores que cometen los alumnos: debidos a un obstáculo, motivados
por una ausencia de sentido o producidos por actitudes afectivas y emocionales. Nuestro
estudio se limitará a los errores debidos a obstáculos, exhortando al lector la consulta del
estudio de Socas si tuviera interés en las otras propuestas.
Ya en la introducción de nuestro trabajo, hicimos referencia a la noción de obstáculo,
introducido por primera vez por el filósofo francés Gaston Bachelard (1988) en el contexto
de
las
ciencias
experimentales
enmarcándolo
en
el
concepto
de
obstáculo
epistemológico. No reproduciremos aquí la reseña de la introducción, daremos cuenta de
las diferentes clases de obstáculos epistemológicos que recoge el autor: primera,
surgidas de la tendencia a confiar en engañosas experiencias intuitivas; segunda,
debidas a la tendencia a generalizar ocultando la particularidad de cada nueva situación;
y tercera, motivados por las diferencias entre el lenguaje científico y el lenguaje coloquial.
El concepto de obstáculo es retomado por Guy Brousseau en didáctica de las
matemáticas, adaptándolo al contexto de la práctica educativa, afirmando que “el error y
el fracaso no tienen el rol simplificado que en ocasiones uno quiere hacerles jugar. El
error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la incertitud, del azar que uno cree en
las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento
anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que, ahora, se revela falso, o simplemente
inadaptado. Los errores de este tipo no son erráticos e imprevisibles, están constituidos
11
de obstáculos. Tanto en el funcionamiento del maestro como en el del alumno, el error es
constitutivo del sentido del conocimiento adquirido” (Brousseau, 1983).
Continúa el autor, argumentando que los nuevos obstáculos, antes conocimientos, son
debidos a la interacción del alumno con el medio en una situación que hace que esos
antiguos conocimientos hayan sido correctos para un cierto dominio, pero que ahora
resultarán erróneos para el nuevo problema planteado.
Brousseau distingue tres diferentes obstáculos presentes en el sistema didáctico
atendiendo a su origen, según se sitúen en uno u otro de los polos del sistema didáctico,
es decir el alumno, el profesor o el saber (véase Figura 1):
a) Obstáculos de origen ontogenético o psicogenético, debidos a las limitaciones y
características propias del desarrollo del alumno.
b) Obstáculos de origen didáctico, resultado de una opción o de un proyecto del
sistema educativo, entre éstas se incluirían las elecciones que realiza el profesor en el
momento de plantear una situación de enseñanza.
c) Obstáculos de origen epistemológico, resultado de concepciones constitutivas
del conocimiento e intrínsecamente relacionados con el propio concepto matemático e
inherentes a la noción a la que se refieren. Es decir, se podrá rastrear en la historia de las
matemáticas y en la comunidad de matemáticos de una determinada época para hallar
los obstáculos que se han debido tomar consciencia y se han buscado vías para
superarlos. El rechazo del obstáculo será explícito y formará parte del saber matemático.
Aclarando Brousseau que por ello “no quiere decir que se deba amplificar su efecto ni
que deban reproducirse en el medio escolar las condiciones históricas en las que han
sido vencidos” (Brousseau, 1983).
12
Obstáculos
epistemológicos
(el saber)
Obstáculos
Obstáculos didácticos
ontogenéticos
(el profesor)
(el alumno)
Figura 1
Artigue (1990) menciona los trabajos de Duroux (1983) que propone una serie de
condiciones necesarias para poder calificar de obstáculo a una concepción que produce
errores en los alumnos. Esta relación fue modificada por Brousseau (1989), quedando
como sigue:
a) Un obstáculo será un conocimiento, una concepción, no una dificultad ni una
falta de conocimiento.
b) Este conocimiento produce respuestas adaptadas a un cierto contexto,
frecuentemente reencontrado.
c) Pero engendra respuestas falsas fuera de este contexto. Una respuesta
correcta y universal exige un punto de vista notablemente diferente.
d) Además, este conocimiento resiste a las contradicciones con las que se le
confronta y al establecimiento de un conocimiento mejor. No es suficiente poseer un
conocimiento mejor para que el precedente desaparezca. Es pues indispensable
identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber.
e) Después de tomar conciencia de su inexactitud, el obstáculo continua
manifestándose de forma intempestiva y obstinada.
13
Se podrían resumir estas categorías afirmando que la noción de obstáculo
epistemológico queda incluida en una categoría más amplia, la de obstáculo cognitivo,
que a la vez es un caso particular de otra noción más general, la de concepción. El objeto
principal de la didáctica de las matemáticas será, según Brousseau, estudiar las
condiciones que deben cumplir las situaciones o problemas propuestos al estudiante para
favorecer la aparición, el funcionamiento y el resultado de esas concepciones sucesivas,
de esta forma explicitar los obstáculos presentes en los alumnos con el objetivo de
superarlos.
Brousseau (1989) precisa que el trabajo del investigador en didáctica de las matemáticas,
relacionado con la noción de obstáculo, consiste substancialmente en: encontrar los
errores recurrentes mostrando que se reagrupan alrededor de concepciones, hallar los
obstáculos que aparecen en la historia de las matemáticas, y por último, confrontar los
obstáculos históricos con los obstáculos de aprendizaje con el objetivo de establecer su
carácter epistemológico (Artigue, 1990).
14
2.4. Las dificultades en el concepto de número decimal y la
búsqueda de obstáculos en los errores producidos
Los profesionales de la educación matemática saben que, en mayor o menor
medida, el aprendizaje de los números decimales es particularmente difícil para los
alumnos. Para estos alumnos, la extensión del concepto de decimal requerirá un cambio
conceptual, debiendo integrar las nuevas ideas acerca de estos números con sus
conocimientos previos sobre la base de los números naturales (Desmet et alt., 2010).
Los resultados de la cuarta evaluación de National Assessment of Educational Progress
(NAEP) en el área de matemáticas en los Estados Unidos reveló que la escuela media y
los estudiantes de secundaria tenían dificultades en elementos relativos al ordenamiento
de los números decimales (Lindquist,1989).
Owens y Super (1992), por su parte, afirman que las investigaciones sobre el aprendizaje
de los números decimales indica que hay un problema en el conocimiento conceptual de
los niños sobre los decimales. Muchos alumnos parecen tener un conocimiento
instrumental que conduce a la aplicación de "normas sin razón" en lugar de la
comprensión racional que implica la interrelación entre los conceptos y la comprensión de
por qué la utilización de una regla o no. En consecuencia, los niños presentan muchos
conceptos erróneos sobre los decimales, como se indica en el estudio de National
Assessment of Educational Progress.
Grisvart y Leonard (1981, 1983), en uno de los primeros estudios sobre la dificultad de los
números decimales, muestran que los alumnos utilizan tres reglas para ordenar los
números que contienen cifras decimales. Los autores hacen notar que si bien estos
implícitos pueden producir buenas respuestas en un gran número de casos, dan
respuestas erróneas en muchos otros. Las reglas a las que hacen referencia son las
siguientes:
15
Regla 1: Entre dos números decimales con la misma parte entera el número
superior es aquél donde el valor de la parte decimal es mayor.
Ejemplo: 12,113 >12,4 ya que 113>4 o 12,04>12,3 ya que 4>3
Regla 2: Entre dos números decimales con la misma parte entera el número
superior es aquél donde el número de cifras decimales es menor.
Ejemplo: 12,24<12,7 o 12,94<12,9
Regla 3: Aparece cuando hay más de dos números para comparar y uno de ellos
contiene un cero como primera cifra decimal, entonces, el número menor es aquel donde
la primera cifra decimal es un cero. Seguidamente se aplicaría la regla primera. En cierto
sentido, este patrón es una mejora de la regla 1 ya que conduce a más respuestas
correctas.
Ejemplo: 12,09 < 12,8
Según las investigaciones realizadas por Grisvart y Leonard (1981, 1983) el 89 % de los
errores cometidos en la tarea de ordenación de los números decimales son debidos a la
aplicación de alguna de estas tres reglas. El implícito más frecuentemente utilizado en las
respuestas incorrectas es la regla 1, juntamente con la regla 3, en los casos en que se
puede aplicar. La aplicación de la regla 2 es menos sistemática, raramente se aplica sola,
siendo utilizada en relación con la regla número 3. Los autores afirman que los alumnos
que dan buenas respuestas cuando se trata de comparar una pareja de números
decimales recurren a las reglas descritas cuando la situación es más compleja (ordenar
cinco números decimales, por ejemplo) obteniendo, así, respuestas incorrectas.
Los autores afirman que aunque la frecuencia de utilización de estos preceptos van
disminuyendo con la edad, los alumnos mayores los siguen utilizando cuando se les
presentan tareas más complejas que la comparación de dos números decimales.
Otros autores que investigaron la existencia y frecuencia de uso de las reglas implícitas
desarrolladas por Grisvard y Leonard fueron Vance (1986) en Canadá, Resnick et alt.
(1989) en Estados Unidos o Nesher y Peled (1986) en Israel llegando a similares
conclusiones que los autores franceses. Así, en el estudio canadiense el 48% de los
16
estudiantes de sexto curso y el 15% de séptimo curso de una muestra de 507 alumnos
utilizaron la regla primera, mientras que el 8% de los estudiantes de sexto curso y el 19%
de séptimo curso utilizaron la regla segunda. En el estudio israelí los investigadores
pudieron verificar la utilización de las reglas citadas en similares porcentajes en alumnos
de sexto, séptimo y noveno curso.
