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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
P. Reyes/ noviembre 2008
CONTROL AVANZADO
DE PROCESOS
Primitivo Reyes Aguilar
Noviembre 2008
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
P. Reyes/ noviembre 2008
CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN
2. CARTAS DE CONTROL DE SUMAS ACUMULADAS CuSuM
3. CARTAS DE CONTROL DE PROMEDIO MOVIL
EXPONENCIALMENTE PONDERADO (EWMA)
4. CARTAS DE CONTROL DE MEDIA MOVIL
5. CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS
6. CARTAS DE PRECONTROL
7. CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN
8. CARTAS DE CONTROL DE DESGASTE
9. CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS SALIDA MÚLTIPLE
10. CONTROL DE CALIDAD MULTIVARIADO
11. DISEÑO ECONÓMICO DE LAS CARTAS DE CONTROL
12. CEP PARA PROCESOS CORRELACIONADOS
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
1. Introducción
Las cartas de control de Shewart utilizan sólo información acerca del
proceso con los últimos datos del subgrupo, e ignoran la información
de la secuencia completa de puntos, esto hace que estas cartas de
control sean insensibles a pequeños corrimientos de la media del
proceso, de 1.5 o menos. Los límites preventivos y criterios múltiples
de prueba de corridas o tendencias toman en cuenta otros puntos de
la carta, sin embargo esto reduce la simplicidad de interpretación de la
carta así como reducir el ARL en control lo cual es indeseable.
Cuando se trata de identificar pequeñas variaciones o corridas en la
media, se pueden utilizar como alternativa, las cartas de sumas
acumuladas
(cusum),
y
promedio
móvil
exponencialmente
ponderado (EWMA).
2. CARTA DE CONTROL DE SUMAS ACUMULADAS - Cusum
Para pequeños corrimientos menores a 1.5, la carta de Shewart es
ineficiente, en esos casos la carta de sumas acumuladas de Page, que
funciona con n >=1 es mejor, ya que incorpora toda la información
anterior en el valor de la muestra al graficar la suma acumulada de las
desviaciones con referencia a un valor objetivo 0. Si se colectan
muestras de tamaño n >= 1 siendo x j el valor promedio de la muestra
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j-ésima. La carta de sumas acumuladas se forma graficando para cada
muestra i la cantidad siguiente que representa la suma acumulada
hasta la muestra i,
i
Ci   ( x j   0 )
j 1
Como esta carta es eficiente para n=1, es una buena alternativa para
el control de procesos químicos y el C.E.P. automatizado. Si la media
tiene un corrimiento hacia arriba, la carta mostrará una tendencia
ascendente y viceversa.
La carta Cusum no tiene límites de control, sin embargo tiene un
mecanismo similar ya sea en forma tabular o por medio de una
mascara en V, como la mostrada en el ejemplo de las páginas
siguientes.
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CUSUM EN FORMA TABULAR
La carta tabular Cusum trabaja con derivaciones acumuladas de 0
sobre el objetivo con un estadístico C+ o debajo de este con un
estadistico C-, también llamados Cusums de lado superior o inferior
respectivamente. Se calculan como sigue:

 max0, (
Ci  max0, xi  (0  K )  Ci1
Ci
0
 K )  xi  Ci1


donde los valores iniciales para C+ y C- son cero.
En las ecuaciones anteriores K es el valor de referencia y se
selecciona como un valor intermedio entre la 0 objetivo y la 1 fuera
de control en la que estamos interesados en detectar.
Así, si el corrimiento se expresa en unidades de desviación estándar
1 = 0 + , entonces K es la mitad de la magnitud del corrimiento:
K =  / 2 = Valor absoluto de (1 - 0) / 2
Cuando cualquier estadístico C+ y C- excede el intervalo de decisión
H, se considera al proceso fuera de control. Un valor razonable para H
es cinco veces el valor de .
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Por ejemplo si 0 = 10, n=1,  = 1, y asumiendo que se quiere detectar un
corrimiento de 1 = 1, se tiene:
1 = 10 + 1 = 11
K = ½ = 1/2
H = 5 = 5


 max0,9.5  x  C 
Ci  max0, xi  10.5  Ci1
Ci
i

i 1
Para el caso de i=1, con xi = 9.5 se tiene:
C1  max0,9.45  10.5  0  0
C1  max0,9.5  9.45  0  0.05
Para el caso de i=2, con xi = 7.99 se tiene:
C1  max0,7.99  10.5  0  0
C1  max0,9.5  7.99  0.05  1.56
Si N+ y N- indican los periodos en que las sumas no han sido cero, se
obtiene la tabla de la página siguiente:
De la tabla de Cusum Tabular se observa que en el periodo 29 su C 29+ fue de
5.28, lo que sugiere una situación fuera de control, usando el contador N + cuyo
valor es 7, indica que el último punto en control fue el 29 – 7 = 22, de tal forma que
el corrimiento ocurrió entre el periodo 22 y 23.
También se puede obtener una presentación gráfica de esta carta,
denominada Carta de Estatus de Cusum, graficando Ci+ y Ci- contra
el número de muestra. Esto da una idea gráfica al operador del
desempeño del proceso.
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En forma similar a las cartas Cusum, se debe detener el proceso,
identificar la causa asignable o especial, tomar acción correctiva e
iniciar de nuevo la Cusum Tabular.
Cuando el proceso se corre, la nueva media  puede estimarse de:
C i
   0  K   , si
N
Ci  H
C i
   0  K   , si Ci  H
N
En el ejemplo, en el periodo 29 con C 29 = 5.28, la nueva media del proceso
es,
  10  0.5 
5.28
 11.25
7
Esto es importante saberlo, por si el proceso tiene alguna forma de ajuste.
Cuando se utiliza un tamaño de subgrupo mayor a 1, en las fórmulas
anteriores se debe remplazar a xi por xi y  por la x =

n
, aunque se
recomienda usar un tamaño de muestra 1 con frecuencia de muestreo
mayor que para el equivalente de Shewart.
La carta Cusum tabular también se puede utilizar para un solo lado
con C+ o C-.
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EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V
Un procedimiento alterno al uso del método tabular Cusum, es la
mascarilla en V propuesta por Barnard (1959), esta mascarilla es
aplicada a valores sucesivos del estadístico,
i
Ci   y j  yi  Ci 1
j 1
donde yi = (xi - 0) /  observación estandarizada. Una mascarilla en V
se muestra a continuación:
Ci

