Algunas propiedades del viento geostrofico

ALGUNAS PROPIEDADES DE LA CIRCULACIÓN GEOSTRÓFICA.
1.El equilibrio geostrófico.
La velocidad v del viento geostrófico se define como la velocidad para la cual el
gradiente de la presión y el término de Coriolis se balancean exactamente en la ecuación
de movimiento especializada para un flujo horizontal: Debe valer, entonces:
∇p = - ρ f z × v
En la precedente expresión ∇p es el gradiente horizontal de la presión, ρ es la densidad,
z es el vector unitario según el eje z (vertical), f es el parámetro de Coriolis, definido en
términos de la velocidad angular Ω de rotación de la Tierra (Ω = 5,7 · 10-5 rad/seg) y de
la latitud φ mediante la relación:
f = 2 Ωsinφ
La velocidad del viento geostrófico es un vector de componente nula según el eje z.
Recordamos que la componente vertical del gradiente de la presión se supone
compensada por la fuerza peso (equilibrio hidrostático).
Nota: en un verdadero y propio equilibrio hidrostático, p no podría depender de las
coordenadas horizontales, pero en el presente tratamiento se supone que el equilibrio
hidrostático rige localmente, es decir para una masa de aire en el entorno de una dada
posición. Esto tiene sentido si la componente horizontal del gradiente de presión es
siempre mucho menor que la componente vertical, algo que se cumple ampliamente en
la dinámica atmosférica de escala mediana y grande. Por ejemplo, en la dirección
vertical, 100 metros de desnivel producen una variación de presión del orden de 1000 P
(10 mb), mientras que, en los fenómenos de gran escala, variaciones de este orden en
sentido horizontal se tienen sobre distancias del orden de 100 km.
Multiplicando vectorialmente ambos miembros de la ecuación precedente por el versor
z y recordando que esta operación, aplicada a un vector en el plano perpendicular a z
(en este caso un plano horizontal), da como resultado otro vector de igual módulo en el
mismo plano girado 90º en sentido antihorario (positivo), se tiene:
v =
1
z × ∇p
ρf
Si f es muy pequeño (región ecuatorial) el módulo de v es muy grande. Físicamente, esto
significa que el gradiente de la presión no puede ser equilibrado por el término de
Coriolis; en otras palabras, el viento real difiere mucho del viento geostrófico, En
general, debe recordarse que el viento geostrófico es sólo una aproximación del viento
real vR. Entre ambos existe una diferencia vR – v = vNG , denominada viento no
geostrófico o ageostrófico, que adquiere importancia cuando el término inercial o el
término viscoso de la ecuación de movimiento, o ambos, no son ignorables respecto del
término de Coriolis.
2. Algunos efectos relacionados con desviaciones de la geostroficidad.
a. Efectos inerciales, número de Rossby finito.
Consideremos una situación en la cual existe una zona de baja presión donde las
isobaras son círculos concéntricos, es decir p = p(r), siendo r la coordenada radial con
origen en el centro de simetría. Se trata de la situación que caracteriza a un ciclón.
Entonces el gradiente horizontal de p tiene sólo componente en la dirección positiva de
r y, si nos limitamos a la aproximación geostrófica, las parcelas de aire describen en el
hemisferio sur círculos en sentido horario (mirando desde arriba) con velocidad
azimutal
v=
1 ∂p
ρf ∂r
Este equilibrio significa que la fuerza de Coriolis, dirigida en este caso en la dirección
positiva de r, se supone exactamente balanceada por - ∂p/∂r. Sin embargo, en este
problema, el gradiente de presión debe, además, equilibrar la fuerza centrífuga (fuerza
inercial no tomada en cuenta en el equilibrio geostrófico), la cual resulta en este caso
paralela a la fuerza de Coriolis, puesto que obviamente está también dirigida en la
dirección positiva de r . La magnitud de la fuerza centrífuga es ρv2/r , de modo que la
razón entre la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis es:
v
ρv 2
ω
=
=
ρfvr fr 2Ω sin Φ
donde con ω hemos indicado la velocidad angular del movimiento circular de la parcela
de aire (v = ωr). La razón obtenida es el número de Rossby R para este particular
problema. Para latitudes intermedias, R es pequeño si la velocidad angular de la parcela
en su movimiento circular es pequeña respecto de la velocidad angular de rotación de la
Tierra. Para poner números, supongamos una circulación ciclónica de 500 km de radio,
con v = 20 km/h. Entonces v/r = 0,04 h-1 . Por otra parte, para latitudes intermedias, f es
del orden de 0,1 h-1, lo cual muestra que los efectos ageostróficos inerciales pueden ser
importantes en este tipo de situaciones (R ≈ 0,4 en el ejemplo numérico dado). Está
claro que para que una circulación como la considerada pueda mantenerse, la caída de
presión hacia el centro del ciclón debe ser bastante más alta que la correspondiente al
equilibrio geostrófico (en el caso específico supuesto, por un factor de alrededor de 1,4).
