No se sabe con exactitud cuando se introdujo el uso

Lectura de Apoyo 3
Unidad I: Trigonometría Analítica
Tomado de: Boyer, Carl B., A History of Mathematics. Segunda Edición.
Cap. 10 . John Wiley & Sons. USA. 1991.
Traducido por: Martha C. Villalba G. y Víctor M. Hernández L.
Trigonometría Temprana
La trigonometría, como otras ramas de las matemáticas, no fue el trabajo de algún hombre o nación. Los
teoremas sobre razones de los lados de triángulos semejantes se conocían y habían sido usados por los
antiguos Egipcios y Babilonios. En vista de la ausencia prehelénica de un concepto para la medida de
ángulo, tal estudio debió ser llamado "trilaterometría", la medida de las partes de un triángulo. Con los
Griegos encontramos primero un estudio sistemático de relaciones entre los ángulos (o arcos) en un
círculo y las longitudes de las cuerdas que subtienden. Propiedades de cuerdas, como medidas de
ángulos centrales e inscritos en círculos, fueron familiares a los Griegos de los días de Hipócrates y,
parece ser que Eudoxio usó razones y medidas angulares en la determinación del tamaño de la tierra y
las distancias relativas al sol y a la luna. En el trabajo de Euclides no hay trigonometría en el sentido
estricto de la palabra, pero hay teoremas equivalentes para especificar leyes trigonométricas o fórmulas.
Las proposiciones II.12 y 13 de los Elementos, por ejemplo, son las leyes de cosenos para ángulos
obtusos y agudos respectivamente, establecidas en geometría más que en lenguaje trigonométrico y
probados por un método similar al usado por Euclides en conexión con el teorema de Pitágoras. Los
teoremas sobre longitudes de cuerdas son esencialmente aplicaciones de la moderna ley de los senos.
Hemos visto que el teorema de Arquímedes sobre una cuerda rota quebrada puede fácilmente
transladarse al lenguaje trigonométrico análogo a fórmulas para senos de sumas y diferencias de
ángulos. Más y más los astrónomos de la Época Alejandrina -notablemente Eratóstenes de Cirene (276 194 a.C.) y Aristarco de Samos (310 - 230 a.C.)- manejaron problemas que apuntaban la necesidad de
relaciones más sistemáticas entre ángulos y cuerdas.
Aristarco de Samos
Aristarco, de acuerdo a Arquímedes y Plutarco, propuso el sistema heliocéntrico, anticipándose a
Copérnico por más de un milenio y medio; pero aunque lo que él pudo haber escrito sobre estos temas
se ha perdido. En su lugar contamos con un tratado de Aristarcan, tal vez compuesto más temprano (260
a.C.), Sobre los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna, en el que se asume un universo geocéntrico. En
este trabajo Aristarco hizo la observación que cuando la luna está precisamente medio llena, el ángulo
entre las líneas del lado del sol y la luna es menor que un ángulo recto por una treintava parte de un
cuadrante. (La introducción sistemática del círculo de 360º llegó un poco más tarde). En el lenguaje
trigonométrico actual esto puede significar que la razón de la distancia de la luna a la del sol (la razón ME
a SE en la Figura 10.1) es sen 3º. Las tablas trigonométricas no habían sido desarrolladas aún, Aristarco
se apoyó en un bien conocido teorema geométrico de la época que ahora podríamos expresar mediante
las desigualdades
1
20
senα α tan α
, donde 0º < β < α < 90º. De esto él derivó la conclusión
< <
senβ β tan β
< sen3º < 181 , entonces él aseveró que el sol está a más que 18 pero menos que 20 veces tan lejos
de la tierra como de la luna. Esto está lejos del valor actual -algo como menos de 400- pero es mejor que
los valores 9 y 12 que Arquímedes adcribió respectivamente a Edudoxio y a Fidias (padre de
Arquímedes). Más aún el método usado por Aristarco fue impecable, el resultado empezó a viciarse
únicamente por el error de observación en la medida del ángulo MES como 87º (cuando en la actualidad
resulta ser cercano a 89º 50´).
