3 2ª Sessió. Els dos primers principis de la Dinàmica, distinció massa

3 2ª Sessió. Els dos primers principis de la Dinàmica, distinció massapes i exercicis senzills
3.1 Primer principi de la dinàmica (principi d’inèrcia)
En les meues classes, propose les següents activitats:
A.7.- ¿Cómo sería el movimiento de un objeto que se lanza si no estuviera la Tierra?.
A.8.- Describe el movimiento de una piedra que gira en una circunferencia vertical atada a una
cuerda, antes y después de romperse la cuerda, y si existe o no existe la Tierra.
A.9.- Describe el movimiento de un cuerpo que desliza por una superficie, cuando ésta es rugosa y
cuando es tan perfectamente pulida como para considerarla sin rozamiento.
A.10.- Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué podemos decir sobre el movimiento de un cuerpo sobre el que no actúa ninguna
fuerza?.
b) ¿Qué podemos decir sobre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se mueve con MRU?.
c) ¿Qué hacemos si queremos que un cuerpo que se mueve con un MRU cambie a otro tipo de
movimiento? Enuncia el primer principio de la Dinámica
Amb elles, la conclusió a la que s’arriba és que si no hi ha cap força (o la resultant és nula), un objecte
es desplaça en línia recta i amb velocitat constant, o roman en repós (primer principi de la dinàmica).
Açó, que pot parèixer evident, s’enfronta a una idea prèvia molt arraigada. Si un burro no tira del
carro, el carro no es mou. I això no és cert. El carro es para per la força de fregament (de les peces en
contacte), i el burro la única cosa que fa és igualar eixa força per a que el carro avance amb velocitat
constant.
Açò és lo que anomenem sentit comú (és el pensament aristotèl·lic que Sant Agustí va integrar en la
religió catòlica, i que representa el major obstacle per a la ciència), però tenim que lluitar contra ell.
A més, el primer principi de la dinàmica s’ha d’entendre en afirmatiu i en negatiu, i en un sentit i en el
contrari. Per a deixar-ho més clar, ho redacte de les quatre formes.
Si sobre un cos la força resultant és nula, es mourà en línia recta i amb velocitat constant.
Si sobre un cos la fora resultant no és nula, o canviarà el mòdul de la velocitat (anirà més ràpid o
més lent), o canviarà la seua direcció (girarà), o les dues coses al mateix temps.
Si un cos es mou en línia recta i amb velocitat constant, la força resultant que actua sobre ell és
nula.
Si un cos gira, o canvia el mòdul de la velocitat (va més ràpid o més lent), la força resultant no
serà nula.
Encara que pareixen raonables i comprensibles, resulta molt complicat assumir aquestes afirmacions i
compréndre-les amb tot el seu sentit.
3.2 Segon principi de la dinàmica (principi fonamental de la Dinàmica)
En les meues classes pregunte com es mourà un cos de massa m si li apliquem una força F. Si
imaginem una caixa amb rodes (per a no tindre fregament), resulta fàcil entendre que si li apliquem un
coet (o fem la força nosaltres), la caixa anirà cada vegada més apresa, és a dir, accelerará de forma
constant.
5
A continuació pregunte què passaria si fem el doble de força (2F), si fem la mateixa força (F) però amb
el doble de massa, i si fem el doble de força amb el doble de massa.
En el primer cas, l’acceleració será el doble, en el segon cas serà la mitat, i en el tercer cas, serà igual a
la del problema inicial (per a accelerar d’una determinada forma el doble d’una massa, tindrem que fer
el doble de força).


F  m·a , que
I finalment demane que em plantegen la fòrmula que expressa açò. I aquesta és
resumeix el segon principi de la dinàmica. Redactant-ho, podem dir que la força que actua sobre un
cos és directament proporcional a l’acceleració que provoca, i la constant de proporcionalitat és la
massa.
Ací hi ha unes quantes coses importants a comentar.
La fòrmula anterior és vectorial, i per tant, no solament ens dona el mòdul de l’acceleració, sino també
la direcció i sentit. És a dir, l’acceleració va a tindre la mateixa direcció i sentit que la força (i això ens
ajudarà amb la seua representació gràfica).
La força de la que parlem en la fòrmula és la força total o resultant, és a dir, la suma de totes les forces
que actuen. Però per a la suma tindrem que tindrem que tindre en compte el sistema de referència, i si
les forces tenen signe positiu o negatiu. La força resultant és la suma (mai sumar o restar en fució del
seu sentit).
