Análisis dimensional

Análisis dimensional
Toda cantidad física tiene unidades características. El reconocimiento de tales unidades y
de sus combinaciones se conoce como análisis dimensional.
Se consideran siete cantidades básicas con base en las cuales pueden definirse todas
las demás. Existen diferentes sistemas de medición en los cuales cada cantidad tiene su
propia unidad de referencia, tal como se muestra a continuación:
Cantidad
Longitud
Masa
Tiempo
Temperatura
Corriente eléctrica
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
Sistema de unidades
Cegesimal
Anglosajón
Pulgada [in], Pie [ft],
Metro [m]
Centímetro [cm]
Yarda [yd], Milla [mi], …
Libra [lb],Onza [oz],
Kilogramo [kg]
Gramo [g]
Quintal [cwt], …
Segundo [s]
Kelvin [K]
Rankine [R]
Ampère [A]
Mol [mol]
Candela [Cd]
Internacional
Dependiendo de la utilidad de determinadas cantidades derivadas, pueden definirse
también otros sistemas de unidades, tales como el natural (unidades de Planck), o el técnico
(ingenieril).
Estas siete cantidades se han definido a razón de su mensurabilidad (capacidad de
ser medidas) y de los instrumentos con los cuales se pueden determinar. Sin embargo, ahora
se sabe que la carga eléctrica es una característica de la materia a un nivel más fundamental
que la corriente, y que la intensidad luminosa puede definirse en función de potencia y área.
Por último hay que considerar que la cantidad de materia, más que una medición es un
conteo de partículas.
Tomando en cuenta todo lo anterior, cualquier cantidad física X puede
descomponerse en dimensiones. Esto se expresa:
[X] = Lℓ Mm Tt Qq Θθ Nn
En donde las letras mayúsculas indican:
L: longitud, M: masa, T: tiempo, Q: carga eléctrica, Θ: temperatura y N: cantidad de
materia
Mientras que las minúsculas son los exponentes a los cuales cada dimensión debe elevarse.
Por ejemplo,
El análisis dimensional puede aprovecharse para determinar las unidades de una
constante física necesaria para establecer una relación. Se sabe que la magnitud de la
fuerza, F, de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, esto es:
F∝
m1m2
r2
Siendo m1 y m2 las masas de los cuerpos en cuestión y r la distancia entre ellos.
Para convertir la proporcionalidad en igualdad es necesario introducir una constante,
entonces se escribe:
F =G
m1m2
r2
Donde G es la constante de gravitación universal.
¿Qué unidades tiene? Para saberlo se despeja G de la ecuación anterior, quedando:
G=F
r2
m1m2
Por lo tanto, en cuanto a dimensiones, la expresión se escribe:
2
2
[ F ][ r ] = [ F ][ r ]
[G ] =
[ m1 ][ m2 ] [ m]2
En donde los corchetes indican que NOS REFERIREMOS A LAS DIMENSIONES y NO
A LOS VALORES.
La masa es una cantidad fundamental, así que sabemos que:
[ m ] = L0 M1T 0Q0Θ0 N 0
De igual manera, la distancia es una longitud, por lo que está referida a esta cantidad
fundamental:
[ r ] = L1M 0T 0Q0Θ0 N 0
Por otro lado, la fuerza se define como la capacidad de someter una masa, m, a cierta
aceleración, a; o bien:
F = ma
De esta ecuación ya sabemos qué pasa con la masa, falta la aceleración. Ésta es el cambio
de velocidad, v, en un tiempo, t, dado:
v
a=
t
en donde el tiempo es cantidad fundamental:
[t ] = L0 M 0 T1Q0Θ 0 N 0
Y la velocidad se define como la distancia, recorrida en un tiempo dado:
v=
r
t
Ambas cantidades involucradas ya son conocidas.
Entonces, agrupamos todo y, usando leyes de los exponentes, queda:
r ] L1M 0 T 0 Q0 Θ0 N 0
[
[v ] = = 0 0 1 0 0 0 = L1M 0 T −1Q0Θ0 N 0
[t ] L M T Q Θ N
[ v ] L1M 0T −1Q0Θ0 N0
[ a ] = = 0 0 1 0 0 0 = L1M 0T −2Q0 Θ0 N0
[t ] L M T Q Θ N
[ F ] = [ m][ a ] = ( L0 M1T 0Q0Θ0 N0 )( L1M 0T −2Q0 Θ0 N 0 ) = L1M1T −2Q0Θ0 N 0
(L M T
=
2
1
[ F ][ r ]
[G ] =
2
[ m]
(L M T
1
=
1
−2
1
−2
Q0 Θ0 N 0 )( L1M 0 T 0 Q0 Θ0 N 0 )
0 2
(L M T Q Θ N )
Q Θ N )(L M T Q Θ N )
= LM
(L M T Q Θ N )
0
0
1
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2
0
0
0
0
2
−1
T −2 Q 0 Θ 0 N 0
0
De hecho, se sabe que G = 6.67428 m3 /kg s2. Observen que las unidades en SI
corresponden por completo al análisis dimensional efectuado.
