Modelo del motor de Inducción

J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
Modelo del motor de Inducción
1. Introducción
Los motores asíncronos o de inducción son los más utilizados en la industria, a causa de
su sencillez y fortaleza de su construcción, así como por su seguridad de funcionamiento.
1.1. Descripción física
Los motores asíncronos constan de dos partes:
El estator, que es la parte fija de la máquina, constituido por una corona de chapas
magnéticas aisladas entre sí por medio de barniz, ranuradas interiormente y sujetas a una
carcasa fabricada, por lo general, con fundición de hierro o aluminio. En las ranuras del
estator se dispone un devanado, constituido por un número de fases igual al de la red
eléctrica que alimenta el motor.
El rotor, que es la parte móvil de la máquina, constituido por una corona de chapas
magnéticas apiladas directamente sobre el eje de la máquina. La corona rotórica presenta
una serie de ranuras interiores en las que se encuentra dispuesto el devanado rotórico.
Desde el punto de vista constructivo, se pueden distinguir dos formas típicas de rotor:
•
•
1.1.1.
Rotor de jaula de ardilla.
Rotor bobinado.
Máquina asíncrona de rotor de jaula de ardilla
En los motores de jaula de ardilla el devanado del rotor está constituido por barras de
cobre o de aluminio colocadas en las ranuras de la corona rotórica y unidas en sus
extremos a dos anillos del mismo material. El conjunto de barras y anillos tiene aspecto de
jaula de ardilla: de ahí el nombre que recibe este rotor.
El par de arranque de este tipo de motores es relativamente pequeño, y la intensidad
absorbida en el arranque es elevada.
1
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
Figura 1. Motor Asíncrono tipo Jaula de Ardilla
1.1.2.
Máquina asíncrona de rotor bobinado
En los motores asíncronos de rotor bobinado, el devanado rotórico, al igual que el
estatórico, está constituido por hilo de cobre. En las ranuras de la corona rotórica se alojan,
por lo general, tres devanados conectados por un punto común. Los extremos libres
pueden estar conectados a tres anillos de cobre (anillos rozantes) que giran solidariamente
con el eje. Haciendo contacto con los anillos rozantes, se encuentran unas escobillas,
generalmente de grafito, que están fijas respecto al estator y que permiten realizar la
conexión de los tres devanados rotóricos con el exterior.
Aunque desde el punto de vista constructivo el motor de rotor bobinado es más complejo y
menos robusto que el de jaula de ardilla, se puede lograr un par de arranque
aproximadamente 2,5 veces superior al nominal y una corriente de arranque menor que en
el caso de rotor en jaula de ardilla. También, mediante el uso de las resistencias, se puede
regular la velocidad de giro del motor.
2
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
Figura 2. Motor Asíncrono de Rotor Bobinado
1.2. Principio de funcionamiento
El principio de funcionamiento de los motores asíncronos se basa en la acción que ejerce
sobre el rotor un campo magnético giratorio producido por el devanado estatórico.
1.2.1.
Campos magnéticos giratorios
Un ejemplo puede servir para poner de manifiesto la manera en que se produce un campo
magnético giratorio. En el estator de una máquina eléctrica trifásica se encuentran
dispuestos tres devanados desfasados entre sí
s 120º geométricos. Cada uno de ellos está
conectado a una fase de una red eléctrica trifásica. Por regla general, los motores
asíncronos disponen en su caja de bornes de los seis
sei terminales de los devanados, lo que
permite que los devanados se puedan conectar en estrella o en triángulo.
3
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
Figura 3. Campo Magnético Giratorio
1.2.2.
Cupla Motora
Si en el rotor existe un circuito cerrado, la fuerza electromotriz inducida hará circular una
corriente en el rotor y debido a la existencia del campo magnético producido en el estator,
sobre el conductor se ejercerá una fuerza igual a
. Esta fuerza
erza crea una cupla,
que en conjunción con la de los demás conductores del rotor, origina una cupla motora o
mecánica resultante, que tiende a mover al rotor (persiguiendo al campo magnético
giratorio). En un motor de inducción, el rotor no alcanza la velocidad
velocidad del campo magnético
giratorio, siendo su velocidad de giro es menor, por esta razón su velocidad es no
sincrónica (asíncronica) con el campo giratorio.
Figura 4. Fuerza Mecánica Generada
2. Modelo del Motor de Inducción
2.1. Ecuaciones de la Máquina Asíncrona
Los bobinados del estator de la máquina trifásica asíncrona son similares a los de una
máquina sincrónica. Cuando una corriente trifásica balanceada de frecuencia
Hz es
aplicada, en el estator se produce un campo magnético giratorio con una velocidad
sincrónica dada por:
4
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
60 · 120 · Donde está en r.p.m. y P es el número de pares de polos y Pf es el número de polos.
