Proposiciones matemáticas

Material preparado para el curso MA-0270 Geometría I
II-2015
Proposiciones matemáticas1
1. Nociones básicas
Definición 1. Proposición o enunciado (simple): es una afirmación que es falsa o verdadera pero no
ambas.
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
5.
Luis vino a clases hoy.
Amaneció lloviendo.
5 – 8 = 3.
Leibniz es un matemático famoso.
En un triángulo isósceles todos los lados miden distinto.
La veracidad o falsedad de una proposición se llama valor de verdad. Así por ejemplo, si hoy amaneció
lloviendo, entonces el valor de verdad de la proposición (2) es verdadero, de lo contrario su valor de
verdad es falso. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas p, q, r, …
No son proposiciones o enunciados expresiones como: una orden, una pregunta o bien una expresión que
involucra variables no definidas.
Ejemplos
1.
2.
3.
4.
Debes tener listo el material para mañana.
¿Cuánto tiempo vas a estar aquí?
xy=yx
El cuadrilátero ABCD.
Definición 2. Proposición compuesta: es la combinación de dos o más proposiciones simples ligadas
mediante conectivas. Son ejemplos de conectivas y; o ; si…, entonces, etc.
Las proposiciones compuestas se denotan con letras mayúsculas P, Q, R, …
A continuación se detallarán algunas de las conectivas lógicas:
1. Negación
Negar una proposición es afirmar otra. Si p es una proposición, entonces “no p” es la negación de p.
La negación de una proposición también es posible expresarla anteponiendo la frase “es falso que” o “no
se cumple que”.
La negación de un enunciado resulta verdadera si el valor de verdad del enunciado original es falso, y la
negación de un enunciado resulta falsa si el enunciado es verdadero. Así por ejemplo:
1
Este documento está formado por extractos del libro Mora, M. y Arias, F. (2004). Elementos de Matemática Computacional
Escuela de Matemáticas, UCR. Sin embargo, se han modificado algunos ejemplos y se han agregado más ejercicios fuera de los
presentados en el libro mencionado. La enumeración de este documento, difiere con la del documento original.
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Si p: “Por dos puntos pasa una única recta”, entonces la negación de p, que se denota p, es p: “Por dos
puntos no pasa una única recta”.
Note que si p es falsa, p es verdadera. En otras palabras p y p siempre tienen valores de verdad
opuestos. Note además que para negar una proposición, se antepone el símbolo  a la letra que denota la
proposición original.
1. Si p es falso, ¿cuál es el valor de verdad de p? ________________________.
2. Conjunción
Cuando dos enunciados se combinan con la palabra “y”, el enunciado resultante se llama conjunción. Para
denotar la conjunción se utiliza el símbolo “”. Así por ejemplo si:
p: Dos rectas perpendiculares se intersecan
q: Una recta tiene punto medio
Se tendrá:

Dos rectas perpendiculares se intersecan y una recta tiene punto medio: p  q


Dos rectas perpendiculares se intersecan y una recta no tiene punto medio: p  q
Dos rectas perpendiculares no se intersecan, ni tampoco una recta tiene punto medio: p  q
El valor de verdad de una proposición de la forma p  q depende de los valores de verdad de p y de q. Una
conjunción es verdadera si ambas componentes son verdaderas y es falsa si alguna de las componentes es
falsa.
2. Si la proposición p  q resulta verdadera, ¿cuáles son los valores de p y q? ___________________
____________________________________________________________________________________.
3. Considere la proposición X: “El PQR es obtusángulo y escaleno”. Trace un triángulo PQR para el
cual X sea verdadera. Justifique su respuesta.
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4. Trace dos triángulos PRQ, para los cuales X sea falsa. Justifique su respuesta.
3. Disjunción
La proposición resultante de dos proposiciones conectadas con la palabra “o” se llama disjunción.
Debe distinguirse entre dos tipos de disjunción, la inclusiva y la exclusiva. Una disjunción inclusiva es
aquella en la que la proposición resulta verdadera si al menos una de las proposiciones involucradas es
verdadera. La proposición T: “El ABC es isósceles o es acutángulo”, es falsa sólo sí el triángulo no es ni
isósceles ni acutángulo, de lo contrario es verdadera. La disjunción inclusiva se denota con el símbolo
“”..
5. Si p  s es una proposición falsa, ¿cuáles son los valores de verdad de las proposiciones simples?
_____________________________________________________________________________________
6. Trace dos triángulos ABC distintos, para los cuales la proposición T: “El ABC es isósceles o es
acutángulo” sea falsa. Justifique su respuesta.
