b - de la UVa

Síntesis y Caracterización
Estructural de los Materiales
Ángel Carmelo Prieto Colorado
Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía.
Facultad de Ciencias.
Universidad de Valladolid.
Tema 7
Propiedades de la Red
Elementos geométricos de la red
Notación de los elementos geométricos de la red
Coeficientes de Weiss
Índices de Miller
Zonas cristalográficas
Ejes de zona
Espaciado reticular
Densidad reticular
Red recíproca
Parámetros recíprocos
Propiedades de la red recíproca
Zonas de Dirichlet y Brillouin
©A. Carmelo Prieto Colorado
Red de nudos monodimensional
ā
T= u ā
u
{Z}
T= Traslación primaria o periodo de traslación
©A. Carmelo Prieto Colorado
Red de nudos bidimensional
x = (3/2)b´
b´
b
1
5
a
a´
2
3
4
T = u a + v b; (u, v)
{Z}
©A. Carmelo Prieto Colorado
Vectores primitivos y múltiples
b
c
a
x
x = (½)a + (½)b
Los pares de vectores “ac” y “bc” son vectores primitivos y
definen celdas primitivas (permiten definir todos los nodos
de la red mediante el conjunto {T}).
El pares de vectores “ab” son vectores múltiples (a efectos
de la red, no definen todos los nodos de la red mediante en
conjunto {T}) y definen celdas múltiples.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Red de nudos tridimensional
c
b
α
β
γ
a
T = u a + v b + w c; (u, v, w)
{Z}
©A. Carmelo Prieto Colorado
Sistema axial bi y tridimensional
z
b
γ
c
y
a
α
β
a
γ
b
y
x
2D
x
3D
©A. Carmelo Prieto Colorado
Red Espacial de Bravais
t2
t1
La red espacial permite
expresar la Periodicidad
que posee la estructura
de un cristal.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Propiedades de la Red
t9
t8
t7
t6
t2
t1
t4
t5
t3
t10
Homogeneidad, Anisotropía y Simetría
©A. Carmelo Prieto Colorado
Propiedades de la Red
Toda propiedad en un medio cristalino es invariante
para una traslación definida: T = u a + v b + w c
(u, v, w)
{Z} (a,b,c: vectores fundamentales)
Homogeneidad
En una red todos los nudos son idénticos y la distribucion de nudos
alrededor de uno cualquiera de ellos es la misma, permitiendo definir la
red como un conjunto de nudos homogeneos.
Anisotropía
Las distancias entre nudos no son constantes, si no que dependen de la
dirección y de acuerdo con el postulado reticular, las propiedades físicas de
los cristales dependen de la dirección. Estas propiedades, dependientes de
la dirección se denominan anisótropas y al fenómeno anisotropía.
Simetría.
Es la propiedad por la cual a un nudo se le hace coincidir con sus
homólogos. Las traslaciones son operaciones que hacen coincidir los
nudos con sus homólogos, siendo las operaciones de simetría más
sencillas. Por tanto, la red es simétrica y el cristal representado también.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular
Nudos reticulares: “uvw”
“uvw” simboliza un nodo de coordenadas x=ua, y=vb y z=wc, donde a, b y
c, son los parámetros reticulares.
Filas reticulares: [uvw] o <uvw>
[uvw] simboliza cualquier fila reticular paralela a la fila definida por el
nodo origen “000” y donde “uvw”, siendo este el nudo más próximo al
origen en la direccion de la fila reticular considerada.
T = n(u a + v b + w c); n
{Z}
t = u a + v b + w c Vector traslación
-u-v-w
000
uvw
nunvnw
Dos nudos distintos de la red (uvw) y (u´v´w´), definen una fila reticular que
contiene al vector definido por ambos nudos.
t = (u -u´)a +( v-v´) b + (w-w´) c &
Los indices de WEISS serian: [ (u -u´)( v-v´)(w-w´)], números primos entre sí.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Indices de WEISS, [uvw]
t1,t2,t3 y t4, filas reticulares diferentes constituidas por nti y sus paralelas.
Su vector de translación será: t = ua + vb + wc.
Sus indices reticulares o de WEISS seran: [uvw]
b
t2
γ
a
t4
t3