Naturalmente, lo expuesto se aplica también si las parcelas de aire no describen círculos
completos, sino simplemente trayectorias curvas con un radio de curvatura localmente
igual a r alrededor de una zona de baja presión.
Es interesante destacar que en el caso de una circulación anticiclónica, es decir
alrededor de una zona de alta presión (circulación antihoraria mirando desde arriba en el
hemisferio sur), la situación se invierte. En este caso la fuerza de Coriolis (opuesta al
gradiente de presión), apunta hacia el centro de simetría. Por otra parte, la fuerza
centrífuga sigue naturalmente apuntando en la dirección creciente de r, y, por lo tanto,
debe ser restada a la fuerza de Coriolis. Entones, para mantener la circulación, la subida
de presión hacia el centro debe ser menor de la correspondiente al equilibrio
geostrófico.
La consecuencias generales de estos efectos ageostróficos son que las caídas de presión
en los ciclones son más acentuadas que las subas de presión en los anticiclones. Es fácil
ver que esto no depende de si nos encontramos en el hemisferio sur o en el norte: la
dirección de circulación cambia, pero el paralelismo (en la circulación ciclónica) o el
antiparalelismo (en la anticiclónica) de la fuerza de Coriolis y de la fuerza centrífuga se
mantiene.
b. Efectos de las fuerzas viscosas, rozamiento sobre la superficie.
Cerca del suelo, en una parcela de aire en movimiento con una velocidad horizontal v,
el gradiente horizontal de presión debe equilibrar no sólo a la fuerza de Coriolis, sino
también a la fuerza de rozamiento. La primera es siempre perpendicular a v mientras
que la segunda es antiparalela a v. La resultante forma entonces necesariamente un
ángulo con v mayor que 90º. Por otra parte, esta resultante debe ser equilibrada por –
grad p. Sigue que la velocidad forma un ángulo menor que 90º con el vector – grad p.
En otras palabras, v no es paralela a las isobaras, como sería en caso de validez exacta
de la aproximación geostrófica, sino apunta diagonalmente en el sentido de disminución
de la presión (o sea posee una componente paralela a - grad p).
Este efecto se hace tanto más marcado cuanto más cerca está la superficie (por ejemplo,
el suelo). A alturas considerables (≥ 1 km) puede considerarse válida la aproximación
geostrófica, pero a medida que nos aproximamos al suelo la velocidad del viento tiende
a girar, adquiriendo una componente cada vez más importante en la dirección – grad p,
es decir de la zona alta presión hacia la baja.
Una consecuencia es que en una zona de baja presión (centro de una zona ciclónica)
converge aire a baja altura desde las regiones periféricas. Esto produce el levantamiento
de las capas de aire preexistentes, con la consiguiente probabilidad de que se dén
condensación y lluvias. Lo opuesto ocurre en el centro de una zona anticiclónica, donde
las capas bajas son succionadas hacia las regiones circundantes, y por lo tanto el aire
tiende a descender. Por esta razón por lo general las zonas de baja presión están
caracterizadas por mal tiempo y las de alta presión por buen tiempo.