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7. ¿Podría trazar otro triángulo que haga falta la proposición T? Justifique.
8. Para ese mismo ejemplo, trace tres triángulos ABC distintos, para los cuales la proposición T sea
verdadera. Justifique su respuesta.
Una disjunción exclusiva es aquella en la que la proposición resulta verdadera cuando exactamente una de
las proposiciones es verdadera y la otra es falsa. Por ejemplo: E: “El A es obtuso o agudo”. La
disjunción exclusiva se denota con el símbolo “”..
9. Trace un ángulo A, de manera tal que la proposición E sea falsa. Justifique su respuesta.
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EJERCICIOS 1
1. Determine el valor de verdad de cada proposición, según los valores de verdad dados: p: falso, q:
verdadero, r: falso.
(a) p  q
(b) (p  q)  r
(c) (p  q)
(d) p  q
2. Suponga que p  q es verdadero, proporcione los valores de verdad para:
(a) p  q
(b) p  q
(c) (p  q)
(d) p  q
(e) p  q
4. Escriba tres proposiciones simples (p, q, r) falsas. Con ellas elabore tres proposiciones compuestas
cuyos valores de verdad sean: 1. Falsa, 2. Verdadera, 3. Verdadera.
4. Condicional
Un enunciado condicional se obtiene al colocar la palabra “si” antes de la primera proposición y la palabra
“entonces” antes de la segunda. La proposición que se encuentra entre el “si” y el “entonces” se llama
antecedente y la proposición que aparece luego del “entonces”, consecuente. Se denota pq.
Ejemplos
1. Si en un papel de tornasol azul se coloca un ácido, entonces el papel se volverá rojo.
2. Si ABC es equilátero, entonces es isósceles.
3. Si el motor está funcionando, entonces tiene combustible.
4. Si llueve, entonces hay nubes.
10. Escriba dos condicionales que se refieran a algún contenido geométrico.
1. ___________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
2. ___________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
En una proposición p  q es usual llamar a q la condición necesaria y a p la condición suficiente.
Observe:
Es suficiente que llueva para que haya nubes.
Es necesario que haya nubes para que llueva (pero no suficiente).
Es necesario que el motor tenga combustible para que trabaje (no es suficiente).
Es suficiente que el motor trabaje para saber que tiene combustible.
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Un condicional es también llamado una implicación. El antecedente implica el consecuente de manera que
el consecuente resultará verdadero, si el antecedente lo es.
Al igual que las conectivas anteriores, el valor de verdad de una implicación está determinado por los
valores de verdad de sus proposiciones simples (antecedente y consecuente). El condicional es falso
únicamente en el caso en el que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Es decir, para que p
q sea falso debe ser verdadera la proposición compuesta: p  q, puesto que p q es verdadero sólo si
p es verdadero y q es falso y es precisamente en este caso donde p  q es falso. En conclusión, la
negación de pq es p  q.
A partir de un condicional “pq”, es posible formular otros condicionales que involucran a p y a q, por
ejemplo qp. Esta proposición se llama la recíproca de pq.
11. Considere las siguientes proposiciones
t: “Si un triángulo es isósceles entonces es acutángulo”.
w: “Si dos rectas m y l son perpendiculares a otra recta, entonces las dos rectas m y l son paralelas”.
i: “Si WXYZ es un cuadrado, sus diagonales se bisecan”.
a: “Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto solamente”.
n: “Si dos ángulos son congruentes, entonces son opuestos por el vértice”.
Escriba la proposición recíproca de cada una de ellas.
Recíproca de t: ________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Recíproca de w: _______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Recíproca de i: ________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Recíproca de a: ________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Recíproca de n: ________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
12. Determine el valor de verdad de cada uno de los condicionales recíprocos enunciados en el
ejercicio anterior. Ilustre, con un ejemplo, dicho valor de verdad.
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PROPOSICIÓN
VALOR DE VERDAD
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ILUSTRACIÓN
t: “Si un triángulo es
isósceles entonces es
acutángulo”
w: “Si dos rectas m y l
son perpendiculares a
otra recta, entonces las
dos rectas m y l son
paralelas”.
i: “Si WXYZ es un
cuadrado, sus diagonales
se bisecan”.
a: “Si dos rectas
diferentes se intersecan,
su intersección contiene
un punto solamente”.
n: “Si dos ángulos son
congruentes, entonces
son opuestos por el
vértice”.