t1
t1 = 1a + 0b + 0c&
&
&
&
[100]
t2 = 0a + 1b + 0c&
&
&
&
[010]
t3 = 1a + 1b + 0c&
&
&
&
[110]
t4= 1a + 4b + 0c&
&
&
&
[140]
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Indices de WEISS, [uvw]
Z
c
T = n (ua + vb + wc)
n=1 ⇒ Indices de WEISS
t3
t5
a t
1
t4
b
t2
t1 = 1a + 0b + 0c&
[100]
t2 = 0a + 1b + 0c&
[010]
t3 = 0a + 0b + 1c&
[001]
t4= 1a + 1b + 0c&
[110]
t5= 1a + 1b + 1c&
[111]
Y
X
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Indices de WEISS, [uvw]
Z
T = n (ua + vb + wc)
n=1 ⇒ Indices de WEISS
c
b
Y
a
t6 = 1a + 1b -1c&
[11-1]
X
t6
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Filas Fundamentales
t1 y t2, son filas reticulares o ejes fundamentales.
Contienen las translaciones fundamentales de la red, es decir, de las infinitas
posibles las de periodo de translación más pequeño.
Se utilizan como sistema de ejes referencia cristalográfico.
Definen un paralelogramo (2D) o paralelepípedo (3D) denominado celda
fundamental.
t2
b
γ
a
t1
[100], la paralela al parámetro fundamental “a”. Eje X.
[010], la paralela al parámetro fundamental “b”. Eje Y.
[001], la paralela al parámetro fundamental “c”. Eje Z.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular:
Filas Reticulares Limítrofes y Conjugadas
Son filas Limítrofes cuando todos los vectores que se pueden formar,
teniendo como nudos de diferentes filas reticulares, son vectores translación.
Son filas Conjugadas cuando sus vectores translacion y sus múltiplos enteros
sumados determinan todos los nudos del plano definido por ambas filas.
t2
b
γ
a
t1
t´2
t´1
t1 y t´1 ; t2 y t´2 son filas limítrofes.
t1 y t2 ; t1 y t´2; t´1 y t2; t´1 y t´2 son filas conjugadas.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Planos reticulares
Z
c
b
Y
a
X
Un plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas.
En la red tridimensional existen tres planos fundamentales.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Indices de Weiss (HKL)
MNP: es el primer plano que intersecta en nudos a los
ejes fundamentales.
Z
M=H*a = 1a; N=K*b = 3b; P=L*c = 1c
La ecuación canónica del plano en función de los ejes
fundamentales a, b, c (x, y, z), es.
c
P=L*c
€
a
M=H*a
x0
y 0 z0
+
+
=1
Ha Kb Lc
x 0 y 0 z0
+
+ =1
1a 3b 1c
N=K*b
b
€
Y
Existen Np planos paralelos de la familia HKL situados
entre el origen y el plano MNP iguales al mcm de HKL:
Np = H*K*L = 1*3*1 = 3
X
(HKL), se les denomina indices de Weiss de planos reticulares.
Esta notación no suele ser utilizada para definir planos reticulares.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Indices de Miller (hkl)
La ecuación canónica del
plano más cercano al origen es:
Z
c
P=L*c
Np
Np
Np
= h;
= k;
=l
€
H
K
L
N p .x N p .y N p .z
+
+
=1
Ha
Kb
Lc
x
y
z
h + k + l =1
a
b
c
3
3
3
= h = 3; = k = 1; = l = 3
1
3
1
€
b
€
N=K*b
Y
a
€
M=H*a
(hkl) = (313)
X
(hkl), se les denomina Indices de Miller y representan
a todos sus planos paralelos los cuales en conjunto
constituyen una familia de planos reticulares {hkl}.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Indices de Miller (hkl)
Z
Los indices de Miller, (hkl), son tres
números enteros primos ente si, e
inversamente proporcionales a las
distancias de intersección del plano con
los ejes fundamentales, xyz. Indican el
número de planos paralelos de la
familia que existen entre dos nodos
consecutivos separados por las
translaciones fundamentales a, b y c,
respectivamente.
c
b
Y
a
x
(hkl) = (320)
z
2a
3b
∞c
corte
inverso a/2a b/3b c/
La familia de planos (hkl) más
cercanos al origen corta a los ejes
fundamentales x, y, z en a/h; b/k y c/l.
X
y
1/2
1/3
∝c
0
h,k,l∈{Z}
I. Miller
3
2
0
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Indices de Miller (hkl)