O d
P
2A
1A
1 2 3 4 5 ............................................. i
El procedimiento consiste en colocar la mascarilla en V sobre la carta
Cusum, con el punto O sobre el último valor de Ci y la línea OP
paralela al eje horizontal. Si todos los puntos anteriores C1, C2,....,Cj se
encuentran dentro de los dos brazos de la mascarilla, el proceso está
en control, sin embargo si cualquier punto de las sumas acumuladas
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se encuentra fuera de los brazos de la mascarilla, se considera al
proceso fuera de control.
En la práctica, la mascarilla en V se debe colocar a cada punto tan
pronto como es graficado, los brazos de la mascarilla se asumen
extendidos hasta el origen.
La operación de la mascarilla en V está determinada por la distancia
al vértice d y el ángulo .
La Cusum Tabular es equivalente a la mascarilla en V si,
k = A tan ()
y
h = A d tan () = d.k
Donde A es la distancia horizontal en la mascarilla en V, entre puntos
sucesivos en términos de unidades de distancia de la escala vertical.
Por ejemplo para la forma tabular con k = ½ y h = 5, seleccionando A =1 se tiene
k = A tan ()
o
½ = (1) tan ()
 = 26.57
de h = d.k
o
=>
=> 5 = d (1/2)
d =10
Estos son los parámetros de la mascarilla en V.
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Johnson y Leone han sugerido un método para diseñar una mascarilla
en V, con las fórmulas siguientes (el método es utilizado por el
paquete STATGRAPHICS):
  

 2A 
  tan1 
y
 2  1  
d   2  ln

    
Donde 2 es la máxima probabilidad de una falsa alarma cuando el
proceso está en control y  es la probabilidad de no detectar un
corrimiento de magnitud .
d
ln( )

cuando  es muy pequeño.
Por ejemplo si  = 0.05 y  = 0.05 y  = 1 que son los defaults del Statgraphics, se
obtiene la mascara en V siguiente:
 2   1  0.05 
d   2  ln
 = 5.888
 1   0.05 
1
2
  tan1    26.56 
No se recomienda el uso de la mascarilla en V ya que tiene algunas
desventajas como son:
1. Es un esquema de doble lado, no apta para control de un solo lado.
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2. Es difícil determinar que tanto extender los brazos de la mascarilla
en V, dificultando la interpretación del proceso.
3. Existe ambigüedad asociada con alfa y beta.
3.
CARTA
DE
CONTROL
DE
MEDIAS
MOVILES
EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA)
El desempeño de esta carta, es equivalente al de sumas acumuladas,
con n=1.
Su estadístico se define como sigue:
zi  xi  (1   ) zi 1
donde 0<<=1 es una constante y su valor inicial es el valor objetivo
del proceso, de tal forma que:
z0   0 a veces igual a x
Si las observaciones xi son variables aleatorias independientes con
varianza 2 , entonces la varianza de zi es:
  
2i
 1  (1   )
2 
 zi2   


Por tanto los límites de control de zi versus el número de muestra o
tiempo i, son:
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  
2i
LSC   0  L 
 1  (1   )
2 


LC   0
  
2i
LIC   0  L 
 1  (1   )
2 


Note que el término [1 – (1-)2i] se aproxima a la unidad conforme i se
incrementa, esto significa que cuando la carta EWMA ha corrido
durante varios periodos de tiempo, los límites de control se estabilizan
en:
LSC   0  L