Resnick et al. (1989) solicitó a los participantes de su estudio que compararan dos
números decimales seleccionando el mayor de ellos. A partir de los resultados obtenidos,
los autores establecieron las fuentes conceptuales de los errores cometidos y de las
normas aplicadas para su producción, según las reglas descritas por Grisvart y Leonard
(1981, 1983). Para Resnick y colaboradores la utilización de la regla primera corresponde
a una inmadura concepción de los números decimales debida a una extensión de las
propiedades de los números naturales. Mientras que el uso de la segunda regla se deriva
de la enseñanza de las fracciones decimales, pudiéndose interpretar como un exceso de
generalización de la idea de que una décima parte siempre es más grande que una
centésima.
Las investigaciones de Lesh y Schultz (1983) y de Post, Behr, Lesh, y Wachsmuth (1985)
encontraron que muchos de los conceptos erróneos acerca de los números decimales
que poseen los alumnos también se encuentran entre los docentes. En otra investigación,
Lester (1984) halló que en cincuenta por ciento de unos seiscientos futuros maestros de
primaria no pudieron superar con éxito más del 75% de una prueba de competencia
aritmética, siendo con mayor frecuencia los errores cometidos debidos a cuestiones
donde aparecían las fracciones y/o los decimales.
Grossman (1983) afirma que menos del 30% de los 7.100 estudiantes que cursaban el
primer año de universidad de la ciudad de Nueva York seleccionó la respuesta correcta
en una pregunta que les instaba a que seleccionaran el número más pequeño de un
determinado conjunto de cinco números decimales. La respuesta incorrecta más
frecuente fue la que tenía más dígitos decimales, siendo ésta seleccionada con más
frecuencia que la respuesta realmente correcta.
Artigue (1990) asegura que algunas de las investigaciones didácticas mencionadas
(Grisvard, Leonard, Perrin) confirman que los conocimientos adquiridos sobre los
17
números naturales devienen obstáculos en la extensión de este conjunto al de números
decimales. Continua diciendo que “un cierto número de fuertes convicciones sobre las
propiedades que poseen los números y las operaciones que son realizadas (números que
tienen un predecesor y un sucesor, la multiplicación que produce números más grandes,
la división que produce números más pequeños...) y sus propiedades, ligadas de forma
definitiva a la concepción de número, importadas en los decimales en el caso de la
extensión del concepto, crean errores particularmente resistentes”.
Daremos cuenta en nuestro trabajo si los resultados de las investigaciones citadas se
corresponden con nuestra realidad.
18
3. Problema y objetivos de la investigación
3.1. Problema de investigación
Centeno (1988) en su obra Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué? nos da
cuenta de numerosos estudios que confirman la lentitud en la adquisición del concepto de
número decimal, afirmando que “el tiempo necesario para realizar este camino que va del
primer contacto con los números decimales hasta el dominio de los mismos, puede
extenderse desde los ocho o nueve años hasta los trece o catorce, sin que se pueda
asegurar que a esta edad están resueltas todas las dificultades que este aprendizaje
plantea”.
Esta última cita es el motor de la presente investigación; nuestra intención será revelar si
continúan existiendo problemas y dificultades con el concepto de número decimal en
personas adultas. Así, trataremos de dar respuesta a las siguientes cuestiones:
1. ¿Cometen errores los alumnos adultos en ejercicios y problemas básicos de
ordenación, escritura y operaciones con números decimales?
2. Si es así, ¿qué errores emergen en las respuestas de los alumnos adultos en las
cuestiones que implican el uso de los números decimales?
3. De estos errores, ¿Cuáles pueden ser motivados por obstáculos?
19
3.2. Objetivos de la investigación
Sigue la misma autora realizando una clasificación de los errores más frecuentes
relacionados con el concepto de número decimal, con su escritura y con sus operaciones
(Centeno, 1988):
a. Errores relacionados con la lectura y escritura de los números: valor de
posición.
b. Errores relacionados con el cero.
c. Errores relacionados con el orden de los decimales.
d. Errores relacionados con las operaciones.
Mediante un cuestionario que recogerá ejercicios y problemas que requieran
conocimientos del concepto de número decimal, el objetivo de nuestro trabajo será
analizar los errores cometidos en las producciones de alumnos adultos de diferentes
culturas en una situación particular, la falta de libertad.
A través de la clasificación de errores de Julia Centeno, realizaremos una clasificación de
éstos producidos por los alumnos y consideraremos que no son debidos a distracciones;
al contrario, nuestra hipótesis inicial es que se reproducirán en diferentes alumnos y
situaciones, revelándonos la existencia de modelos implícitos erróneos. Los errores
repetibles y persistentes estarán relacionados con una cierta manera de conocer que
permitirá detectar las resistencias a la evolución de un concepto; es decir, estaremos ante
obstáculos cognitivos. Es decir, distinguiremos aquellos errores debidos a obstáculos,
entendido como extensión de las propiedades de los números naturales a los números
decimales, en el sentido que le da Guy Brousseau.
20
4. Metodología
4.1. Aproximación metodológica
Como ya anunciamos al principio de este trabajo el objetivo de esta investigación
es analizar los errores cometidos por personas adultas de distintas nacionalidades
distinguiendo aquellos errores debidos a obstáculos. Por este motivo, consideramos que
la investigación que se ha llevado a cabo se enmarca en un estudio de base
metodológica cuantitativa que incluye una combinación de investigación experimental con
un estudio ex post-facto.
Siguiendo a Bisquerra (2009) la investigación experimental ha de tener necesariamente
seis características distintivas: una equivalencia estadística de sujetos en diversos grupos
formados al azar, una comparación de dos o más grupos o conjuntos de condiciones, una
manipulación directa de una variable independiente, una medición de cada variable
dependiente, el uso de estadísticos inferenciales y un diseño de investigación que
permita un control máximo de las variables extrañas.
Comprobaremos tanto en este apartado metodológico como en el siguiente de resultados
como nuestro estudio cumple con todos estos obligados condicionantes de la
investigación experimental.
No obstante, según Joan Mateo (Bisquerra, 2009): “los fundamentos científicos de una
investigación experimental exigen que el investigador controle las condiciones de
producción del fenómeno a analizar, como paso previo al control de las variables que
intervienen en el mismo”. Añade el autor: “Sin embargo, la situación más habitual en la
investigación en ciencias sociales y humanas, reside en la dificultad de generar y dominar
los fenómenos sujetos de estudio (...). El caso más paradigmático lo constituyen aquellos
fenómenos en los que los hechos que los configuran ya se han producido cuando nos
aproximamos al estudio”. Este tipo de investigación toma la denominación de ex postfacto, es decir, después de los hechos.
21
Este tipo de investigación es apropiada para establecer posibles relaciones de causaefecto observando que ciertos hechos han ocurrido y buscando en el pasado los factores
que los hayan podido ocasionar. Se diferencia del verdadero experimento en que en éste
la causa se introduce en un momento determinado y el efecto se viene a observar algún
tiempo después.
Las características principales de este tipo de estudio es que el investigador escoge uno
o más efectos que desea observar y se retrotrae en el tiempo en busca de posibles
causas, relaciones y su significado proporcionando información útil sobre la naturaleza
del problema, así puede dar cuenta de qué factores están asociados, bajo qué
circunstancias y en qué secuencia aparecen.
La principal debilidad o crítica que se le hace a este tipo de investigación consiste en que
por falta de control sobre los factores supuestamente causales, no es posible establecer
con un margen de seguridad aceptaba cuales son, realmente, la causa o las causas que
se aducen.
Un modelo organizativo de los estudios ex post-facto son los descriptivos. El estudio
descriptivo es un tipo de investigación elemental que trata sobre la descripción de
fenómenos, analizando su forma, acción, cambios producidos por el paso del tiempo,
similitudes con otros fenómenos, etc. Según Fox (citado en Bisquerra, 2009): “Son
estudios propios de las primeras etapas del desarrollo de una investigación y nos
preparan el camino para la configuración de nuevas teorías o investigaciones”
Los estudios descriptivos en educación intentan determinar el “qué es” de un fenómeno
educativo, no limitándose solo a la recogida de datos sino que da cuenta de preguntas
sobre el estado presente de una situación educativa con implicaciones que van más allá
de los límites establecidos en los propios elementos estudiados (Bisquerra, 2009).
Para Joan Mateo las fases de un estudio descriptivo ha de contemplar los propios de la
investigación cuantitativa y que es la llevada a cabo en este trabajo: identificación y
formulación del problema a investigar (apartado 3.1, de nuestro trabajo) , establecimiento
de los objetivos del estudio (apartado 3.2.), selección de la muestra (apartado 4.2.),
diseño o selección de los sistemas de recogida de información (apartado 4.3.), recogida y
22
análisis de los datos (apartado 4.5. y 5) y, por último, la derivación de conclusiones
(apartado 6).
23
4.2. Población y contexto
La investigación se ha desarrollado en una escuela de adultos ubicada en el
Centro Penitenciario de Lledoners en la población de Sant Joan de Vilatorrada
(Barcelona). Para tener una visión general de la distribución y estructura del centro ver
imagen del Anexo 1.