3. Propiedades del viento geostrófico, superficies isobáricas.
De aquí en adelante dejaremos de lado los efectos ligados a la ageostroficidad a pesar de
su importancia para la dinámica de la atmósfera. Aceptaremos que el viento geostrófico
proporciona una descripción muy buena de los fenómenos de gran escala para latidudes
altas, intermedias y hasta subtropicales a una razonable distancia del suelo.
La más notable propiedad del viento geostrófico es que las líneas de corriente en un
cierto piano (horizontal) son paralelas a las curvas isobáricas en ese plano. Es decir, el
aire no se desplaza desde una región de alta presión hacia una región de baja presión
(como ocurriría si la Tierra no girara alrededor de su eje), sino a lo largo de las líneas de
igual presión. Esto se ve de inmediato de la expresión vectorial de v. Pero el sentido del
desplazamiento cambia según el signo de f, lo cual significa que la regla que lo
determina es diferente según el hemisferio sea el norte (f positivo) o el sur (f negativo).
En el hemisferio norte el aire se desplaza dejando a la derecha la región de alta presión
y a la izquierda la de baja. Viceversa, en el hemisferio sur es la región de baja presión la
que queda a la derecha (siempre mirando en la dirección del viento) mientras que la de
alta queda a la izquierda. Por ejemplo, durante una sudestada, la presión atmosférica
decrece hacia el noreste y crece hacia el sudoeste.
Las relaciones precedentes expresan lo que ocurre en el entorno de un determinado
plano horizontal, es decir a una cierta altura z. Como p y ρ varían fuertemente en
función de z cabría esperar que lo mismo debe ocurrir con v. Sin embargo, p y ρ están
relacionadas entre por la ecuación de estado de los gases perfectos (que, desde luego,
involucra también la temperatura T) y, para x, y fijos, a lo largo de z por la ecuación
hidrostática.
Es conveniente, entonces, buscar expresiones de v haciendo uso de las mencionadas
relaciones. Mostraremos a continuación que lo que realmente importa para determinar v
es la pendiente de las superficies isobáricas, definidas por la altura zp(x,y) para la cual la
presión vale p. Claramente, si estas superficies fuesen planos horizontales, v sería nula.
Comenzaremos por determinar la relación entre el gradiente horizontal de presión y la
pendiente de la superficie zp. Diferenciando p(x,y,z) e igualando a cero la variación de p
como debe ser en una superficie isobárica, se tiene:
∂p
∂p
∂p
dx +
dy = − dzp
∂x
∂y
∂z
En la cual las derivadas deben ser evaluadas para z = zp
Entonces:
1 ∂p
1 ∂p
∂zp
=−
=
∂p ∂y ρg ∂y
∂y
∂z
1 ∂p
1 ∂p
∂zp
=−
=
∂
p
∂x
∂x ρ g ∂x
∂z
En el último paso se ha utilizado la ecuación hidrostática:
∂p
= − ρg
∂z
Vectorialmente, esto significa que el gradiente horizontal de la presión puede escribirse:
∇p = ρg∇zp
Reemplazando en la expresión vectorial de v:
v=
g
z × ∇ zp
f
Esta expresión muestra que la variable física que realmente determina la velocidad del
viento geostrófico para una dada latitud es la pendiente o inclinación de las superficies
isobáricas. Si, entonces, en una región, la pendiente de estas superficies no varía con la
altura (es decir, las superficies isobáricas son paralelas), tampoco varía con la altura la
velocidad del viento geostrófico, a pesar de las fuertes variaciones de presión y de
densidad.
4. Variación del viento geostrófico con la altura, deriva térmica.
Tiene, entonces importancia establecer de que depende la separación entre dos
superficies isobáricas p1, p2, o, lo que es lo mismo, el espesor de la capa de aire limitada
por estas dos superficies. Para ello se utiliza la relación hipsométrica, cuya deducción,
por comodidad repetiremos aquí. Partiendo de la ecuación hidrostática, tratando a la
∂z
1
RT
=−
=−
∂p
ρg
gp
presión como variable independiente y utilizando la ecuación de estado de los gases:
Integrando entre los dos niveles de presión y definiendo T como la temperatura media
de la capa de aire entre las correspondientes superficies isobáricas se tiene, para el
espesor ∆z de la capa:
p2
∆z = z 2 − z1 = −
∫
RT
RT~ p1
dp =
ln
gp
g
p2
p1
Naturalmente, la altura mayor corresponde a la superficie de menor presión. Se ve de
inmediato que el espesor de la capa puede variar de una posición a otra sólo si T varía.
