2. Aversión al Riesgo

Universidad Diego Portales
Facultad de Economía y Empresa
Apuntes de Incertidumbre
Profesor: Carlos R. Pitta
Suponga que, conversando con su cuate, surge la idea de hacer una apuesta simple. Cada uno escoge decir
“cara” ó “sello”. Se lanza una moneda al aire, y si sale cara, quien dijo “sello” le paga a quien dijo “cara”
$1,000, mientras que si sale sello, quien dijo “cara” paga los $1,000.
Usando nuestra nomenclatura, esta situación se describe de la
siguiente forma: cada persona enfrenta una decisión en:
A={no participar, participar y decir cara, participar y decir sello}
Lo que tiene consecuencias asociadas, en términos de la
cantidad de dinero con que terminen, de:
C ={m+1,000; m; m-1,000}
Donde m es la cantidad que tiene antes de la apuesta. Los
estados de la naturaleza son S={cara, sello}. En la figura
adjunta se representan las acciones posibles en el espacio del
consumo contingente en la ocurrencia de cada estado (esto
es, el nivel de consumo que el individuo alcanzaría de darse cada estado posible). La línea creciente, de 45°, se
denomina línea de certeza, puesto que muestra el conjunto de perfiles de consumo libres de riesgo, esto es,
cuyo valor no depende del estado de la naturaleza que se materialice. A partir de esta situación nos surgen dos
preguntas:
1. Si estuviesen forzados a jugar, ¿se preferiría cara, sello o se estaría indiferente?
2. Pudiendo escoger libremente sobre qué apostar, ¿preferiría jugar o no?
La primera pregunta es idiosincrática: se refiere a la probabilidad que cada persona le asocie a que la moneda
salga cara o sello. La utilidad esperada de apostar en cada alternativa es:
Evidentemente, “cara” es mejor que “sello” si U(apostar a cara) ≥ U(apostar a sello), es decir, si:
πcara ≥ πsello
Si no hay razón para suponer que un resultado es más probable que otro (si πcara = πsello = ½ ), entonces, la
persona debiera estar indiferente sobre a qué apostar. Si la moneda tuviera los dos lados iguales (por ejemplo,
dos caras), una persona obligada a apostar “sello” lo encontraría injusto porque perdería seguro. Si se le
obligara apostar a “cara”, sería injusto para la otra persona. Decimos que esta apuesta es justa si el individuo
está indiferente entre apostar cara o sello. Observe que si la apuesta es justa, tiene un valor esperado de 0. En
el ejemplo, con probabilidad ½, la persona gana $1,000, y con probabilidad ½ los pierde, de manera que si y es
la ganancia o pérdida como consecuencia de la apuesta, tenemos:
Diremos que una apuesta es justa si su pago tiene un valor esperado de 0. Por otra parte, se le llama juego
justo a cualquier lotería o perfil de pagos riesgosos tales que su valor esperado es 0. Se llama línea de juegos
justos a todos los perfiles de consumo contingente que se pueden generar a partir de alterar un determinado
perfil por la vía de agregarle juegos justos.
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Imagine, por ejemplo, una persona con un perfil de consumo libre de riesgo c1= c2= . Si esta persona acepta
una lotería que paga x1 en el estado 1 y x2 en el estado 2, entonces su nuevo perfil de consumo es:
Si la lotería es un juego justo, su valor esperado es cero: π1·x1 + π2·x2 = 0, lo que significa:
Es decir,
Entonces, el conjunto de todas las combinaciones posibles de consumo en los estados 1 y 2 que es posible
generar a partir de por medio de la aceptación de juegos justos es:
Este conjunto corresponde a la línea de juegos justos. Observe que todos estos perfiles de consumo entregan
el mismo valor esperado del consumo, aunque con distintos niveles de riesgo.
La segunda pregunta, entonces, la podemos reescribir como: ¿está dispuesta una persona con un consumo
seguro de m a entrar en un juego justo? Es decir, ¿está dispuesta a dejar la seguridad de m, y reemplazarla por
la posibilidad de ganar o perder, sin haber ganancia ex ante en valor esperado? La respuesta es subjetiva, de
acuerdo a las siguientes posibilidades:
Definición: Se dice que una persona es aversa al riesgo si, partiendo de un consumo libre de riesgo, prefiere
no jugar un juego justo. Se dice amante si lo prefiere, y neutral si está indiferente. En nuestro ejemplo, como
apostar a cara y a sello le son indiferentes, ambos puntos pasan por la misma curva de indiferencia. Esto
responde a la pregunta número uno (Si estuviesen obligados a jugar, ¿preferirían decir cara, sello o estarían
indiferentes?), como se puede observar en el gráfico de una personal neutral al riesgo.
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Así, un mapa de curvas de indiferencia convexo representa a un averso al riesgo, uno cóncavo a un amante
del riesgo, y uno lineal a una persona neutral al riesgo. Recordemos que un individuo averso al riesgo tiene
una función de utilidad esperada U(c1, c2) cuasicóncava y una TMS decreciente. Uno neutral al riesgo, por su
parte, tiene una TMS constante, que no depende del nivel de riesgo asumido ni tampoco de su nivel de
consumo. Observe que TMS constante equivale a decir u’(c) es constante (¿por qué?). Es decir, si:
U’(c) = a
Entonces,
U(c) = ac + b
La cual es la forma general de la función Bernoulli de una persona neutral al riesgo.