Prisión y educación son dos contextos que se interrelacionan en las escuelas de los
centros penitenciarios catalanes. Así, en todos las prisiones de Catalunya hay ubicado en
su interior un centro de formación de adultos del Departament d'Ensenyament que ofrece
la misma oferta formativa que cualquier otra escuela de adultos repartidas por el territorio
catalán. Los estudios que se ofrecen están divididos en cuatro bloques (ver Anexo 2):
1) Enseñanzas iniciales y básicas: incluirían tres niveles de lengua catalana,
dos de lengua castellana, un nivel inicial de inglés o francés y, finalmente,
un nivel de informática.
2) Formación básica: con tres niveles de formación instrumental, que se
equipararía, respectivamente, a alfabetización, neolectores y certificado
escolar; y dos niveles de graduado en educación secundaria obligatoria.
3) Preparación para las pruebas de acceso: son los cursos que tienen la
finalidad de preparar a los alumnos para realizar las pruebas de acceso
para los Ciclos Formativos de Grado Medio, Grado Superior y Universidad.
4) Competencias para la sociedad a la información: este bloque incluye dos
niveles funcionales de informática y uno de lengua inglesa o francesa.
En los centros educativos ubicados en prisiones, además de estos cuatro bloques, se da
apoyo a los alumnos que estudian carreras universitarias a través del programa
específico de la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Así, en nuestra escuela
hay alumnos que realizan los estudios universitarios de Derecho, Psicología, Turismo,
Educación Social, Historia y Administración y Dirección de Empresas.
24
Actualmente,
el
Centro
Penitenciario
de
Lledoners
tiene
unos
750
internos
aproximadamente, de los cuales 400 están matriculados en la escuela de la prisión, lo
que representa una escolarización que supera el cincuenta por ciento.
La población objeto de la investigación está compuesta por 160 alumnos de la escuela
donde se realizan los diferentes estudios apuntados anteriormente. La propuesta inicial
en la investigación era que todos los alumnos de la escuela, unos cuatrocientos, fueran
objeto de la muestra, pero finalmente, se han descartado diversos grupos. Así no se han
incluido en el estudio los niveles de formación instrumental 1 y 2 por el bajo nivel de
formación que ostentan y los grupos de castellano inicial debido a las dificultades de
idioma en la comprensión del cuestionario.
La edad media de los sujetos de la investigación es de cerca de 37 años; desglosando
por franja de edad: alumnos menores de 25 años tenemos 17, de 25 a 34 años hay 58
personas, de la franja de 35 a 44 años tenemos 53 alumnos, 22 personas más entre 45 y
54 años; y, finalmente, 10 sujetos de más de cincuenta y cinco años. Como se puede
observar por los datos, el grueso de edad de la población de la investigación se
encuentra entre 25 y 44 años, sumando un setenta por ciento de la muestra. Véase la
distribución de edad en el siguiente gráfico:
25
Casi la mitad de la población de la investigación, cerca del cuarenta y tres por ciento, es
de origen español (68 personas), dieciocho más son del resto de Europa, cuarenta y una
personas son del continente africano, no obstante hay que destacar que de éstos
veintiocho son de Marruecos o Argelia, los individuos de América del Sud representan 18
% (29 personas) y el resto son de América del Norte y Asia, cuatro personas más.
Respecto al nivel de estudios de la población cabe destacar que uno de cada cinco no
dispone de estudios primarios finalizados (34 personas), algo más de la mitad de los
sujetos investigados dispone solo de estudios primarios finalizados o la actual educación
secundaria obligatoria (90 personas); y del resto de alumnos, que representan solo un
veinte por ciento poseen estudios de formación profesional (nueve sujetos), de
bachillerato (doce sujetos), universitarios (once sujetos) y cuatro sujetos más en la
categoría de otros estudios. El siguiente gráfico muestra de forma más concreta el nivel
de estudios de los sujetos de la investigación:
En relación al oficio de los investigados, destaca que el sesenta por ciento de la
población son trabajadores con ocupaciones elementales, trabajos no cualificados o
obreros de la construcción; sumados a los veintiocho que afirman no tener ningún oficio,
resulta que tres de cada cuatro están en estas categorías. Contrasta con el poco número
26
de directores y gerentes, solo tres, tal y como era de prever en el entorno penitenciario
donde se realiza la investigación. El resto de sujetos son trabajadores de servicios de
restauración, catorce sujetos, técnicos o profesionales intelectuales o de apoyo, diez
sujetos. El siguiente esquema da muestra detallada de la descripción realizada:
27
4.3. El instrumento de la investigación: el cuestionario
En todos los estudios descriptivos presentados en el apartado 2.4. del Marco
Teórico muestran los errores cometidos por niños y adultos con respecto al concepto de
número decimal. El instrumento utilizado más extensamente se basa en un cuestionario
más o menos extenso sobre la comparación de números decimales, la lectura y escritura
de números decimales o operaciones básicas entre estos números.
Nuestro cuestionario confeccionado a partir de los estudios que hemos analizado intenta
recoger información de los errores cometidos por la población estudiada atendiendo a la
clasificación propuesta por Julia Centeno: errores relacionados con la lectura y escritura
de los números, errores relacionados con el cero, errores relacionados con el orden de
los decimales y errores relacionados con las operaciones.
A continuación se da cuenta de los diferentes ítemes del cuestionario elaborado,
indicando que se pretende avaluar:
1) Se trata de un ejercicio de ordenación donde se pone a prueba las
dificultades que tienen los alumnos para interpretar el valor de posición de
los números decimales y su orden.
2) Este ítem pretende reconocer si se tienen conocimiento de la densidad de
los números decimales.
3) Este problema pone a prueba las dificultades con la multiplicación de
números decimales por 10 ó 1000.
4) El ejercicio pretende aproximar los números decimales a las unidades más
cercanas con el objetivo de saber si comprenden entre que número natural
está comprendido el número decimal.
5) Se trata de una cuestión relacionada con el orden de los decimales.
6) El problema propuesto pretende dar cuenta de la suma de números con
distintas cifras decimales.
28
7) El ejercicio muestra el conocimientos sobre en el significado de las cifras
decimales relacionado con su lectura y escritura.
8) El ítem propone la realización de cinco operaciones de suma de números
decimales y cinco operaciones de producto de pares de números
decimales.
9) El ejercicio sugiere la continuación de diferentes series con números que
contienen cifras decimales.
10) Este problema está relacionado con las operaciones de producto y división
de números decimales.
11) Los cuatro problemas propuestos pretenden poner a prueba el
conocimiento sobre la ordenación de los números decimales.
29
4.4. El grupo piloto
En los trabajos cuantitativos donde nos encontramos con grandes poblaciones, se
suele realizar una prueba piloto, ésta consiste en la aplicación previa a menor escala de
los procedimientos que se realizarán en el estudio general. A partir de esta experiencia
previa se podrán realizar ajustes que permitan validar de forma más objetiva el
instrumento.
En nuestro estudio, el 14 de marzo de 2011 se pasó a un grupo piloto la primera versión
del cuestionario elaborada con el objetivo de poner a prueba su idoneidad (ver Anexo 3).
El grupo piloto estaba formado por nueve alumnos adultos del grupo de la clase de Preacceso que coordina el autor del estudio. La clase de Pre-acceso está destinada a
alumnos que desean realizar el Curso a Mayores de 25 años en la Universidad Nacional
de Educación a Distancia, habiendo de superar una prueba selectiva. Estos alumnos no
han recibido una instrucción específica sobre los números decimales en el marco del
curso debido a que se supone que es un contenido que ya han de dominar.
Los componentes de este grupo poseen distinta formación académica de origen, desde
estudios primarios a universidad. Las edades de los alumnos en este grupo piloto están
comprendidas entre los 28 a los 47 años. Las procedencias también son dispares,
predominando las culturas de origen latino: cuatro alumnos de nacionalidad española,
dos de Bolivia, uno de Uruguay, uno de República Dominicana, y finalmente, un alumno
de origen rumano.
Se pasó el cuestionario en un contexto de aula ordinaria y se dieron unas instrucciones
mínimas sobre el estudio llevado a cabo, en general, y sobre el ejercicio, en particular. No
se impuso límite de tiempo para responder al cuestionario. El tiempo en realizar el
cuestionario fueron de 20 minutos, el alumno que menos tardó, y de 90 minutos, el que
más tiempo necesitó para su finalización.
30
A continuación se resumen las observaciones que se hicieron en la realización del
cuestionario:
1. Cuestionario excesivamente largo para según que alumnos. No obstante, el tiempo de
respuesta no depende nivel educativo del adulto.
2. Algunos alumnos solicitan un folio para anotar operaciones que no se encuentra en el
dossier del cuestionario.
3. Algunos alumnos de origen latinoamericano no entendían el significado de la coma
como representación de la expresión del decimal.
4. Dificultades en la expresión “comprendido” del ítem 2.
5. Dificultades en comprender la expresión “por término medio” del enunciado del ítem 3.
6. En el ítem 4 los alumnos preguntan como marcar el número mayor.
7. La expresión “canalón de un tejado” del ítem 10 crea dificultades por falta de léxico del
alumnado.
8. En el ejercicio 11 el sistema monetario del euro no posee monedas de 25 céntimos y
en algunos casos crea confusión.
9. La pregunta “¿Quién ha corrido más rápido?” y la expresión “marca” del ítem 13 c) crea
confusión que ha tenido que ser aclarada verbalmente.