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Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría
M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L.
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3º
M
S
E
87º
Figura 10.1
Habiendo determinado las distancias relativas del sol y la luna, Aristarco supo también que los tamaños
del sol y la luna estaban en la misma razón. Esto se sigue del hecho de que el sol y la luna tienen
cercanamente el mismo tamaño aparente -esto es, subtienen el mismo ángulo al ojo de un observador
sobre la tierra. En el tratado en cuestión este ángulo está dado por 2º, pero Arquímedes atribuyó a
Aristarco el valor de 12 º que es mucho mejor. Con esta razón Aristarco estaba en capacidad de encontrar
una aproximación para los tamaños del sol y la luna en comparación con el tamaño de la tierra. De las
observaciones de eclipses lunares el concluyó que el ancho de la sombre arrojada por la tierra a la
distancia de la luna era dos veces el áncho de la luna, entonces si Rs, Re y Rm son respectivamente los
radios del sol, la tierra y la luna y Ds y Dm son las distancias al sol y la luna desde la tierra, entonces, por
Rm
Rs
Ds
Dm
Re
D
B
C
A
Figura 10.2
la semejanza de los triángulos BCD y ABE (Figura 10.2), se tiene la proporción
Re − 2 Rm Dm
. Si en
=
R s − Re
Ds
esta ecuación se reemplazan Ds y Rs por los valores aproximados 19Dm y 19 Rm, se obtiene la ecuación
Re − 2 Rm
1
ó Rm =
=
19 Rm − Re 19
20
57
Re . Con esto los cálculos de Aristarco fueron considerablemente
simplificados. Su razonamiento era en realidad llevado con mucho más cuidado y condujo a la
conclusión:
108 Re 60
<
<
43 Rm 19
y
19 Rs 43
<
<
3 Re
6
2
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Eratóstenes de Cirene
Todo lo que se necesitaba para llegar a tener una estimación de los tamaños reales del sol y la luna, era
tener una medida del radio de la tierra. Artistóteles había mencionado una figura equivalente de
alrededor de 40,000 millas para la circunferencia de la tierra (una figura debida posiblemente a Eudoxio),
y Arquímedes reportó que algunos de sus contemporáneos estimaron que el perímetro era de alrededor
de 30,000 milllas. Un cálculo mucho mejor, y por mucho el más celebrado, fue el debido a Eratóstenes,
un jóven contemporáneo de Arquímedes y Aristarco. Eratóstenes fue un nativo de Cirene quien pasó
muchos de sus primeros años de vida en Atenas. Alcanzó prominencia en muchos campos -poesía,
astronomía, historia, matemáticas, atletismo- cuando, a la mitad de su vida, fue llamado por Ptolomeo III
(filopator) a Alejandría para ser tutor de su hijo (más tarde Ptolomeo filadelfus) y para servir como
bibliotecario en la universidad. Fue cuando Eratóstenes estaba en Alejandría que Arquímedes había
mandado su tratado sobre el Método. En la actualidad Eratóstenes es mejor recordado por su medición
de la tierra -no como el primero o el último que hizo esta estimación en la antigüedad, sino por que fue la
más exitosa. Eratóstenes observó que a medio día del día de solticio de verano el sol cae en forma
directa en Siena. Al mismo tiempo en Alejandría, tomada en el mismo meridiano y a 5000 estadios al
norte de Siena, al sol se encontraba arrojando una sombra que indicaba que la distancia angular del sol
desde el cenit era una cincuentava parte de un círculo. De la ecuación de los ángulos correspondientes
S´AZ y S´´OZ en la Figura 10.3 es claro que la circunferencia de la tierra debe ser 50 veces la distancia
entre Siena y Alejandría. Esto arroja un perímetro de 250,000 estadios, o, ya que un estadio era
aproximadamente una décima parte de una milla, de 25,000 millas (Conteos posteriores colocan la figura
en 252,000 estadios, posiblemente con el fin de llevar a una figura redonda de 700 estadios por grado).