Deducir las intersecciones o puntos de
corte con los ejes cristalográficos x.y, z.
Contar el número de translaciones
fundamentales a, b, c.
Invertir los valores de corte y reducir las
fracciones a números enteros (+ ó -).
Los Indices de Miller se expresan entre
paréntesis (hkl) y entre llaves {hkl}
re p re s e n t a n a l co n j u n to d e p l a n os
homólogos o familia de planos paralelos.
Z
c
b
a
corte
Y
inverso
x
y
z
2a
2b
3c
a/2a
1/2
b/2b
1/2
c/3c
1/3
h,k,l∈{Z}
X
(hkl) = (332)
reducir
I. Miller
3/6
3/6
2/6
3
3
2
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Indices de Miller (hkl)
Z
x
y
z
4a
2b
2c
corte
(hkl) = (122)
inverso a/4a b/2b c/2c
(hkl) = (112)
1/4
1/2
1/2
h,k,l∈{Z}
c
reducir
I. Miller
b
a
corte
inverso
1/4
2/4
2/4
1
2
2
x
y
z
4a
4b
2c
a/4a
b/4b
c/2c
1/4
1/4
1/2
Y
h,k,l∈{Z}
X
reducir
I. Miller
1/4
1/4
1
1
2/4
2
©A. Carmelo Prieto Colorado
Notación Reticular: Planos fundamentales
Z
(hkl) = (100)
(0
10
)
c
kl
)=
b
(h
Y
a
(hkl) = (001)
X
Los planos fundamentales son los planos reticulares
generados por dos filas fundamentales conjugadas.
En la red tridimensional existen tres planos fundamentales.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Distancia interplanar: dhkl
b
(110)
a
dhkl
El espaciado interplanar dhkl,
puede ser determinado de modo
experimental
mediante
d i f r a c c i ó n d e r a yo s X ,
electrones y neutrones.
Cada red tiene unas relaciones
paramétricas, por tanto
existirán relaciones especificas
entre los parametros reticulares
y las distancias interplanares,
para cada tipo de red.
El espaciado interplanar dhkl, es una invariante de red.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Distancia interplanar: dhkl
b
b
a
a
dhkl
dhkl
(110)
(110)
Relación del espaciado interplanar d(110), en redes con celda
fundamental primitiva y celda multiple centrada en las caras.
©A. Carmelo Prieto Colorado
a
b
h = ;k = ;
x
y
Distancia interplanar 2D: dhk
y
γ
(hk0)
dhk
b
senα senβ senγ
=
=
x
y
z
α
z 2 = x 2 + y 2 − 2xy cos γ
z
β
x
a
Las lineas reticulares (hk0) cortan a los ejes
€
fundamentales de la red en (x0) y (oy), donde x,y<1.
€
dhk 1
x
senβ =
;
=
x senβ dhk
senβ senγ
y
1
z
=
;senβ = senγ ;
=
y
z
z
senβ ysenγ
1
z
1
z2
=
⇒ 2 = 2 2 2
€ dhk xysenγ
d hk x y sen γ
1
€
d 2 hk
x 2 + y 2 − 2xy cos γ
=
x 2 y 2 sen 2γ
2
2
h
k
2hk cos γ
1
1
1
2 cos γ
= 2 2 + 2 2 −
⇒ 2 = 2 2 + 2 2 −
2
2
2
€
d hk a sen γ b sen γ absen γ
d hk x sen γ y sen γ xysen γ
1
€
©A. Carmelo Prieto Colorado
Espaciado interplanar 3D: dhkl
1
d 2 hkl
1
=
*
2
2
2
1− cos α − cos β − cos γ − 2 cosα cos β cos γ
2
2
⎧ h 2
k
l
2kl
2
2
2
* ⎨ 2 sen α + 2 sen β + 2 sen γ +
(cos β cos γ − cosα ) +
bc
b
c
⎩ a
€
c
€
⎫
2hk
2hl
(cosα cos β − cos γ )⎬
+
(cos γ cosα − cos β ) +
⎭
ac
ab
€
b
α
β
γ
a = b = c;
α = β = γ =90º
€
a
€
€
⇒
1
d 2 hkl
2
2
2
h +k +l
a
=
⇔ d hkl =
2
2
2
2
a
h +k +l
©A. Carmelo Prieto Colorado
Densidades reticulares
Las filas, planos y celdas reticulares no poseen el mismo
número de nudos por unidad de longitud, superficie o
volumen.
Densidad reticular lineal: Contenido de nudos por unidad de longitud.
ρ<uvw> = 1 / [t<uvw>]
Densidad reticular planar: Contenido de nudos por unidad de superficie.
ρ(hkl) = 1 / [S(hkl)] = d(hkl) / Vabc
Densidad reticular espacial: Contenido de nudos por unidad de volumen.
ρ(abc) = 1 / Vabc ; Vabc = S(hkl) . d(hkl)
ρ(abc) = d(hkl) / S(hkl)
Del conjunto de planos y filas reticulares de un sólido cristalino, planos y
filas fundamentales son los de mayor densidad reticular.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Densidades reticulares
Densidad reticular lineal: Contenido de nudos por unidad de longitud.
ρ<uvw> = 1 / [t<uvw>]
c
b
b
[-110]
ρ [ 010]
[010]
1 1 1
= ( 2) =
2 b b
[010]
a
€
[-110]