Seguido del análisis en la realización de la prueba por parte del grupo piloto, se
determinan las siguientes modificaciones para la versión final del cuestionario (ver Anexo
4):
1. Reducir el cuestionario eliminando los siguientes ítems:
Ej. 3 – No aportan más información de las que nos pueda dar el ítem 8 de
operaciones.
Ej. 7 – Problema que crea dificultad sin aportar relevancia a nuestro estudio
(aplicación de una regla de tres).
Ej. 11 – Vistos los resultados del estudio piloto, el ejercicio no aporta información
concluyente en la investigación.
31
Ej. 14 – Eliminar los apartados d, e y f debido a que se concluye lo mismo que en
los apartados a, b y c del mismo ejercicio.
2. Al eliminar preguntas quedará una parte de un folio del mismo cuestionario para
queden constancia de las operaciones realizadas.
3. Aclarar al inicio de la realización del cuestionario con cada grupo que el significado de
la coma se corresponde con el signo del punto, por si existiera esa duda.
4. Cambiar la redacción y la forma del ejercicio 2 por “Escriba un número que esté entre
cada una de las parejas siguientes: a) 1,3 – ___ – 1,4 (...)”.
5. Cambiar la palabra “Marque” del ítem 4 por la palabra “Redondee”.
6. Cambiar la expresión “canalón de un tejado” del ítem 10 por la de “tubería”.
7. Cambiar la redacción de la cuestión 13 c) por “ha corrido en 14,17 segundos (...)” y la
pregunta por “¿Quién ha corrido en menos segundos?”, aún siendo repetitivos es más
claro el enunciado.
32
4.5. La recogida de datos
Una vez realizados los ajustes oportunos al cuestionario inicial derivados del estudio
piloto se pasó a realizar la recogida de datos del grueso de la muestra. El cuestionario
definitivo (ver anexo 5) se realizó durante la última semana de marzo y la primera de abril
en el contexto de aula ordinaria solicitando al profesor o profesora de referencia el tiempo
dedicado a sus clases.
Al inicio se ha explicado a los alumnos el contexto de la investigación, justificada por una
necesidad cada vez mayor de comprensión de los números decimales; entre otros
motivos, debido al cambio de moneda de peseta a euro. Posteriormente se ha dado una
breve orientación sobre el cuestionario y entregado éste. Es importante aclarar que no
hubo ninguna limitación del tiempo en la realización de los ejercicios por parte de los
alumnos.
Se hizo hincapié en que no se sintieran presionados por desconocer la respuesta. Este
énfasis se debió al comprobar, en los primeros grupos, que había cierta resistencia por
parte de los alumnos adultos a ser evaluados.
Mientras se realizaba la prueba, a algunos alumnos les surgieron algunas dudas a las
que se dieron respuesta si no se trataba de contenidos del cuestionario.
El tiempo de respuesta del cuestionario fue dispar; algunos alumnos acabaron en veinte
minutos, en cambio, otros necesitaron todo el horario de la clase que se extiende a unos
cien minutos.
33
5. Análisis de datos y resultados
5.1. Vaciado de los cuestionarios
Una vez los cuestionarios fueron contestados por los alumnos, se realizó la
extracción de datos utilizando para este objetivo el programa de procesamiento
estadístico PSPP (versión libre del conocido programa de IBM, el SPSS).
Para el vaciado de datos se consideraron las siguientes variables personales que fueron
introducidas en el programa estadístico (ver Anexo 6):
1) Nombre: indicando solo las iniciales del alumno que responde el
cuestionario por motivos de protección de datos.
2) Edad: se incluyen los años que tiene el alumno.
3) Nacionalidad: se da cuenta del origen del alumno según las siguientes
categorías: española, europea excepto España, Magreb (Marruecos,
Túnez y Argelia), Resto de África, Asia, América del Norte, América del
Sud y Centro, Oceanía.
4) Tiempo en España: se muestra los años que el alumno de origen
extranjero lleva en España.
5) Estudios: el cuestionario también hacía hincapié en los estudios previos
del alumno; éstos se han clasificado según la siguiente distribución: sin
estudios, con estudios primarios no finalizados, con estudios primarios
finalizados, con la secundaria obligatoria acabada, con formación
profesional, con secundaria no obligatoria o bachillerato o con estudios
universitarios.
6) Profesión: de la misma forma, se refleja la profesión de los encuestados
según una adaptación de la Clasificación Nacional de Ocupaciones
aprobada este año 2011 por el Instituto Nacional de Estadística y que
daría lugar a las siguientes categorías: sin profesión; directores y gerentes;
34
técnicos y profesionales científicos e intelectuales; técnicos y profesionales
de apoyo; empleados contables, administrativos y otros empleados de
oficina; trabajadores de los servicios de restauración, personales,
protección y vendedores; trabajadores cualificados en el sector agrícola,
ganadero, forestal y pesquero; artesanos y trabajadores cualificados de las
industrias manufactureras y la construcción; ocupaciones elementales y
trabajadores no cualificados y, finalmente, una categoría para otras
profesiones.
En cuanto a los ejercicios del cuestionario se clasificaron en seis variables, tal y como se
muestran a continuación:
1) Errores de ordenación 1: en esta categoría se analiza las respuestas del
ejercicio 1 del cuestionario, clasificándolos en cinco rangos: 0- Ningún
error, 1- De 1 a 3 errores, 2- De 4 a 6 errores, 3- De 7 a 9 errores, 4- Con
10 o más errores.
2) Errores de ordenación 2: aquí se analizan las respuestas del ejercicio 5 del
cuestionario, clasificándolos, igualmente, en cinco rangos: 0- Ningún error,
1- De 1 a 4 errores, 2- De 5 a 8 errores, 3- De 9 a 12 errores, 4- Con 13 o
más errores.
3) Problemas de ordenación: en este caso las respuestas analizadas son las
de los cuatro problemas del ítem 11, éstos son catalogados en los
siguientes rangos: 0- Ningún error, 1- Un error, 2- Dos errores, 3- Tres
errores, 4- Cuatro errores.
4) Errores de escritura: estudiando las respuestas de los ejercicios 7 y 9 del
cuestionario, estando clasificados según los siguientes rangos: 0- Ningún
error, 1- De 1 a 4 errores, 2- De 5 a 8 errores, 3- De 9 a 12 errores, 4- Con
13 o más errores.
5) Errores con el cero: en esta categoría se analiza la combinación de las
respuestas de los ejercicios 3, 5 (apartados f,h,k,l) y 8 (apartados i,j) del
cuestionario donde aparecen ceros en su desarrollo; se han clasificado en
los siguientes rangos: 0- Ningún error, 1- De 1 a 2 errores, 2- De 3 a 4
errores, 3- De 5 a 6 errores, 4- Con 7 o más errores.
35
6) Errores en las operaciones: se describen aquí los errores en las
respuestas de los ítem 8 y 10 relacionados con la operación de suma y
producto de números decimales; se clasifican, igualmente, en los
siguientes rangos: 0- Ningún error, 1- De 1 a 3 errores, 2- De 4 a 6 errores,
3- De 7 a 9 errores, 4- Con 10 o más errores.
Como se puede observar, los seis tipos de errores se han clasificado en cinco rangos: 0,
para indicar que no se ha producido ningún error, y de 1 a 4, para indicar un número
creciente de errores. Vemos que para un mismo rango no coinciden en cada tipo de error
el número de equívocos; ello es debido a que el número de errores posibles es diferente.
Lo que se ha realizado ha sido distribuir el máximo número de errores de cada tipo en los
cuatro rangos para mantener la uniformidad del rango.
Asimismo se aprecia que los ejercicios de ordenación de los números decimales se han
estructurado en tres variables distintas, la mitad de las seis establecidas. Este mayor
peso específico, respecto a los otros tipos de errores se justifica debido a que los de
ordenación de los números decimales son los que más dificultades producen y son,
también, las dificultades que mayor interés provocan en los investigadores de otros
estudios precedentes aludidos en el apartado de referentes teóricos.
Se puede observar que los ítems 2, 4 y 6 del cuestionario no han sido analizados. El
ejercicio 2 no ha sido incluido en el catálogo de respuestas observadas debido a las
dificultades que dio en su comprensión, tal y como se ha explicado en el apartado de
descripción del instrumento. Por su parte el ejercicio 4 no se considera relevante para el
estudio de las dificultades de los números decimales y su comprensión de lo que se
debía realizar también mostró dificultades. Finalmente, el problema 6, no se ha incluido
debido a que su extenso redactado produjo dificultades de comprensión lingüística; por
este motivo su incorporación en el análisis provocaría un sesgo que no sería coherente
con el estudio de los errores en los números decimales.
36
5.2. Estudio de frecuencias de los errores cometidos
Una vez realizado el vaciado de los cuestionarios en el programa estadístico, el
primer paso efectuado fue un análisis estadístico descriptivo de las frecuencias de las
seis variables referentes a los grupos de errores, según la clasificación examinada en el
apartado anterior.
Así, respecto a la primera variable de errores, los “errores de ordenación 1”,
correspondientes al ejercicio 1 del cuestionario, observamos cómo la mayoría de los
sujetos tienen entre uno y seis errores (rango 1 y 2) de los diez posibles del ejercicio. En
una proporción casi igual, el cuarenta por ciento está en el rango 1 (de uno a tres errores)
y el treinta y cinco por ciento se encuentra en el rango 2 (de cuatro a seis errores).