Z
A
O
S´
S
S´´
Figura 10.3
Contribuyente de muchos campos del aprendizaje, Eratóstenes es bien conocido en matemáticas por la
"Criba de Eratóstenes" , un procedimiento sistemático para aislar los números primos. Con todos los
números naturales arreglados en orden simplemente se descarta cada segundo número que sigue al
número 2, cada tercer número (en la secuencia original) que sigue al número 3, cada quinto número que
sigue al número 5, y se continúa de esta manera hasta descartar cada n-ésimo número que sigue al
número n. Los números restantes, desde 2 en adelante serán por supuesto, primos. Eratóstenes escribió
también un trabajo sobre las medias y sobre lugares, pero éstos se han perdido. Aún su tratado Sobre la
Medida de la Tierra no existe más, aunque algunos detalles de él han sido preservador por otros,
incluyendo a Herón y Ptolomeo de Alejandría.
Hiparco de Nicea
Por cerca de dos y medio siglos, desde Hipócrates hasta Eratóstenes, los matemáticos griegos habían
estudiado las relaciones entre líneas y círculos y las habían aplicado en una variedad de problemas de
astronomía, pero no tenían una trigonometría sistemática. Entonces, presumiblemente durante la
segunda mitad del segundo siglo a.C., la primera tabla trigonométrica aparentemente fue compilada por
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el astrónomo Hiparco de Nicea (aprox. 180 - 125 a.C.), quien por ello se ganó el derecho a ser conocido
como "el padre de la trigonometría". Era sabido por Aristarco que en un círculo dado la razón del arco a
la cuerda decrecía como el ángulo decrece desde 180º hasta 0º, tendiendo hacia el límite 1. De cualquier
modo, parece que hasta Hiparco nadie había asumido la tarea de tabular los valores correspondientes
del arco y la cuerda para series completas de ángulos. Ha sido, de cualquier modo, sugerido que
Apolonio posiblemente se anticipó a Hiparco en este aspecto, y que la contribución posterior a la
trigonometría fue simplemente el cálculo de un mejor conjunto de cuerdas que las que habían delineado
sus predecesores. Hiparco evidentemente construyó sus tablas para usarlas en su astronomía, acerca
del origen de la cual se conoce muy poco. Hiparco fue una figura transitoria entre la astronomía
babilónica y el trabajo de Ptolomeo. La astronomía había florecido en Mesopotamia cuando alrededor del
270 a.C. Berossos, posiblemente el único astrónomo Babilonio conocido por su nombre, se fue a la isla
de Chios, y no es improbable que los fundamentos de la Teoría del Cercano Este fuera transmitida a
Grecia en esa época. Las mayores contribuciones atribuidas a Hiparco en astronomía fueron su
organización de los datos empíricos derivados de los Babilonios, la construcción de un catálogo estelar,
el mejoramiento de las contantes astronómicas importantes (tales como la longitud de un mes y un año,
el tamaño de la luna, y el ángulo de oblicuidad de la eclíptica), y finalmente el descubrimiento de la
precisión de los equinoccios. Es generalmente asumido que él fue en mucho responsable en la
construcción del sistema geométrico planetario, pero esto es incierto por que no es muy claro en qué
medida Apolonio pudo haber aplicado métodos trigonométricos a la astronomía un poco antes.
No se sabe con exactitud cuando se introdujo el uso sistemático del círculo de 360º en matemáticas,
pero parece que en mucho se debe a Hiparco, en relación con su Tabla de Cuerdas. Es posible que él lo
haya a su vez tomado de Hypsicles, quien antes había dividido el día en 360 partes, una división que
pudo haber sido sugerido por los astrónomos de Babilonia. Cómo hizo Hiparco su tabla, es algo que no
se conoce, dado que sus trabajos no existen (excepto por un comentario en un poema astronómico
popular de Aratus). Es cómo si sus métodos fueran similares a aquellos de Ptolomeo que fueron
descritos posteriormente por Theon de Alejandría, en sus comentarios sobre la Tabla de Cuerdas de
Ptolomeo en donde reportó que antes Hiparco había escrito un tratado en doce libros sobre las cuerdas
en un círculo.