2
LC   0
LSC   0  L

2
Como ejemplo utilizando los datos de la carta Cusum con  = 0.10, L = 2.7, 0 y
=1, se tiene la carta EWMA mostrada en la página siguiente.
Para x1= 9.45, calculando z1 = 9.945; LSC = 10.27 y LIC = 9.73 con la fórmulas
anteriores.
Para x2= 7.99, calculando z2 = 9.7495; LSC = 10.36 y LIC = 9.64, conforme se
incrementa i los límites se estabilizan en LSC = 10.62 LIC = 9.38.
La carta EWMA tiene un ARL0  500 y una ARL1  14.3 equivalente a
la Cusum con h=5 y k=1/2.
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Esta carta no reacciona a cambios grandes de la media tan rápido
como la hace la carta de Shewart, este mismo comportamiento lo
tienen tiene la carta Cususm.
4. CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL
Utilizada como un intermedio entre la carta de Shewart y la EWMA
para detectar pequeñas corridas de la media. Asumiendo que se
define un rango de observaciones w en el tiempo i, su media móvil es:
Mi 
xi  xi 1  ..... xi  w1
w
Los límites de control son:
LSC   0 
3
w
LC   0
LIC   0 
3
w
Por ejemplo usando los datos anteriores con w = 5. Graficando el
estadístico Mi para periodos i  5.
Mi 
xi  xi 1  ....xi  4
5
Para periodos i<5 se grafica el promedio de las observaciones para los periodos 1,
2, 3, ...i.
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Los límites de control son con 0 =10 y =1, se tiene:
LSC = 10 + 3 (1.0) / 51/2 = 11.34
LSC = 10 - 3 (1.0) / 51/2 = 8.66
Ver ejemplo en STATISTICA en la página siguiente.
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5. CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS
CARTAS DE CONTROL DNOM
Se pueden utilizar cartas de medias-rangos en situaciones las corridas
de producción sean cortas, tomando las desviaciones respecto a la
media de especificaciones en lugar del valor como tal. De esta forma
si se tienen 2 piezas la A y la B, donde la dimensión nominal de la
pieza A TA = 50mm, y la dimensión nominal de la pieza B es TB =
25mm, cuando se produce las piezas A o B se toman muestras y se
evalúa la desviación respecto a su media.
Muestra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pieza
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
M1
50
49
48
49
24
25
27
25
24
26
M2
51
50
49
53
27
27
26
24
25
24
M3
52
51
52
51
26
24
23
23
25
25
D1
0
-1
-2
-1
-1
0
2
0
-1
1
D2
1
0
-1
3
2
2
1
-1
0
-1
D3
2
1
2
1
1
-1
-2
-2
0
0
Media R
1.00 2
0.00 2
-0.33 4
1.00 4
0.67 2
0.33 2
0.33 4
-1.00 2
-0.33 1
0.00 2
ver ejemplo en página siguiente.
Se deben cumplir 3 premisas para estas cartas:
1. La desviación estándar debe ser la misma para todas las partes, sin
esto no se cumple usar la carta de medias estandarizada. Las
partes deben ser parecidas.
2. El procedimiento trabaja mejor cuando el tamaño de muestra es
constante para todas las diferentes partes.
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3. La media utilizada debe ser la media de las especificaciones, a
excepción de cuando se tiene sólo un límite de especificación.
CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS RANGOS ESTANDARIZADA
Si la desviación estándar para las diferentes partes es diferente, se
usan estas cartas. Sean R i , N i el rango medio y el valor nominal de x
para un número de parte especifico. Para todas las muestras de este
número de parte, graficar,
RS 
R
Ri
Se toman de datos históricos o de especificaciones para el rango, o se
puede estimar de  con R i  Sd 2 c sus límites de control son D3 y D4.
4
Y para la media, graficar,
x 
S
x  Ti
Ri
La línea central para la carta x estandarizada es cero, y sus límites de
control son LSC = A2 y LIC = -A2 .
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CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS
Se utilizan cartas de control estandarizadas con límites de control
LSC=+3 y LIC=-3. Los estadísticos a graficar son:
Carta p
Zi 
Carta np
Zi 
Carta c
Zi 
Carta u
Zi 
pi  p
p (1  p ) / n
np i  n p
n p (1  p )
ci  c
c
ui  u
u/n
CARTAS DE CONTROL p USANDO SUBMUESTRA VARIABLE1
Utilizadas cuando las características del producto no pueden ser
medidas o los procesos de producción son muy lentos. Los productos
similares se agrupan e inspeccionan como si fuesen el mismo
producto. Se sugiere inspeccionar 100% por un periodo de 6 meses y
establecer control y mejoras en el proceso a través de una carta p
antes de establecer un plan de muestreo.
1
Soto Luis, Quality Control Director, Charles E. Gillman Company, Nogales, Arizona.
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El procedimiento de muestreo consiste en tomar una pequeña
submuestra diaria calculando el valor de p y graficando. El tamaño
mínimo de la submuestra se determina de la tabla siguiente de
acuerdo a la p-media después de la mejora.
p-media
3.0%
2.0
1.5
1.0
0.8
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
n de submuestra
4
5
7
10
12
16
19
24
32
46
92
LSCp
28.6%
20.8
15.3
10.4
8.5
6.4
5.4
4.3
3.2
2.2
1.1
Cuando se identifican puntos fuera de control se regresa a la
inspección 100% hasta corregir el problema.
Si consideramos el caso donde p-media = 2%, n = 5 y LSC = 20.8%, al
tomar la muestra y encontrar 2 defectivos indicará una situación fuera
de control, asimismo si un día se encuentra 1 defectivo y al otro día
otro defectivo, sugiere la sospecha de algo anormal que se debe
investigar.
CARTAS DE CONTROL PARA MEDIAS Y RANGOS MÓVILES2
2
Doty, A. Lenard, “Statistical Process Control”, ASQC Quality Press, USA, 1991, Chapter 5.
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Esta carta está diseñada para corridas cortas de producción para
tamaños de muestra 5 o menos. Una media y rango móvil se calcula
para cada tres o cuatro mediciones individuales. Se inicia con la
primera medición y las siguientes 2 o 3, se continua con el siguiente
grupo que inicia con la segunda y así sucesivamente.
Ejemplo:
(MA)
(MR)
Muestra
Medición
Media móvil
Rango Móvil
1
1.055
-
-
2
1.062
-
-
3
1.054
-
-
4
1.055
1.0565
0.008
5
1.060
1.0578
0.008
6
1.061
1.0575
0.007
7
1.065
1.0603
0.010
donde se aplican las fórmulas de la carta X-R para la media de medias
y rango medio (con m-n+1 valores) y límites de control (para n = 4) con
sus mismas reglas.
CARTAS DE CONTROL QUE USAN LÍMITES DE ESPECIFICACIÓN
El valor central y los límites de control se establecen a partir de las
especificaciones, no es una carta sensible, pero es una alternativa a
no tener nada para el control del proceso:
 = (LSE + LIE) / 2
 = (LSE – LIE) / 6
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_
R  d2 
LSC =  + 3 / n
LIC =  - 3 / n
6. CARTAS DE PRE – CONTROL
También se denomina carta de objetivo, igual que la anterior, utiliza los
límites de especificación para su establecimiento, situados a  3 es
fácil de construir y usar, sin embargo igual que la anterior, no permite
mejorar el proceso. La carta tiene tres áreas:
ZONA ROJA
Límite superior de especificaciones
ZONA AMARILLA
Esta zona comprende 1.5 o 7%
ZONA VERDE
Esta zona comprende  1.5 o 86%
ZONA AMARILLA
Esta zona comprende 1.5 o 7%
ZONA ROJA
Límite inferior de especificaciones
En la carta de pre – control hay un 1/14 de que una parte caiga en la
zona amarilla y de 1/196 de que caigan dos consecutivas en ésta
zona, en este caso se considera que el proceso se salió de control. A
continuación se muestran las reglas de uso de la carta:
1. Iniciar el proceso. Si el primer artículo sale de especificaciones,
parar, corregir e iniciar de nuevo. Deberán caer en la zona verde.
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2. Si un artículo cae en la zona amarilla, tomar un siguiente artículo. Si
cae nuevamente en la zona amarilla parar y corregir el proceso, de
otra forma continuar.
3. Si 25 artículos consecutivos caen en la zona verde, reducir
frecuencia de chequeo.
La carta tiene las siguientes desventajas:
- No es una carta de control en el sentido de utilizar los
patrones o reglas de sensibilizaciòn.
- No proporciona información del proceso con la cual se
pudiesen coordinar acciones de mejora en variabilidad.
- Asume que el proceso es hábil y que es normal.
7. CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN
CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS
Las cartas de control modificadas se utilizan cuando la variabilidad es
pequeña respecto a los límites de especificaciones, es decir el Cp es
mucho mayor que 1. En este caso la media del proceso puede variar
sobre un rango permitido sin afectar el desempeño del proceso.
La carta de control modificada X esta diseñada para detectar sólo si la
media verdadera del proceso , está localizada de tal forma que el
proceso genere una fracción de productos no conformes mayor de
algún valor especificado .
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Se permite que  varíe entre I y S de tal forma que no se exceda la
fracción defectiva . Se asume que el proceso está normalmente
distribuido y que  sea conocida y esté en control.