Finalment, amb aquesta equació es planteja la definició de la unitat del Sistema Internacional, el
Newton (i de qualsevol altre sistema de mesures). Un Newton (N) és la força que s’ha de fer per a
accelerar un cos d’un kg de massa amb una acceleració de 1 m/s2. En el sistema CGS la unitat és la
dina, i és la força necessària per a accelerar una massa d’un gram a un cm/s2 (les inicials de les unitats
donen nom al sistema).
3.3 Distinció massa-pes
En aquest punt, plantege una qüestió. Si hem entés bé el segon principi de la dinàmica (cosa realment
difícil a aquestes altures), podem analitzar l’eqüació en vertical, aplicant-la al pes.
Per a que un cos que té el doble de massa que un altre, accelere (caiga) de la mateixa forma, s’ha de fer
(el planeta) el doble de força. És a dir, un cos que té el doble de massa que un altre, cau igual que el
primer per què la Terra l’atrau (pesa) amb el doble de força.
D’eixa forma, tots els cossos cauen de la mateixa forma, amb la mateixa acceleració (la gravetat, g que
en la Terra val 9’8 m/s2), sempre que no hi hagen altres factors que ho alteren (bàsicament, la
resistència amb l’aire).
D’aquesta forma, la fòrmula
planetes, en


P  m·g .


F  m·a
es transforma, quan parlem d’atracció provocada per
El pes (força) és igual a la massa del cos multiplicada per la gravetat del planeta (acceleració). Com
l’atracció la provoca el planeta, solament depén d’aquest. Per això la gravetat té un valor fixe (9’8 m/s2
en la Terra), mentres que el pes depén de la massa de l’objecte.
6
La diferència entre massa i pes la plantege amb un exemple. Si tinc 2 kg de creïlles, pesen 2 kg, però si
m’en anara a la Lluna, pesarien menys, encara que jo seguiria tenint 2 kg de creïlles. El llenguatge
comú és el que ens porta a confusió. Nosaltres, en la vida cotidiana, no distingim entre massa i pes.
Massa es referix a la quantitat de matèria que tenim (si tinc 2 kg de creïlles, tindré els mateixos kg ací i
en la Lluna). Pes és la força amb la que un planeta atrau a eixa massa. D’eixa forma, els 2 kg de
creïlles pesen una cosa en la Terra i menys en la Lluna. Per a parlar correctament, tindríem que
utilitzar l’expressió “2 kg de creïlles pesen 2 kiloponds o kilogram-força en la Terra”. El kilopond
(kp) o kilogram-força és la força amb la que la Terra atrau 1 kg de massa. Un kp equival per tant a 9,8
newtons. Si algo té 5 kg, pesa 5 kp en la Terra. Per a calcular-ho en altres planetes, aplicarem la
fòrmula del pes.
3.4 Exercicis de distinció entre massa i pes
Exercici 3.4.1.1
Completa la taula següent. Suposa una massa de 50 kg, i calcula el seu pes en els diferents planetes,
tant en newtons com en kp. Has d’utilitzar la fòrmula del pes i l’equivalència entre newtons i kp.
LUGAR
GRAVEDAD (m/s2)
MASA (Kg)
Tierra
9,8
50
Luna
1,67
50
Sol
274,4
50
Mercurio
2,6
50
Marte
3,724
50
PESO (N)
PESO (Kp)
3.5 Exercicis típics d’aplicació dels dos primers principis
Encara no hem vist el tercer principi de la dinàmica, el d’acció-reacció. El veurem més a fons més
endavant, però en alguns problemes es fa referència a eixe principi. Diu que quan un cos fa força sobre
un altre, el segon cos fa una força igual i de sentit contrari sobre el primer. Això vol dir que si ens
demanen identificar les parelles de forces d’acció-reacció, tenim que veure quin cos fa força sobre el
cos en el que s’estem fixant, i eixe cos farà una força igual i de sentit contrari sobre el primer.
3.5.1 Exercicis generals (caràcter vectorial, i forces sense especificar)
Exercici 3.5.1.1
Sobre un cuerpo actúan las siguientes fuerzas: A = (2,3); B = (-4,1); C = (|C|=4, = 150º); D = (3,-1).
Calcula la fuerza resultante y dibújalas todas.