Menelao de Alejandría
Teon menciona también otro tratado, en seis libros, de Menelao de Alejandría (ca. A.D. 100) sobre
Cuerdas en un Círculo. Otros trabajos matemáticos y astronómicos de Menelao son mencionados por
comentaristas Griegos y Arábigos posteriores, incluyendo un Elementos de Geometría, pero el único que
ha sobrevivido - y sólo a través de los Árabes - es su Esférica. En el Libro I de este tratado Menelao
estableció una base para los triángulos esféricos análoga a la del Libro I de Euclides para triángulos
planos. Se incluyó un teorema sin su análogo Euclidiano, - que dos triángulos esféricos son congruentes
si sus ángulos correspondientes son iguales ( Menelao no distinguió entre triángulos esféricos, simétricos
y congruentes); y se estableció el teorema A + B + C > 180º . El segundo libro de la Esférica describe la
aplicación de la geometría esférica a fenómenos astronómicos y es de poco interés matemático. El libro
III, él último, contiene el bien conocido "teorema de Menelao" como parte de lo que es esencialmente
trigonometría esférica en la típica forma Griega - una geometría o trigonometría de cuerdas en un círculo.
En el círculo en la Fig. 10-4 debemos escribir que la cuerda AB es el doble del seno de la mitad del
ángulo central AOB (multiplicado por el radio del círculo).
B
A
O
B’
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Fig. 10.4
Menelao y sus sucesores Griegos se refirieron a AB simplemente como la cuerda correspondiente al
arco AB. Si BOB´ es un diámetro del circulo, entonces la cuerda AB´ es el doble del coseno de la mitad
del ángulo AOB (multiplicado por el radio del círculo). De esta manera los teoremas de Tales y Pitágoras,
2
2
2
que conducen a la ecuación AB + AB´ = 4r , son equivalentes a la identidad trigonométrica moderna
2
2
sen θ + cos θ = 1. Menelao, como probablemente Hiparco también antes que él, estaba familiarizado
con otras identidades, dos de las cuales el usó como lemas en la demostración de su teorema sobre las
transversales.
D
A
B
C
O
C’
D’
Fig. 10.5
C
F
E
A
B
D
Fig. 10. 6
El primero de estos lemas puede ser establecido en terminología moderna como sigue. Si la cuerda AB
en un círculo con centro en O (Fig. 10.5) es cortada en un punto C por un radio OD, entonces
AC senAD
. El segundo lema es similar: Si la cuerda AB extendida es cortada en el punto C´ por un
=
CB senDB
AC´ senAD´
radio extendido OD´, entonces
. Estos lemas fueron asumidos por Menelao sin
=
CB´ senBD´
demostración, presumiblemente porque pudieron ser parte de trabajos anteriores, posiblemente de los
doce libros sobre cuerdas de Hiparco. (El lector puede demostrar los lemas fácilmente trazando AO y BO
bajando perpendiculares desde A y B hasta OD, y usando triángulos semejantes).
Es probable que el "Teorema de Menelao" para el caso de triángulos planos haya sido conocido por
Euclides, tal vez haya aparecido en el perdido Porisms. El teorema en el plano establece que si los lados
AB, BC, CA de un triángulo son cortados por una tranversal en los puntos D, E, F respectivamente
(Figura 10.6), entonces AD ⋅ BE ⋅ CF = BD ⋅ CE ⋅ AF . En otras palabras, cualquier línea corta los
lados de un triángulo de tal forma que el producto de tres segmentos no adyacentes es igual al producto
de los otros tres, como fácilmente puede ser demostrado por geometría elemental o a través de la
aplicación de simples relaciones trigonométricas. El teorema fue asumido por Menelao ya que era bien
conocido por sus contemporáneos, pero él fue más allá al extenderlo a triángulos esféricos en una forma
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equivalente a senAD ⋅ senBE ⋅ senCF = senBD ⋅ senCE ⋅ senAF . Si se usan segmentos dirigidos en
lugar de magnitudes absolutas, los dos productos son iguale sen magnitud pero difieren en signo.