2
2
1/2
(a +b )
1
1
2
ρ [ 1 10] = ( 2 + 1)
=
2
2
2
2
2
a +b
a +b
©A. Carmelo Prieto Colorado
Densidades reticulares
Densidad reticular planar: Contenido de nudos por unidad de superficie.
ρ(hkl) = 1 / [S(hkl)] = d(hkl) / Vabc
(111)
2 1/
2 ]+c }
2 +(b/2)
/2)
{[(a
c
c
b
2
a
(100)
ρ (100) =
ρ (111) =
1
S (100)
1
S (111)
(100)
b
1/2
2
2 +b )
(a
1
1
2
= ( 4 + 1).
=
4
c.b c.b
1
1
= ( 4 + 4 + 1).
4
2
1
6
=
2
2
2
2
2
a 2 b 2 2
(a
+
b
)(a
+
b
+
4c
)
2
2
(a + b ). ( ) + ( ) + c
2
2
©A. Carmelo Prieto Colorado
Densidades reticulares
Densidad reticular espacial: Contenido de nudos por unidad de volumen.
ρ(abc) = 1 / Vabc ; Vabc = S(hkl) . d(hkl)
c
ρ(abc) = d(hkl) / S(hkl)
b
a
ρ (abc) =
1
V(abc)
1
1
1
4
= ( 8 + 6).
=
8
2 a.b.c a.b.c
©A. Carmelo Prieto Colorado
Zona y eje de zona
Zona: Un grupo de planos están situados en la misma zona si
todos son paralelos a una dirección común [UVW], siendo
denominada dicha fila reticular Eje de Zona.
[UVW]
c
(hkl) = (-100)
(hkl) = (001)
[010]
b
a
(hkl) = (100)
(hkl) = (00-1)
©A. Carmelo Prieto Colorado
Ley de Zona o de Weiss
En cualquier sistema cristalográfico la condición de que un
plano (hkl) sea paralelo a una dirección [UVW], implica que
〈UVW〉.(hkl) = ⎜UVW⎟.⎜(hkl)⎢.cos90º = 0
Ley de Zona o de Weiss: (hkl).(UVW)=hU + kV + lW = 0
Si dos planos (hkl) y (h´k´l´) se encuentran en la misma zona se cumplirá que:
hU + kV + lW = 0; hʹ′U + kʹ′V + lʹ′W = 0
(Los vectores asociados a los planos (hkl) y (h´k´l´) forman un plano
perpendicular a [UVW], luego el producto vectorial de los tres será nulo
y permite
€resolver ambas ecuaciones matriciálmente y determinar UVW:
⎡U V W ⎤
⎧ U = klʹ′− lkʹ′
⎪
⎢
⎥
⎢ h k l ⎥ = 0 ⇒ ⎨−V = hlʹ′− lhʹ′
⎪W = hkʹ′− khʹ′
⎢⎣ hʹ′ kʹ′ lʹ′ ⎥⎦
⎩
Los planos (111) y (212) se
encuentran en la zona [10-1],
dado que:
€
⎡U V W ⎤
⎧ U = 1.2 − 1.1 = 1
−
−
⎪
⎢
⎥
⎢ 1 1 1 ⎥ = 0 ⇒ ⎨−V = 1.2 − 1.2 = 0 ⇔ 101 ≡ 1 01
⎪W = 1.1− 1.2 = −1
⎢⎣ 2 1 2 ⎥⎦
⎩
©A. Carmelo Prieto Colorado
Ley de Zona o de Weiss
Ley de Zona o de Weiss: hU + kV + lW = 0
Igualmente dos filas reticulares conjugadas, [UVW] y [U´V´W´] definen un
plano de indices de Miller (hkl) dado que:
hU + kV + lW = 0; hUʹ′ + kV ʹ′ + lWʹ′ = 0
Se resuelven ambas ecuaciones matriciálmente y determinaremos (hkl):
€
⎡ h k
⎧ h = VWʹ′− WV ʹ′
l ⎤
⎪
⎢
⎥
U
V
W
=
0
⇒
−k
=
UWʹ′−
WUʹ′
⎨
⎢
⎥
⎪ l = UV ʹ′− VUʹ′
⎢⎣Uʹ′ V ʹ′ Wʹ′⎥⎦
⎩
€ y <102> definen el
Las filas <111>
plano de indices de Miller (-211),
dado que:
⎡ h k l ⎤
⎧ h = 1.2 − 1.0 = 2
⎪
⎛ − − ⎞ ⎛ − ⎞
⎢
⎥
⎢ 1 1 1⎥ = 0 ⇒ ⎨−k = 1.2 − 1.1 = −1 ⇔ ⎜⎝211⎟⎠ ≡ ⎜⎝ 2 11⎟⎠
⎪ l = 1.0 − 1.1 = −1
⎢⎣ 1 0 2⎥⎦
⎩
©A. Carmelo Prieto Colorado
€
€
Ley de Zona o de Weiss
Ley de Zona o de Weiss: hU + kV + lW = 0
Tres planos de indices de Miller (hkl), (h´k´l) y (h”k”l”) están en zona si son
paralelos a una misma fila reticular de indices <UVW>:
hU + kV + lW = 0; hʹ′U + kʹ′V + lʹ′W = 0; hʹ′ʹ′U + kʹ′ʹ′V + lʹ′ʹ′W = 0
⎡ h k l ⎤
Esta condición se cumple
⎢
⎥
cuando el determinante de
hʹ′
kʹ′
lʹ′
=
0
⎢
⎥
I. de Miller (hkl) es nulo.
⎢⎣ hʹ′ʹ′ kʹ′ʹ′ lʹ′ʹ′⎥⎦
Tres filas de indices de Weiss <UVW>), <U´V´W´> y <U”V”W”> están
contenidas en un plano (hkl) si:
€ = 0; hUʹ′ʹ′ + kV ʹ′ʹ′ + lWʹ′ʹ′ = 0
hU + kV + lW = 0; hUʹ′ + kV ʹ′ + lWʹ′
Esta condición se cumple
cuando el determinante de
I. de Weiss <UVW> es nulo.
⎡ U V W ⎤
⎢
⎥
⎢ Uʹ′ V ʹ′ Wʹ′ ⎥ = 0
⎢⎣Uʹ′ʹ′ V ʹ′ʹ′ Wʹ′ʹ′⎥⎦
©A. Carmelo Prieto Colorado
Ley de Zona o de Weiss
Ley de Zona o de Weiss: hU + kV + lW = 0
Dos filas de indices de Weiss <UVW> y <U´V´W´> están contenidas en el
plano de Indices de Miller (hkl), si pertenece dicho plano a dos zonas a la vez:
h
V W
V ʹ′ Wʹ′
=
k
W U
Wʹ′ Uʹ′
=
l
U V
Uʹ′ V ʹ′
€
©A. Carmelo Prieto Colorado
Parámetros reticulares bi y tridimensional
b
γ
z
y
c
a
β
x