Cuando hay un movimiento relativo entre el campo del estator y el rotor, fuerzas
electromotrices son inducidas en los arrollamientos del rotor. La frecuencia Hz del voltaje
inducido en el rotor depende de la velocidad relativa del campo del estator y el rotor. La
corriente en cada arrollamiento del rotor es igual al voltaje inducido dividido por la
impedancia del circuito del rotor en la frecuencia . La corriente del rotor reacciona con el
campo del estator produciendo un torque, el cual acelera el rotor en dirección de la rotación
del campo del estator. A medida que la velocidad del rotor se aproxima a la velocidad del campo del estator, el voltaje y la corriente inducidos en el rotor disminuyen
aproximándose a un valor igual a cero. Para desarrollar un torque positivo, debe ser
menor que . Así el rotor viajara con una velocidad relativa r.p.m. siguiendo la
dirección del campo del estator. El deslizamiento de la velocidad del rotor respecto de la
velocidad sincrónica en p.u. es
La frecuencia del voltaje inducido en el rotor es igual a · .
En vacio, la máquina opera con un deslizamiento despreciable. Si una carga mecánica es
aplicada, el deslizamiento se incrementa (la velocidad del rotor disminuye) así que el
voltaje y la corriente inducidos producen el torque requerido por la carga y la máquina
opera como un motor.
Si el rotor es movido por otro elemento motriz con una velocidad mayor que la del campo
del estator, el deslizamiento es negativo (la velocidad del rotor es mayor que ). La
polaridad del voltaje inducido es invertido y el torque resultante es opuesto a en dirección a
la de rotación y la máquina opera como un generador de inducción.
2.1.1.
Ecuaciones Básicas de una Máquina Asíncrona
La figura 5 muestra el circuito de una máquina sincrónica. El circuito del estator consiste en
tres arrollamientos a, b y c, distribuidos 120° separados en el espacio. El circuito del rotor
tiene tres arrollamientos distribuidos A, B y C. Las fases del estator y del rotor pueden estar
conectados en Y o ∆. En la figura 5, la conexión mostrada está en Y.
El rotor tipo bobinado, los arrollamientos trifásicos se conectan a anillos rozantes en el eje
y por lo tanto pueden estar conectados a un circuito externo. En el rotor jaula de ardilla
consistente de un número no aislado de barras de cobre cortocircuitadas mediante aros en
ambos extremos, los voltajes del rotor vA, vB y vC son iguales a cero.
En el presente análisis, por simplicidad se considera solamente un par de polos y que las
medidas de todos los ángulos están en radianes eléctricos o grados.
En la figura 5, θ es definido como el ángulo por el cual el eje de la fase A del arrollamiento
del rotor adelanta a el eje de la fase a del arrollamiento del estator en la dirección de
rotación. Con una velocidad angular constante del rotor de en radianes eléctricos por
segundo (rad/s).
· 5
1
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
Con un deslizamiento constante s,
1 · 2
Donde es la velocidad angular del campo magnético del estator en radianes eléctricos
por segundo (rad/s).
Rotación
ωr
Eje de la
fase A
iA
ib
A
B
b
iB
vb
vA
θ
vB
ia
va
Eje de la fase a
vc
vC
C
a
iC
ic
Rotor
Estator
Figura 5. Circuito del estator y del rotor de una máquina de inducción
Despreciando los efectos de la saturación, la histéresis y las corrientes de eddy, y
asumiendo una distribución sinusoidal de las ondas de flujo magnético, las ecuaciones de
la máquina pueden ser escritas de la siguiente manera.
Ecuaciones del voltaje del estator:
3
Ecuaciones del voltaje del rotor:
" "
"
6
4
c
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
En las ecuaciones 3 y 4, φ representa los enlaces de flujo de los arrollamientos. Rs es la
resistencia de fase del estator, Rr es la resistencia de fase del rotor.
Para estudios de estabilidad los efectos de las ranuras del rotor pueden ser despreciados y
considerar que el rotor tiene una forma simétrica. Así, la inductancia mutua entre los
arrollamientos del estator y del rotor son función solamente de la posición del rotor definida
por el ángulo θ.
