SISTEMAS LINEALES Tema 4. Análisis de Fourier para Señales y

SISTEMAS LINEALES
Tema 4. Análisis de Fourier para Señales
y Sistemas de Tiempo Continuo (Sesión
2)
18 de noviembre de 2010
F. JAVIER ACEVEDO
[email protected]
TEMA 4
Contenidos.
• Relación con la transformada de Laplace.
• Desarrollo en Serie de Fourier para señales periódicas.
• Representación de señales sinusoidales en frecuencia.
• Ecuación de síntesis.
• Ecuación de análisis.
• Condiciones de Dirichlet y propiedades del DSF.
• Ejemplos de DSF.
• Transformada de Fourier para señales en tiempo continuo.
• Ecuaciones de análisis y síntesis.
• Relación con el DSF.
• Propiedades. Relación de Parseval.
• Respuesta en frecuencia de los sistemas.
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DEL DSF A LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Supongamos una señal no periódica, como la mostrada en la figura:
x(t)
A
t
Consideremos ahora que x(t) es parte de una señal periódica:
x̃(t)
A
T0
2T0
x(t) = lim x̃(t)
T0 →∞
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t
DEL DSF A LA TRANSFORMADA DE FOURIER
La señal periódica anterior puede expandirse mediante su DSF:
x̃(t) =
∞
P
ak ejkω0 t
k=−∞
Donde los ak se pueden calcular mediante:
ak =
1
T0
R
T0
2
T
− 20
−jkωo t
x̃(t)e
dt =
1
T0
Definiendo akT0 como:
X(ω) =
R∞
R
T0
2
T
− 20
−jωt
x(t)e
−∞
−jkωo t
x(t)e
ak =
dt =
1
T0
1
T0 X(ω)|ω=kω0
R∞
−jkωo t
x(t)e
dt
−∞
=
1
T0 X(kω0 )
Por tanto, podemos poner la expresión:
x̃(t) =
∞
P
k=−∞
jkω0 t
ak e
=
∞
P
k=−∞
1
jkω0 t
X(kω
)e
0
T0
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=
1
2π
∞
P
k=−∞
X(kω0 )ejkω0 t ω0
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
x(t) = lim x̃(t)
T0 →∞
Si
x̃(t) =
1
2π
∞
P
X(kω0 )ejkω0 t ω0
k=−∞
T0 → ∞ Entonces ω0 → 0
R∞
1
Transformada inversa de Fourier o ecuación de
x(t) = 2π −∞ X(ω)ejωt dω
síntesis
X(ω) =
R∞
−jωt
x(t)e
dt
−∞
Transformada de Fourier o ecuación de análisis.
También se denomina que X(ω)es el espectro de x(t)
Por tanto, para señales no periódicas, encontramos la transformada de Fourier como
una señal continua en la frecuencia o ω
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LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Ejemplo: Calcular la transformada de Fourier de la siguiente señal.
x(t)
A
X(ω) =
τ
2
−τ
2
2A
ω sen
t
X(ω) = Aτ sinc
Podemos observar cómo para la señal
R∞
−jωt
x(t)e
dt =
−∞
¡ τ¢
sen(π ωτ
)
ω 2 = Aτ π ωτ2π
2π
¡ ωτ ¢
2π
Los ak coinciden con
A
ak =
−τ
2
τ
2
T0
t
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1
T0 X(kω0 )
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Ejemplo: Determinar la trasnformada de Fourier de δ(t)
R∞
x(t)
X(ω) = −∞ x(t)e−jωt dt =
R∞
δ(t)ejω0 dt = 1
−∞
t
X(ω) = 1
Ejemplo: Obtener la transformada inversa de la señal δ(ω − ω0 )
x(t) =
1
2π
R∞
X(ω)e
−∞
R
1 jωo t ∞
2π e
−∞
jωt
dω =
δ(ω − ω0 )dω =
1
2π
R∞
jw0 t
δ(w
−
w
)e
dω =
0
−∞
1 jωo t
2π e
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TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS
Ejemplo: Determinar la trasnformada inversa de Fourier de la señal:
X(ω)
X(ω) = 2π [δ(ω + ω0 ) + δ(ω) + δ(ω − ω0 )]
−ω0
x(t) =
x(t) =
R
∞
1
2π −∞ 2π [δ(ω
k=1
P jkω0 t
e
A partir de este resultado, la transformada inversa de
X(ω) = 2π
∞
P
k=−∞
x(t) =
ω
+ ω0 ) + δ(ω) + δ(ω − ω0 )] ejωt dt = e−jω0 t + e0 + ejω0 t
k=−1
será:
ω0
∞
P
ak δ(ω − kω0 )
ak ejkω0 t
k=−∞
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TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS
Del resultado anterior se deduce que la transformada de Fourier de una señal periódica
es un tren de deltas ponderadas por los coeficientes del DSF (y un término de 2π) y
situadas en los múltiplos del primer armónico
X(ω) = 2π
∞
P
k=−∞
x(t)
ak δ(ω − kω0 )
2πa−3 2πa−2 2πa−1 2πa0 2πa1 2πa 2πa
3
2
A
−τ
2
X(ω)
τ
2
−3ω0 −2ω0 −ω0
t
T0
ω0
2ω0
3ω0
X(ω)
−3ω0
−ω0
ω0
2ω0
−2ω0
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3ω0
ω
ω
TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS
Señales Periódicas
ak =
x(t) =
1
T0
RDSF
−jkωo t
x(t)e
dt
T0
∞
P
ak ejkω0 t
k=−∞
Señales Aperiódicas.