Es importante notar que la curva de indiferencia de cualquier individuo, sea averso, amante o neutral al riesgo,
es tangente a la línea de juegos justos en la línea de certeza. Es decir:
Esto significa que, partiendo de una posición sin riesgo, localmente toda persona (independientemente de sus
preferencias) está indiferente entre aceptar o no un juego justo, esto es, localmente es neutral al riesgo.
En el caso de certidumbre, decíamos que la función de utilidad U(a) era ordinal, esto es, que
cualquier transformación monótona creciente de ella representaba las mismas preferencias. Lo mismo es
cierto de la función de utilidad esperada, que también juzga acciones, pero no de la función Bernoulli, que
juzga consecuencias, como veremos a continuación. En este caso, sólo una transformación lineal preserva el
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orden de preferencias. Esto significa que cualquier transformación lineal de la función Bernoulli representa la
misma preferencia:
Con α>0
Ejemplo Simple: Si la función Bernoulli u(c) = ln c representa la preferencia de un individuo y hay dos
estados de la naturaleza, escribimos la utilidad esperada como:
Entonces la función:
Representa la misma preferencia.
En el ejemplo del automovilista, vemos que cualquier transformación lineal de u sigue entregando el mismo
valor crítico:
A partir del cual conviene seguir de largo. Si v(c) = α +β·u(c), entonces:
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Por lo tanto, u(c) = c define a un neutral al riesgo, de manera que:
Por el contrario, si u(cs) es cóncava, entonces:
Y la TMS es decreciente:
Lo que ocurre solo si u’’(c) < 0 (Utilidad marginal decreciente estricta). Así, una función Bernoulli cóncava
representa a un averso al riesgo, una lineal a un neutral y una convexa a un amante, como se representa en la
siguiente figura:
Una transformación cóncava de
produce una función más cóncava, y por lo tanto representa a
una persona más aversa, esto es, a otra preferencia. En otras palabras, en el caso de la función de Bernoulli no
es cierto que cualquier transformación monótona creciente de ella represente las mismas preferencias, por lo
que no basta que la función de Bernoulli sea cuasicóncava para afirmar que el individuo es averso al riesgo.
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Es por esto que las medidas del grado de aversión al riesgo son en realidad medidas del grado de concavidad
de la función Bernoulli. Hay dos medidas locales de aversión al riesgo que se ocupan comúnmente: el grado
de aversión absoluta al riesgo, y el grado de aversión relativa al riesgo, definidos respectivamente por las
fórmulas:
Paradoja de San Petersburgo. El riesgo es comúnmente considerado un mal: los individuos típicamente
prefieren la certidumbre. El siguiente es un argumento ofrecido por el matemático Daniel Bernoulli para
justificar la concavidad de las funciones de Bernoulli (las cuales, como adivinó, deben su nombre a él), y por
tanto, de acuerdo a nuestra discusión anterior, la aversión al riesgo como actitud universal de la gente.
Bernoulli propuso en 1738 — dos siglos antes del desarrollo de la utilidad esperada— la siguiente
paradoja: se le ofrece a una persona la posibilidad de participar (previo pago) en una lotería. La lotería
consiste en que la persona debe lanzar una moneda al aire; si sale sello, recibe un premio de $2. Si sale cara,
lanza la moneda de nuevo. Cada vez que lanza la moneda, el premio en caso de sello se duplica.
La pregunta es cuánto debiera estar dispuesta a pagar una persona por el derecho a participar en esta
lotería. Para un matemático como Bernoulli, la pregunta de si una persona debiera estar dispuesta a pagar o
no el valor esperado de la lotería tenía sentido como punto de referencia, toda vez que el valor de $1 con
probabilidad 1 ciertamente es $1, esto es, el valor esperado bajo certidumbre es intuitivo.
Los infinitos resultados posibles de la lotería son de la forma {sello en el primer lanzamiento, sello en el
segundo, sello en el tercero, ...}. Sea k la variable aleatoria “número del lanzamiento en que sale sello por
primera vez”. Entonces, el premio en k es 2k, y la probabilidad de que sea k es (1/2)k.
El valor esperado de la lotería es entonces:
Ésa es la paradoja: si no parece razonable que una persona pague un millón de dólares por entrar a una lotería
en que va a ganar menos que eso con una probabilidad tan alta, mucho menos querrá pagar 500 veces esa
suma. Pero de acuerdo al cálculo anterior, cualquier suma finita es una subestimación del valor de la lotería.
La solución que Bernoulli propone consiste en representar el valor que la persona le atribuye al premio no
directamente, sino evaluado por una función u(2k). Si esa función es cóncava, entonces la suma converge y, de
hecho, el valor de la lotería puede ser pequeño e intuitivamente razonable. Por ejemplo, si
la
utilidad esperada de la lotería es:
Dos pesos y medio es sin duda una cifra más razonable que infinito como valor de la lotería. La función u(c)
es, naturalmente, la función de Bernoulli.
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