a; b; γˆ
γˆ =< 100 > ∧ < 010 >
a
x
α
γ
b
y

 
ˆ
a; b; c;αˆ ; β; γˆ .
αˆ = (010) ∧ (001)
βˆ = (100) ∧ (001)
γˆ = (100) ∧ (010)
©A. Carmelo Prieto Colorado
Redes Bidimensionales: 2D
Solo existen cinco posibilidades de combinar a;b; γ de modo que se recubra el
espacio bidimensional, sin dejar huecos según T = ua + vb.
b
a
b
b
γ
a
a ≠ b; γ ≠ 90º
Red Oblicua
γ
γ
a
a ≠ b; γ = 90º
Red Rectangular
a = b; γ = 90º
Red Cuadrada
b
a
γ
γ
b
a
a = b; γ ≠ 60º, 90º, 120º
Red Rómbica
a = b; γ = 60º ó 120º
Red Hexagonal
©A. Carmelo Prieto Colorado
Redes Bidimensionales: 2D
La red Rómbica (primitiva, a = b; γ ≠ 60º, 90º, 120º) puede expresarse
mediante una red Rectangular múltiple: Red Rectangular Centrada.
a
γ
b
γ´
b´
a´
[Cosγ] = b / 2a
a´ ≠ b´; γ´= 90º
Red Rectangular Centrada
©A. Carmelo Prieto Colorado
Redes Bidimensionales: 2D
Cinco tipos de celdas bidimensionales (cuatro primitivas y una múltiple
centrada) con cuatro tipos de sistemas de ejes reticulares (sistemas
cristalinos 2D) , sin dejar huecos según T = ua + vb.
b
a
b
γ
a
a ≠ b; γ ≠ 90º
Red Oblicua
b
γ
a
a ≠ b; γ = 90º
Red Rectangular
γ
a ≠ b; γ = 90º
Red Rectangular Centrada
b
γ
b
γ
a
a = b; γ = 90º
Red Cuadrada
a
a = b; γ = 60º ó 120º
Red Hexagonal
©A. Carmelo Prieto Colorado
Red Recíproca
Z
P.P. Ewald (1921). Dada una Red Directa o de Bravais,
se puede construir una Red Reciproca ó Polar.
C
P(hkl)
c/l
ε
ABC: Plano de la familia (hkl) más cercano
al origen, con espaciado dhkl.
P(hkl): Vector normal al plano (hkl).
N
σ(hkl)
OPhkl
B
Y
O
b/k
A
X
“hkl”:& Punto del espacio recíproco.
“σhkl”:
Vector recíproco.
l)
k
h
(
a/h
⎧ 1
⎪
cte. cte.
=
=
= σ hkl ; cte. : ⎨ λ
ON d hkl
⎪cte.
⎩
€
Phkl: integra las dos propiedades características del plano (hkl).
&
1. La distancia del punto recíproco al origen, ⎜σhkl⎟ es una
magnitud inversamente proporcional al valor del espaciado
interplanar dhkl de la familia de planos (hkl).
&
2. La dirección del vector σhkl
expresa la orientación de
los planos (hkl) respecto de los ejes cristalográficos xyz.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Red Recíproca
A partir de una Red Directa se puede construir su Red Recíproca en la cual el
complejo sistema de planos del espacio directo pueda ser sustituido por un
conjunto equivalente de puntos, mucho más sencillo, en un Espacio Recíproco.
Cada punto recíproco “hkl” tiene dos propiedades características:
Esta situado sobre el vector recíproco σhkl perpendicular al plano (hkl)
del retículo directo.
Esta situado a una distancia igual al modulo del vector recíproco ⎜σhkl⎟,
por tanto es igual al inverso del espaciado reticular (1/dhkl) de los planos
(hkl) del retículo directo.
Un Difractograma de Rayos X (DRX), presenta una imagen más o menos
distorsionada de la Red Recíproca ó Polar.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Red Recíproca
b
1
d110
a
€
X
1
d 220
Y
(hkl): No tienen porque ser
primos entre sí, y la familia de
planos se puede definir como n
(hkl) y sus espaciados dn(hkl)=d
(hkl)/n. Los puntos recíprocos de
la familia de planos (hkl) estarán
s i t u a d o s s o b re e l v e c t o r
perpendicular σhkl, y espaciados
1
d 330
1/d hkl ; 1/2d hkl ; 1/3d hkl .....e
dando lugar a la fila reticular
reciproca de puntos “hkl”.
x
d110
d220
1a
corte
n”110” inverso a/1a
I. Miller
n(110)
La familia de planos de la red directa {hkl}
se puede definir como una fila reticular de
puntos “hkl” en la red recíproca .
corte
inverso
I. Miller
1
a/2
2a/a
2
y
z
1
∞c
b/1b
1
b/2
2b/b
2
c/
∝c
0
∞c
c/
∝c
0
©A. Carmelo Prieto Colorado
Parámetros de la Red Recíproca
z
(001)
(100)
β
a
x
α
γ
c*
(0
10
)
c
z
b
b*
α*
β*
γ*
a*
y
x


1
a * ⊥(100); a * =
d100


1
b * ⊥(010); €
b* =
d 010
1


c * ⊥(001); c * =
d 001
y
  
a*; b*; c*;αˆ *; βˆ *; γˆ *
©A. Carmelo Prieto Colorado
Construcción de la Red Recíproca
(010)
)
10
d (0
b
d(100)
(100)
a
Y
b*
γ
010
γ*
a*
100
020
110
030
200
120
x
210
X*


1
a * ⊥(100); a * =
d100


1
b * ⊥(010); b * =
d 010
1


c * ⊥(001); c * =
d 001
Y*
Los índices (hkl) de un plano se identifican
€“hkl” en la red recíproca .
con los puntos
©A. Carmelo Prieto Colorado
Vectores de la Red Recíproca


1
a * ⊥(100); a * =
d100


1
b * ⊥(010); b * =
d 010
1


c * ⊥(001); c * =
d 001
x
z
σ*
hkl
c*
b*
α*
β*
γ*
a*
y
  
a*; b*; c*;αˆ *; βˆ *; γˆ *


1
a * = σ 100 =
d100


1
b * = σ 010 =
d 010
1


c * = σ 001 =
d 001
σ* = ha* + kb* + lc*
Espacio recíproco {G}={
€ σ*}
Periodicidad: Anisotropía y Simetría
€
©A. Carmelo Prieto Colorado
Relaciones de parámetros Red Recíproca & Red Directa
Redes con parámetros fundamentales ortonormales
b
γ b*
γ*
a*
a
Y
Y*