El Almagesto de Ptolomeo
El Teorema de Menelao jugó un rol fundamental en la trigonometría esférica y en astronomía, pero en
gran medida el trabajo de trigonometría más influyente y significativo de toda la antigüedad fue la
Sintaxis Matemática, un trabajo de trece libros compuesto por Ptolomeo de Alejandría cerca de medio
siglo después de Meneleao. Esta celebrada Sintaxis Matemática fue distinguida de otro grupo de
tratados astronómicos por otros autores (incluyendo a Aristarco) que refieren el tratado de Ptolomeo
como la "más grande" colección y la de Aristarco et al. como la de "menos importancia". De la referencia
frecuente a la primera como megiste , surgió más tarde en Arabia la constumbre de llamar a los libros de
Ptolomeo como Almagest ("el más grande"), y es por lo que este trabajo ha sido desde entonce
conocido por este nombre.
De la vida de su autor hay tan poca información como de la del autor de los Elementos. No sabemos
cuándo o donde Euclides y Ptolomeo nacieron. Sabemos que Ptolomeo hizo obeservaciones en
Alejandría desde 127 hasta el 151 d.C., y por lo tanto asumimos que nació al final del primer siglo.
Suidas, un escritor que vivió en el siglo décimo, reportó que Ptolomeo estaba todavía vivo bajo el imperio
de Marco Aurelio (emperador desde 161 hasta 180 d.C.).
Se presume que el Almagesto de Ptolomeo le debía mucho a los métodos usados por Hiparco en su
Cuerdas en un Círculo, pero la medida de ésta no puede ser realmente valorada. Es claro que en
Astronomía Ptolomeo hizo uso del catálogo de posiciones de estrellas legado por Hiparco, pero si las
tablas trigonométricas de Ptolomeo fueron o no derivadas en gran parte de su distinguido predecesor, no
puede ser determinado. Afortunadamente el Almagesto de Ptolomeo a los estragos del tiempo; de aquí
que, no solamente tenemos sus tablas trigonométricas sino también una gran cantidad de los métodos
usados en su contrucción. Central en el cálculo de las cuerdas de Ptolomeo fue una proposición
geométrica todavía conocida como "teorema de Ptolomeo": si ABCD es un cudrilátero (convexo) inscrito
en un círculo (Figura 10.7), entonces AB ⋅ CD + BC ⋅ DA = AC ⋅ BD ; esto es la suma de los productos
de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales. La prueba de esto
se hace fácilmente al dibujar BE de tal modo que el ángulo ABE es igual al ángulo DBC y notando la
semejanza de los triángulos ABE y BCD. Un caso especial del teorema de Ptolomeo apareció en el Data
de Euclides (Proposición 93): si ABC es un triángulo inscrito en un círculo y si BD es una cuerda que
biseca el ángulo ABC, entonces
AB + BC AC
.
=
BD
AD
Otro, y más útil, caso especial del teorema general de Ptolomeo es aquel en el que un lado, digamos AD,
es un diámetro de un círculo (Figura 10.8). Entonces, si AD = 2r, tenemos
2r ⋅ BC + AB ⋅ CD = AC ⋅ BD . Si hacemos el arcoBD=2α y el arcoCD=2β, entonces BC = 2rsen(α - β),
AB = 2rsen (90º - α), BD =2rsenα, CD=2rsinβ, y AC=2rsen(90º - β). El teorema de Ptolomeo entonces,
conduce al resultado sen (α - β) = senα cosβ - cosα senβ. Un razonamiento similar conduce a la fórmula
sen (α + β) = senα cosβ + cosα senβ, y al par análogo cos (α ! β) = cosα cosβ ∀ senα senβ . Estas cuatro
fórmulas de suma y resta son consecuentemente conocidas hoy en día como fórmulas de Ptolomeo.