LIEsp.
|---
6 ---|
De la figura se observa que:
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LSEsp.
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

I
LIE
S
Z
LSE
Z
/ n
LIC
LSC
Z
n
Donde:
 I  LIE  Z 
 S  LSE  Z 
Donde Z es el punto superior 100(1-) de la distribución normal, si se
especifica un error , los límites de control superior e inferior son:
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LSC   S 
LIC   I 
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Z
Z 

 LSE   Z    
n
n

Z 
Z 

 LIE   Z    
n
n

Lo común es que Z =3.
En las cartas modificadas,  es una fracción no conforme que se
acepta con una probabilidad (1-). Si la variabilidad del proceso
cambia, éstas cartas no son apropiadas, de tal forma que se
recomienda siempre usar en forma adicional una carta R o S, de
donde incluso se estime la  inicial.
CARTAS DE CONTROL DE ACEPTACIÓN
En este caso se toma en cuenta ambos errores tipo I y tipo II, ya sea
de rechazar un proceso que opera en forma satisfactoria o de
aceptarlo si opera en forma insatisfactoria.
Los límites de control para este caso se basan en una n especificada y
una fracción no conforme del proceso  que nos gustaría rechazar con
una probabilidad (1-), por tanto:
LSC   S 
LIC   I 
Z 
Z 


 LSE   Z  
n
n 

Z 
Z 


 LIE   Z  
n
n


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Es posible también seleccionar un tamaño de muestra de tal forma
que se obtengan los requerimientos para , ,  y . Igualando los
límites de control superiores:
Z 

Z 


LSC  LSE   Z     = LSE   Z  
n
n



Se obtiene
 Z  Z 
n  
 Z  Z



2
Por ejemplo si delta = 0.01, alfa = 0.00135, gama = 0.05 y beta = 0.20, haciendo
los cálculos se obtiene una n = 31.43  32.
 3.00  0.84 
n

 2.33  1.645
2
Otro ejemplo que da Duncan es el siguiente:3
LSE
=0.025
LSE-1.96
Amplitud de variación
0.10
__
Aceptable para X
0.10
LIE+1.96
3
Duncan A., Control de Calidad y Estadística Industrial, Alfaomega, México, 1989, pp. 527-530
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
LIE
P. Reyes/ noviembre 2008
=0.025
En la figura si suponemos que =0.025 y  = 0.10, asumiendo un proceso normal,
los límites para la carta de control de aceptación estarán en:
LSC = LSE – 1.96 - 1.282/ n
LIC = LIE + 1.96 + 1.282/ n
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
P. Reyes/ noviembre 2008
8. CARTA PARA CONTROLAR DESGASTE
Cuando un desgaste natural ocurre, se presenta una tendencia natural
en la carta de control, la distancia entre los límites de especificación
debe ser mucho mayor que 6X, por lo que se puede usar el concepto
de la carta de control modificada (X = R/d2).
El ajuste inicial de la herramienta se inicia a 3x arriba del límite
inferior de especificación, y el máximo que se le permite variar es
hasta 3x abajo del límite superior de especificación. Esto minimiza los
ajustes a realizar durante las corridas de producción. Se puede utilizar
un valor diferente de Z = 3 si se requiere una mayor protección en la
fracción defectuosa. Para este problema también se puede utilizar la
carta de regresión.
LSE

_
X
LSE-3x
Amplitud dentro de la cual
se espera encontrar las
6
_
X
medias de las piezas

Distribución de x
_
X
LIE+3x
LIE
CARTA DE CONTROL PARA DESGASTE DE HERRAMIENTAS
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
P. Reyes/ noviembre 2008
Como se puede observar, sólo se puede emplear ésta carta si la
amplitud de los límites de especificación es suficiente mayor a 6x
para alojar la carta de control.
La pendiente b de la línea central y límites de control se pueden
calcular por los métodos siguientes:
1. Dibujando una línea central que pase por los puntos graficados y
estimando en forma gráfica la pendiente.
2. Utilizando la técnica de mínimos cuadrados, donde si se tienen un
total de m muestras con el número de muestra i = 1,2,3…..m la
pendiente b es (los datos se pueden codificar para facilidad):
b  [12 iX i /(m(m 2 1))] [6 X i /(m(m 1))]
3. Utilizando un paquete de computadora que incluye el cálculo de
mínimos cuadrados.
Los valores sugeridos de inicio y paro del proceso son 1, ,  2 donde:
1  LIE  3 x  LIE  3R / d 2
 2  LSE  3 x  LSE  3R / d 2
El número de puntos que tienen que pasar para llegar de 1, ,  2 es:
M* = ( 1, -  2 ) / b
Es importante considerar que antes de llevar una carta de medias para
desgaste es indispensable asegurarse que la carta de rangos está en
control estadístico. En caso de que la media en lugar de crecer,
decrezca, las 1, ,  2 se invierten:
_
Los límites de control se encuentran a una distancia vertical A2 R de la
línea central.
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
P. Reyes/ noviembre 2008
Ejemplo:
El diámetro exterior de una válvula tiene una especificación de 1.1555  0.0005”.
Se han tomado 13 muestras de 5 piezas cada una sin ajustar la herramienta de
corte, en intervalos de media hora. Los resultados son:
Muestra i 1
2
3
4
5
6
7
8
_
X i 1.15530, 1.15540,1.15544, 1.15546, 1.15550, 1.15556, 1.15568, 1.15570,
Ri 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020
9
10
11
12
13
_
X i 1.15576, 1.15578, 1.15580, 1.15586, 1.15590
Ri 0.00010, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020
Los resultados obtenidos son:
R-medio=0.0001769;
LSCR=0.000374,  = 0.000076053;
b = 0.0000492
1, ,  2 son respectivamente 1.155228 y 1.155772
m*
=
11.056,
los
límites
de
control
están
a

_
A2 R
=
0.5768(0.0001769)=0.000102.
Es decir que tienen que pasar 11 puntos o 5.5 horas para reajustar el proceso
LSE
2
Pendiente b
LSC
1,
LIE
LIC
Tiempo
“t”
o
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número
de
muestra
CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
P. Reyes/ noviembre 2008
9. CARTAS DE CONTROL DE GRUPO PARA PROCESOS DE
SALIDA MULTIPLE
Se utiliza para procesos con muchas fuentes de producción, por
ejemplo diversos husillos que en principio producen piezas similares.
El usar una carta de control para cada husillo por separado sería
prohibitivo, sin embargo se tiene la alternativa de ésta carta de control
siempre que la producción entre husillos no esté correlacionada.
Para establecer una carta de este tipo, se toman n partes de cada
salida, hasta completar 20 o 25 subgrupos, por ejemplo si se toman
muestras de n = 4 de 6 husillos repetido en 20 subgrupos, se habrán
tomado 20 x 6 = 120 medias y rangos de n = 4 observaciones. De