1 

1
a * ⊥(100); a * =
; a = d100 ⇒ a * = 
d100
a



1 
1
b * ⊥(010); b * =
; b = d 010 ⇒ b * = 
d 010
b
1 
1



c * ⊥(001); c * =
; c = d 001 ⇒ c * = 
d 001
c
x
€
α = β = γ = α * = β* = γ * = 90º
X*
©A. Carmelo Prieto Colorado
Relaciones de parámetros Red Recíproca & Red Directa
Redes con celdas Hexagonales
30º
a*
a
d(100)
(100)
α = β = α * = β* = 90º
30º
γ=120º
γ*=60º
b*
d(010)
010
b
€
€
X*
Y*
d (100) = d (010) = a cos 30º = b cos 30º


1

1
2
a * ⊥(100); a * =
;⇒ a * = 
=
d100
a cos 30º a 3


1 
1
2
b * ⊥(010); b * =
; b* = 
=
d 010
b cos 30º b 3
1 
1



c * ⊥(001); c * =
; c = d 001 ⇒ c * = 
d 001
c
Los parámetros a* y b* son perpendiculares b y a respectivamente, y se
desplazaran en (001) un valor angular de 120º-90º=30º, para hacerlos coincidir
con las direcciones perpendiculares
€ a (100) y (010). Por tanto:
γ*=120º- 2x30º=60º
©A. Carmelo Prieto Colorado
Relaciones de parámetros Red Recíproca & Red Directa
Redes con celdas Oblicuas
α = γ = α * = γ * = 90º
d(100)
(100)
β*
b*
(0
01
)
β-90º
β-
β
)
01
d (0
a
90
º
c
€
a*
Z*
X*
β* = β − 2(β − 90º ) = 180 − β
d (100) = asenβ; d (001) = csenβ


1

1
a * ⊥(100); a * =
;⇒ a * = 
d100
a senβ
€


1 
1
c * ⊥(001); c * =
; c* = 
d 010
c senβ



1 
1
b * ⊥(010); b * =
; b = d 010 ⇒ b * = 
d 010
b
Los ejes c y a forman entre si un ángulo β≠90º, y se desplazaran en (010) un valor
angular de β-90º, para hacerlos coincidir con las direcciones perpendiculares a
(100) y (001). Por tanto, a* y c* €
formarán en (010) un ángulo β* = 180º-β
©A. Carmelo Prieto Colorado
Red Recíproca
La red recíproca presenta las siguientes características:
El conjunto de puntos del espacio recíproco constituye una red con
idénticas características de anisotropía y simetría que las de la red directa
de la que han sido derivados, pudiendo ser referidos al mismo tipo de ejes
cristalográficos de referencia.
Los parámetros a*, b* y c* de la celdilla recíproca, son perpendiculares a
los planos (h00), (0k0) y (00l), respectivamente, o sea:
a* | bc (100) , b* | ac(010) , c* | ab (001).
Los parámetros a*, b* y c* están situados sobre las direcciones de d100,
d010 d001, siendo sus módulos: |a*|=cte/d100, |b*|=cte/d010 y |c*|cte/d001,
siendo cte = 1 ó λ.
Cada eje de la red real tiene asociado una familia de planos de la RR
normales al mismo; en estos planos están situados los puntos recíprocos
que poseen un valor constante del índice que identifica al eje. Como
consecuencia del punto 2º, se verifica que:
a | b*c* , b | a*c* , c | a*b*
El vector de posición de cualquier punto de la red recíproca es:
{G}=σ
= ha* + kb* + lc
hkl
Siendo su módulo inversamente proporcional al espaciado del plano (hkl)
que representa: |σhkl| = (1/dhkl).
©A. Carmelo Prieto Colorado
Tratamiento vectorial de la Red Recíproca
c
aΛb
V = S (001) .d (001) = (aΛb).d (001) = (a.b.senγ ).d (001)
1
d(001)
ε
d (001)
α
β
b
γ
€
a
a ≠ b ≠ c;α ≠ β ≠ γ ≠ 90º€
a * = σ 100
(bΛc)
=
(aΛb).c
(aΛb)
=
= c*
V
V = (aΛb).c = abc.senγ .cosε
(aΛb)
ab.senγ
c * = σ 001 =
=
abc.senγ .cosε (aΛb).c
La expresión anterior relaciona
parámetros de la red real y recíproca.
€b * = σ 010
(cΛa)
=
(aΛb).c
c * = σ 001

   
   
a * ⊥(100); ⊥∠bc ⇒ a * b = a * b cos 90 = 0; a * c = a * c cos 90 = 0
€ 
 € 
   €
b * ⊥(010); ⊥∠ca ⇒ b * c = b * c cos 90 = 0; b * a = b * a cos 90 = 0

   
   
c * ⊥(001); ⊥∠ab ⇒ c * a = c * a cos 90 = 0; c * b = c * b cos 90 = 0
(aΛb)
=
(aΛb).c
 
 
a * b = 0; a * c = 0
 
 
b * c = 0; b * a = 0
 
 
c * a = 0; c * b = 0
©A. Carmelo Prieto Colorado
€
Tratamiento vectorial de la Red Recíproca
a * = σ 100
(bΛc)
=
(aΛb).c
b * = σ 010
(cΛa)
=
(aΛb).c
c * = σ 001
(aΛb)
=
(aΛb).c
 