También podemos ver que solo veintidós sujetos (trece por ciento) no han cometido
ningún error; asimismo, el número de sujetos que responden de forma equivocada en
más de seis ocasiones suman diecisiete, lo que representa algo más del diez por ciento
(ver Gráfico 1).
Gráfico 1
37
Siguiendo con las dificultades de ordenación de los números decimales, examinamos los
“errores de ordenación 2”, que analiza el ejercicio 5 del cuestionario, observando cómo
hay una variabilidad de errores; siendo el caso más general la realización de uno a cuatro
errores (rango 1), con un porcentaje que supera el treinta y cinco por ciento. Es
significativo, cómo casi uno de cada tres sujetos cometen nueve o más errores (rango 3 y
4) de los quince posibles y solo el veinte por ciento de la población, treinta y tres
alumnos, no cometen ningún error en el ejercicio. (ver Tabla 1).
Tabla 1
En cuanto a los Problemas de ordenación, donde se analizan los errores producidos por
los problemas del ítem 11 del cuestionario, podemos observar que en estos ejercicios,
donde los números decimales están contextualizados, las dificultades son menores, casi
el sesenta por ciento de los sujetos cometen uno o ningún error en su ejecución, siendo
un porcentaje que supera el cuarenta por ciento la cantidad de alumnos que no cometen
ningún error; tal y como puede observarse en la Tabla 2. El dieciséis por ciento de la
población comete dos errores y casi el quince por ciento se equivoca en más de tres
ocasiones de los cuatro problemas propuestos.
Tabla 2
38
El siguiente grupo analizado es el de los “errores de escritura”, estudiando los ejercicios 7
y 9 del cuestionario. Cabe señalar, en este caso, como los errores, aún siendo poco
significativos, más del ochenta por ciento comete cuatro o menos errores de los nueve
posibles (rango 0 y 1), la mayoría de éstos se producen en el ejercicio 7 donde se pide
que se muestre que cantidad indica un número decimal escrito en palabras: 37
milésimas, 18 centésimas y 4 décimas. Con esta consideración, solo el veinte por ciento
de los sujetos (treinta y tres personas) no cometen errores en la escritura de los números
decimales (Ver la Tabla 3).
Tabla 3
También resultan importantes los errores relacionados con el cero, siendo más del
cuarenta por ciento la cantidad de personas que cometen más de tres errores de los ocho
posibles. Asimismo resulta significativo el número de sujetos que no responden a los
ejercicios incluidos en esta categoría, el quince por ciento, superando al resto de
categorías. El reciente análisis lo podemos observar en el siguiente gráfico (Gráfico 2):
Gráfico 2
39
Para finalizar el presente análisis de frecuencias de errores, destacamos el poco número
de personas que no cometen ningún error en la categoría de “errores en las
operaciones”, solo diez alumnos. El resto de frecuencias se distribuye de forma uniforme,
tal y como se puede ver en la Tabla 4; la mitad aproximadamente de los sujetos realizan
menos de seis errores, y similar porcentaje producen un número superior a siete de los
trece errores posibles o no responden a los ejercicios implicados en la categoría.
Tabla 4
El estudio de las frecuencias de los errores no quedaría completo sin antes realizar un
estudio de las correlaciones entre los diferentes errores cometidos mediante el test de
Chi-cuadrado de Pearson.
La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las dos
variables que intervienen en una distribución bidimensional determinando si los cambios
en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda,
diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas.
En nuestro caso, se puede observar en la Tabla 5 como si que existe una correlación
entre los diferentes errores. Observamos que en casi todas las interrelaciones de errores
el grado de significación, Sig. (2-tailed), está próximo al cero. Ello indica que hay
correlación entre las variables dos a dos. Es decir, los errores cometidos son mutuamente
dependientes entre ellos, determinando que los sujetos del estudio, en general, cometen
errores de forma consistente en el desarrollo del cuestionario.
40
Correlaciones entre tipo
de errores
Pearson
Errores de
ordenación_1
Correlation
Errores de
Errores de
ordenación_1 ordenación_2 ordenación
1
Sig.
(2_tailed)
Pearson
Errores de
ordenación_2
Correlation
Sig.
(2_tailed)
Pearson
Problemas de
ordenación
Correlation
Sig.
(2_tailed)
Pearson
Errores de
escritura
Correlation
Sig.
(2_tailed)
Pearson
Errores con el
cero
Correlation
Sig.
(2_tailed)
Pearson
Errores en
operaciones
Correlation
Sig.
(2_tailed)
Problemas Errores de
escritura
Errores
Errores en
con el cero operaciones
,461**
,351**
,271**
,393**
,209**
,000
,000
,001
,000
,008
1
,376**
,438**
,398**
,196*
,000
,000
,000
,013
1
,375**
,439**
,369**
,000
,000
,000
1
,390**
,415**
,000
,000
1
,682**
,461**
,000
,351**
,376**
,000
,000
,271**
,438**
,375**
,001
,000
,000
,393**
,398**
,439**
,390**
,000
,000
,000
,000
,209**
,196*
,369**
,415**
,682**
,008
,013
,000
,000
,000
Tabla 5
41
,000
1
5.3. Análisis comparativo entre el nivel educativo de los alumnos
y los errores cometidos
Recordemos, tal y como vimos en el apartado 4.2., que el nivel de estudios
finalizados de la población analizada es más bien bajo, destacando que uno de cada
cinco no dispone de estudios primarios finalizados (34 personas) y algo más de la mitad
de los sujetos investigados dispone solo de estudios primarios finalizados o la actual
educación secundaria obligatoria (90 personas). Es decir, el ochenta por ciento de la
población del estudio no supera los estudios de educación secundaria obligatoria. El
veinte por ciento restante poseen estudios de formación profesional (nueve sujetos), de
bachillerato (doce sujetos), universitarios (once sujetos) y cuatro sujetos más en la
categoría de otros estudios.
En esta sección se realiza un análisis comparativo entre el nivel de estudios de los
sujetos de la investigación y los errores cometidos en las seis categorías propuestas. Con
este objetivo se ha realizado el test de Chi-cuadrado de Pearson entre estas variables, se
han obtenido tablas cruzadas y se han extraído diagramas de cajas entre los parámetros
expuestos mediante el programa estadístico utilizado en la investigación.
Como pudimos observar en el apartado anterior, el test de Chi-cuadrado de Pearson nos
da cuenta de las correlaciones que pudieran existir entre un par de variables analizadas.
En nuestro caso realizamos la prueba a la variable nivel de estudios con cada una de las
seis categorías de errores, tal y como puede observarse en la siguiente tabla 6:
42
Correlaciones Tipos de error / Estudios finalizados
Estudios finalizados
Pearson Correlation
-,303**
Sig. (2-tailed)
,000
Pearson Correlation
-,209**
Sig. (2-tailed)
,008
Pearson Correlation
-,209**
Sig. (2-tailed)
,008
Pearson Correlation
-,107
Sig. (2-tailed)
,177
Pearson Correlation
-,225**
Sig. (2-tailed)
,004
Pearson Correlation
-,068
Sig. (2-tailed)
,394
Errores_de_ordenación_1
Errores_de_ordenación_2
Problemas_de_ordenación
Errores_de_escritura
Errores_con_el_cero
Errores_en_operaciones
Tabla 6
Observando la Tabla extraída del programa estadístico vemos que si existe correlación
entre el nivel de estudios finalizados con casi todas las tipologías de errores, no obstante,
podemos observar algunas excepciones. Recordemos que existe correlación cuando los
valores de significación, indicado con Sig. (2-tailed) y negrita en la tabla, no superan el
0,01.
Así podemos ver que hay una correlación positiva entre los estudios finalizados y los
errores cometidos en los ítems de ordenación, tanto los ejercicios que componen las
43
categorías de errores de ordenación 1 y 2 como los ejercicios de los que están
compuesto la categoría de problemas de ordenación. Así en los tres casos el índice de
significación no supera el 0,008 lo que indicaría una buena correlación.
En el mismo caso nos encontraríamos con los errores derivados del uso del cero,
también con un índice de significación bajo, 0,004, lo que indicaría que existe correlación
entre el nivel de estudios y este tipo de error.
La Tabla 6 nos mostraría los casos opuestos, los que no existen correlaciones entre el
nivel de estudios y el tipo de error, observando que ello ocurre con los errores de
escritura y los errores en las operaciones, con una significación (léase Sig. (2-tailed)) de
0,177 y 0,394, respectivamente. Ambos casos muy superiores al índice límite de 0,01 que
indicaría la existencia de esta correlación.
Pero, ¿qué implica que exista o no correlación entre el nivel de estudios y los errores
cometidos?. A grandes rasgos se podría afirmar que la existencia de correlación nos
indicaría que un mayor nivel de estudios pronosticaría un menor número de errores en la
resolución de los ítems que compondrían la categoría del error y, al contrario, a un nivel
de estudios bajo nos daría un número mayor de errores. Veamos, caso por caso,
mediante gráficas y tablas si, ciertamente, así es.