_
éstos se calculan la media de medias X y el R , los límites de control
se calculan como en una carta de medias-rangos convencional con n =
4, en este caso A2 = 0.729, D3 = 0, D4 = 2.282:

_
_
LICX = X - A2 R

LICR = D3 R
_
LSCX = X + A2 R
_
LSCR = D4 R
Con los límites de control trazados, se grafica después sólo la mayor y
la menor de las 6 lecturas promedio considerando todas las salidas o
en este caso husillos de la máquina, si se encuentran en control, se
asume que las demás están en control. Para el rango se grafica sólo el
mayor de todos los rangos. Cada punto es identificado por el número
de husillo o salida que lo produjo. El proceso se encuentra fuera de
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
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control si se algún punto excede los límites de 3-sigma. No se pueden
aplicar pruebas de rachas a estas cartas.
Es útil observar que si una salida da el mayor o el menor valor varias
en una fila, puede ser evidencia de que es diferente a los otros. Si el
proceso tiene s salidas y si r es el número de veces consecutivas que
se repite como el mayor o el menor, el ARL para este evento es:
ARL0 
s r 1
s 1
Para el caso de que s = 6 y r = 4, el ARL será de 259, es decir que si
el proceso está en control, se esperará que una salida repita un valor
extremo 4 veces en la carta una vez de cada 259 muestras. Si esto
sucede con más frecuencia se debe sospechar que la salida es
diferente a las demás. Algunos de los pares adecuados de (s,r) son
(3,7), (4,6), (5-6,5), 7-10,4), todas las combinaciones dan ARLo
adecuados.
10. CONTROL DE CALIDAD MULTIVARIADO
Hay situaciones donde es necesario el control de dos o más
características al mismo tiempo, por ejemplo en un balero donde
influyen el diámetro interior y el exterior para que funcione
adecuadamente. Para eso es necesario un control multivariado como
el propuesto por Hotelling4.
Hotelling,H. (1947). “Multivariate Quality Control,”, Techniques of Statistical Analysis, Eisenhart, McGraw
Hill, NY, USA, 1947.
4
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
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Carta de control chi-cuadrada
En el caso del control de medias el estadístico a graficar es un 2 con
2 grados de libertad:
 02 
__
__
__
n
 2 __
2
2
2
2
2
2

(
X


)


(
X


)

2

(
X


)
(
X
1
1
1
2
2
12
1
1
2  2 ) 
2 2
2  2
 1  2   12 

El Límite Superior de Control LSC = 2.2 que es el punto superior para
el área (1-). Si al menos una media se sale de control, la probabilidad
de que el estadístico 2 salga de control se incrementa. Si 12 = 0,
__
__
indicando que las medias muestrales X 1 , X 2 son independientes se
tendrá una elipse con centro en (1, 2) y ejes paralelos a los ejes de
__
__
__
__
X 1 , X 2 , esto implica que si si un par de muestras ( X 1 , X 2 ) dan un valor
de 2 que caiga dentro de la elipse, indica que el punto está dentro de
control, de esta forma se tiene una elipse de control.
__
__
Si 12  0 las 2 características X 1 , X 2 son dependientes y la elipse de
control estará inclinada, puede ser que un punto salga de control en
__
esta elipse, sin embargo todavía esté en control a nivel de cartas X  R
individuales.
Estas cartas se denominan cartas de control chi-cuadrada, las
cuales tienen 2 desventajas: 1) la secuencia de los puntos graficados
se pierde y 2) la dificultad de construir la elipse para más de 2
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
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características de calidad. Sin embargo una ventaja importante que
tienen, es que con un solo número se pueden controlar varias (p)
características de calidad en forma conjunta.
Para evitar las dificultades anteriores, es usual graficar los valores de
 02 correspondientes a cada muestra, en una carta de control,
denominada carta de control chi-cuadrada, ésta preserva la
secuencia de los datos de tal forma que se puedan investigar corridas
y otros patrones no aleatorios. Además sólo requiere un solo número
para controlar el proceso, muy útil cuando hay dos o más
características de interés.
Es posible extender los resultados anteriores a p características
relacionadas, asumiendo que cumplen con las reglas de la distribución
normal p-variada. Se calcula la media muestral de cada característica
de una muestra de tamaño n, representándolas con el vector p x 1 de
medias muestrales.
El estadístico graficado en la carta de control chi-cuadrada para cada
muestra es:
_
_
 02  n( x  )'  1 ( x  ) .
Donde ’ es el vector de las medias en control para cada característica
de calidad y

es la matriz de covarianza. El límite de control
superior es:
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LSC   2. p
LSC = 2.2
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Carta de control chi-cuadrada para p = 2 características de calidad
La carta de control T2

Si en la ecuación anterior para Chi-cuadrada se reemplaza  por X y
2 por S 2 tenemos el estadístico T2 .
_

_

T 2  n( x X )'  1 ( x X )
Se utilizan 2 fases para el uso de esta carta; la fase 1 es para
establecer control del proceso, probando con los primeros m
subgrupos, aquí se establecen los límites de control para la fase 2, con
los cuales se monitorea la producción.
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Los límites de control para la fase I son:
LSC 
p(m  1)(n  1)
F , p, mn  m  p 1
m n m  p  1
LIC  0
y para la fase II:
LSC 
p(m  1)(n  1)
F , p , mn  m p 1
m n m  p  1
LIC  0
Es común usar el Límite Superior de Control LSC = 2.2 para ambas
fases, si se usa m20 o 25 los límites de control coinciden para ambas
fases. Se recomienda tomar siempre m mayor de 20 con más de 50
muestras.
Ejemplo:
Se desean controlar en forma conjunta las características de calidad resistencia a
la tensión y el diámetro de una fibra textil. Se ha decidido usar una muestra de 10
fibras (n = 10), se toman 20 muestras preliminares, calculando lo siguiente:

X

1
 2
 115.59 psi;X 2  0.0106" ;S

1

 1.23psi;S 2  0.83" , S 12  0.79
2
2
Con estos valores se calcula el estadístico T2 y se va graficando en una carta de
control.
T2 
__
__
__
10

2
2
2
2
(
0
.
83
)(
X

115
.
59
)

1
.
23
(
X

1
.
06
)

2
(
0
.
79
)(
X

115
.
59
)
(
X
1
2
1
2  1.06) 