(bΛc) 
(cΛa) 
(aΛb) 
 
 
a* a =
.a = 1; b * b =
.b = 1; c * c =
.c = 1
(aΛb).c
(aΛb).c €
(aΛb).c
€
Reagrupando las expresiones anteriores
€que relacionan parámetros fundamentales
de la red real y recíproca, tendremos:
a* =
b* =
c* =
 
 
a* a = 1 b * a = 0
 
 
a* b = 0 b * b = 1
 
 
a* c = 0 b * c = 0
 
c* a= 0
 
c* b = 0
 
c* c =1
 
 
a* a = λ b * a = 0
 
 
a* b = 0 b * b = λ
 
 
a* c = 0 b * c = 0
 
c* a= 0
 
c* b = 0
 
c* c = λ
λ
d (100)
λ
d (010)
€
λ
d (001)
€
©A. Carmelo Prieto Colorado
Tratamiento vectorial de la Red Recíproca
Si en los productos de parámetros fundamentales de la red real y recíproca se
multiplica la primera columna por h, la segunda por k y la tercera por l y se
suman cada una de las filas resultantes, tendremos:
 
a* a
 
a* b
 
a* c
 
b* a
 
xh + b * b
 
b* c
 
c* a
 
xk + c * b
 
c* c
xl =


  ⎫
 
⎧σ hkl a = h
(ha * +kb * +lc*)a = h
⎪


⎪  


(ha * +kb * +lc*)b = k⎬ ⇔ ⎨σ hkl b = k

⎪ ⎪σ c = l

 
(ha * +kb * +lc*)c = l ⎭ ⎩ hkl
Un vector de la red recíproca {G}, multiplicado por los parámetros fundamentales
de la red directa o real son iguales a los indices de Miller del plano asociado al
vector recíproco. Estas expresiones adquieren expecial relevancia en DRX.
€
©A. Carmelo Prieto Colorado
Motivo
El cristal es un espacio continuo, mientras que la red es un espacio discontinuo.
Todos los nodos de la red son homogéneos y los puedo situar mediante el conjunto
de translaciones globales ,T = ua + vb + wc.
Pero existen otros puntos comprendidos entre nudos que no son homologos entre
sí por no ser equivalentes por el conjunto de translaciones globales {T}.
b
a τi
T
ti=T+τ
i
τi
Para representar todo el espacio
cristalino de modo vectorial se
p re c i s a d e f i n i r u n v e c t o r
translación τi = xia + yib + zic,
donde xi, yi,zi <1, constituyendo
un conjunto de translaciones
fraccionarias {τi}.
τi = xia + yib + zic
T = ua + vb + wc
El espacio cristalino total se define con vectores suma del conjunto de
translaciones globales y fraccionarias: ti = T + τi = (xi+u)a + (yi+v)b + (zi+w)c
©A. Carmelo Prieto Colorado
Celda y Motivo
La porción del espacio definido por a, b y c constituye la parte menor
característica de un cristal y se denomina celda fundamental.
Los ejes paralelos a las aristas de la celda fundamental describen las direcciones
de las translaciones de la celda y se denominan ejes del sistema cristalográfico.
Cualquiera otra terna de vectores primitivos no fundamentales no coplanarios
ni colineales también puede describir el cristal y se denomina celda elemental
primitiva. Contienen el equivalente a un nodo de la red.
El cristal puede dividirse en estos volúmenes fundamentales que tienen las
siguientes características:
igual forma (parámetros cristalográficos).
igual tamaño (parámetros cristalográficos).
igual orientación (sistema de ejes cristalográfico).
igual contenido material (motivo)
Un cristal quedará definido cuando se defina:
Forma de la celda fundamental.
Dimensiones de la celda fundamental (parámetros cristalográficos).
Motivo del cristal (número y tipos de átomos en la celda fundamental).
Coordenadas de posición de los átomos del Motivo (xi, yi, zi).
©A. Carmelo Prieto Colorado
Celda y Motivo
Cualquiera terna de vectores múltiples (no primitivos) no coplanarios ni
colineales puede describir el cristal y su volumen se denomina celda elemental
múltiple. las celdas múltiples siempre tendrán nudos en las aristas, caras o
interior de la celda.
El número de nudos de una celda múltiple constituye su multiplicidad N, que
indica el factor de veces que su área o volumen será mayor que el de la celda
elemental primitiva.
N=1
N=2
N=2
N=1
©A. Carmelo Prieto Colorado
Cristal
El espacio cristalino puede constituirse por apilamiento de celdas elementales
que recubren todo el espacio bi o tridimensional.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Cristal
b
m
c.f.
p
γ
a
Motivo
©A. Carmelo Prieto Colorado
Cristal
p
m
c.f.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Zonas de Dirichlet
La celda elemental de una red directa es un paralelogramo que por repetición llena el
espacio con la única condición de que las filas reticulares que definen la celda sean
filas conjugadas. Para salvar la imprecisión de poder generar celdas elementales a
partir de múltiples ternas de filas conjugadas, se eligen las tres filas conjugadas de
mayor densidad reticular, es decir las de menor modulo de traslación.
Ello obliga a definir las redes mediante celdas primitivas y múltiples que tengan tres
direcciones semejantes y que presenten elementos de simetría comunes.
Todo esto se simplifica si elegimos un paraleloedro que encierra el volumen del
espacio reticular de un solo nudo reticular, teniendo dicho volumen valor y forma
específico independiente de todo criterio suplementario, dado que la distribución de
nudos de una red es una invariante de red, por la propiedad de homogeneidad.