Exercici 3.5.1.2
Un cuerpo de 5 kg está sobre una mesa. De él se tira horizontalmente con una fuerza de 20 N.
Identifica las fuerzas que actúan sobre él y calcula la resultante. ¿Cómo se moverá?
7
Exercici 3.5.1.3
Sobre el cuerpo del problema anterior actúan 3 fuerzas tal como se indica en el siguiente dibujo (la
fuerza que actúa en diagonal forma un ángulo de 45º con la horizontal). Calcula la fuerza resultante.
¿Cómo se moverá?
30 N
40 N
20 N
3.5.2 Moviment circular
Exercici 3.5.2.1
¿Por qué una manzana cae al suelo y la Luna no?
Exercici 3.5.2.2
Si la resistencia máxima de una cuerda es de 1700 N, calcula:
¿Cuál es la masa máxima que puede soportar sin romperse?.
¿Cuál es la velocidad máxima de giro que puede soportar sin romperse si le atamos una masa de 2 kg
con 3 m de radio y lo hacemos girar? (Sin tener en cuenta la gravedad)
Repite el apartado anterior atando esta vez la masa a 6 m del eje de giro.
Repite el apartado b pero teniendo en cuenta la gravedad y haciendo girar al cuerpo tanto en horizontal
como en vertical.
Exercici 3.5.2.3
Un coche toma una curva de 250 m de radio a una velocidad de 72 km/h. Si la masa del coche es de
1.200 kg, ¿cuánto vale la fuerza de rozamiento de las ruedas con el pavimento (la que hace que el
coche no derrape)?
Exercici 3.5.2.4
Una moto de 200 kg toma una curva de 50 m de radio a 54 km/h. Si la fuerza máxima de rozamiento
de las ruedas con el suelo es de 800 N, ¿derrapará la moto?.
Exercici 3.5.2.5
Un coche circula por una curva de 30 m de radio. Si lleva una rapidez de 60 km/h y su masa es de
1300 kg, ¿cuánto vale la fuerza de rozamiento con el asfalto que le hace mantenerse dentro de la
carretera?
Exercici 3.5.2.6
En un plano vertical damos vueltas a una cuerda de 1 m de longitud en cuyo extremo tenemos atado un
cubo de agua. ¿Qué mínima velocidad tiene que tener el cubo para que el agua no se vierta cuando está
el cubo con la boca hacia el suelo?.
8
3.5.3 Trens o tractors I remolques
Exercici 3.5.3.1
Una locomotora de 3500 Kg tira con una fuerza de 150.000 N de un vagón de 1.500 kg ¿Cuál será la
aceleración que adquirirán? ¿Cuánto vale la tensión de la cadena que los une?.
Exercici 3.5.3.2
Una locomotora de 3.000 kg tira con una fuerza de 140.000 N de dos vagones de 2.000 kg cada uno.
¿Cuánto valen las tensiones que unen los vagones entre sí y con la locomotora?
Exercici 3.5.3.3
Un tractor cuya masa es de 2000 kg y puede desarrollar una fuerza de 4000 N tiene que arrastrar un
remolque cuya masa es de 500 kg.
Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre el sistema, sobre el tractor y sobre el remolque identificando
las parejas acción-reacción que puedas.
Calcula cuál es la aceleración de todo el sistema.
Calcula la tensión que sufre la cadena que engancha el remolque al tractor.
Exercici 3.5.3.4
Una locomotora tira de 2 vagones desarrollando una fuerza de 6000 N. Si la masa de la locomotora es
de 2000 kg, la masa del primer vagón es de 1500 kg, y la del segundo es de 500 kg, calcula cuál será la
aceleración de todo el sistema y qué valor tendrán las tensiones de los enganches entre vagones y entre
vagones y locomotora. Señala todas las fuerzas que actúan identificando sus parejas de acción-reacción
que puedas.
3.5.4 Máquina de Atwood
Exercici 3.5.4.1
Si en el esquema representado en la figura la masa 1 es de 2
kg y la masa 2 es de 5 kg, calcula la aceleración del conjunto.
Desprecia el rozamiento.
1
2
Exercici 3.5.4.2
2
Fíjate en el siguiente dibujo. El cuerpo 1 tiene 5 kg de masa y
el cuerpo 2 tiene 3 kg. Si no hay rozamiento en la mesa, ¿con
qué aceleración se moverán los 2 cuerpos? Calcula también la
tensión de la cuerda.
9
1