matemáticas 3º eso - Mauricio Contreras

4.
Áreas y
Volúmenes
Matemáticas 3º ESO
1. Áreas de figuras planas
2. Figuras circulares
3. Áreas de poliedros
4. Área y volumen de sólidos
5. Cilindros y conos
6. Área y volumen de esferas
7. La Tierra
116
Áreas y volúmenes
1. Áreas de figuras planas

CÁLCULO DE ÁREAS
Recuerda de cursos anteriores que: Área del rectángulo = Base  Altura
El cuadrado es un caso particular de rectángulo en el que la base y la altura son iguales.
En consecuencia: Área del cuadrado = Lado  Lado
a) ¿Cuál sería el área del rectángulo en el supuesto de que la base mida 7’2 cm y la altura 4’5 cm?.
b) Toma un folio y comprueba que cortándolo por una de sus diagonales obtienes dos triángulos
iguales. Relaciona el área de uno de ellos con la del rectángulo.
c) Toma otro folio y córtalo tal como observas en la figura adjunta.
Se obtienen tres triángulos, el mayor de los cuales resulta ser T. Recubre a modo de
Tangram dicho triángulo T con los dos restantes; ello permite asegurar que el área del
rectángulo es doble que la del triángulo. De este apartado y del anterior podemos deducir:
Base  Altura
Area del triangulo=
2
117
Matemáticas 3º ESO
d) Haz un corte en un folio, tal como indica la figura adjunta, y traslada al lado opuesto el triángulo
obtenido en dicho corte, con lo cual obtendrás un romboide.
El romboide está compuesto de las mismas piezas que el rectángulo. Deduce a partir de este
hecho que el área del romboide es:
Área del romboide = Base  Altura
e) Los vértices del rombo punteado en el folio de la figura se encuentran en los puntos medios de
los lados de éste. Recorta dicho rombo y dibuja sus diagonales. Observa que las diagonales son
la base y la altura del folio. Superponiendo a modo de tangram las cuatro esquinas sobrantes,
sobre el rombo, se puede deducir la relación existente entre el área del rectángulo y la del rombo.
Comprueba que:
Area del rombo =
f)
Diagonalmayor  Diagonalmenor
2
Corta un folio como muestra la figura y obtendrás dos trapecios iguales. Esto permite deducir que
el área del trapecio es la mitad de la del rectángulo. Puedes concluir a partir de este hecho que:
Area del trapecio =
118
Base mayor + Base menor
 Altura
2
Áreas y volúmenes
El resultado obtenido para trapecios rectángulos es generalizable a cualquier tipo de
trapecio. Para ello bastaría cortar el folio convenientemente como indica la figura.

ZONAS COLOREADAS
En la siguiente figura, calcula:
a) La superficie de la zona coloreada de rojo.
b) La superficie de la zona coloreada de amarillo.
c) La superficie de la zona coloreada de azul.

ROMBOIDE
Los lados desiguales de un romboide miden 51 cm y 24 cm. La diagonal menor es perpendicular al
lado menor. Calcula: a) La diagonal menor. b) El área del romboide. c) La distancia entre sus dos
lados mayores.

TRAPECIOS
1) Las diagonales de un trapecio rectángulo miden 26 cm y 30 cm respectivamente, y su altura 24
cm. Calcula el área.
2) En un trapecio isósceles la diferencia de las bases es de 10 cm, la altura de 12 cm y el perímetro
72 cm. Determina su área.
119
Matemáticas 3º ESO

