LOS ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA José

LOS ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
José Luis Henostroza Gamboa
Lima, enero de 1997
http://macareo.pucp.edu.pe/~jhenost/articulos/errores.htm
MOTIVACIÓN E INTRODUCCIÓN
Frecuentemente nos enfrentamos con errores en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la Matemática. Desde simples errores de cálculo, atribuibles a
factores emocionales, hasta profundos errores de fundamento. Nuestra experiencia
personal en Secundaria, en cursos de Matemática Básica de la Universidad, e
incluso en talleres con profesores en ejercicio así lo confirman. Y es que los errores
se presentan incluso en textos o Programas Oficiales. Para muestra, consignamos
algunos errores frecuentes:

Identificación del intervalo continuo de números reales   2,3 con el conjunto

discreto   2, 1,0,1,2,3 .
De la propiedad (correcta) "Si xy = 0, entonces x=0 o y=0" se sigue y aplica
(erróneamente) por ejemplo que "Si xy=2, entonces x=2 o y=2"
" a" denota un número negativo para cualquier "a"




es un número irracional (inducido este error por tener una expresión decimal
periódica de cincuentiún cifras)
De allí nuestro interés en investigar y verter nuestra experiencia docente acerca de
este factor del error, para ver cómo podemos enfrentarlo y extraerle algún valor
pedagógico. Nuestra reseña comprenderá las siguientes partes:
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
Fundamentos filosóficos del error.
Características fundamentales de los errores.


Clasificaciones y categorías de errores.
Sugerencias para el tratamiento de los errores.
FUNDAMENTOS FILOSÓFICOS DEL ERROR
A lo largo de la historia del desarrollo del conocimiento científico encontramos el
error como un factor que ha contribuido al avance de las ciencias; y es que el error
es parte integrante del conocimiento humano.
El estudio del conocimiento humano, de la capacidad del hombre para comprender,
ha sido siempre una preocupación constante de la Filosofía, en su rama denominada
gnoseología. Bajo este punto de vista podemos precisar que el error es atribuible a
... la capacidad de considerar verdaderos conceptos y
procedimientos que están deficientemente desarrollados,
que incluyen ideas contradictorias o interpretaciones y
justificaciones falsas.
Esto se confirma inclusive en la historia de la Matemática, donde podemos encontrar
proposiciones que se consideraron como verdaderas y que con el tiempo se
demostró su falsedad.
El problema del error está entonces vinculado al problema de la verdad y de la
fuente última del conocimiento. La historia de la Filosofía consta en gran parte de los
intentos de respuesta a estos problemas. Reseñemos brevemente los más
importantes:

La doctrina de la falibilidad propuesta por Sócrates, según la cual el hombre
puede errar individual y colectivamente; pero debe aspirar a la verdad objetiva





examinando sus errores mediante la autocrítica y la crítica racional.
El empirismo que considera la observación como el fundamento último del
conocimiento.
El racionalismo, en que el fundamento último está dado por la intuición intelectual.
Una especie de fusión entre las anteriores, que afirma las fuentes del conocimiento en
el hombre mismo, a través de su percepción e intuición.
El autoritarismo, que, en ausencia de una verdad, plantea como solución la aceptación
de la autoridad
La interpretación contemporánea de K. Popper. Este filósofo alemán hace un análisis
de las posturas anteriores y sostiene que todas ellas están basadas en una teoría de la
verdad manifiesta: la verdad es siempre reconocible como verdad; se descubre o se
desvela. Entonces Popper reflexiona en cómo puede aparecer el error si la verdad es
manifiesta. Llega a la conlusión que la verdad puede encontrarse y perderse
fácilmente, y atribuye a los errores un gran poder de supervivencia.
En consecuencia, el problema de la verdad se reduce en Popper a detectar y
eliminar el error a través de la crítica permanente de las teorías propias y de otros.
Las conclusiones más importantes de Popper serían las siguientes:
a. No hay fuente última de conocimiento. Toda fuente debe ser aceptada como
b.
c.
d.
e.
f.
g.
posible y sometida al examen crítico.
La tradición es la fuente más importante de conocimiento, pues aprendemos la
mayoría de cosas a través del ejemplo, o la lectura, o la transmisión oral. Como
consecuencia de (a) esta tradición debe someterse al examen crítico y puede ser
modificada o abandonada.
La pregunta fundamental no es por las fuentes últimas del conocimiento, sino por la
verdad y concordancia con los hechos de nuestras afirmaciones, sometidas éstas a
crítica usando toda clase de argumentos.
El conocimiento no puede partir de la nada. El conocimiento avanza por modificación
del conocimiento anterior.
No hay criterio alguno para reconocer la verdad (la claridad, la distinción, la
coherencia no aseguran la verdad), pero sí hay criterios para detectar el error y la
falsedad (la oscuridad, la confusión, la incoherencia, la inconsistencia sí indican error)
El examen crítico de nuestras conjeturas debe ser apoyado por nuestras capacidades de
observación, razonamiento, intuición e imaginación.
Un problema resuelto plantea nuevos problemas por resolver, con una profundidad
proporcional a la profundidad del problema original y de su solución.
CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES DE LOS ERRORES
Mulhern describe las siguientes características:
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