Analizando el diagrama de cajas del gráfico 3 observamos como, efectivamente, a mayor
nivel de estudios las cajas se van desplazando hacia la parte baja de la gráfica lo que
indicaría un número menor de errores de ordenación del tipo 1. Podemos ver como el
salto se produce entre los alumnos que tienen hasta un nivel de secundaria obligatoria y
los que tienen estudios superiores a la formación profesional o bachillerato. Resulta
relevante observar como no existe diferencia alguna entre los errores que cometen los
alumnos con estudios primarios y los que tienen la secundaria obligatoria finalizada.
44
Gráfico 3
Realizando el mismo análisis en el Gráfico 4, comparando el nivel de estudios con los
errores de ordenación 2, podemos llegar a semejante conclusión que en el caso anterior.
Aún no siendo un diagrama tan uniforme como en el caso anterior podemos observar la
tendencia a la baja del número de errores conforme aumenta el nivel de estudios.
Podemos observar, igualmente, como el salto a un menor número de errores se produce
justo después una vez finalizada la secundaria obligatoria.
45
Gráfico 4
En cuanto a los problemas de ordenación cruzados con el nivel de estudios, podemos
observar en el Gráfico 5 como de la misma forma existe una disminución clara de los
errores en función de un mayor nivel académico. En este caso la diferencia entre los
estudios inferiores a la secundaria obligatoria y los que son superiores es mayor, con una
media de ningún error para estudios post-obligatorios. Esta mayor diferencia puede estar
motivada por una mayor dificultad de comprensión lingüística en la realización de los
problemas para aquellos sujetos que poseen un nivel de estudios bajo.
46
Gráfico 5
Continuando con el estudio entre la formación académica de los sujetos de la
investigación y el número de errores cometidos, a la vista del Gráfico 6 no se puede
afirmar que existe una correlación significativa entre el nivel de estudios y los errores de
escritura. Observamos como aún habiendo una tendencia a reducir el número de errores
conforme aumenta el nivel de estudios, situándose las cajas en la parte baja en los
estudios superiores al bachillerato, no obstante, la media prácticamente se sitúa en el
mismo número de errores. No habiendo una reducción significativa tal y como se
observaba en los tres grupos de errores de ordenación anteriores. Ya vimos que esto,
efectivamente, era así por el nivel de significación que nos mostraba el test Chi-cuadrado
de Pearson de 0,177, superior al 0,01 que mostraría que existiría una correlación entre
ambas variables.
47
Gráfico 6
Lo mismo ocurre con los errores en la operaciones, pero de forma aún más marcada. Ya
pudimos observar que el test de Chi-cuadrado nos daba una significación de 0,394, la
correlación más dispar entre el nivel de estudios y el tipo de error. Vemos como en el
Gráfico 7 no exista la tendencia a ir descendiendo el número de errores en función del
nivel académico y observamos como las medias van bailando entre los valores de error 2
y 3. Extrañamente los sujetos con formación profesional cometen más errores en
operaciones que los alumnos con estudios inferiores, hecho que no sucedía en ninguno
de los casos anteriores.
48
Gráfico 7
49
5.4. Los errores cometidos por los alumnos considerados
obstáculos cognitivos
El presente trabajo da cuenta como muchos de los errores cometidos se han
reproducido de forma sistemática, en diferentes ejercicios y por distintos alumnos,
revelando la existencia de muchos modelos implícitos erróneos. Consideramos que estos
errores no han aparecido de forma aislada, sino que están relacionados con una cierta
manera de conocer que permite detectar las resistencias a la evolución del concepto del
número decimal. Siguiendo el marco teórico que sustenta nuestro estudio, hemos
considerado que estos errores, persistentes y repetitivos, se tratan de obstáculos
cognitivos.
A continuación, analizando ítem a ítem el cuestionario propuesto, destacamos los errores
más habituales cometidos por los alumnos motivados por lo que nosotros consideramos,
tal y como decíamos, obstáculos cognitivos.
Así, en el ejercicio 1 se pedía ordenar dos conjuntos de números decimales: 40,2–4,12–
4,02–43,25–40,12–4,325 y 0,606–0,0666–0,6–0,66–0,060–0,066.
En la ordenación del primer grupo de números decimales el error más frecuente y
reproducido por multitud de alumnos es considerar que el número decimal 40,2 es más
pequeño que el decimal 40,12. Observaríamos como estos errores se deberían a la
aplicación de la primera regla a la que hacían referencia los autores Grisvart y Leonard
(1981, 1983) y que vimos en el apartado teórico. Recordemos
la Regla 1, que los
alumnos utilizarían en la ordenación de números decimales, afirmaba que “Entre dos
números decimales con la misma parte entera el número superior es aquél donde el valor
de la parte decimal es mayor”. Por ejemplo 12,113 >12,4 ya que 113>4 o, como nuestro
ejercicio, 40,12>40,2 ya que 12>2, errando así la respuesta.
Hemos podido ir observando en el vaciado de los cuestionarios que la utilización de esta
Regla ha resultado un obstáculo cognitivo insalvable para muchos sujetos, provocando
50
un gran número de errores en las respuestas, ya sean en ejercicios de ordenación o en
operaciones aritméticas con números decimales.
La segunda colección, como era de prever, producía mayores dificultades, y
consiguientemente, mayor número de errores. La equivocación más habitual en este caso
era debida a la aplicación de la Regla 2 de Grisvart y Leonard (1981, 1983), que
considera que “entre dos números decimales con la misma parte entera el número
superior es aquél donde el número de cifras decimales es menor”. Por ejemplo 12,24 <
12,7, pero 12,94<12,9; o como en nuestro caso considerar erróneamente que 0,66 < 0,6.
El objetivo del ejercicio 3 era resolver un problema que implicaba multiplicar un número
decimal por diez y por mil, siendo los errores más repetidos los siguientes:
83,25x10=830,25 ó 83,25x10=83,250 y 83,25x1000=83000,25 ó 83,25x1000=83,25000.
Observamos cómo el obstáculo está motivado porque el número decimal se separa la
parte entera de la decimal tratándola de forma independiente y no como un número
global.
El ítem 5 del cuestionario tenía como finalidad comparar parejas de números decimales e
indicar cuál era mayor. Los errores cometidos se justifican, como en el ejercicio 1, por la
aplicación errónea de las reglas establecidas por los autores Grisvart y Leonard (1981,
1983). Las equivocaciones más comúnmente cometidas son las que a continuación se
indican: 8,7<8,14 (aplicación errónea de la regla 1); 12,53<12,5 (regla 2); 4,7<4,70 (regla
2) ó 4,7>4,70 (regla 1); 12,05=12,5 (regla 3) y 0,36=0,036 (regla 3).
En el ejercicio 7 donde se pedía qué decimales indicaban las siguientes cantidades: 37
milésimas, 18 centésimas y 4 décimas; produjo muchas dificultades a casi todos los
encuestados con variedad de resultados. El error más habitual fue responder 37000, 18 y
4, respectivamente. El obstáculo, en este caso, es no tener realmente claro el concepto
de decimal y su significado.
En cuanto al ejercicio 8, relacionado con las operaciones de sumar y multiplicar números
decimales, los errores más significativos se recogen en la siguiente tabla:
51
3,7 + 5,8 = 8,15
0,3 x 0,3 = 0,9 ó 00,9
15,45 + 12,55 = 27,100
2,5 x 3 =6,15 ó 6,5
0,85 + 0,2 = 0,87
2,3 x 2,3 =4,9 ó 4,6 ó 52,9
0,7 + 0,4 + 0,2 = 0,13
437,56 x 10 = 4370,56 ó 437,560 ó 4370,560
2,37 + 14,6 = 16,43
75,24 x 100 = 7500,24 ó 75,2400 ó 7500,2400
Estos errores se justifican mediante los mismos obstáculos que provocaban los
equívocos del ejercicio 3; es decir, por el hecho de que el número decimal no se
considera como una unidad compuesta de una parte entera y una parte fraccionaria
separada por la coma, sino que la coma lo que hace es separar dos números enteros
cometiendo la equivocación de sumar o multiplicar independientemente la parte entera
por un lado y la parte decimal por el otro.
Por su parte en el ejercicio 9 que solicitaba continuar dos series de números decimales,
los errores más significativos se daban, sobretodo, en la primera de las series,
observando que el obstáculo es similar a la estudiada en los ejercicios anteriores:
a) 14,07 – 14,08 – 14,09 – 15,00 – 15,1 ó 14,010 – 14,011
b) 3,96 – 3,97 – 3,98 – _____ –
3,100
El ejercicio 10 demandaba marcar el resultado mayor de la operación producto y la
operación cociente de tres parejas de números (9x3 y 9:3; 9x0,3 y 9:0,3, 9x0,3 y 0,9:0,3).
En el primer caso no ha habido ningún error significativo, no así en el segundo y el
tercero. En estos casos el obstáculo era producto de la extensión de la creencia de que el
resultado de multiplicar dos números siempre ha de ser mayor que su división. Un
alumno, respecto a esta cuestión, lo proclamó con la expresión “divide y vencerás”.