ÁREAS DE POLÍGONOS CUALESQUIERA
En polígonos irregulares, basta triangular el polígono, tal como se observa en la figura
adjunta.El área de un polígono irregular se obtiene sumando las áreas de los triángulos que
lo componen. En otros casos, sin embargo, puede ser más conveniente descomponer el
polígono en otras figuras elementales, como se indica en la figura adjunta.
En polígonos regulares, puede utilizarse el método anterior, pero es más operativo triangular
desde el centro del polígono ya que en tal caso todos los triángulos que resultan son
iguales, lo que permite establecer la expresión del área de forma sistemática. Del hexágono
regular de la figura se deduce que su área es seis veces la del triángulo básico.
La apotema de un polígono regular es la distancia del centro del polígono a cada uno de sus
lados y, puesto que la altura de los triángulos básicos coincide con la apotema, observa
que:
Area del hexagono= 6  Area del triangulo= 6 
Lado Apotema Perimetro Apotema

2
2
Este resultado se puede comprobar no sólo para el hexágono sino para todo polígono
regular. Por lo tanto, en general, se cumple que:
Area de un poligonoregular =
Perimetro Apotema
2
1) El perímetro de un pentágono regular es de 50 cm. Calcula su área.
2) Calcula el área de un decágono regular de 4 cm de lado.

HEXÁGONO REGULAR
Calcula el área de un hexágono regular de 18 cm de lado.

OCTÓGONO REGULAR
El lado de un octógono regular mide 6 cm y el radio de su circunferencia circunscrita 78’4 mm. Halla
la longitud de la apotema y su área.
120
Áreas y volúmenes

COMETAS
Calcula el área de la siguiente cometa:

ÁREA DE UN CÍRCULO
Si un polígono regular aumenta su número de lados indefinidamente, su perímetro tiende a
confundirse con el de una circunferencia. Por lo tanto, podemos imaginar la circunferencia
como un polígono regular con una infinidad de lados. Como tal “polígono”, el área que se
encierra en su interior, será el área del círculo. Por tanto:
Area del circulo =
de donde
Perimetro Apotema 2    R  R

   R2
2
2
Area del circulo =   R2
1) Calcula el área de la parte sombreada de las siguientes figuras:
2) Dibuja dos circunferencias tangentes tales que una de ellas pase por el centro de la otra, y
2
calcula el área del recinto limitado por éstas, sabiendo que el área del círculo menor es 4 cm .
121
Matemáticas 3º ESO
2. Figuras circulares

UNA CUERDA
En una circunferencia una cuerda de 48 cm de longitud dista 18 cm del centro. Calcula la longitud de
la circunferencia y el área del círculo.

ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES
1) Dibuja una circunferencia de 8 cm de radio y recórtala. ¿Cuál es el área del círculo que encierra?.
Dibuja sobre el recortable anterior y con el mismo centro, otra circunferencia de radio 5 cm.
Recórtala y di cuál es el área de su círculo.
La figura sobrante se llama corona circular. ¿Sabrías decir cuál es su área a partir de las áreas de
los círculos anteriores?. Suponiendo R el radio de la circunferencia mayor y r el de la
circunferencia menor, justifica que:
2
2
Área de la corona circular =  ( R – r )
2) El parlamento de un determinado país está compuesto por 360 miembros. Su distribución por
partidos políticos responde al diagrama circular adjunto (recuerda que la circunferencia abarca
360º ).
Si el radio del diagrama circular es R, ¿cuál es el área del diagrama que representa la
composición global del parlamento?. ¿Cuál es el área correspondiente al partido político
representado por un solo miembro?. ¿Cuál es el área correspondiente al partido político con 18
representantes en el parlamento?.
Para el caso de un partido con n representantes en el parlamento, justifica que el área de su
sector circular correspondiente es:
Área del sector circular =
122
 R2
n
360º
Áreas y volúmenes
3) La parte coloreada de la figura adjunta representa un segmento circular. Justifica que su área es
la diferencia entre el sector circular que abarca y el triángulo formado por los extremos de la
cuerda y el centro de la circunferencia. Utiliza este hecho para obtener la expresión de su área.
Utiliza el teorema de Pitágoras al considerar que la altura del triángulo isósceles divide a la base
en dos partes iguales.
4) La siguiente figura nos muestra un trapecio circular. Expresa su área en función del área de
algunas figuras circulares estudiadas anteriormente.
5) A modo de resumen completa la siguiente tabla de áreas:
123
Matemáticas 3º ESO