Fue la fórmula para el seno de la diferencia -o con mayor exactitud, la cuerda de la diferencia- a la que
Ptolomeo encontró especial utilidad en la construcción de sus tablas. Otra fórmula de la que se sirvió con
mucha efectividad fue la equivalente de nuestra fórmula de la mitad del ángulo. Dada la cuerda de un
arco en el círculo, Ptolomeo encontró la cuerda de la mitad del arco como sigue. Sea D el punto medio
del arco BC en un círculo con diámetro AC=2r (Figura 10.9), sea AB = AE, y sea DF que biseca EC
(perpendicularmente). Entonces, no es difícil mostrar que FC = ½(2r - AB). Pero de la geometría
2
2
elemental es sabido que DC =AC·FC, de lo que se sigue que DC =r(2r-AB). Si tomamos arcoBC=2α,
entonces DC=2r senα/2 y AB = 2r cosα; con esto, tenemos la moderna fórmula familiar
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sen α2 =
1 − cos α
. En otras palabras, si la cuerda de cualquier arco es conocida, la cuerda de la mitad
2
del arco es también conocida. Ahora Ptolomeo estaba equipado para construir una tabla de cuerdas con
tanta aproximación como el pudiera desear, porque él tenía el equivalente de nuestras fórmulas
fundamentales.
B
B
C
C
A
A
E
D
D
Fig. 10.8
Fig. 10.7
B
D
A
O E F C
Fig. 10.9
El círculo de 360º
Debiera recordarse que desde los días de Hiparco hasta los tiempos modernos no había tales cosas
como razones trigonométricas. Los Griegos, y después de ellos los Hindús y los Árabes, usaban líneas
trigonométricas. Éstas en un principio fueron tomadas, como hemos visto, de las cuerdas en un círculo y
fueron consideradas por Ptolomeo para asociarles valores numéricos (o aproximaciones). Para hacer
esto, se necesitaron dos convenciones: (1) algún esquema para subdividir la circunferencia de un círculo
y (2) alguna regla para subdividir el diámetro. La división de una circunferencia en 360º parece haber
sido usada en Grecia desde los días de Hiparco, aunque no se sabe realmente como emergió la
convención. No es improbable que la medida de 360º fuese hecha desde la astronomía, donde el
1
zodiaco debía ser dividida en doce "signos" o 36 "decans" . Un ciclo de las estaciones de
aproximadamente 360 días podía fácilmente hacerse corresponder al sistema de signos y decans
zodiacales mediante la subdivisión de cada signo en 30 partes y cada decan en 10 partes. Nuestro
sistema común de medición de ángulos pudiera ser el resultado de esta correspondencia. Más aún, ya
que el sistema posicional babilonio para fracciones era tan obviamente superior a las fracciones unitarias
Egipcias y las fracciones comúnes Griegas, fue natural para Ptolomeo dividir sus grados en sesenta
partes minutae primae, cada una de éstas después en sesenta partes minutae secundae, y así
1
N. del T. Decans: Estrellas o constalaciones visibles cada diez días mediante las cuales los antiguos
Egipcios acostumbraban medir el tiempo. No se encuentra palabra en español.
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sucesivamente. Es desde las frases latinas que los traductores usaron en ésta conexión que nuestras
palabras "minuto" y "segundo" han sido derivadas. Fue sin duda el sistema sexagesimal el que condujo a
Ptolomeo a subdividir el diámetro de su círculo trigonométrico en 120 partes; cada una de las cuales él
más adelante subdividió en 60 minutos y cada minuto de longitud en 60 segundos.
Nuestras identididades trigonométricas son fácilmente convertidas al lenguaje de las cuerdas
Ptoloméicas a través de las simples relaciones:
senx =
cuerda 2x
cuerda(180º −2 x)
y cos x =
120
120
Las fórmulas cos (x ! y) = cos x cos y ∀ sen x sen y se obtienen
cuerda 2 x ± 2 y =
cuerda 2 xcuerda 2 y ! cuerda 2 xcuerda 2 y
,
120
donde la línea sobre un arco (ángulo) indica el arco suplementario. Note que no solamente los ángulos y
los arcos sino también sus cuerdas eran expresados sexagesimalmente. De hecho, siempre que los
estudiantes en la antigüedad deseaban un sistema preciso de aproximación, recurrían a la escala
sexagesimal para la porción fraccionaria; esto condujo a las frases "fracciones de la astronomía" y
"fracciones de la física" para distinguir las sexagesimales de las fracciones comunes.