Noten que otra forma de llegar a la misma conclusión sería sustituyendo, las
definiciones de las cantidades físicas, en lugar de encontrar las dimensiones de todas, es
decir:
2
[ F ][ r ]
[G ] =
2
[ m]
2
[ m][ a ][ r ]
=
2
[ m]
2
[ a ][ r ]
=
[ m]
2
2
3
[v] [r ] = [r ] [r ] = [r ]
=
[t ] [ m] [t ] [t ][ m] [t ]2 [ m]
0 3
(L M T Q Θ N )
LM T Q Θ N
=
=
( L M T Q Θ N ) ( L M T Q Θ N ) ( L M T Q Θ N )( L M T Q Θ N )
0
1
0
=
0
1
0
0
0
0 2
0
0
0
1
0
0
3
0
0
0
L3 M 0 T 0 Q0 Θ0 N 0
= L3 M −1T −2 Q0 Θ0 N 0
0
1 2 0 0 0
LMT Q Θ N
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Otro ejemplo,
La ley del Gas Ideal dice:
PV = nRT
¿Qué unidades tienes la constante R?
Despejando se obtiene:
R=
[ P ][V ]
PV
⇒ [ R] =
nT
[ n][T ]
Analicemos las cantidades involucradas del lado derecho de la ecuación:
El número de moles, n, y la temperatura, T, son unidades fundamentales, por lo que se
puede escribir:
[ n] = L0M 0T 0Q0Θ0 N1
[T ] = L0M 0T 0Q0Θ1N0
El volumen, V, es la ocupación en el espacio. Para definir una situación en el espacio es
necesario utilizar tres cantidades: largo, ancho y profundo. Las tres son intercambiables
dependiendo de la posición del observador, lo que significa que las tres deben tener las
mismas dimensiones, que en este caso son de longitud, es decir:
[V ] = L3M 0T 0Q0Θ0 N 0
Por último, la presión, P, se define como la fuerza, F, aplicada en un área, A, determinada,
en otros términos:
P=
F
A
El área está compuesta de largo y ancho, dos cantidades intercambiables y con dimensiones
de longitud, entonces:
[ A] = L2 M 0T 0Q0 Θ0 N 0
Mientras que a la fuerza ya la analizamos en el ejemplo anterior:
[ F ] = L1M1T −2 Q0Θ0 N 0
Al agrupar se obtiene:
[ F ] = L1M1T −2Q0 Θ0 N 0 = L−1M1T −2Q 0Θ0 N 0
[ A] L2 M 0T 0Q 0Θ0 N 0
3
0 0 0 0 0
−1
1 −2 0 0 0
P ][V ] ( L M T Q Θ N )( L M T Q Θ N )
[
=
=
[ R] =
[ n ][T ] ( L0 M 0T 0Q0 Θ0 N1 )( L0 M 0T 0Q0Θ1 N 0 )
[ P] =
L2 M1T −2 Q 0 Θ −1 N −1
La expresión encerrada es a la que queríamos llegar.
Otra forma de llegar a ella sería reduciendo a cantidades fundamentales desde el
inicio, es decir:
2
[ P ][V ] = [ F ] [V ] = [ F ][ r ] = [ m][ a ][ r ] = [v ] [ m][ r ] = [ r ] [ m][ r ] = [ m][ r ]
[ R] =
[ n ][T ] [ A] [ n ][T ] [ n ][T ] [ n ][T ] [t ] [ n][T ] [t ] [t ][ n][T ] [t ]2 [ n][T ]
0 2
( L M T Q Θ N )( L M T Q Θ N )
=
( L M T Q Θ N ) ( L M T Q Θ N )( L M T Q Θ N )
( L M T Q Θ N )( L M T Q Θ N ) = L M T Q Θ N = L M T
=
( L M T Q Θ N )( L M T Q Θ N ) L M T Q Θ N
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0 2
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
2
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2
1
−2
Q0 Θ−1 N −1
Noten que hemos aprovechado el hecho de que [V]/[A] = [r]
Efectivamente sabemos que: R = 8.314 J/ mol K = 0.0821 L atm/ mol K. El primer
número está en unidades del SI, si las examinamos se obtiene:
J
Nm
kg m m
kg m 2
=
= 2
= 2
mol K mol K
s mol K s mol K
Que corresponde con lo obtenido.