PARTES SOMBREADAS
Determina el área de la parte sombreada de las siguientes figuras:

FIGURAS COLOREADAS
Halla el área de la parte coloreada en las siguientes figuras:
124
Áreas y volúmenes

FLORES DE TRES Y CUATRO PÉTALOS
a)
Halla el área de la parte coloreada de la figura adjunta, sabiendo que el diámetro mide 20 dm,
siendo A, B y C los centros de los arcos de circunferencia MN, MP y PN, respectivamente.
b)
Averigua si el área de la zona coloreada en azul es igual o no a la de la zona coloreada en rojo.
125
Matemáticas 3º ESO
3. Áreas de poliedros

ORTOEDRO Y CUBO
1) Halla el área total y la longitud de la diagonal de un ortoedro de dimensiones 6 cm, 3 cm y 2 cm.
2) Halla el área total y la longitud de la diagonal de un cubo de 12 cm de arista.

UNA CAJA
Calcula la altura de una caja ortoédrica cuya base tiene de dimensiones 40  24 cm, sabiendo que se
2
han utilizado en su construcción 3152 cm de cartón.

ÁREAS DE POLIEDROS REGULARES
Vamos a calcular las áreas de los cinco poliedros regulares:
Cubo: Como el cubo tiene seis caras cuadradas, y el área de cada cara es
S = a2 , resulta
que el área total del cubo es igual a: A = 6  S = 6  a2 .
Tetraedro: Aplicando el teorema de Pitágoras podemos hallar la altura de una cara del
tetraedro:
h = a2 
a2
3

a
4
2
Luego el área de una cara es S =
1
1 3
3 2
ha = 
aa =
a
2
2 2
4
Por tanto, como el tetraedro tiene cuatro caras triángulos equiláteros, su área es:
A = 4S = 4
126
3 2
 a  3  a2
4
Áreas y volúmenes
Octaedro: Como el octaedro tiene ocho caras triángulos equiláteros y el área de cada cara
es, según hemos visto, S =
1
3 2
ha =
 a , resulta que el área del octaedro es igual a:
2
4
3 2
 a  2  3  a2
4
A = 8S = 8
Icosaedro: Como el icosaedro tiene veinte caras triángulos equiláteros y el área de cada
cara es, según hemos visto, S =
1
3 2
ha =
 a , el área del icosaedro es igual a:
2
4
A = 20  S = 20 
3 2
 a  5  3  a2
4
Dodecaedro: Se puede demostrar, aunque es difícil, que el área total del dodecaedro es
igual a:


A = 3  5  5 + 2  5  a2
1) Halla el área total de un cubo de 20 cm de diagonal.
2) Halla el área de un tetraedro regular de 7 cm de arista.
3) Halla el área de un octaedro y de un icosaedro regulares de 8 cm de arista.
4) Halla el área de un dodecaedro regular de 12 cm de arista.
127
Matemáticas 3º ESO

PRISMA OBLICUO
Averigua el área lateral y total del prisma oblicuo de la siguiente figura:
4. Área y volumen de sólidos

ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRÁMIDE
En una pirámide recta de base regular, sus caras laterales con triángulos isósceles todos
1
ellos iguales, y como el área de un triángulo es A = b  a , contando el número de
2
triángulos es fácil deducir que:
AL 
1
Pa
2
A T  AL 
P  a' 1
 P a + a'
2
2
donde P representa el perímetro de la base, a la apotema de la pirámide y a’ la apotema del
polígono de la base.
1) Halla el área lateral y total de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que la diagonal de la
base mide 2’8 cm y la arista lateral 5 cm.
2) La base de una pirámide regular es un hexágono de 6 cm de lado. Calcula la altura de la pirámide
sabiendo que su superficie lateral es doble que la de la base.
128
Áreas y volúmenes

ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
Si cortamos una pirámide por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de pirámide,
que es el sólido comprendido entre la base y el plano de corte. En un tronco de pirámide
recto y regular, sus caras son trapecios isósceles y como el área del trapecio es
1
A =  b + b'   a , contando el número de trapecios es fácil deducir que:
2
AL 
A T  A L  A b  A b'
1
  P + P'   a
2
donde P y P’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas.
1) Halla las áreas lateral y total de un tronco de pirámide regular cuadrangular sabiendo que su
altura es 20 cm, la base mayor está inscrita en una circunferencia de 4 cm de radio y el área de la
base menor es la mitad del área de la mayor.
2
2) El área de la superficie total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas es 1666 cm .
2
2
Las áreas de las bases son 144 cm y 324 cm respectivamente. Halla la apotema del tronco.

VOLÚMENES DE CUBOS Y CUBOIDES
Recuerda de cursos anteriores que el volumen de un cubo es: V = a3 , siendo a la arista del
cubo. El volumen de un cuboide, también llamado ortoedro o paralelepípedo, es igual a:
V = a  b  c , siendo a, b y c las dimensiones de dicho cuboide.
2
1) ¿Qué volumen tiene un cubo de superficie total 1 m ?.
2
2) ¿Qué volumen tiene un cuboide cuya base tiene un área de 100 m y una altura de 5 metros?.
¿Puedes determinar con estos datos su área total ?.
129
Matemáticas 3º ESO

VOLÚMENES DE PRISMAS
Principio de Cavalieri
Cavalieri (profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia durante la primera mitad
del siglo XVII) observó que tres pilas de igual número de cartulinas iguales tienen el mismo
volumen.
Sin embargo, no es necesario que las cartulinas tengan la misma forma, basta con que las
secciones tengan igual área.
Así enunció el llamado Principio de Cavalieri: “Si en dos cuerpos de igual altura las áreas de
las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, los cuerpos tienen el
mismo volumen”.
Volumen del prisma
Según el principio de Cavalieri, el volumen de un prisma es igual al de un cuboide de igual
altura y cuya sección tenga la misma área que la base del prisma. Por lo tanto:
VPRISMA  Ab  h
siendo A b el área de la base y h la altura del prisma.
Un prisma tiene una sección recta que es un triángulo rectángulo isósceles de 20 cm de hipotenusa.
La arista del prisma mide 0’5 m. ¿Cuál es el volumen de este prisma?. ¿Cuál es su área total?.
130
Áreas y volúmenes

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE
Sobre cada una de las seis caras de un cubo, podemos construir un pirámide con el vértice
en el centro del cubo. Esto significa que el volumen de la pirámide será la sexta parte del
volumen del cubo, es decir:
V=
1 3 1 2
l  l l
6
6
y como l = 2  h, se cumple que:
V=
1
1
 Ab  2 h =  Ab h
6
3
El cálculo anterior se refiere a una pirámide cuadrangular, pero por el principio de Cavalieri,
sigue siendo válida para pirámides de cualquier otro tipo. Por tanto, en general, se cumple:
VPIRAMIDE 
1
 Ab  h
3
Si cogemos dos recipientes, uno con forma de prisma y otro con forma de pirámide, que
tengan la misma base y la misma altura, al llenar la pirámide de agua o de arena y vaciarla
dentro del prisma, se observa que hay que vaciar tres veces el contenido de la pirámide
para llenar el prisma. Podemos concluir que el volumen del prisma es el triple del volumen
de la pirámide, o que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma.
V pirámide 
1
1
V prisma  A base  h
3
3
3
1) El volumen de una pirámide hexagonal regular es de 60 m , y la arista de la base es de 4 m. Halla
su altura y el área lateral y total.
2) Halla el volumen de una pirámide cuadrangular de arista básica 7 cm y arista lateral 10 cm. Halla
también su área lateral y total.
131
Matemáticas 3º ESO

PIRÁMIDE DE KEOPS
La pirámide de Keops fue construida unos 2600 años antes de nuestra era. Es una pirámide de base
cuadrada con unas dimensiones impresionantes: 230 metros de arista de la base y 146 metros de
altura. Está formada por 2’3 millones de bloques de piedra.
Calcula el volumen de la pirámide de Keops. ¿Cuál es el volumen aproximado de cada uno de los
bloques de piedra que la componen?.

