Práctica 7 (Cálculo)

0
Práctica 7 (Cálculo)
Aplicaciones de la integral definida
Clear "Global` "
Área de la región plana comprendida entre una curva y el eje OX. (Área bajo
una curva)
!"# $
!"#
% &'
"(
"
)(
"(
*
!"#(+",-."./
%
%
% &'
!2
"(0 "(3
1
#
f x_ :
x^2 x 6
A Plot f x , x, 0, 4
;
6
4
2
1
2
3
4
-2
-4
-6
4
5
6
%
5
4
)
4
-
Needs["Graphics`FilledPlot`"];
B=FilledPlot[f[x], {x, 1, 2},PlotRange->{0,7}];
Show[B,A];
7
6
5
4
3
2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
37
Integrate f x , x, 1, 2
31
6
)
4
4
%
-8
g x_ : 2 Sin x
FilledPlot g x , x, 0, 4 Pi
;
2
1
2
-1
-2
4
6
8
10
12
!"#
% &'
"($
"(94
=
Integrate g x , x, 0, 4 Pi
0
)
:
:
%
% &'
37
I1
I2
I3
I4
Integrate
Integrate
Integrate
Integrate
g
g
g
g
x
x
x
x
,
,
,
,
x,
x,
x,
x,
0, Pi
Pi, 2 Pi
2 Pi, 3 Pi
3 Pi, 4 Pi
4
4
4
4
;
!)
+
#
I1
I2
I3
I4
16
*
!"#
%
FilledPlot Abs g x
, x, 0, 4 Pi
;
2
1.5
1
0.5
2
Integrate Abs g x
4
6
8
10
12
, x, 0, 4 Pi
16
Veamos ahora una función un poco más complicada,
la función sin x2 considerada entre x 0 y x
4
.
< !"#<
9
Plot Sin x ^ 2 , x, 0, Sqrt 4 Pi
;
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.5
-1
>
FilledPlot Sin x ^ 2 , x, 0, Sqrt 4 Pi
FilledPlot Abs Sin x ^ 2
;
, x, 0, Sqrt 4 Pi
;
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2
2.5
3
3.5
-0.5
-1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
*
1
1.5
6?
3
%
@
NIntegrate Abs Sin x ^ 2
, x, 0, Sqrt 4 Pi
NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to
prescribed accuracy after 7 recursive bisections in x near x
2.50636052354608152`.
2.01921
37
+
!
J1
J2
J3
J4
NIntegrate
NIntegrate
NIntegrate
NIntegrate
Sin
Sin
Sin
Sin
x^2
x^2
x^2
x^2
,
,
,
,
x,
x,
x,
x,
-#
0, Sqrt Pi
Sqrt Pi , Sqrt 2 Pi
Sqrt 2 Pi , Sqrt 3 Pi
Sqrt 3 Pi , Sqrt 4 Pi
0.894831
0.464424
0.357851
0.302012
;
J1
J2
J3
J4
2.01912
7
4
x2
%
Plot
x2
4x
1, x, 0, 4
4x
1
% &'
;
3
2
1
1
2
3
4
-1
4
7
x2
Solve
x
2
@
4x
1
3 , x
0, x
2
"
3
/
x2
Integrate
4
4x
1, x, 2
Sqrt 3 , 2
Sqrt 3
3
(+",-.98 !"#.0$
7
!
)
",-. ,-( ,- 6
(0#
Area entre dos curvas.
2
A
!"#
"(
)
!"#
"
)(
"(
%
G1
x^2
Plot
4x
6,
x^2
8 , x,
5, 5
;
15
10
5
-4
-2
2
4
-5
4
Solve x ^ 2
x
G2
1
4x
6
2 , x
FilledPlot
x^2
x^2
1
8, x
2
4x
6,
x^2
8 , x,
8
7
6
5
4
3
-2
-1.5
-1
-0.5
($
1
2,
1
2
;
B
Show G1, G2 ;
15
10
5
-4
-2
2
4
-5
2
"
Integrate
16
x^2
8
x^2
4x
6 , x,
1
Sqrt 2 ,
1
Sqrt 2
2
3
(
!"#
",-+9".9
Longitud de una curva.
4
0
2(
:
-
%
!"#(",-.".0
f x_ : x ^ 2 x 1
Plot x ^ 2 x 1, x,
2, 2
;
7
6
5
4
3
2
1
-2
;
-1
1
2
"(+0
"(0 4
%
C
Integrate Sqrt 1
1
4
2
f ' x ^ 2 , x,
1
4
ArcSinh 1
)
3
10
1, 1
ArcSinh 3
"
"
NIntegrate Sqrt 1
f ' x ^ 2 , x,
6?
1, 1
3.40022
*
"($ "(4
Clear f
f x_ : Sin x
Plot Sin x , x, 0, Pi
;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
Integrate Sqrt 1
2
3
2 EllipticE
%
1.5
2
2.5
3
f ' x ^ 2 , x, 0, Pi
1
2
6?
"
F
NIntegrate Sqrt 1
f ' x ^ 2 , x, 0, Pi
3.8202
!"#(
!
!"##
"(0 "(=
Area de una superficie de revolución.
