Lección 2. Modelos econométricos.

Modelos Econométricos
Lección 2. Estacionariedad y raíces
unitarias
Presentado por Juan Muro
Motivación
La no estacionariedad, en general, de las
series económicas en el tiempo provoca
consecuencias estadísticas no deseadas
(regresiones espúreas, inconsistencia de
MCO, desconocimiento de la distribución
asintótica de los estimadores MCO).
 Esta cuestión ocupó el trabajo de los
económetras durante, principalmente, la
década de los 90 del siglo pasado.

J. Muro
Tendencias en series temporales
La observación de variables económicas
en el tiempo nos indica la presencia de
tendencias: un comportamiento regular
de las series temporales, que puede ser
fácilmente descrito(crecimiento continuo,
decrecimiento continuo, fases prolongadas
de crecimiento y decrecimiento
alternadas). Ej. Pib, inflación, consumo….
 La presencia de tendencias es indicativa
de no estacionariedad.

J. Muro
Tendencias en series temporales

Una variable es estacionaria si su valor
esperado y su varianza (finita) son
invariantes a lo largo del tiempo y su
autocovarianza solamente depende del
desfase temporal.
J. Muro
Tendencias en series temporales

Las series con tendencia se clasifican en
dos tipos, según la transformación
necesaria para convertir la serie no
estacionaria en su transformada
estacionaria :
◦ TSP: tendencia determinista
◦ DSP: tendencia estocástica
Regresión frente al tiempo (TSP);
diferencia (DSP).
 Ejemplos.

J. Muro
Tendencias en series temporales
Consumption per capita
20
18
16
14
12
10
8
6
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
J. Muro
Tendencias en series temporales
Inflation
12
8
4
0
-4
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
90
95
Log of per capita consumption
3.0
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
50
55
60
65
70
75
80
85
J. Muro
Tendencias en series temporales

Expresiones formales
◦ TSP: tendencia determinista
𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛽
◦ DSP: tendencia estocástica
𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛼 + 𝑢𝑡
J. Muro
Tendencias en series temporales
Las tendencias deterministas no producen
malas consecuencias estadísticas aunque
suelen predecir muy mal.
 Ejercicio: estimar un modelo de una
variable macroeconómica con tendencia y
comparar las predicciones con las
observaciones reales.

◦ Use, por ejemplo, la variable cnsmptn de los
gráficos anteriores.
J. Muro
Tendencias estocásticas y raíces
unitarias
Las tendencias estocásticas son la regla en
Econometría.
 La búsqueda de raíces unitarias es
constante. Para ello se usan contrastes de
raíces unitarias.
 Formalmente

𝐸 𝑌𝑡 − 𝐸 𝑌𝑡−1 = 𝛼 + 𝑢𝑡

Si ut es una variable aleatoria con
esperanza nula sería un paseo aleatorio
con deriva (α), “random walk with drift”.
J. Muro
Tendencias estocásticas y raíces
unitarias

Reciben el nombre de raíces unitarias
porque en la ecuación
𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡
La presencia de tendencia estocástica
hace que β=1.
 Con sustituciones recursivas la expresión
anterior es igual a

𝑌𝑡 = 𝛼𝑡 +
𝑢𝑡
J. Muro
Tendencias estocásticas y raíces
unitarias
Se puede demostrar que en presencia de
raíces unitarias la varianza de la serie
crece sin límite. Esto provoca problemas
en la consistencia y en la normalidad
asintótica de los estimadores.
 Ej. En un paseo aleatorio con deriva el
valor esperado y la varianza son E(Yt)=αt;
var(Yt)=tσu2.

J. Muro
Un ejemplo de regresión espúrea
El llamado problema de la regresión
espúrea, muy usual en series con raíces
unitarias, se produce porque se rechaza ,
muy frecuentemente, la hipótesis nula de
no relación entre las variables aunque esa
relación no exista (con elevados R2).
 Ej. ¿ Hay ilusión monetaria ? Murray
(2005).

J. Muro
Un ejemplo de regresión espúrea

Para contrastar si hay ilusión monetaria
hacemos una regresión ingenua entre el
log del consumo per cápita en USA frente
a la inflación para el periodo 1948–1998.

Si no hay ilusión monetaria la inflación no
tendrá efecto sobre el consumo en
términos reales.

Incluimos también una tendencia
temporal.
J. Muro
TABLE 18.2 The Log of Consumption Regressed on the
Log of Inflation and a Time Trend. Murray (2005).
J. Muro
Un ejemplo de regresión espúrea

El estadístico de Durbin–Watson es 0.58
(valor de referencia 2 si no hay
autocorrelación). Usamos Newey-West
(errores estándar).