52
Para concluir, el último ítem del cuestionario, que requería la comparación de dos
números decimales mediante problemas en contextos que podían ser cercanos al
alumno, también ha provocado ciertas dificultades. Así, en el apartado a) se trataba de
comparar la altura de dos personas, una de 1,61 metros y otra de 1,8 metros; pues bien,
algunos alumnos interpretaban que 1,8 metros resultaba ser 1 metro y 8 centímetros,
afirmando que éste era más bajo. Un caso similar ocurría en el apartado b) dónde se
comparaba el largo de dos mesas de 3,3 metros y 3,04 metros. De igual manera que en
el apartado anterior, algunos sujetos de la investigación interpretaban el número 3,3
metros como 3 metros y 3 centímetros, dando así una respuesta errónea. En el apartado
c) también se requería la comparación de dos números decimales mediante un problema
de velocidad en segundos; se trataba de responder a la cuestión de qué es menos tiempo
14,036 segundos o 14,17 segundos, a lo que en algún caso la respuesta era que 14,036
es mayor, debido a la comparación entre números decimales tomados como enteros.
Finalmente, el último apartado había que indicar qué cantidad de dinero era mayor si 2
euros y 55 céntimos ó 2,7 euros; pues bien, algunos alumnos consideraron que 2,7 euros
correspondían a 2 euros y 7 céntimos, errando, así, en su repuesta. Como los errores de
ordenación anteriormente analizados estos errores se justifican por lo que nosotros
consideramos un obstáculo cognitivo debido a la aplicación incorrecta de las tres reglas
ya ampliamente citadas de Grisvart y Leonard (1981, 1983).
53
5.5.
Análisis
de
cuestionarios
significativos
de
alumnos
representativos
En este apartado analizaremos algunos ejemplos de cuestionarios de alumnos
que nos parecen representativos debido a la incongruencia en las respuestas que ofrecen
en el global del cuestionario.
Podemos ver cómo JBG de nacionalidad española, con cincuenta y nueve años y
estudios de bachillerato, no comete ningún error en la ordenación de decimales,
realizando correctamente los tres ejercicios propuestos. No ocurre lo mismo con los ítems
relacionados con las operaciones, sobre todo en las que interviene el cero, cometiendo
errores tales como 83,25x10=830,25 ó 75,24x100=7500,24. Estos errores se entienden
solo por un obstáculo cognitivo, posiblemente de origen didáctico, en la comprensión del
producto de números decimales por múltiplos de diez.
AH de treinta y cuatro años, nacionalidad española y estudios primarios finalizados o
MAT de cincuenta y cinco años, nacionalidad española y estudios de bachillerato,
cometen errores en el mismo sentido que el sujeto anterior. De esta forma, y sin errores
significativos en la ordenación de números decimales, AH y MAT cometen errores que
muestran una concepción equivocada en el significado de las décimas y centésimas. Así
reproducen los mismos errores que el sujeto anterior con respecto al producto de
múltiplos de diez, añadidos a los siguientes sobre las operaciones de decimales:
3,7+5,8=8,15; 0,85+0,2=0,87;2,5x3=6,15 y 2,3x2,3=4,9; entre otros en el mismo sentido.
Resultan significativos estos errores en el caso de AH cuando es uno de los pocos
sujetos de la investigación que no comete ningún error en la escritura de los decimales,
indicando correctamente el significado de 37 milésimas, 18 centésimas y 4 décimas.
Un error distinto en el mismo ejercicio cometen CFR con veintitrés años, nacionalidad
española y la secundaria obligatoria finalizada y AAC de treinta y dos años, de origen
senegalés y estudios secundarios. En estos casos el error se produce en otro sentido,
considerando que éste es producto de un obstáculo cognitivo en la comprensión de los
números decimales distinto al anterior. Así, en los productos anteriores relacionados con
54
el cero los resultados erróneos que da el sujeto son los siguientes: 83,25x10=83,250 ó
75,24x100=75,2400.
Otro problema diferente es el de los sujetos, sobretodo de nacionalidad marroquí, que no
cometen errores en las operaciones con números decimales pero tienen serias
dificultades en la ordenación de estos números. Este es el caso de OA (veintinueve años,
nacionalidad marroquí y estudios secundarios finalizados) que no cometiendo errores en
las operaciones, no reconoce el mayor entre dos números decimales: produce múltiples
errores en el ejercicio cinco pero, sorprendentemente, no así en los problemas de
ordenación del ítem once. En cambio TA (treinta y cinco años, nacionalidad marroquí y
estudios primarios) o HZ (cuarenta y tres años, nacionalidad marroquí y estudios
secundarios finalizados) también los comete en los cuatro problemas de ordenación
propuestos, pero no así en las operaciones. Aún siendo significativa la cantidad de
sujetos marroquíes con esta dificultad, también los hay de otros orígenes como JCR
(treinta y cinco años, nacionalidad española y estudios primarios) o NMC (cincuenta y
seis años, origen español y estudios primarios).
Otro caso distinto es el de PZ (nacionalidad ecuatoriana y estudios primarios) donde los
errores solo se producen de ordenación cuando están contextualizados, es decir, no
comete errores en el ejercicio de ordenación número cinco pero sí en los problemas del
ítem once.
Los casos de RBR (treinta y dos años, nacionalidad española y estudios primarios), CPR
(treinta y cinco años, nacionalidad española y estudios primarios) y de CMB (veintidós
años, nacionalidad peruana y estudios secundarios) resultan paradigmáticos debido a
que no cometen errores ni en la ordenación ni en las operaciones con números decimales
pero si lo hace en la comprensión del significado de milésimas, centésima y décimas
cometiendo todos los errores posibles en el ejercicio siete.
Para acabar esta revisión más particularizada, nos encontramos con casos extremos con
sujetos con estudios universitarios como OE de treinta años, nacionalidad nigeriana o JT
con cuarenta y un años y de nacionalidad cubana, con múltiples dificultades en la
resolución del cuestionario; o por el contrario, AA con veintinueve años, origen marroquí y
sin estudios primarios finalizados, que no comete errores en ningún ejercicio.
55
6. Conclusiones y prospectiva
6.1. Conclusiones
Un estudio descriptivo permite establecer el estado de la cuestión de un
determinado fenómeno educativo, en nuestro caso la comprensión de personas adultas
del concepto de número decimal. Estos estudios, como el nuestro, tal y como afirma Fox
(Bisquerra, 2009), son propios de la fase inicial de una investigación, preparándonos para
la elaboración de una nueva fase. Este ha sido nuestro objetivo: conocer si la
comprensión de los números decimales está resuelta o no a edades adultas, en personas
de distintos orígenes y formación académica dispar.
Las personas adultas tienen un contacto continuo con los números decimales: “la
inflación ha subido el 4,7%”, “el presupuesto para el próximo año es de 24,5 billones de
euros”, “el disco duro del ordenador es de 2,1 GB” o “el jugador de baloncesto mide 2,15
metros”. Pero la pregunta que surge es, ¿realmente entienden que significan estos
números con coma? La conclusión más general que podemos ofrecer, que se extrae del
presente estudio, es que los números decimales ocasionan múltiples dificultades en
muchos sujetos adultos con independencia de la edad, origen o nivel formativo.
Se han analizado las frecuencias de errores producidos en el desarrollo de un
cuestionario con ejercicios sobre los números decimales clasificando la cantidad de
errores de los distintos ejercicios en seis categorías: errores de ordenación 1 y 2, errores
en problemas de ordenación, errores de escritura, errores con el cero y errores en las
operaciones. Como hemos podido observar en el apartado 5.2 la población investigada
comete, en conjunto, una media que supera la mitad de los errores posibles del
cuestionario.
56
En el punto 5.3 hemos podido establecer una relación entre el nivel de estudios y el
número de errores cometidos. Una relación clara, sobretodo en el caso de ordenación de
los decimales y en los problemas de ordenación de números decimales, suponiendo, en
este caso, que podía ser debido a las dificultades lingüísticas de comprensión de los
enunciados de los problemas. En los ejercicios de operaciones y escritura de los números
decimales, en cambio, no se puede extraer una relación causal entre un nivel de estudios
inferior con un mayor número de errores.
En este mismo apartado hemos podido observar como el número de errores era similar
entre aquellos alumnos que tenían un nivel de estudios primarios y aquellos que poseen
la enseñanza secundaria obligatoria, produciéndose el descenso en el número de errores
a partir de la formación profesional y bachillerato, pero no antes, que se mantienen en
semejantes niveles. En esta apreciación quedan excluidos, como hemos podido observar,
los ejercicios de ordenación y, sobretodo, las operaciones con números decimales, donde
no existe ninguna correlación estudios-errores.
No se han podido establecer otras relaciones determinantes como el origen o edad de los
sujetos o la profesión de los mismos y la cantidad de errores. Quizás solo se puede
apuntar que hay una tendencia, más cualitativa que cuantitativa, entre el origen de la
población de la investigación y el número o el tipo de errores cometidos. Así se puede
apreciar una tendencia
entre los alumnos de origen latino (excluyendo los de
nacionalidad española) a tener más dificultades en los ejercicios con números decimales.
Todo lo contrario que los alumnos de los países del este de Europa que poseen mayor
dominio del concepto decimal. También en el análisis de las distintas categorías de
errores hemos podido observar que hay una tendencia a que la población marroquí
cometa más errores de ordenación, pero no en las operaciones; o la española que es
todo lo contrario, que cometen errores en las operaciones, pero tienen menos dificultades
en la ordenación.
En el presente trabajo se ha podido observar como muchos de los errores cometidos se
han reproducido de forma sistemática, en diferentes ejercicios y por distintos alumnos,
revelando la existencia de muchos modelos implícitos erróneos. Considerábamos que la
repetición de estos errores estaban relacionados con una cierta manera de conocer que
permite detectar las resistencias a la evolución del concepto del número decimal. Estos
errores, los hemos considerado como obstáculos cognitivos, pero sin poder considerarlos
57
si eran de origen didáctico (debidos al profesor), ontogenético (por el alumno) o
epistemológico (motivados por conflictos con el saber).