Ese paraleloedro se puede construir del modo siguiente:
©A. Carmelo Prieto Colorado
Seleccionamos un nudo cualquiera y le unimos mediante rectas con sus vecinos.
Se trazan las medianas de esos segmentos y dan lugar a un polígono de forma fija
debida a la homogeneidad de la red.
Este exágono irregular se transforma en regular si la red es exagonal o rectángulo o
cuadrado si la red es rectangular o cuadrada.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Estos paralelogonos de Fedorow (lados paralelos ) constituyen la celda reducida de la
red plana correspondiente y posee la misma densidad de materia que la celda
fundamental.
En el espacio tridimensional sucede de modo análogo.
D
H
F
z
I
y
x
O
E
G
A
C
a
B
En una red cúbica centrada en el interior, tomamos el origen en O (0,0,0) y el sistema
cristalino de referencia, con parámetro a. Los nudos más próximos a O son los 8 de los
vértices, de coordenadas (±½,±½,±½). También son nudos vecinos los seis centrales
de las celdas adyacentes, de coordenadas (±a,0,0), (0,±a,0) y (0,0,±a)
©A. Carmelo Prieto Colorado
Si trazamos los segmentos rectilíneos desde O hasta los 6 vértices (B,C,D,E,F,G,H e I) y
sobre los 6 adyacentes homologos a A. Si trazamos los planos bisectores de estos
segmentos, los planos dan lugar a un cubo centrado en O y con vértices en
B,C,D,E,F,G,H,I. Si trazamos los planos bisectores de OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH,
OI, obtenemos un octaedro de vértices truncados con todos los planos fuera del
volumen definido
D
H
F
z
I
y
x
O
E
G
A
C
a
B
El poliedro obtenido es el paraleloedro de la red cúbica centrada en el interior.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Si trazamos los segmentos rectilíneos desde O hasta los 6 vértices (B,C,D,E,F,G,H e I) y
sobre los 6 adyacentes homologos a A. Si trazamos los planos bisectores de estos
segmentos, los planos dan lugar a un cubo centrado en O y con vértices en
B,C,D,E,F,G,H,I. Si trazamos los planos bisectores de OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH,
OI, obtenemos un octaedro de vértices truncados con todos los planos fuera del
volumen definido
A estos paraleloedros construidos sobre nudos de la red directa que dan lugar por
traslaciones el espacio real se les denomina zonas de Dirichlet o cuerpos de
Voronoi.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Celda de Wigner-Seitz
La celda de Wigner-Seitz es una celda primitiva que
muestra la simetría completa de la red. En la
siguiente siguiente composición se muestra la
construcción de una celda de Wigner-Seitz. En el
espacio recíproco, la celda de Wigner-Seitz es
también una zona de Brillouin y lo vamos a utilizar
para la construcción de zonas de Brillouin.
a) Seleccione un nodo de la red y se trazan los
segmentos de unión con los nodos más próximos
(como se hizo para las zonas de Dirichlet).
b) Se trazan las medianas que atraviesan
perpendicularmente las líneas de enlace entre
nodos vecinos.
c) El menor área posible contenida entre las
intersecciones de las medianas representa la celda
de Wigner-Seitz, (celda de color naranja), idéntica
a la zona de Dirichlet.
©A. Carmelo Prieto Colorado
Zonas de Brillouin
Si efectuamos la misma construcción en la red
recíproca se obtienen las zonas de Brillouin. En el
espacio recíproco, la celda de Wigner-Seitz es
también una zona de Brillouin.
WS(bcc)
WS(fcc)
(fcc)ZB
(bcc)ZB
La zona de Brillouin se define en la red recíproca
como el volumen contenido dentro de una celda de
Wigner-Seitz, y en los límites de la zona de
Brillouin, se satisface la condición de difracción de
Bragg para la red recíproca.
Estos paraleloedros son morfologicamente
similares, pero como la red directa y la reciproca
son conceptualmente diferentes, deben
diferenciarse. Al igual que la red directa y recíproca
están relacionadas, la célula WS definida en el
espacio real y la WS en el espacio recíproco
también lo están. En particular, la WS definida en la
red cúbica centrada en las caras (fcc) coincide con
la ZB de red recíproca cúbica centrada en el interior
(bcc) y viceversa.
©A. Carmelo Prieto Colorado
En las zonas de Brillouin existen puntos de simetría que tienen especial importancia,
en particular para determinar la estructura de bandas del material. En los
semiconductores, los electrones y su estructura de bandas -energías permitidas para los
e--, son perturbados por el potencial del campo cristalino. Estas bandas de energía
varían con el espacio recíproco. Por lo tanto, los puntos de alta simetría en la zona de
Brillouin tienen una importancia específica, de modo que en los dispositivos
optoelectrónicos, es en σ = 0, lo que se conoce como el punto gamma, Γ, donde el gap
directo es menor.
σ<001>
σ<
11
1>
σ<010>
1
<
σ
>
0
0
©A. Carmelo Prieto Colorado
Ángel Carmelo Prieto Colorado
Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía
Facultad de Ciencias
Universidad de Valladolid