Los errores surgen en la clase por lo general de una manera espontánea. Sorprenden al
profesor, aunque pueden gestarse desde mucho antes.
Son persistentes y particulares de cada individuo. Son difíciles de superar porque
requieren de una reorganización de los conocimientos en el alumno.
Hay un predominio de los errores sistemáticos con respecto a los errores por azar u
ocasionales. Los errores sistemáticos revelan los procesos mentales que han llevado al
alumno a una comprensión equivocada.
Los alumnos en el momento no toman conciencia del error, pues no cuestionan lo que
les parece obvio y no consideran el significado de los conceptos, reglas o símbolos
con que trabajan.
Los errores sistemáticos son en general resultado de concepciones inadecuadas de los
fundamentos de la Matemática, reconocibles o no reconocibles por el profesor.
Algunos errores se gestan en la comprensión o el procesamiento que hace el alumno
de la información que da el profesor. Los alumnos por ejemplo recrean o inventan su
propio método en base al método descrito por el profesor.
CATEGORÍAS DE ERRORES
Es importante recordar que los errores, al igual que el fenómeno educativo, son la
manifestación exterior de un proceso complejo en el que interactúan muchas
variables; por ejemplo, profesor, alumno, currículo, contexto sociocultural. De allí la
dificultad comprensible de aislar y delimitar las causas de un error con miras a su
tratamiento.
No obstante, la investigación en torno a los errores en el proceso de aprendizaje es
una de las principales preocupaciones actuales de la Didáctica de la Matemática en
países como Almania, Estados Unidos y España.
El Dr Luis Rico propone cuatro líneas de investigación actual en torno a los errores:

Estudios sobre análisis, causas, elementos, taxonomías de clasificación de
los errores. Cada uno de estos estudios responde a una determinada teoría
psicopedagógica y a un planteamiento epistemológico particular del



conocimiento y de la Matemática.
Trabajos acerca del tratamiento curricular de los errores. Ejemplos de esta línea son
las propuestad didácticas que parten del error para la construcción de los
conocimientos matemáticos correctos.
Estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto a la capacidad para
detectar, analizar, interpretar y tratar los errores de sus alumnos.
Investigaciones psicométricas que incluyen técnicas estadísticas como contrastaciones
de hipótesis, para el análisis de los errores.
El Dr. Rico consigna también varias propuestas para la categorización de los
errores. Cada una está inspirada en un modelo particular del procesamiento de
información. Hay también algunas clasificaciones que son resultado de
investigaciones empíricas sobre los errores.
Reseñaremos una categorización general de los errores propuesta por Radatz , con
un ejemplo ilustrativo de la experiencia nuestra:
TIPO DE ERROR SEGÚN LA
DESCRIPCIÓN
EJEMPLO ILUSTRATIVO
CAUSA
Dificultades del lenguaje
Errores derivados del
mal uso de los

símbolos y términos
matemáticos, debido a
su inadecuado
aprendizaje.
Dificultades para obtener
Errores provenientes
información espacial
de la producción de

Una representación errónea de un problema
geométrico enunciado verbalmente.
representaciones
icónicas (imágenes
espaciales)
inadecuadas de
situaciones
matemáticas.