El estadístico t de log(inflation) es 3.07

Rechazamos la nula de que la inflación no
determina el consumo real.

Nuestra regresión aparentemente nos
dice que hay ilusión monetaria.
J. Muro
Figure 18.2 Forecast and Actual Values of GDP,
Consumption, Investment, and Inflation 1948–1998. Murray
(2005)
J. Muro
Lecture 25:
Time Series Data:
New Threats
to Consistency
(Chapter 18.1–18.4)
Contrastes de raíces unitarias

La ecuación de referencia es
𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽1 𝑌𝑡−1 + 𝛽2 𝑡 + 𝑢𝑡

El contraste es H0: 𝛽1 = 1 (y 𝛽2 = 0). No
se puede utilizar el procedimiento
habitual (t de student) de contraste.

Los contrates desarrollados, Dickey-Fuller
(1979,1981), ADF, etc. , se llaman
contrastes de raíces unitarias.
J. Muro
¿Tiene la serie una raíz unitaria (no
estacionaria en media en su componente
regular)?

Gráfico lineal:
 Creciente o decreciente, con pauta regular: síntoma
de no estacionariedad en media.
 Pauta irregular: síntoma de estacionariedad en media.
Se suele decir que las series estacionarias retornan a
la media después de sufrir un shock.
 Ejemplo: AR(1) con |β|<1.
Yt=α+ βYt-1+ εt.
E[Yt]=E[α Σ βi]+E[βt Y0]+ E[Σ βi εt-i]= α/(1- β).
Var[Yt]=E[(Σ βi εt-i)2 ]=σ2/(1- β2).
J. Muro
¿Hay una raíz unitaria en la serie?

Correlograma:
 Función de autocorrelación con caída lenta o lineal
y función de autocorrelación parcial con primer
valor cercano a la unidad (raíz unitaria): no
estacionariedad en media.
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias
◦ Dickey-Fuller
◦ Phillips-Perron
◦ KPSS
J. Muro
Contraste de Dickey-Fuller

La ecuación inicial se hace
∆𝑌𝑡 = 𝛼 + (𝛽1 −1)𝑌𝑡−1 + 𝛽2 𝑡 + 𝑢𝑡

El contraste es H0: (𝛽1 −1)= 0, frente a la
hipótesis alternativa de una única cola de
que sea menor que cero.

En esta situación, la distribución del
estadístico t es asimétrica. Los valores de
la distribución se encuentran tabulados
para muchas especificaciones distintas
(con término independiente, tendencia..)
J. Muro
Dickey-Fuller test
 Dickey-Fuller (1979, 1981).
 Hipótesis nula : Hay al menos una raíz unitaria (serie no
estacionaria en media).
 Intuición: En
∆yt = α + β yt-1 + εt
El contraste de β = 0 es equivalente al contraste de al menos una
raíz unitaria.
 Se puede añadir una tendencia temporal (series con
clara tendencia creciente o decreciente) o eliminar la
constante (para series con media claramente nula).
 Es un contraste de una sola cola (valores negativos).
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias

En EViews se encuentran numerosos
contrastes de raíces unitarias y los
procedimientos de utilización de dichos
contrastes.

Ej. Trabajemos con la especificación
ingenua anterior sobre la existencia o no
de ilusión monetaria.
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias

Veamos en primer lugar si las variables
incluidas en el modelo tienen tendencias
estocásticas. Por ejemplo, para la inflación.