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Con respecto a los valores de verdad que toman la recíproca de una proposición, debe decirse que:
El valor de verdad de pq no determina el valor de verdad de su recíproco qp. Así por ejemplo: La
proposición “Si dos ángulos son alternos externos entre paralelas, entonces son congruentes”; es verdad
mientras que su recíproca es falsa. Sin embargo, la proposición “si un triángulo es equilátero, entonces es
equiángulo” es verdadera y su recíproca también lo es.
A partir del “pq”, también puede formularse el condicional  q p. A esta proposición se le llama
la contrapositiva de pq.
13. Considere las proposiciones enunciadas en el ejercicio 11. Escriba la contrapositiva de cada una de
ellas.
Contrapositiva de t: _____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Contrapositiva de w: ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Contrapositiva de i: _____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Contrapositiva de a: ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Contrapositiva de n: ____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
14. Determine el valor de verdad de cada una de las contrapositivas anteriores:
PROPOSICIÓN
VALOR DE VERDAD
Contrapositiva de t
Contrapositiva de w
Contrapositiva de i
Contrapositiva de a
Contrapositiva de n
15. Compare el valor de verdad de cada condicional dado en el ejercicio 12, con el valor de
verdad de su contrapositiva, ¿qué podría inducir?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
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El valor de verdad de pq determina el valor de verdad de su contrapositiva. Es decir las proposiciones
pq y qp poseen los mismos valores de verdad para los mismos valores de verdad en sus
proposiciones simples.
5. Bicondicional
La última conectiva de interés es el bicondicional, que se simboliza . Un enunciado bicondicional es la
conjunción de dos condicionales, donde el antecedente de uno es el consecuente del otro y viceversa.
Simbólicamente:
p  q  (pq)  (qp) (**)
que se lee “p sí sólo sí q es equivalente a p implica q y q implica p”.
Ejemplos
1. La proposición: “Aumentar la producción implica bajar la pobreza y bajar la pobreza implica
aumentar la producción” es equivalente a la afirmación: “Aumentar la producción sí sólo sí bajar
la pobreza”.
2. “Un triángulo es equilátero sí y sólo sí es equiángulo”.
3. a = 0  b = 0  a  b = 0; a, b  IR
Estas proposiciones pueden leerse así:
1. Aumentar la producción es necesario y suficiente para bajar la pobreza.
2. Para que un triángulo sea equilátero es necesario y suficiente que sea equiángulo.
3. Para que a  b = 0 (a, b  IR) es necesario y suficiente que a = 0 ó b = 0.
Para determinar los valores de verdad de una proposición bicondicional, debemos considerar que un
bicondicional es verdadero cuando sus dos proposiciones poseen el mismo valor de verdad, de lo contrario
es falso.
15. Identifique la forma que tiene cada una de las siguientes proposiciones
PROPOSICIÓN
FORMA
1. Si dos puntos de una recta están en un plano, la
recta está en el mismo plano.
pq
2. Un segmento tiene exactamente un punto medio.
Dos rectas son paralelas si y solo si todos los puntos
de cada recta equidistan de la otra recta.
4. El segmento más corto que une un punto a una recta
es el segmento perpendicular a la recta.
5. Dos ángulos son rectos si y solo si son a la vez
congruentes y suplementarios.
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PROPOSICIÓN
FORMA
6. Por un punto dado para una recta y solamente una,
perpendicular a un plano dado.
7. Si dos triángulos tiene la misma base b y la misma
altura h, entonces tienen áreas iguales.
8. Dos lados de un triángulo son congruentes si y
solamente si los ángulos opuestos a estos lados son
congruentes.
9. Dos rectas paralelas están exactamente en un plano.
10. Los ángulos son suplementarios si la suma de sus
medidas es 180°.
16. Reescriba los bicondicionales de la tabla anterior, utilizando la equivalencia (**), según la cual
p  q  (pq)  (qp).
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
EJERCICIOS 2
1. Si la proposición p  q es falsa, determine el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones
(a) p   q
(b)  p   q
(c) q  p
2. Proporcione los valores de verdad de h, i, k de manera que se satisfagan las siguientes tres condiciones:
h  k es falso,
¬k  i es verdadero,
i  h es verdadero
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método axiomático
2
Hace cerca de 2000 años Euclides recogió y organizó en secuencias lógicas prácticamente todos los
hechos que se conocían sobre geometría. Esta Geometría Euclidiana es solo un ejemplo de un sistema
lógico.