En cuanto a las otras unidades, litro es unidad de volumen y atmósfera es unidad de
presión, por lo que el análisis dimensional se deduce directamente.
Recomendación.
Todo lo explicado en este documento se trató de escribir de la manera más formal
posible. Sin embargo a la hora de trabajar en serio es conveniente quitarnos de encima las
dimensiones que no nos sirven y sólo escribir completo el resultado.
Por ejemplo, al sacar las dimensiones de G, se llegó a que:
3
[r ]
[G ] = 2
[t ] [ m]
De esa expresión es fácil identificar que se tiene longitud al cubo, tiempo al cuadrado
dividiendo y masa dividiendo; por lo que sin necesidad de hacer todo el desarrollo en
términos de las dimensiones se concluye que:
[G ] = L3M −1T −2Q0Θ0 N 0
El caso de la constante de los gases ideales se puede desarrollar como:
r ] L1
[
[v ] = = 1 = L1T −1
[t ] T
[ v ] L1T −1
[ a ] = = 1 = L1T −2
[t ] T
[ F ] = [ m][ a ] = ( M1 )( L1T −2 ) = L1M1T −2
F ] L1M1T −2
[
[ P ] = = 2 = L−1M1T −2
L
[ A]
−1
3
1 −2
P ][V ] ( L M T )( L )
[
=
= L2 M1T −2 Q0 Θ −1 N −1
[ R] =
1
1
[ n][T ]
( N )( Θ )
Esta forma resulta mucho menos engorrosa que si se incluyen las cantidades elevadas a la
potencia 0 todo el tiempo.
En resumen, hay más de una forma de trabajar el análisis dimensional. Pero
mientras el resultado esté bien escrito y sea correcto, podemos tomarnos una que otra
licencia en el desarrollo.
Ejercicios
(Algunos implican investigar más allá de este documento)
1. ¿Qué dimensiones tiene el número de Avogadro, NA?
2. ¿A qué unidades del SI corresponden la dina y el ergio?
3. ¿Qué es un kilogramo fuerza y un kilopondio?
4. ¿Para qué se usan las unidades de Planck y las unidades atómicas?
5. ¿Por qué es incorrecto decir “grado centígrado” y cuál es la alternativa más
aceptada?
6. Mol, ¿es masculino o femenino?
7. ¿Qué son los radianes y los estereorradianes?
8. Si la potencia, Po, se define como el trabajo, W, realizado en una unidad de tiempo,
y el trabajo lo realiza una fuerza aplicada mientras se recorre una distancia,
Po =
W
;
t
W = Fr
¿cuáles son las dimensiones de la potencia y del trabajo, sus unidades en SI y en
cgs? ¿qué es un caballo de fuerza?
9. ¿Qué dimensiones tiene el producto presión con volumen? ¿a qué cantidad del
ejercicio anterior corresponden? ¿qué significado físico tiene esta similitud?
10. La magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas está dada por:
F=
q1q2
4πε 0 r 2
Donde q1 y q2 son las cargas en cuestión, 4 y π son números sin dimensiones, r es la
distancia que separa a las cargas y ε0 es una constante conocida como la
permitividad eléctrica del vacío. ¿Cuáles son las dimensiones de ε0?
11. La permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética, µ0, se relacionan con la
velocidad de la luz, c, de acuerdo a la siguiente ecuación:
ε 0 µ0 =
¿Cuáles son las dimensiones de µ0?
1
c
12. La magnitud de la fuerza magnética entre un alambre con corriente y una carga en
movimiento viene dada por:
F=
qvµ0 I
2π r
Donde q es la carga en movimiento, v es la rapidez, r, es la distancia media entre la
carga y el alambre e I es la corriente eléctrica [L0M0T-1Q1Θ0N0] que circula por el
alambre.
Verifica el resultado del ejercicio anterior asegurándote de que el lado derecho de la
ecuación tenga dimensiones de fuerza.
13. ¿Qué es la constante de Boltzmann y cómo está relacionada con la de los gases
ideales?
14. ¿Qué es un año luz, un parsec y una unidad astronómica?
15. ¿Qué es un eón y un cron?
Fuentes:
www.wikipedia.org
www.civil.frba.utn.edu.ar/Materias/modeloshidraulicos/analisis.dimensional.pdf