UN MONOLITO
La figura muestra el croquis de un monolito construido en piedra, así como las dimensiones de éste
expresadas en dm. Averigua:
a) el volumen de piedra que encierra este monolito;
3
b) su peso, sabiendo que la densidad de la piedra usada es de 2’7 kg/dm .
Recuerda que la magnitud densidad se define como: DENSIDAD =
132
MASA
VOLUMEN
Áreas y volúmenes
5. Cilindros y conos

ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN CILINDRO
El cilindro puede considerarse como un prisma regular con una infinidad de caras laterales.
Esto permite considerar los conceptos de altura, base, área lateral y total de forma análoga
a como vimos para los prismas.
Para hallar el área lateral y total basta cortar el cilindro a lo largo de la generatriz y
desplegarlo en el plano. Su desarrollo lo componen un rectángulo de altura h y base 2 r, y
dos círculos de radio r. Por lo tanto, las áreas lateral y total del cilindro son:
AL  2    r  h
A T  AL  2   r 2
Haciendo girar un rectángulo de dimensiones 5 cm  3 cm alrededor de cada uno de sus lados, se
obtienen dos cilindros rectos. Halla el área total de cada uno de ellos. Halla también el área lateral de
dichos cilindros y compáralas.

VOLUMEN DEL CILINDRO
Considerando el cilindro como un prisma con una infinidad de caras laterales, su volumen,
al igual que en cualquier prisma, será igual a V = A b  h , siendo Ab el área de la base y h su
altura. Por tanto, el volumen del cilindro es igual a:
VCILINDRO   r 2  h
133
Matemáticas 3º ESO
a) Partiendo de un folio en forma apaisada, enróllalo hasta grapar los bordes laterales para obtener
un cilindro sin tapas. Haz lo mismo con otro folio dispuesto en forma vertical y observa que ambos
tienen la misma área lateral. ¿Se puede asegurar lo mismo de sus volumenes?. Compruébalo
rellenando ambos cilindros con granos de arroz u otro producto análogo.
b) Repite la experiencia anterior después de cortar el folio verticalmente por la mitad y grapar
longitudinalmente ambas mitades. Constata al igual que antes si el volumen depende o no del
área total.

UN TÚNEL
Un túnel de sección semicircular de 40 m de diámetro tiene 1’5 km de longitud. ¿Cuántos metros
cúbicos de tierra y roca se han extraído para su construcción?.
134
Áreas y volúmenes

ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN CONO
El cono puede considerarse como una pirámide regular con infinitas caras laterales, lo que
permite estudiar los conceptos de vértice, altura, base, área lateral y total de forma análoga
a como hemos visto para las pirámides.
Haciendo un corte al cono recto a lo largo de una generatriz y desplegando sobre el plano,
observamos que su desarrollo plano lo componen un sector circular de radio la generatriz
del cono y longitud de arco 2  π  r , junto con un círculo básico de radio r.
1
 p  a donde p es el
2
perímetro de la base y a es la apotema y como en el caso límite del cono resulta ser:
y
a = g , podemos concluir que el área lateral y el área total del cono valen,
p = 2 π r
respectivamente:
Teniendo en cuenta que el área lateral de una pirámide es A L 
AL 
1
 2 π r  g = π r  g
2
A T  A L  π  r 2  π  r  g + r 
1) ¿Qué ángulo tiene el sector circular que se ha de cortar para construir en cartulina un cono de 4
cm de radio de la base y 9 cm de altura?. ¿Cuál es la superficie lateral y total de dicho cono?.
2) Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm alrededor de cada uno
de ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y halla el área total de cada uno de ellos.
135
Matemáticas 3º ESO