El enlace de flujo en el arrollamiento de la fase a del estator en cualquier instante de
tiempo estar dado por
# # # $ cos cosθ 120° " cos 120°*
5
Donde # es la inductancia propia del arrollamiento del estator, # es la inductancia
mutua entre los arrollamientos del estator y # es el valor máximo de la inductancia mutua
entre el arrollamiento del estator y el arrollamiento del rotor. Expresiones similares son
aplicables para los enlaces de flujo de los arrollamientos de la fase b y c del estator.
El enlace de flujo del arrollamiento de la fase A del rotor es
# # " # $ cos cosθ 120° cos 120°*
6
Expresiones similares son aplicables para los enlaces de flujo de los arrollamientos de la
fase B y C del rotor.
Sin corriente de neutro debido a la conexión o a una condición balanceada,
0
" 0
Si consideramos que
7
# # #
# # #
8
Las expresiones de φa yφA pueden ser escritas como:
2.1.2.
# # $ cos cosθ 120° " cos 120°*
9
# # $ cos cosθ 120° cos 120°*
10
Modelo de la Máquina de Dos Ejes - Transformación d-q
Mediante la transformación de Park, es posible llevar un sistema trifásico a otro equivalente
de dos ejes (eje directo y de cuadratura) que son ejes rotatorios definidos según una
referencia dentro del sistema analizado. Para la máquina de inducción el marco de
referencia se define con el eje directo (eje d) igual al eje de rotación de la velocidad
sincrónica. El eje en cuadratura (eje q) es asumido para estar 90° en adelanto del eje
directo en dirección de la rotación. Si el eje directo es escogido para que coincida con el
eje de la fase a en el tiempo t=0, su desplazamiento desde el eje de la fase a en cualquier
instante de tiempo t es .
La transformación de las corrientes de fase del estator a las variables d y q son:
7
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
2
/ $ cos cos 120° cos 120°*
3
2
0 $ sin sin 120° sin 120°*
3
11
La transformación inversa es
/ cos 0 sin / cos 120° 0 sin 120°
12
/ cos 120° 0 sin 120°
Similares expresiones son aplicadas a los enlaces de flujo y los voltajes del estator.
En el caso del rotor si se define como el ángulo por el cual el eje directo adelanta al eje
de la fase A del rotor. Si el deslizamiento del rotor es s, el eje directo es adelantado con
respecto a un punto sobre la velocidad del rotor
· 13
La transformación de las corrientes de fase del rotor a las variables d y q son:
2
/ $ cos cos 120° " cos 120°*
3
2
0 $ sin sin 120° " sin 120°*
3
14
La transformación inversa es
/ cos 0 sin / cos 120° 0 sin 120°
12
/ cos 120° 0 sin 120°
Similares expresiones son aplicadas a los enlaces de flujo y los voltajes del rotor.
2.1.3.
Ecuaciones Básicas de una Máquina Asíncrona en el marco de referencia d-q
De la ecuación 2 y 13
13
Enlaces de flujo del estator
/ # / #3 /
0 # 0 #3 0
8
14
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
Enlaces de flujo del rotor
/ # / #3 /
0 # 0 #3 0
15
4
Con #3 #
5
El voltaje del estator es
/ / 0 0 0 / /
0
16
El voltaje del rotor es
/ / 0 0 El termino
678
69
/
0
0
/ 17
es el deslizamiento de la velocidad angular, dado por
· Esto representa la velocidad angular relativa entre el rotor y el marco de referencia d-q.
Potencia Eléctrica y Torque
La potencia instantánea en el estator es
: En términos del eje d –q, la expresión se vuelve
3
: ;/ / 0 0 < 18
2
En forma similar la potencia instantánea en el rotor es.
: 3
; 0 0 < 19
2 / /
El torque electromagnético desarrollado es obtenido como la potencia asociada con la
velocidad del voltaje dividido por la velocidad del eje en radianes mecánicos por segundo.
67
67
De la ecuación 17, la velocidad del voltaje asociado a / y 0 son 8 0 y 8 /
69
69
respectivamente. Substituyendo en la ecuación 19, la potencia asociada con la velocidad
de voltaje es
3
;/ 0 0 / <
2
9
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
La velocidad del rotor con respecto a el eje d-q es 678 5
69 =>
. Y el torque electromagnético es
3
?@ ;0 / / 0 <
2
2
20
Ecuación de Aceleración
El torque electromagnético desarrollado por el motor permite el movimiento de una carga
mecánica. Si existe un desequilibrio entre el torque electromagnético y el torque de la
carga mecánica (?3 ), la diferencia de torques acelera la masa del rotor. Es decir.