En un sistema lógico, un conjunto de elementos está dado, algunos de estos elementos están sin definir y
se establecen ciertos hechos o enunciados, llamados axiomas, a partir de estos términos indefinidos. La
conclusión se obtiene por razonamiento lógico a partir de estos axiomas y definiciones,, de manera que sea
posible establecer una serie de resultados siempre verdaderos que denominamos teoremas. Si una rama de
la matemática se desarrolla de esta manera, recibe el nombre de axiomática y el método empleado se
llama método axiomático.
El razonamiento juega un papel importante en la vida diaria. De hecho, de no haber sido por la capacidad
humana de razonar, es posible que no se hubiera podido avanzar mucho desde el estado primitivo. Esta
capacidad se puede ver en la capacidad del hombre de moldear su entorno de modo que satisfaga sus
necesidades. Por ejemplo, las inundaciones del Nilo y la necesidad de restablecer límites permitieron a los
antiguos egipcios desarrollar propiedades simples de triángulos rectángulos.
En general, en las investigaciones se usan muchos tipos de razonamiento. Un doctor, por ejemplo, debe
ser muy cuidadoso para diagnosticar una enfermedad específica. Debe hacer una investigación sistemática
de todos los factores que pueden influir en la enfermedad. Debe anotar todos los síntomas, aun los
triviales, sin excluir nada, hasta que haya probado que es irrelevante. El doctor clasifica, examina y
combina adecuadamente los hechos hasta que finalmente obtiene el diagnóstico que lo capacita para curar
al paciente.
Un razonamiento de esta clase es inductivo. Generalmente, para verificar una conclusión lograda por
razonamiento inductivo, el investigador hace repeticiones del experimento. Algunas veces esto toma
muchos años y de los enunciados que se obtienen sólo se puede estar más o menos seguro. El científico
puede usar leyes de probabilidad para hacer predicciones reales, pero si se encuentra una excepción debe
descartar la conclusión.
En el proceso deductivo la forma es más importante que el contenido mismo de los enunciados. No hay
diferencia en la validez de la conclusión cuando se está hablando de cohetes en la luna o del significado
físico de x y y. Las conclusiones obtenidas por un razonamiento deductivo son independientes de la
naturaleza de los elementos relacionados y están completamente desconectadas de las opiniones,
creencias, hechos, sentimientos o emociones que de cualquier manera estén relacionados con estos
elementos.
De manera introductoria, podemos trabajar los razonamientos deductivos que se derivan del método
axiomático con El acertijo del MU3.
2
Seguimos la lectura de Gómez, P & Gómez, C. (1997). Sistemas formales, informalmente. Colombia: Grupo Editorial
Iberoamérica (p. 67-68).
3
Gómez, P. (1993). Matemática Básica. Colombia: Una empresa docente.
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Como todo juego el acertijo de MU está compuesto por tres elementos: los
ingredientes (los objetos con los que se juegan), las reglas del juego y el propósito
del juego (casi siempre es… ¡ganar!)
Los ingredientes del acertijo de MU son las palabras formadas únicamente por las
letras M, U e I. El sentido de “palabra” aquí es sencillamente una hilera o sucesión
de letras. Una palabra del juego no tiene que ser una palabra con significado para
que sea aceptada. Por ejemplo, MI y MUI son palabras del juego, mientras que PAB y SOL no son
palabras del juego.
Las reglas del acertijo de MU son cinco y establecen “lo permitido” a realizar con los ingredientes del
juego. Éstas son:
R1. Toda palabra se puede triplicar.
R2. Una U se puede remplazar por II.
MI
MIMIMI
MUI
R3. Cuatros Ies seguidas se pueden eliminar.
MIII
UIIIIM
UM
MI
MUI
R5. Si en una palabra aparece IMU puede quitarse la M.
MIMUM
R4. Después de una M se puede insertar una U.
MIUM
Como usted habrá podido imaginarse, la idea es partir de una palabra y llegar a otra, aplicando las
reglas adecuadas tantas veces como sea posible. Por ejemplo, si se parte de MI, se puede llegar a MMI
con la siguiente sucesión de aplicaciones de las reglas:
MI
MIMIMI
MIMUIMI
MIUIMI
MIIIIMI
MMI
EJERCICIOS 3
1. Utilizando la notación del ejemplo, escriba el proceso que permite obtener, a partir de MI, cada una de
las siguientes palabras:
(a) MUIUIIIMUI
(b) MIM
(c) MUMI
(d) MIMUU
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