VOLUMEN DEL CONO
Podemos considerar un cono como una pirámide con infinitas caras laterales. Por tanto, su
1
volumen se puede hallar como el volumen de una pirámide, cuya fórmula es V =  A b  h ,
3
siendo Ab el área de la base y h la altura. Como A b  π  r 2 , resulta que el volumen del cono
viene dado por la fórmula:
1
VCONO   π  r 2  h
3
Si cogemos dos recipientes, uno con forma de cilindro y otro con forma de cono, que tengan
la misma base y la misma altura, al llenar el cono de agua o de arena y vaciarlo dentro del
cilindro, observamos que hay que vaciar tres veces el contenido del cono para llenar el
cilindro. Podemos concluir que el volumen del cilindro es el triple del volumen del cono, o
que el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro.
V cono 
1
1
V cilindro  A base  h
3
3
Calcula el volumen engendrado por un triángulo equilátero de 2 dm de altura al girar alrededor de
ésta
136
Áreas y volúmenes

CALCULA VOLÚMENES
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:
6. Área y volumen de esferas

VOLUMEN DE LA ESFERA
El matemático griego Arquímedes descubrió experimentalmente que el volumen de la esfera
4
de radio R se puede determinar por la fórmula: V =    R 3
3
En efecto, si cogemos dos recipientes, uno con forma de semiesfera y otro con forma de
cilindro, de manera que el radio del cilindro sea igual al de la semiesfera y que la altura del
cilindro sea igual al diámetro de la semiesfera, al llenar la semiesfera de agua o de arena y
vaciarla dentro del cilindro, observamos que hay que vaciar tres veces el contenido de la
semiesfera para llenar el cilindro. Podemos concluir que el volumen del cilindro es el triple
del volumen de la semiesfera, o que el volumen de la semiesfera es la tercera parte del
volumen del cilindro.
V semiesf era 
1
1
1
2
V cilindro  A base  h cilindro  π r 2  2r  π r 3
3
3
3
3
V esf era  2 V semiesf era  2 
2
4
π r3  π r3
3
3
137
Matemáticas 3º ESO
1) En un recipiente cilíndrico transparente conteniendo agua, coloca un cuerpo esférico de tamaño
proporcional al recipiente. Observa la diferencia de nivel del agua debido al cuerpo introducido;
dicha diferencia de nivel, junto con el radio del recipiente, permite calcular el volumen del agua
desplazada. Comprueba que dicho volumen obtenido experimentalmente coincide con el volumen
4
del cuerpo esférico obtenido al aplicar la expresión V =    R 3 descubierta por Arquímedes.
3
2) Calcula el volumen de una esfera de 40 cm de diámetro. Halla el radio de la circunferencia que se
obtiene al cortar dicha esfera por un plano que pasa a 10 cm del centro.

ÁREA DE LA ESFERA
Un balón de fútbol ayuda a intuir un método para calcular la superficie de la esfera. En el
caso del balón, basta sumar las áreas de las caras de los polígonos que lo componen para
hallar su superficie. Cuanto mayor sea el número de caras del balón, su superficie más se
ajustará a la superficie de la esfera.
138
Áreas y volúmenes
Podemos imaginar la esfera como un balón compuesto por finísimas pirámides con vértice
en el centro de la esfera y bases las caras de la superficie del balón. El volumen de todas
estas pirámides juntas coincide con el volumen de la esfera, y la altura de cada pirámide es
igual al radio de la esfera. Por lo tanto:
VESFERA  SUMA DE LOS VOLUMENESDETODASLAS PIRAMIDES =
1
 S R ,
3
donde S es la superficie total de las bases y, por tanto, coincide con la superficie de la
esfera. Como el volumen de las pirámides es igual al volumen de la esfera, tenemos:
1
4
 S  R =  π  R3
3
3
SESFERA  4  π  R 2
por lo tanto:
Observa que el área de la esfera equivale a cuatro veces el área de uno de sus círculos
máximos.
1) Halla la superficie de una esfera de 40 cm de diámetro.
2
2) Averigua el volumen de una esfera que tiene 1256 cm de superficie.