D
&'
"
!"# $
%
)(-
0
%
"
&'
-
:
4
4
7
"-
!$ $#
-
(E 0
71
f x_ : Sqrt 1 x ^ 2
Plot f x , x, 1, 1 ;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
2 Pi Integrate f x
0.5
Sqrt 1
1
f ' x ^ 2 , x,
1, 1
4
D
4
",-. ,-( ,-
-
0
%
0$
Clear f
f x_ : Sqrt r ^ 2 x ^ 2
S 2 Pi Integrate f x
4
r
Sqrt 1
f' x
^ 2 , x,
r, r
r2
Por tanto, como sabemos que r es el radio y por tanto un número positivo,
la superficie de la esfera es 4 r2.
Volumen de un sólido de revolución (por discos).
D
"
+
% &'
!"# $
% &'
"(
"
)
)
"(
Entonces si S gira alrededor del eje OX genera un sólido de revolución cuyo volumen es
b
f x
2
V
x.
a
%
*
!D
% &'
(=
-
-
-
-
0
%
-
%
-
(#
00
Clear f
f1 x_ : Sqrt 4 1
1 9 x^2
f2 x_ :
Sqrt 4 1
1 9 x^2
Plot f1 x , f2 x , x, 3, 3 , AspectRatio
Pi Integrate f1 x ^ 2, x, 3, 3
Automatic ;
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
16
!
4
%
D
#
3
>
3
0-
Clear f
f x_ : Sqrt r ^ 2 x ^ 2
Pi Integrate f x ^ 2, x,
r, r
r3
4
3
Volumen de un sólido de revolución (por tubos)
D
% &;
"
)
( !"#
$
!"# $
"
Sea S la región limitada por la gráfica de f x , el eje OX y las rectas x a y x
si S gira alrededor del eje OY genera un sólido de revolución cuyo volumen es V
b
xf x
2
x. Es decir
a
V 2 Pi Integrate x f x , x,a,b
6
lo que se escribe entre paréntesis y asteríscos es ignorado
4
% &;
7
7
!>" $#
x Rx ^2 y^2 r^2
7
f1 x_ : Sqrt r ^ 2
f2 x_ :
Sqrt r ^ 2
x
x
Rx ^ 2
Rx ^ 2
4
>"(@
%
(- 3 7
b. Entonces,
0=
g1 x_ : Sqrt 2 ^ 2
x 5 ^2
g2 x_ :
Sqrt 2 ^ 2
x 5 ^2
Plot g1 x , g2 x , x, 5 2, 5 2 ,
PlotRange
7, 7 ,
4, 4 , AspectRatio
Automatic ;
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
-1
4
6
-2
-3
-4
4
7
!
0"#
% &;
Plot g1 x , x, 5
2, 5
2 , PlotRange
7, 7 ,
4, 4
, AspectRatio
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
-1
4
6
-2
-3
-4
2
0 2
!
#
%
:
* G4
:
:
ParametricPlot3D x Sin t , g1 x , x Cos t
x, 5 2, 5 2 , t, 0, 2 Pi , ViewPoint
,
0, 2, 3
5
0
-5
5
0
-5
2
1.5
1
0.5
0
;
:
Automatic ;
09
ParametricPlot3D x Sin t , g1 x , x Cos t
x, 5 2, 5 2 , t, 0, 2 Pi , ViewPoint
,
0,
2,
3
;
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
-5
0
5
3
SemiVolumen
20
2 Pi Integrate x g1 x , x, 5
2, 5
2
2
37
Volumen
40
4
2 SemiVolumen
2
A
A
2
>"
)
(0 !
2
r2 Rx
#
0@
V
2 2 Pi Integrate x f1 x , x, Rx
r, Rx
r
Simplify
Integrate::gener : Unable to check convergence
2
2
r2 Rx Sign r
Sign r
2
Volumen por secciones.
4
,=
A
)
3!"#
% &'
"
)
3
*(
3!"# $
V Integrate A x , x,a,b
%
)
7
>
% 1
%
!
#
%
7
"
7
Clear A
r x_ : r x h
r x ^2
A x_ : Pi
Volumen Integrate A x , x, 0, h
1
h
3
r2
%
!
"
2#
"
3"
0/
Clear A
l x_ : L x h
A x_ : l x ^ 2
Volumen Integrate A x , x, 0, h
h L2
3
Ejercicios
0+
"
-@ @-B# ?
!)
-
(
-+
7
(4 a EllipticE 1
% &' 3
(-
=+
+",-.0
0 !)
F
0 !?
b2
a2
(0@
A
"
H$
!?
H$ H$ I
)
H$#
+
) J H$ H$ I K
(!0L=# != + # ,- #
% &;
"($ "(0 ?
7
#
A
# !)
4
-
-
-
"-@
7
!"#(
% &'
Calcule el volumen del elipsoide de semiejes a, b y c dado por la ecuación
x2
a2
y2
b2
z2
c2
Indicación : considere las secciones que producen planos de la forma x
para k
a, a . ¿Qué forma tienen dichas secciones? ¿Cuál es el area
4
abc
de la secciones para cada valor k ? . Solución : volumen
3
1.
k,