(1.23)(0.83)  0.79 

Si se considera un error tipo I  = 0.001, el límite superior de control LSC es:
LSC 
2(20  1)(10  1)
342
F0.001, 2, 20(10)  20  21 
F0.001, 2,179 (1.91)(17.18)  13.72
(20)(10)  20  2  1
179
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
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13.72
T2
No muestra puntos fuera de control. Los límites para la fase II se calculan dando
LSC = 15.16. Si se hubiese utilizado LSC = 2.2 = 13.816 que está cercano a los
límites de control de las fases I y II. Nota: El LSC que calcula el Statgraphics no es
correcto.
Uno de los métodos para identificar que característica se encuentra

fuera de control es llevar cartas X  R adicionales con límites de control
en Z / 2 p para reducir el número de falsas alarmas. Otro método es
descomponer el estadístico T2 en componentes que reflejen la
contribución de cada variable, T(i2) es el valor del estadístico para todas
las variables excepto la (i-ésima), por tanto:
di = (T2 - T(i2) )
Es un indicador de la contribución relativa de la variable i al
estadístico, cuando se presenta una situación fuera de control, se
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
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recomienda calcular di para i =1,2 y enfocarse al que tenga el valor
mayor.
El caso de n = 1
En industrias químicas y de proceso, es normal tener una sola muestra
donde medir las diferentes características, el estadístico T2 se
transforma en:


T 2  ( x  x )' S 1 ( x  x )
Los límites para la fase II son:
p(m  1)(n  1)
F , p , m  p
m2  m p
LIC  0
LSC 
Cuando se toman más de 100 muestras preliminares los límites
preliminares son::
LSC 
p(m  1)(n  1)
F , p , m  p ;
m p
o
LSC = 2.2
LIC  0
Cartas de control Cusum y EWMA multivariadas
Las cartas tratadas anteriormente no son sensibles a variaciones
pequeñas y moderadas en el vector de la media. Las cartas Cusum y
EWMA tienen un mejor desempeño ante estas situaciones y pueden
ser extendidas al caso multivariado.
La carta MEWMA extensión de la EWMA se define como sigue:
Z i  xi  (1   )Z i 1
con 0    1; Z 0  0 . La cantidad graficada en la carta de control es:
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
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Ti 2  Z i'  Zi1 Z i
Donde la matriz de covarianza es:

Zi


2
1  (1   ) 
2i
análoga a la varianza de la EWMA univariada
Monitoreo de la variabilidad del proceso
Así como es importante monitorear el vector de media del proceso 
en el caso multivariado, también es importante monitorear la
variabilidad del proceso. La variabilidad del proceso es resumida por la
matriz de covarianza p x p

. Los elementos de la diagonal principal
de esta matriz son las varianzas de las variables individuales del
proceso y los elementos fuera de la diagonal son las covarianzas. Se
sugieren dos procedimientos:
1. Hacer una extensión de la carta S 2 el estadístico graficado en la
carta de control para la muestra i, es:
Wi   pn  pn (ln n)  n ln( Ai /  )  tr (
1
Ai )
Donde Ai = (n-1)Si, con Si matriz de covarianza de la muestra i y tr es
la traza de la matriz (suma de los elementos de la diagonal principal).
Si Wi sale del límite de control LSC  2. p( p1) / 2 , está fuera de control.
2. Basándose en la varianza generalizada de la muestra S con
parámetros de control:
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
1
b1 
(n  1) p
b2 

LC  b1 
LIC 

p
 (n  i )
1
(n  1) 2 p
LSC 
P. Reyes/ noviembre 2008
i 1
p
 p
(
n

i
)
(
n

j

2
)

( n  j )]



i 1
j 1
 j 1
p
(b1  3b21 / 2 )
en la práctica se estima con S / b1
(b1  3b 21 / 2 )
Ejemplo:
Del ejemplo anterior, se construirá una carta de control para la varianza
generalizada, en base a las 20 muestras preliminares, con n = 10, la matriz de
covarianza es:
 1.23 0.79 
S

 0.79 0.83
S  0.34968
b1 
1
(9)(8)  0.8889
81
b2 
1
(9)(8)(11)(10)  (9)(8)  41.70
6531
S / b1  0.3968/ 0.8889  0.4464
LSC  ( S / b1 )(b1  3b21 / 2 )  0.4464[0.8889 3(0.4170) 1 / 2 ]  1.26
LIC  ( S / b1 )(b1  3b21 / 2 )  0.4464[0.8889 3(0.4170) 1 / 2 ]  0.47  0
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
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Se calculan los valores de S i para cada muestra y se grafican, como se muestra
en la figura de la página siguiente:
LSC=1.26
0.5
Número de muestra
Carta de control para la varianza generalizada de la muestra
Como en casos anteriores, es conveniente llevar una carta de control univariada
adicional para identificar variabilidades individuales.
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11. DISEÑO ECONÓMICO DE CARTAS DE CONTROL
La aplicación de una carta de control requiere que el ingeniero de
calidad seleccione un tamaño de muestra, una frecuencia de
inspección o intervalo entre muestras y los límites de control para la
carta. A la selección de estos tres parámetros se le denomina diseño
de la carta de control, lo cual se realiza normalmente de acuerdo a
criterios
estadísticos
establecidos, sin embargo también tiene
consecuencias económicas como costos de muestreo y prueba,
costos asociados con la investigación de puntos fuera de control y de
corrección de causas especiales y el costo de que los defectos lleguen
al cliente.
Características del proceso
Se considera que las causas especiales o asignables se presentan en
intervalos de tiempo que siguen la distribución de Poisson, implicando
que el tiempo que un proceso permanece en control es una variable
exponencial. Se asume también que el proceso no se autocorrige.
Parámetros de costo
Se consideran tres categorías de costos en el diseño económico de
las cartas de control:
- Costos de muestreo, inspección y prueba (fijos y variables por
equipo de prueba, salarios, pruebas destructivas, etc.)
- Costos asociados con la corrección de cualquier causa
especial encontrada
- Costos asociados con el la producción de partes no
conformes (desperdicios, retrabajos, reemplazo o garantías).
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
P. Reyes/ noviembre 2008
Los modelos económicos se formulan por lo general usando una
función de costo total, la cual expresa la relación entre los parámetros
de diseño de la carta de control y los tres tipos de costo anteriores.
Si E(T) es la duración de un ciclo que incluye la producción, monitoreo
por carta de control y ajuste cuando se detecta un punto fuera de
control y E[C) el costo total esperado que se incurra durante un ciclo,
entonces el costo esperado por unidad de tiempo es:
E ( A) 
E (C )
E (T )
Algunos primeros intentos de diseños económicos de cartas de control
de Shewhart por el ejemplo la propuesta de Weiler (1952) sugiere que
__
para la carta X , el tamaño de muestra óptimo que minimiza la
inspección total requerida para detectar un corrimiento específico
desde un estado en control  0     0   es:
n
12.0
n
11.1
n
6.65
n
4.4
2
2
2
2
para límites de control en  3.09 sigma
para límites de control en  3.00 sigma
para límites de control en  2.58 sigma
para límites de control en  2.33 sigma
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Duncan en 1956 propuso un modelo de diseño económico para la
__
carta X , asume que los parámetros: 0,  y  son conocidos y que se
deben determinar n, k (dist. LC) y h (horas). Se asume también una
distribución de Poisson de aparicón de causas
asignables de 
ocurrencias por hora. Cuando la ocurre la causa especial, la
probabilidad de detectarla es 1-  (error II) y la probabilidad de una
falsa alarma es . El ciclo consiste de 4 periodos:
1) el periodo en control (1 / );
2) el periodo fuera de control h /(1   )   ;  es el tiempo esperado de
ocurrencia entre causas especiales  
1  (1  h)e  h
 (1  e h )
3) el tiempo para tomar la muestra e interpretar los resultados; gn y
4) el tiempo para encontrar la causa especial es una constante D.
Por tanto la duración del ciclo es:
E (T ) 
1


