3.4. Distribución de poisson

3.4. Distribución de poisson
Distribución discreta llamada así en honor a l matemático francés Simeon Denis
Poisson (1781-1840), la cual ha sido empleada extensamente en biología y medicina.
Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo
determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo.
El experimento que la genera debe cumplir las siguientes condiciones:
El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es
independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del
anterior.
La probabilidad de un éxito en un tiempo o espacio pequeño es proporcional al tamaño
de este y no depende de lo que ocurra fuera de él.
La probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del espacio
tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en estudio.
Dado un intervalo de números reales, supóngase que el conteo de ocurrencias es
aleatorio en dicho intervalo. Si este puede subdividirse en subintervalos
suficientemente pequeños, tales que:
a) La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es cero.
b) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los
subintervalos, y es proporcional a la longitud de estos. Y
c) El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente de los demás
subintervalos
Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son
variables en las que se cuentan sucesos raros.
La función de probabilidad de una variable Poisson es:
El parámetro de la distribución es λ que es igual a la media y a la varianza de la
variable.
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área,
tiempo, pieza, etc, etc,:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.
- # de bacterias por cm2 de cultivo
- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.
Esta característica puede servirnos para identificar a una variable Poisson en casos en
que se presenten serias dificultades para verificar los postulados de definición.
La distribución de Poisson se puede considerar como el límite al que tiende la
distribución binomial cuando n tiende a
y p tiende a 0, siendo np constante; en esta
situación sería difícil calcular probabilidades en una variable binomial y, por tanto, se
utiliza una aproximación a través de una variable Poisson con media l = n p. La
varianza de la variable aproximada es ligeramente superior a la de la variable
binomial.
Las variables Poisson cumplen la propiedad de que la suma de variables Poisson
independientes es otra Poisson con media igual a la suma las medias.
Ejercicios para resolver en clases:
1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10
cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a)
 6
X=4
e   x
p ( x,  ) 
x!
Sustituyendo:
e 6  6 4
p(4,6) 
= 0.1338 ó 13.38%
4!
2. Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los
archivos indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes
está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en
carreteras quiere calcular
a) La probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.
b) La probabilidad de que haya 3 accidentes o menos al mes
c) La probabilidad de que ocurran más de tres accidentes por mes
3. La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si
se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10,
entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.
4. La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad
de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?
Ejercicios propuestos
1. Para el caso de un alambre delgado de cobre, supóngase que el número de fallas
esta descrito por una distribución poisson con una media de 2.3 fallas por milímetro.
Determínese:
a) La probabilidad de tener exactamente dos fallas en un milímetro de alambre. b) La
probabilidad de tener 10 fallas en 5 mm. de alambre c) La probabilidad de tener al
menos una falla en 2mm. de alambre.
Sea X el número de fallas en un milímetro de alambre.
Copias al libro de Montgomery y resuelve los ejercicios 3-94, 3-95, 3-97, 3-99,
100 y 3-101
3-