?@ ?3 A
B3
B5
A 5
B
B
21
Donde 3 es la velocidad angular del rotor en radianes mecánicos por segundo y J es el
momento rotacional de inercia del rotor y la carga conectada. El torque de la carga varía
con la velocidad. Una expresión comúnmente empleada para el torque en la carga es.
3
?3 ?C DDDD
22
Donde D
DDD es la velocidad del rotor expresada en por unidad de la velocidad sincrónica.
2.1.4.
Características de Estado Estable
Para una operación balanceada en estado estable, las corrientes del estator pueden ser
escritas como
E3 cos F
E3 cos F 120°
E3 cos F 120°
Donde α es el ángulo de ia con respecto a el tiempo original. En el eje d-q, se tiene
/ E3 cosα
0 E3 sin α
Expresiones similares para las corrientes y voltajes del rotor son aplicadas. De la ecuación
12, la corriente del estator puede ser escrita como
/ cos 0 sin / cos 0 cos 90°
Usando notación fasorial, está ultima ecuación puede escribirse como
EH E/ IE0
Donde E/ / /√2 y E0 0 /√2. De manera similar los voltajes y corrientes de fase del
estator y el rotor se escriben como
10
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
H L
EH ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
;/ I0 <
√2
;/ I0 <
√2
6M
En condiciones en estado estable, el término
en las ecuaciones 16 y 17 desaparece.
69
Sustituyendo en la ecuación 16 la ecuación 15 se tiene
/ / # 0 #3 0
0 0 # / #3 /
En forma fasorial
H EH I # EH I #3 EH EH IN EH IN3 ;EH EH <
L
23
Donde
N # #3 OPQRQRQ BP B:POó BPT PQUO
N3 #3 OPQRQRQ BP VQWPXQRó
Con el circuito del rotor cortocircuitado, / 0 0. Así en el rotor se tiene
/ 0 / ;# 0 #3 0 <
0 0 0 # / #3 / En forma fasorial
LH 0 EH IN EH IN3 ;EH EH <
24
Donde
N # #3 OPQRQRQ BP B:POó BPT OUUO
2.1.5.
Circuito Equivalente
Las ecuaciones 23 y 24 representan el funcionamiento en estado estable de la máquina de
inducción. Esas ecuaciones pueden ser representadas mediante el circuito equivalente de
la figura 6.
11
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
Pag
Rs
Xs
Xr
a
IS
Xm
Vs
Rs /s
a'
Figura 6. Circuito Equivalente de una máquina de inducción trifásica
En el circuito equivalente todas las cantidades han sido referidas al lado del estator. La
dirección de la corriente mostrada es positiva cuando se opera como motor, en este caso
el deslizamiento es positivo.
La potencia en el entrehierro del rotor es
Y 5
E
La pérdida de potencia en la resistencia del rotor es
Z E5
Por lo tanto, la potencia mecánica transferida al eje es
[ Y Z 1 5
E
El torque electromagnético desarrollado por el motor es
?@ 3[
3
Como
3 ?@ 2.1.6.
2
2
1 3 · · · E5
2 · · 25
Característica del la curva Torque - Deslizamiento
El circuito equivalente de la figura 6 puede ser simplificado reemplazando el circuito de la
izquierda de los nodos a y a’ por su equivalente Thevenin, como se muestra en la figura 7
12
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
Pag
Re
Xe
Xr
a
Ir
L@ Ve
Rs /s
@ IN@ IN3 · L
IN N3 IN3 IN IN N3 a'
Figura 7. Circuito Equivalente adecuado en la evaluación Torque - Deslizamiento
De la figura 7, la corriente del rotor es
EH LH@
@ / IN@ N 26
Reemplazando la ecuación 26 en 25
?@ 5
3 · · LH@
2 · · @ /5 N@ N 5
27
La figura 8, muestra la relación típica entre el torque y el deslizamiento. Al inicio de
operación la velocidad es cero y el deslizamiento es igual a 1 p.u. Entre cero y la velocidad
sincrónica, la máquina funciona como motor. Más alla de está velocidad, el deslizamiento
es negativo y la máquina opera como generador.
Figura 8. Característica Mecánica de la Máquina de Inducción
El torque máximo ocurre cuando
13
J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ
\]
Donde
\ ^ _@ 5 N@ N 5
Por lo tanto, el deslizamiento en p.u. en el torque máximo es
`3a \]
Reemplazando en la ecuación 27, el torque máximo es
?3a
5
5
3 · 0.5 · LH@
1 0.5 · LH@
3
2 · @ \]
3 @ \]
28
Donde 2c y 3 es la velocidad de sincronismo en radianes mecánicos por
segundo.
14