h
   gn  D
1 
La utilidad por hora de operación en el estado dentro de control es V0 y
V1 para fuera de control. El costo de tomar una muestra de tamaño n
es a1  a 2 n (costo fijo y variable). El número esperado de muestras
tomadas durante un ciclo es la duración esperada del ciclo dividida por
el intervalo entre muestra o E (T ) / h . El costo de hallar una causa
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
P. Reyes/ noviembre 2008
especial es a3 y el costo de investigarla es a3' , el número esperado de
falsas alarmas durante un ciclo es:
e h
1  e h
Por tanto la utilidad neta esperada por ciclo es:
E(C )  V0
a ' e h
E(T )
h
 V1 (
   gn  D)  a3  3 h  (a1  a 2 n)

1 
h
1 e
1
De esta forma la utilidad neta por hora esperada es (ver fórmulas
anteriores):
E ( A) 
E (C )
E (T )
Si a 4  V0  V1 el costo adicional asociado con producir fuera de control,
la ecuación anterior queda como:
E( A)  V0  E( L)
a1  a 2 n a 4 h /(1   )    gn  D  a3  a3' e h /(1  e h )
E( L) 

h
1 /   h /(1   )    gn  D
E(L) es la pérdida esperada por hora incurrida por el proceso,
maximizar la utilidad neta equivale a minimizar E(L) lo cual se hace por
métodos numéricos.
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CONTROL AVANZADO DE PROCESOS
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Ejemplo:
Para un fabricante de botellas, el costo fijo de tomar una muestra es $1 y el costo
variable $0.10 por botella, tomando un minuto (0.0167 h) para medir y anotar el
espesor de pared de la botella. Normalmente cuando el proceso sale de control
con corrimientos de 2, con una periodicidad de aprox. Uno por cada 20 h de
operación, así la distribución de Posisson con  = 0.05 es un buen modelo para el
ARL en control. El tiempo necesario para investigar una anormalidad es de 1 h, el
costo de eliminación de una causa especial es de $25 mientras que el costo de
una falsa alarma es de $50. De acuerdo a registros, el costo de operar fuera de
control es de $100 por hora.
Datos:
a1  $1;a2  $0.1; a3  $25; a3'  $50; a4  $100;   0.05;   2.0, g  0.0167yD  1.0.
La solución óptima se encontró en el renglón 5 de la tabla siguiente 8.38.
Se usó un progrfama de computadora para calcular el ancho de límites de control
k, y frecuecnia de muestreo h para varios valores de n, calculando el valor de la
función de costo. Se observa de la tabla que el costo mínimo es $8.38 por hora y
la carta X-R debe usar muestras de tamaño 5, los límites de control deben estar
localizados en k o sea en 2.99 tomando las muestra en intervalos de h=0.76
h (45min.). El riesgo  es de 0.0028 y la potencia de la prueba es (1 - ) es de
0.9308.
Después de operar la carta, el fabricante se dio cuenta de que probablemente se
estimó mal el costo de producir fuera de control a ser a 4  $150afecta a la
frecuencia óptima de muestreo de 0.76 h (45 min.) antes a 0.62 h (37 min.) ahora.
basándose en esto, el fabricante adoptó una frecuencia de 45 min. Otras variantes
al problema también se muestran a continuación:
Resumen
1. El tamaño de muestra óptimo depende mucho de la magnitud del
corrimiento . Si se encuentra entre 1 – 2, n se encontrará entre 10
– 20. Para  <=0.5 requiere tamaños de muestra n mayores a 40.
Ver tabla 8.40
2. El costo de penalización por producir fuera de control a 4 afecta el
intervalo entre muestras h de manera inversa. Ver tabla 8.38 y 8.39.
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3. Los costos asociados con la búsqueda de causas especiales,
afecta principalmente el ancho de los límites de control, mientras se
incrementa el costo de investigación de causas fuera de control,
queremos que las falsas alarmas sean mínimas. Ver tabla 8.41
4. La variación en costo de muestreo, afecta los tres parámetros de
diseño. Ver tabla 8.42 y 8.43.
5. Cambios en el número medio de ocurrencias de la causa especial
pro hora, afecta en principio el intervalo entre muestras. Ver tabla
8.44.
6. El diseño óptimo económico es relativamente insensible al estimado
de los coeficientes de costo. Ver tablas 8.38 a 8.44.
7. Se debe tener cuidado con el diseño arbitrario de las cartas de
control, Duncan ha encontrado grandes variaciones en costo al
comparar contra el diseño arbitrario n = 5; k = 3; y h = 1, para varios
conjuntos de parámetros.
Realmente muy pocos han implantado modelos de diseño económicos
para las cartas de control, primero porque los modelos son
relativamente complejos y la forma de presentarlos en forma difícil de
entender y usar;
segundo porque es difícil estimar costos y otros
parámetros del modelo. Un análisis de sensibilidad puede ayudar. Se
sugiere aplicar estos métodos a los artículos costosos tipo “A” en el
inventario.
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12. CEP PARA DATOS DE PROCESOS CORRELACIONADOS
En algunos procesos donde por cuestiones de inercia de cambio en
parámetros como en los procesos químicos, cuando los intervalos
entre muestreos son pequeños en relación a esas fuerzas, las
observaciones del proceso estarán correlacionadas en el tiempo
Wt
Tanque con volumen V y flujos de entrada y de salida
Xt
Si se toman muestras en intervalos t, entoces observamos las xt:
x t  awt  (1  a) x t 1
T  V / f ;V  volum en; f  flujo
a  1  e  t / T
.
La autocorrelación entre valores sucesivos de xt (xt y xt-1 ) está dado
por:
  1  a  e t / T
Si t es mucho más grande que T,  = 0, por ser las observaciones
no correlacionadas.
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Ejemplo: Calcular  para el caso de t/T<=1. 0.5, 0.25, 0.1.
Cuando t/T<= 0.25 la autocorrelación puede incrementar las falsas
alarmas de la carta de control. Por ejemplo para la viscocidad se tiene:
Xi
Viscocidad en tiempo t (Xt)
*
**
*
*
*
Correlación positiva
* **
*
Viscocidad en tiempo t-1 (Xt-1)
La función de autocorrelación para la serie de datos de serie de
tiempo es:
_
Cov( x t , x i  k  x)
k 
, k  0,1,....
V ( xt )
Se considera que Cov es la covarianza de las observaciones que
están separadas k periodos, asumiendo que las observaciones tienen
una varianza constante dada por V(xt). Normalmente la función de
autocorrelación de la muestra se estima con:
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nk
rk 
_
_
 ( xt  x)(xt k  x)
i 1
n
 (x
t 1
_
t
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 x)
, k  0,1,....K
2
Como regla general, es necesario calcular valores de rk
Para algunos valores de k, k<=n/4, se pueden calcular por software.
Una gráfica que muestra rk, retrazo en k, puede mostrar la función
de autocorrelación, si una barra excede los límites de control, se
identifica que existe correlación.
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Esquemas adaptativos
Un CEP con procedimiento adaptativo es aquel donde puede variar el
intervalo de muestreo o el tamaño de muestra o ambos. En términos
generales se divide en zonas, el área entre los límites de control como
sigue:
LIC   w  LC  w  LSC
Si el estadístico muestral cae entre las w’s, se continua utilizando el
método estándar de muestreo, de otra forma recorta el tiempo de
muestro y/o se toman más muestras.
Selección del valor meta óptimo para un proceso
Si x es el valor observado de la característica de calidad ( peso o
volumen) y T es el LIE (límite inferior de especificación) más un  para
llegar a la meta del proceso. Si el precio de venta del producto bueno
es a y de un producto defectivo es r, y g es el costo en exceso de
calidad por unidad de un artículo bueno (por ejemplo g es el costo por
onza para el exceso de producto sobre 12 onzas mínimo
especificado). Asumiendo normalidad, se tiene que el nivel óptimo de
llenado es
g
:
ar
Ejemplo:
El volumne nominla de un bote de refresco es de 12 fl. Oz. Su costo es de $0.01/fl
oz., el precio de venta es de $0.20, los botes semillenos se venden en $0.10.
Después de llevar cartas X-R, dio una R media de 0.15, por tanto:
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__