Nuestra idea inicial era considerar los errores que se han cometido y analizados en el
apartado 5.4 como obstáculos epistemológicos. No obstante, mediante un análisis más
objetivo de la problemática nos parecía que esta denominación resultaría precipitada y
podría ser discutible. Efectivamente, para que estos errores puedan ser calificados como
obstáculos epistemológicos sería oportuno realizar un estudio histórico comparativo más
profundo. Para solventar este inconveniente hemos preferido englobarlos a todos los
errores estudiados como obstáculos cognitivos no especificando de que tipo son.
Finalmente, el estudio ha puesto de manifiesto una dificultad general en los números
decimales, con sujetos que han cometido errores frecuentes en todas las categorías. Aún
siendo la casuística amplia, y aunque solo se han ofrecido algunos ejemplos
significativos, hemos visto en el apartado 5.5 alumnos con dificultades específicas en la
ordenación o hemos hallado otros con múltiples errores en las operaciones, pudiendo
incluso distinguir algunos con
problemas específicos en la suma y otros solo en la
multiplicación.
58
6.2. Prospectiva
El estudio descriptivo, como inicio de una investigación, tiene sus potencialidades
pero también sus limitaciones. En nuestro estudio no hemos podido determinar los
motivos o las causas de las dificultades y los errores producidos por los sujetos que nos
aportaría así mayor información sobre la naturaleza del problema.
Un estudio cuantitativo permite manejar muchos datos a través de potentes herramientas
informáticas. Estos programas informáticos son complejos y requieren de un aprendizaje
que puede permitir ahondar en los resultados. Aquí solo se utilizan estas herramientas de
una forma superficial. No obstante, creemos que un mayor conocimiento de estos
instrumentos nos ofrecería resultados más amplios y profundos.
En una segunda fase de esta investigación se podría realizar un estudio cualitativo, a
través por ejemplo de entrevistas, que nos permitiría profundizar en el razonamiento
cognitivo de los sujetos e indagaría sobre el origen y fundamento de las dificultades sobre
el concepto de número decimal.
El presente estudio descriptivo permite anticipar algunas de las implicaciones didácticas
que todo trabajo en investigación educativa ha de contener. Este trabajo nos ha permitido
descubrir como muchas personas adultas sustentan sus interpretaciones del concepto de
número decimal en modelos falsos produciendo los errores que hemos podido observar y
analizar. El profesor o profesora ha de conocer estos modelos erróneos de los alumnos
para poder intervenir creando las condiciones para poder superar estos obstáculos y
progresar en los conocimientos y en la reorganización de los conceptos matemáticos. El
error ha de jugar un papel importante haciéndolo funcionar como motor de acción y
reflexión en unas situaciones didácticas apropiadas; el alumno, niño o adulto, debe
analizar su fracaso, reconsiderando sus estrategias o sus concepciones y rectificando su
manera de proceder (Brousseau, 1983). Una situación donde el alumno, protagonista de
su proceso educativo, ha superado una situación problemática que le ha conllevado a un
nuevo aprendizaje.
59
Para acabar no se ha hecho referencia al contexto donde se ha realizado la investigación,
la falta de libertad de la población, como factor determinante en los resultados. El estudio
cualitativo no ha permitido establecer esta conexión y consideramos que no sería así si el
estudio se hubiera desarrollado en otro paradigma más cualitativo.
60
7. Bibliografía
Artigue, M. (1990). Epistémologie et didactique. Recherches en didactique des
Mathématiques, 10 (2/3), 241-286.
Bachelard, G. (1988). La formación del espíritu científico. Buenos Aires: Siglo XXI.
Bisquerra Alzina, R. (coord.) (2009). Metodología de la investigación educativa. Madrid:
Editorial Muralla.
Brousseau,
G.
(1983).
Les
obstacles
épistémologiques
et
les
problèmes
en
mathématiques. Recherches en didactique des Mathématiques, 4 (2), 165-198.
Brousseau,
G.
(1989).
Les
obstacles
épistémologiques
et
la
didactique
des
mathématiques. Construction des savoirs (pp. 41-63). Ottawa: CIRADE.
Brousseau, G., Davis, R. y Werner, T. (1986). Observing Students at Work. En B.
Christiansen, A. G. Howson y M. Otte (Eds.), Perspectives on Mathematics
Education. Dordrecht: Kluwer.
Brousseau, G., y Balacheff, N. (2002). Theory of didactical situations in mathematics. New
York: Kluwer Academic Publishers.
Centeno Pérez, J. (1988). Números decimales ¿por qué? ¿para qué?. Madrid: Síntesis.
Desmet, L., Grégoire, J. y Mussolin, C. (2010). Developmental changes in the comparison
of decimal fractions. Learning and Instruction, 20, 521-532.
Duroux, A. (1983). La valeur absolue: difficultés majeures pour une notion mineure. Petite
x, 3, 43-67.
61
Grisvard, C. y Leonard, F. (1981). Sur deux règles implicites utilisées dans la
comparaison de nombres décimaux positif. Bulletin APMEP, 327.
Grisvard, C. y Leonard, F. (1983). Résurgence de règles implicites dans la comparaison
des nombres décimaux. Bulletin APMEP, 340.
Grossman, A. S. (1983). Decimal notation: An important research finding. Arithmetic
Teacher, 30 (9), 32-33.
Lesh, R. A. y Schultz, K. (1983). Teacher characterizations of students' problem solving
episodes. En J. C. Bergeron y N. Herscovics (Eds.), Proceedings of the Fifth Annual
Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology
of Mathematics Educations. Montreal, Canadá.
Lester, F. K. (1984). Preparing teachers to teach rational numbers. Arithmetic Teacher, 31
(6), 54-56.
Lindquist, M. M. (1989). Results of the fourth Mathematics assessment of the national
assessment of educational progress. Reston: National Council of Teachers of
Mathematics.
Matz, M. (1980). Towards a computational theory of algebraic competence. Journal of
Children's Mathematical Behavior, 3 (1), 93-166.
Nesher, P. y Peled, I. (1986). Shifts in reasoning. Educational Studies in Mathematics, 17
(1), 67-79.
Owens, D. T. y Super, D. B. (1992). Teaching and learning decimal fractions. En D. T.
Owens (Ed.), Research ideas for the classroom-middle grade mathematics (pp. 137158) Reston: National Council of Teachers of Mathematics.
62
Perrin-Glorian, M. (1986). Representation des fractions et des nombres decimaux chez
des eleves de CM2 et du college. Petit x, 10, 5-29.
Popper, K. R. (1983). Conjeturas y refutaciones: El desarrollo del conocimiento científico.
Barcelona: Paidós.
Post, T. R., Harel, G., Behr, M. J., y Lesh, R. (1991). Intermediate teachers' knowledge of
rational number concepts. En E. Fennema, T. P. Carpenter y S. J. Lamon (Eds.),
Integrating research on teaching and learning mathematics (pp. 177-198). Albany,
NY: State University of New York Press.
Resnick, L. B. et alt. (1989). Conceptual bases of aritmetic errors: The case of decimal
fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 20 (1), 8-27.
Rico Romero, L. (1995). Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. En
P. Gómez, J. Kilpatrick y L. Rico Romero (Eds.), Educación matemática: Errores y
dificultades de los estudiante (pp. 69-96). México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas
en la educación secundaria. En L. Rico Romero (Ed.), La educación matemática en
la enseñanza secundaria (pp. 125-154). Barcelona: Universitat de Barcelona. ICE.
Socas, M. (2007). Dificultades y errores en el aprendizaje de las matemáticas. análisis
desde el enfoque lógico semiótico. En M. Camacho Machín, P. Flores Martínez y P.
Bolea Catalán (Eds.), Investigación en educación matemática: XI simposio de la
sociedad
española de investigación en educación matemática (pp. 19-52). La
Laguna, Tenerife: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.
Steiner, G., y Ladjali, C. (2005). Elogio de la transmisión: Maestro y alumno (2a edición).
Madrid: Siruela.
63
Vance, J. H. (1986). Ordering decimals and fractions: A diagnostic study.
Learning Problems in Mathematics, 8 (2), 51-59.
64
Focus on
Índice de Anexos
1.
El Centro Penitenciario de Lledoners (Sant Joan de Vilatorrada) .............
67
2.
Oferta educativa de los centros y aulas de formación de personas
adultas de Cataluña (se incluyen los ubicados en centros
penitenciarios) ................................................................................................
68
3.
Cuestionario del grupo piloto .......................................................................
69
4.
Resultados del grupo piloto y modificación del cuestionario ...................
73
5.
Cuestionario definitivo ...................................................................................
75
6.
Resumen de variables analizadas ................................................................
79
65
A1. El Centro Penitenciario de Lledoners (Sant Joan de
Vilatorrada
66
A2. Oferta educativa de los centros y aulas de formación de
personas adultas de Cataluña (se incluyen los ubicados en
centros penitenciarios).
67
A3. Cuestionario del grupo piloto.
68
69
70
71
A4. Resultados del grupo piloto y modificación del cuestionario.
72
73
A5. Cuestionario definitivo
74
75
76
77
A6. Resumen de variables analizadas
78