R∞
−jωt
x(t)e
dt
−∞
R∞
1
x(t) = 2π −∞ X(ω)ejωt dω
X(ω) =
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X(ω) = 2π
∞
P
k=−∞
ak δ(ω − ω0 )
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Dado que la T. de Fourier se puede considerar una particularización de la T. de
Laplace para s=jω muchas de las propiedades demostradas en el anterior tema se
vuelven a cumplir:
1) Linealidad:
x1 (t) → X1 (ω)
x2 (t) → X2 (ω)
x3 (t) = → X3 (ω) = αX1 (ω) + βX2 (ω)
αx1 (t) + βx2 (t)
Ejemplo: Calcular la transformada de la señal
x(t)
2
−1
−1
2
1
2
X(ω) =
1
t
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
2) Desplazamiento en el tiempo.
x1 (t) → X1 (ω)
x1 (t − t0 ) → X1 (ω)e−jωt0
Ejemplo: Calcular y representar la transformada de la siguiente señal
x(t)
1
X(ω) = 2sinc( ωπ )e−jω
2
|X(ω)|
t
ϕX(ω)
2
15
10
1.5
5
1
0
0.5
-5
0
-0.5
-15
-10
-10
-5
0
5
10
15
-15
-15
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-10
-5
0
5
10
15
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
3) Desplazamiento en la frecuencia.x1 (t) → X1 (ω)
x1 (t)ejω0 t → X1 (ω − ω0 )
4) Escalado en tiempo y en frecuencia
x1 (t) → X1 (ω)
x1 (at) →
1
ω
X
(
1
|a|
a)
Ejemplo: Comprobar las tranformadas de las siguientes señales.
4
3.5
3
x(t)
A
X(ω) =
2.5
2
1.5
1
−2
2
0.5
t
0
-0.5
-1
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
2
x(t)
A
−1
1
1.5
X(ω) =
1
0.5
t
0
-0.5
-15
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
5) Simetría conjugada:
x1 (t) → X1 (ω)
x∗1 (t) → X1∗ (−ω)
Esta propiedad tiene conclusiones importantes:
∗
Si x(t) es real, x(t) = x (t)
∗
X(ω) = X (−ω)
|X(w)| = |X(−ω)|
ϕX(ω) = −ϕX(−ω)
Para señales reales en el tiempo el módulo del espectro tiene simetría par y la fase
tiene simetría impar.
Si x(t) es real y par
X(ω) es real con simetría par.
Si x(t) es real e impar
X(ω) es imaginaria pura e impar.
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
6) Convolución en el tiempo:
x1 (t) ∗ x2 (t) → X1 (ω)X2 (ω)
Ejemplo: Calcular la transformada de la siguiente señal.
x(t)
Sabemos que la señal anterior se puede
expresar como la convolución de
A
−τ
τ$
xs (t)
B
t
2
$
−τ
2
τ
2
t
2
A=
2 B τ
$
$
x(t) = xs (t) ∗ xs (t)
2 ωτ
)
=
Aτ
sinc
( 2π )
X(ω) = Xs (ω)Xs (ω) = B 2 τ 2 sinc2 ( ωτ
2π
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∗
xs (t)
B
−τ
2
τ
2
t
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
7) Multiplicación en el tiempo:
x1 (t)x2 (t) →
1
2π X1 (ω)
∗ X2 (ω)
Ejemplo: De una señal x(t) conocemos su espectro. Obtener la representación del
espectro a la salida del siguiente sistema
X(ω)
2
−10
x(t)
10
y(t)
x2 (t)
t
p1 (t) = cos(15t)
p2 (t) = cos(5t)
x2 (t) = x(t)p1 (t) → X2 (ω) =
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1
2π X(ω)
∗ P1 (ω)
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Calculamos la transformada de Fourier de la señal x(t) = cos(w1 t)
∞
P
Como es una señal periódica: X(ω) = 2π
k=−∞
a±1 =
Siendo los ak (Tablas)
1
2
ak δ(ω − ω0 )
(resto de ak son cero)
P1 (ω) = π [δ(ω − 15) + δ(ω + 15)]
X2 (ω) =
1
2π X(ω)
∗ P1 (ω) =
1
2π X(ω)π [δ(ω
− 15) + δ(ω + 15)] =
X2 (ω) = 12 X(ω − 15) + 12 X(ω + 15)
P1 (ω)
X(ω)
π
2
−10
t
10
−15
X2 (ω)
1
−15
1
15 t
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π
15
t
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
y(t)
Recordamos el sistema: x2 (t)
p2 (t) = cos(5t)
P2 (ω)
X2 (ω)
1
1
−15
15
t
π
π
−5
5
t
Y (ω)
1
2
−20
−10
10
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20
t
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
8) Dualidad
x(t) → X(ω)
X(t) → 2πx(−ω)
Gráficamente con un ejemplo:
x1 (t)
X1 (ω)
B
F
A
t
ω
B x2 (t)
X2 (ω)
F
t
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A
t
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Ejemplos: Calcular la T. de Fourier de las siguientes señales
⎛ t ⎞
x(t ) = sinc 2 ⎜
⎟
⎝ 2π ⎠
x(t )=
⎛t
sinc ⎜
π
⎝π
x(t ) =
⎛ t
sinc 2 ⎜
π
⎝ 2π
1
1
⎞ 2
⎛ 2t ⎞
+
sinc
⎟
⎜ ⎟
⎠ π
⎝π ⎠
⎞
⎟ cos ( 3t )
⎠
Calcule la T. Inversa de la señal que tiene el siguiente espectro:
4
X (ω )
2
-4
-2
2
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4