R
0.15

 0.0645
d 2 2.326
el volumen óptimo de llenado es:
g
(0.01)(0.0645)

 0.0065
ar
0.20  0.10
Con este valor de absisa se encuentra el valor de la ordenada en:
 *  2.85  0.1838
Por tanto el llenado óptimo estará en 12 fl oz. + 0.1838 = 12.1838 fl.
Oz.
Notar que hay una correlación fuerte positiva con k =1 (r1 = 0.88), lo
cual distorsiona la carta de Shewhart ya que incrementa la frecuencia
de falsas alarmas.
Un modelo que remueve la autocorrelación de los datos aplicando las
cartas de control a los residuos es :
xt    xt .1   t
Donde  y  con valor entre (-1,1) son constantes desconocidas y t es
normalmente distribuido con media cero y desviación estándar . Al
modelo se le denomina modelo auto regresivo de primer orden
La observación xt de tal modelo tiene una media de / (1 - ) y
desviación estándar de  / (1 - 2)1/2
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Las observaciones que se encuentran separadas k periodos (xt - xt-k)
tienen un coeficiente de correlación k la cual debe decaer en forma
exponencial.
^
Suponiendo que  es un estimado de , obtenido del análisis de la
^
muestra del proceso y x es un valor ajustado de xt entonces los
residuos t son aproximadamente distribuidos normalmente con media
cero y varianza constante, se pueden aplicar cartas de control a la
secuencia de residuos con sus reglas:
^
et = x t - x
Los parámetros del modelo autoregresivo pueden estimarse por
mínimos cuadrados escogiendo las cosntantes que minimizen la suma
de los errores t ; el modelo para la viscocidad es:
^
x t  13.04  0.847x t .1
En la fig. 8.28 se muestra una carta de control para los residuos, notar
que no se muestran puntos fuera de control, en contraste con la
gráfica de la figura 8.13, por tanto se puede concluir que el proceso
está en control estadístico.
Otro modelo llamado modelo de media móvil de primer orden donde
la estructura correlativa se extiende sólo un periodo hacia atrás, es el
que muestra dependencia respecto a los errores anteriores o sea:
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xt     t .1   t
En este modelo la correlación entre (xt - xt-k) es 1 = -  / (1 + 2) y es
cero para otros valores de k retrasos.
Se pueden combinar los modelos anteriores dando un modelo
mezclado o sea:
xt    xt .1   t   t 1
Es utilizado en la industria química y de procesos.
Los modelos anteriores son estudiados por Box y Jenkins
denominados ARIMA para procesos estacionarios.
Uso de la carta EWMA con datos correlacionados
Esta carta se puede utilizar bajo ciertas condiciones con datros
correlacionados, aquí   1   es óptima para un proceso de un paso
adelante.
^
x t 1 (t )  z t ; z t  x t  (1   ) z t 1
La secuencia de errores un paso adelante son:
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^
et = xt - x t(t-1)
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independiente e idénticamente distribuido con media
cero
La carta EWMA de los residuos et o errores de predicción, debe estar
acompañada de los datos de las observaciones originales,
superponiendo los valores de predicción de la EWMA. En el caso de la
viscocidad los mínimos errores de predicción cuadrados ocurren en 
= 0.825, se observa en la figura 8.18 que el proceso se encuentra en
control.
También se puede formar una carta EWMA con línea central móvil
comparando el valor de x t 1 con los límites de control móviles:
LSCt 1  z t  3
LICt 1  z t  3
En muchos casos será preferible una carta de control de residuos y
una EWMA para combinar la información.
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