Usaremos el contraste ADF.
J. Muro
Augmented Dickey-Fuller (ADF) test
 ¿Qué sucede si en la ecuación auxiliar del
contraste DF hay autocorrelación?
 Estadístico ADF se distribuye bajo la hipótesis
nula como una t alterada. Tablas proporcionadas
por MacKinnon(1991).
J. Muro
Augmented Dickey–Fuller test para una
tendencia estocástica en la variable Inflation
Null Hypothes is : INFLATION has a unit root
Exogenous : Cons tant
Lag Length: 2 (Autom atic - bas ed on SIC, m axlag=10)
Augm ented Dickey-Fuller tes t s tatis tic
Tes t critical values :
1% level
5% level
10% level
t-Statis tic
Prob.*
-1.740500
-3.577723
-2.925169
-2.600658
0.4048
*MacKinnon (1996) one-s ided p-values .
Augm ented Dickey-Fuller Tes t Equation
Dependent Variable: D(INFLATION)
Method: Leas t Squares
Date: 02/05/15 Tim e: 18:15
Sam ple (adjus ted): 1952 1998
Included obs ervations : 47 after adjus tm ents
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statis tic
INFLATION(-1)
D(INFLATION(-1))
D(INFLATION(-2))
C
-0.170227
0.141354
-0.232109
0.538282
0.097803
0.128788
0.129759
0.440348
-1.740500
1.097567
-1.788761
1.222402
R-s quared
Adjus ted R-s quared
S.E. of regres s ion
Sum s quared res id
Log likelihood
F-s tatis tic
Prob(F-s tatis tic)
0.188942
0.132357
1.598994
109.9416
-86.66045
3.339056
0.027905
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Wats on s tat
J. Muro
Prob.
0.0889
0.2785
0.0807
0.2282
-0.135877
1.716628
3.857892
4.015351
3.917145
1.372456
Phillips-Perron test
 Phillips-Perron (1988).
 Hipótesis nula : Hay al menos una raíz unitaria
(serie no estacionaria en media).
 Se corrige la inconsistencia de la matriz de
varianzas y covarianzas calculada mediante un
procedimiento alternativo al ADF (fundado en
Newey-West).
J. Muro
KPSS test
 Hipótesis nula :Varianza del término de paseo
aleatorio es nula (Estacionariedad o
estacionariedad en tendencia).
 Estadístico: KPSS= T-2ΣSt2/s2.
 Donde St suma de residuos MCO de la variable frente
a una constante y tendencia temporal; s2 estimador de
varianza de los errores.
 La distribución bajo la nula del estadístico KPSS
no es estándar y los autores facilitan el nivel
crítico de rechazo para distintos niveles de
significación.
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias
◦ Aplicación empírica:
 Elegir constante, constante y tendencia
temporal o nada. Depende del tipo de
serie considerada.
 Elegir el número de retardos de la
variable dependiente (∆yt ) a incluir en
la regresión del contraste. Se incluyen
para garantizar que al realizar el
contraste se han eliminado las
correlaciones existentes superiores al
orden 1.
J. Muro
Contrastes de raíces unitarias

Un análisis de la regresión inicial nos dice
que la regresión es espúrea por lo que no
podemos concluir que exista ilusión
monetaria. No hay evidencia empírica que
lo avale con la especificación adoptada.
J. Muro
Regresión espúrea, ¿qué hacer?

Las variables con tendencia estocástica no
tienden a regresar al valor esperado
después de sufrir un shock. El uso de una
regresión en ese caso produce resultados
equivocados.

La primera propuesta para resolver el
tema, sugerencia que en el día de hoy
resulta relevante, es la de Granger y
Newbold (1976).
J. Muro
Granger y Newbold

La regresión en niveles representa el
comportamiento a largo plazo de las
variables. Si las variables tienen una
tendencia estocástica (una raíz unitaria)
su diferencia puede ser estacionaria.

Realicemos regresiones en diferencias
para eliminar la no estacionariedad aún a
costa de perder la perspectiva a largo
plazo.
J. Muro
Granger y Newbold

Las variables en diferencias sí vuelven
hacia la media cuando sufren un shock.

Pro supuesto, utilizar diferencias cuando
estas no son adecuadas ocasiona también
problemas (sobrediferencias).

¿Cuántas diferencias deben tomarse?
J. Muro
Orden de integración

Una variable estacionaria se dice que es
integrada de orden 0, I(0).

Si la variable tiene una raíz unitaria (no
estacionaria) es al menos I(1).

Si la variable tiene dos raíces unitarias se
dice que es I(2).

El grado de integración de una variable
indica el número de diferencias necesarias
para convertirla en estacionaria.
J. Muro
Orden de integración

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de integración
de la variable riqueza? Bajo el supuesto de
que la riqueza es la acumulación del
ahorro en varios periodos. El resultado
no sería evidente.

Ejemplo: ¿Cuál es el orden de integración
de las variables de nuestra regresión
sobre la ilusión monetaria?
J. Muro
Estimación de una ecuación que relaciona los cambios en
el consumo (logs) en términos de los cambios en la
inflación
Dependent Variable: D(LOGCONS,1,0)
Method: Least Squares
Date: 02/05/15 Time: 19:03
Sample (adjusted): 1950 1998
Included observations: 49 after adjustments
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(INFLATION,1,0)
C
-0.001427
0.021778
0.001347
0.002585
-1.059364
8.423839
0.2948
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.023321
0.002540
0.018093
0.015386
128.0921
1.122252
0.294848
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
0.021721
0.018116
-5.146616
-5.069399
-5.117320
1.537751
J. Muro