Aprendizaje deficiente de los
Errores originados por
Identificación del intervalo contínuo de números
prerrequisitos
deficiencias en el
reales   2,3 con el conjunto discreto   2,
manejo de conceptos,
1,0,1,2,3 .
contenidos,
procedimientos para
las tareas
matemáticas.
Asociaciones incorrectas o
Son errores que en general son causados por la incapacidad del pensamiento para ser
rigidez del pensamiento
flexible, es decir, para adaptarse a situaciones nuevas. Interesan cuatro subtipos:

Por perseveración
 De asociación
Predominan los

Demostrar una propiedad sobre triángulos en
elementos singulares
general, usando un triángulo rectángulo (un caso
de un problema.
particular)
Razonamientos o

Usar por ejemplo


4x4=8

2x  x = 2
asociaciones
incorrectas entre
elementos singulares.

De interferencia
Cuando los conceptos
u operaciones
23 = 6
interfieren unos con
otros.
 De asimilación
Cuando la información
es mal procesada
debido a fallas de
percepción.

De la propiedad (correcta) "Si xy = 0, entonces x=0
Aplicación de reglas o
Errores producidos
estrategias irrelevantes
cuando se aplican
o y=0" se sigue y aplica (erróneamente) por
reglas o estrategias
ejemplo que "Si xy=2, entonces x=2 o y=2"
similares en
contenidos diferente.
El razonamiento por
analogía sabemos
que no siempre
funciona en
Matemática.
SUGERENCIAS PARA EL TRATAMIENTO DE LOS ERRORES
En el enfoque constructivista cognitivo, basado en el aprendizaje significativo, el
error es un factor de interés en el proceso de enseñanza aprendizaje tanto a nivel
de diagnóstico, de proceso (ejecución) y de salida (evaluación).
En cuanto a diagnóstico, se exploran errores previsibles o preconceptos para luego,
mediante material apropiado, crear un "conflicto cognitivo" que hace caer
conscientemente al alumno en su error. Esta exploración de posibles errores se
puede efectuar a través de diagramas, mapas conceptuales, preguntas, juegos,
tareas colectivas de reflexión individual o grupal, etc. Este conflicto se resuelve
mediante la discusión y ejecución de tareas apropiadas, para la progresiva
construcción de las alternativas correctas de conocimiento.
Recordemos que la detección de errores y preconceptos como parte de las ideas
previas del alumno es el primer paso en la aplicación del modelo constructivista. Su
aplicación nos permite identificar las áreas matemáticas más susceptibles de errores
graves.
Existen alternativas para el manejo del error, que van más allá de lo diagnóstico y
emplean al análisis del error como parte del proceso de construcción de los
conceptos matemáticos y de la comprensión de la naturaleza y métodos de la
Matemática misma.
Se puede por ejemplo, analizar un error como:
motivando las
siguientes cuestiones:




¿Qué regla alternativa está aplicando aquí el alumno? ¿Por qué lo hace?
¿ En qué casos sí podría valer esa regla? ¿Bajo qué condiciones?
¿Por qué la regla es verdadera en algunos casos y falsa en otros?
¿Cómo entonces se puede saber si algo es verdadero o es falso en Matemática?
Usamos en Matemática algoritmos, demostraciones, definiciones pero a menudo no
terminamos de comprender la naturaleza de estas herramientas. El proceso de
reflexión anterior nos acerca más a la naturaleza abstracta de estas nociones
matemáticas.
Queda por discutir con los colegas el tratamiento que suelen dar a los errores de sus
alumnos. Aquí sólo proponemos una reseña fundamentada y complementada con
nuestra experiencia docente.