Construcción de tablas
Habiendo decidido sobre su sistema de medición, Ptolomeo estaba listo para calcular las cuerdas de
ángulos en el sistema. Por ejemplo, ya que el radio del círculo de referencia contenía 60 partes, la
cuerda de un arco de 60º también contenía 60 partes lineales. La cuerda de 120º sería 60 3 o
aproximadamente 103 partes y 55 minutos y 33 segundos, o, en el Ionic de Ptolomeo o notación
ρ
alfabética, ργ νε´ λγ". Ptolomeo pudo ahora haber usado su fórmula para la mitad de un ángulo, para
encontrar la cuerda de 30º, y entonces la cuerda de 15º, y así sucesivamente para ángulos todavía más
pequeños. De cualquier modo, él prefirió posponer la aplicación de ésta fórmula y calcular en su lugar las
cuerdas de 36º y 72º. Usó un teorema del Elementos XIII.9 el cual muestra que un lado de un pentágono
regular, un lado de un hexágono regular y un lado de un decágono regular, todos inscritos en el mismo
círculo, constituyen el lado de un triángulo rectángulo. Incidentalmente, este teorema de Euclides provee
la justificación para una elegante construcción de Ptolomeo de un pentágono regular inscrito en un
círculo. Sea O el centro de un círculo y AB un diámetro (Figura 10.10). Entonces, si C es el punto medio
de OD y OD es perpendicular a AB, y si CE se toma igual a CD, los lados del triángulo rectángulo EDO
son los lados de un pentágono, exágono y decágono regular inscrito. Entonces, si el radio OB contiene
60 partes, de las propiedades del pentágono y de la sección dorada se sigue que OE, la cuerda de 36º,
es
30( 5 − 1) o aproximadamente 37.083 o 37ρ 4´ 5" o λζρ δ´ νε" . Por el teorema de Pitágoras la
cuerda de 72º es 30 10 − 2 5 , o aproximadamente 70.536 o 70 32´ 3" o ο λβ´ γ". Conociendo la
cuerda de un arco de s grados en un círculo, uno puede fácilmente encontrar la cuerda de un arco de
ρ
ρ
180º - s a través de los teoremas de Tales y Pitágoras, para cd s + cd s = 120 . Aquí, Ptolomeo
conocía las cuerdas de los suplementos de 36º y 72º. Más aún, de las cuerdas de 72º y 60º él encontró
la cuerda de 12º a través de su fórmula para la cuerda de la diferencia de dos arcos. Entonces, por
aplicaciones sucesivas de su fórmula para la mitad de un ángulo derivó las cuerdas de los arcos de 6º,
ρ
ρ
3º, 1 12 º, y 34 º, las últimas dos siendo 1 34´ 15" y 0 47´ 8" respectivametne. A través de interpolación
2
2
2
ρ
lineal entre estos valores Ptolomeo arribó a 1 2´ 50" como la cuerda de 1º. A través del uso de la
fórmula para la mitad de un ángulo - o ya que el ángulo es muy pequeño, simplemente dividiendo por
ρ
dos- él encontró el valor de 0 31´ 25" para la cuerda de 30´. Esto es equivalente a decir que el sen15´ es
0.00873, el cual es correcto en casi media docena de lugares decimales.
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Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría
M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L.
Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa
de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos
bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000.
Octubre de 2000
Los valores de Ptolomeo para la cuerda de
1
2
º es, por supuesto, la longitud de un lado de un polígono de
720 lados inscrito en un círculo de 60 unidades de radio. Mientras que el polígono de Arquímedes de 96
lados había conducido a 22
7 como una aproximación para el valor de π el de Ptolomeo es equivalente a
ρ
6(0 31´ 25") o 3;8,30. Esta aproximación a π usada por Ptolomeo en el Almagesto es la misma que
377
120
,
la cual conduce a un equivalente decimal de aproximadamente 3.1416, un valor que pudo haber sido
dado antes por Apolonio.
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M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L.
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