CALCULA ÁREAS
Calcula la superficie total de cada cuerpo:
139
Matemáticas 3º ESO

LAPICERO
Calcula el área de este lapicero:
7. La Tierra

DIMENSIONES TERRESTRES
El metro, como unidad de longitud del Sistema Métrico Decimal, fue definido por primera vez en 1791
por la Asamblea Nacional de Francia como: la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano
terrestre.
a) Averigua la superficie de la Tierra a partir de esta definición, suponiéndola perfectamente
esférica.
b) ¿Cuál es la extensión de las partes sólida y líquida de la superficie terrestre sabiendo que están
en razón de 5 / 12 ?.
c) Determina el volumen de la Tierra.
3
d) ¿Cuál es la masa de la Tierra si su densidad media es de 5’5 g/cm ?.

EL AVIÓN
Averigua la superficie del casquete esférico terrestre que divisa un piloto que vuela a una altura de
5000 metros.
140
Áreas y volúmenes
Para determinar la superficie de un casquete esférico basta plantear una proporcionalidad.
Una semiesfera es un casquete esférico de altura igual al radio R. Su superficie es igual a la
de media esfera, es decir,
4   R2
 2    R 2 . Si un casquete esférico de altura R tiene una
2
superficie 2    R 2 , entonces un casquete esférico de altura h tiene un área S dada por:
R  2    R 2 
2   R2 h

 2   R h
  S 
R

h  S



S  2   R h
HUSOS HORARIOS
Considera la Tierra dividida en 24 husos esféricos, cada uno de los cuales recibe el nombre de huso
horario.
a) Justifica que la amplitud de cada huso horario es de 15º.
b) Calcula la superficie de uno de ellos.
c) ¿Qué volumen encierra la cuña esférica correspondiente a un huso horario?.

VOLUMEN DEL ELIPSOIDE
Supongamos una esfera de radio R inscrita en un cubo de arista 2R. Si deformamos estas
figuras, el cubo se transforma en un cuboide de dimensiones 2a, 2b y 2c, mientras que la
esfera se transforma en un elipsoide de dimensiones a, b y c, como puedes observar en la
siguiente figura:
141
Matemáticas 3º ESO
Esta deformación permite plantear la siguiente proporción entre los volúmenes:
VELIPSOIDE VCUBOIDE

VESFERA
VCUBO
y por lo tanto:
VELIPSOIDE
4 3    R3  8  a  b  c
3
4 3  R

2a 2b 2c
2  R3
4
 a b c
3
Por lo tanto, el volumen del elipsoide viene dado por la fórmula:
de donde:
VELIPSOIDE 
8  R3
VELIPSOIDE 

4
 abc
3
Un balón de rugby mide 32 cm de longitud y 20 cm de ancho. Averigua el volumen que encierra
suponiéndolo con forma perfectamente elipsoidal.

VOLUMEN DE LA TIERRA
En una primera aproximación se admite que la Tierra tiene la forma de una esfera de 6371 km de
radio; y en una segunda aproximación, un elipsoide de revolución para el que la Asamblea de la
Unión Astronómica Internacional celebrada en 1967 fijó las siguientes dimensiones: 6378’160 km
para el radio ecuatorial, mientras que para el radio polar fue 6356’768 km.
A partir de estos datos determina el volumen de la Tierra bajo su forma elipsoidal y compara el
resultado con el obtenido suponiendo que la Tierra fuese esférica.
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