En otras palabras, en una región en la cual la temperatura no sufre variaciones en
sentido horizontal, las superficies isobáricas son paralelas y, por consiguiente, el viento
geostrófico tiene la misma velocidad a cualquier altura (en magnitud y dirección). Debe
quedar claro que nos estamos refiriendo a la ausencia de variaciones de T en sentido
horizontal: desde luego, la temperatura prácticamente siempre varía en sentido vertical.
En cambio, en una región en la cual existen variaciones de la temperatura en sentido
horizontal, v es diferente a diferentes alturas; puede cambiar de magnitud y de
dirección, y hasta invertir su sentido. Esquemáticamente, esto puede visualizarse como
un deslizamiento relativo de las capas de aire superpuestas, que se conoce como viento
de deslizamiento o deriva térmica, denominación esta última que se justifica por la
relación entre el movimiento relativo de las capas con la presencia de variaciones de T
en sentido horizontal. Debe tenerse presente que estamos hablando de desplazamientos
horizontales del aire sobre grandes escalas: este efecto no tiene nada que ver con los
movimientos convectivos en sentido vertical que se conocen como corrientes térmicas.
Para llegar a una expresión cuantitativa de este efecto, es oportuno utilizar como
variable independiente no la coordenada vertical z, sino la presión, que conviene
introducir mediante la variable ζ = ln p, donde la dimensionalidad del argumento no
molesta porque ζ aparece siempre como diferencial o en diferencias. Derivando v
respecto de ζ se obtiene:
 ∂zp 
∂v g
∂
g

= z × ∇z p = z × ∇
∂ς
∂ς
f
∂
ς
f


Pero:
∂z p
∂ς
=
∂z p ∂p
RT ∂p
RT
=−
=−
∂p ∂ς
gp ∂ς
g
Reemplazando:
∂v
R
= − z × ∇T
∂ς
f
Entonces, entre dos alturas caracterizadas por dos valores de ζ, se tiene una deriva
térmica entre las correspondientes velocidades del viento geostrófico dada por:
ς2
R
vT = v 2 − v1 = − z ×
f
∫
ς1
∇Tdς =
R
(ς 1 − ς 2 )z × ∇T = R z × ∇T ln p1
f
f
p2
Donde p1 es la presión correspondiente a la altura más baja y p2 la presión
correspondiente a la más alta. Con la barra superpuesta se ha indicado el valor medio
del gradiente horizontal de T en la capa de aire entre las dos alturas
Naturalmente, como el viento geostrófico se ha supuesto siempre horizontal, la deriva
térmica vT es también un vector horizontal. La modificación del viento geostrófico con
la altura que se tiene por este importante efecto depende de cómo se relacionan los
gradientes horizontales de temperatura y presión. Si ambos gradientes tienen igual
dirección y sentido (o sea T crece en la misma dirección en que crece p) , v y vT son
paralelos, por lo tanto la dirección de v no cambia y su módulo crece con la altura. Si,
en cambio, ambos tienen igual dirección pero opuesto sentido, o sea T decrece en la
dirección en que crece p (esto ocurre con frecuencia en nuestra región cuando el viento
es del este, lo cual significa que la baja presión está al norte y por lo tanto la presión
decrece en la dirección en que por lo general crece la temperatura), la deriva térmica es
antiparalela respecto del viento geostrófico; por lo tanto el módulo de este último
decrece con la altura, de modo que el viento geostrófico puede llegar a anularse y
cambiar de sentido en la parte mediana o alta de la tropósfera. En general, los gradientes
de presión y temperatura no tienen la misma dirección, por lo que vT no es paralelo a v y
el viento geostrófico presenta cambios de dirección, además de cambios de magnitud,
con la altura.