CAPÍTULO 5 5. DEFINICIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

DISEÑO DE UN SILO CONFORME AL EUROCÓDIGO
CAPÍTULO 5: DEFINICIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
CAPÍTULO 5
5. DEFINICIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
Una vez que se conocen las características del silo real que se quiere analizar
(capítulo 2), las acciones que se van a desarrollar en él (capítulo 3) y las características
principales del fenómeno de pandeo que queremos estudiar (capítulo 4), estamos en
disposición de crear un modelo de elementos finitos para llevar a cabo los análisis
oportunos.
En este capítulo se va a presentar el modelo elegido y se comentarán los
principales factores que han influido en su elaboración, viendo los diferentes problemas
tipo que se han resuelto para controlar las dificultades relacionadas con la convergencia
de los cálculos no lineales.
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CAPÍTULO 5: DEFINICIÓN DEL MODELO DE ELEMENTOS FINITOS
5.1.
Introducción: El Método de los Elementos Finitos
Tal y como se ha comentado en el capítulo 1, hoy en día se dispone de una
herramienta muy potente para el cálculo de estructuras gracias al desarrollo de los
ordenadores y a la consiguiente mejora en cuanto a la capacidad de cálculo: el Método de
los Elementos Finitos.
Puesto que no es el objetivo de este proyecto, no se va a explicar aquí con
detenimiento el funcionamiento de este método. Simplemente comentar que, aplicado al
cálculo estructural, consiste en discretizar la estructura analizada en un número de
elementos, (cuántos más sean, más fino será el análisis), en cada uno de los cuales se
plantea el problema de la elasticidad, de forma débil (variacional), con las relaciones de
compatibilidad, la ley de comportamiento y las ecuaciones de equilibrio pertinentes, todo
ello con los elementos sometidos a unas fuerzas externas y a unas condiciones de
contorno.
Esto plantea un gran número de ecuaciones que resolvemos mediante un
programa de ordenador, en nuestro caso Ansys 8.0., que a su vez usa una serie de
métodos numéricos internos para resolver el problema (ver capítulo 6 en que se analizan
los métodos numéricos usados por Ansys).
5.2.
Definición del modelo del silo1
a) Descripción del modelo
Dado que, como se ha especificado con anterioridad, el fallo de abolladura que
sufrió el silo analizado se dio en las paredes de chapa cilíndrica que componen el cuerpo
principal del mismo, son estas paredes cilíndricas de chapa delgada las que deben ser
analizadas con detalle desde el punto de vista del pandeo. Por ello, para el análisis del
comportamiento estructural del silo se ha modelado sólo el cuerpo principal del mismo.
1
Las macros usadas como input para Ansys están en el anexo III. En ellas está la definición
completa del modelo: Geometría, elementos, mallado, propiedades, cargas, condiciones de
contorno…
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Es decir, el modelo comprende las virolas de chapa cilíndrica de diferente espesor
y los rigidizadores soldados a las mismas en cada una de las configuraciones analizadas
(ver capítulo 2). Toda la parte del silo por encima del rigidizador en anillo que zuncha la
parte superior de la pared de chapa, sólo se ha tenido en cuenta a la hora de establecer
las cargas que actúan sobre las chapas cilíndricas (NVTECHO en las macros usadas, ver
anexo III).
b) Elementos utilizados
El modelado de la estructura se ha llevado a cabo usando los siguientes
elementos de la librería de Ansys 8.0:
- Beam 188: Elemento uniaxial de dos nodos con seis grados de libertad en cada
uno de ellos basado en la teoría de flexión de Timoshenko. Se ha usado para modelar los
dos tipos de rigidizadores que se sueldan a las virolas. Este elemento está especialmente
indicado para problemas no lineales, y permite que se le asocie un tipo de sección
mediante el comando SECTYPE (y sus comandos complementarios, SECDATA,
SECNUM...), además permite realizar un “offset” entre su centro de gravedad
(dependiente del tipo de sección asignada) y la línea o elemento geométrico al que se
asigna.
Figura 5.1: “Elemento Beam 188”
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- Shell 181: Es un elemento de tipo lámina basado en la teoría de ReissnerMindlin, compuesto por cuatro nodos y veinticuatro grados de libertad, seis en cada nodo.
Al igual que sucede en el Beam 188, se le asignan las propiedades mediante el comando
SECTYPE, en este caso el espesor de chapa. Una de las principales causas de la
elección de este elemento, es su buen comportamiento frente a la convergencia en
problemas no lineales de lámina delgada (como se comentará en el apartado 5.3 cuando
se aborde el proceso de modelado seguido). Es el elemento que se ha usado para
modelar las distintas virolas cilíndricas, es decir, prácticamente toda la estructura.
Figura 5.2: “Elemento Shell 181”
Además de estos elementos, que han servido para modelar la rigidez y la masa de
la estructura, se ha usado el Surf 154, para aplicar las presiones internas del material,
tanto las normales como las tangenciales. Para ello se han asociado estos elementos, con
masa nula, a todos los elementos tipo lámina de la estructura (para más detalle ver la
macro “presiones” en el anexo III).
c) Hipótesis realizadas
A continuación se exponen las hipótesis más importantes realizadas para
modelar el silo:
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- El modelo del silo forma una estructura tridimensional compuesta por la pared
vertical formada por virolas y los rigidizadores.
- Debido a problemas con la convergencia, que se comentarán más adelante, se
modela y analiza un sector de 45º en lugar del cilindro completo. El sector de 45º
representa bastante bien el comportamiento del silo completo. La validación de esta
elección se comenta en el último apartado del capítulo.
- Las condiciones de contorno aplicadas al modelo son de empotramiento en la
base de la primera virola, realizado imponiendo desplazamientos y rotaciones nulos en la
línea inferior, extremo superior del cilindro libre (el rigidizador anular será el que limite el
desplazamiento horizontal) y simetría en los bordes del sector de 45º modelado, impuesta
en las líneas verticales situadas en dichos bordes.
- Los espesores de las virolas se definen a través de la asignación de un tipo de
sección al área del segmento cilíndrico que corresponde una vez generadas todas las
áreas mediante el giro de una generatriz alrededor del eje del cilindro. El desfase en las
uniones de virolas de distinto espesor se manifiesta a ambos lados de la línea media de la
virola que se ha generado, mientras que en la realidad todo el desfase quedaba en el lado
interno.
- La parte superior del cilindro no se modela y se tiene en cuenta como una carga
en los nodos de los elementos de la línea superior igual al peso de esta estructura, que se
toma de 500 kg/m2 (se hizo un cálculo del peso total de la estructura de la cubierta y el
casetón, resultando este de 80,74 Tn, lo que supone 114,22 kg/m2 pero teniendo en
cuenta que hay maquinaria que no se incluyó en los cálculos se dejan esos 500 kg/m2
para tenerla en cuenta y estar del lado de la seguridad).
- Como ya se ha indicado en el capítulo 3 dedicado a las acciones de diseño, no
se han tenido en cuenta las acciones de viento ni los efectos de la temperatura en los
análisis, por considerarlos despreciables frente a los efectos de las otras acciones
actuantes para la comprobación frente a pandeo (aún así se realizaron las macros
correspondientes. No se adjuntan en el anexo III ya que no se han usado).
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- En cuanto al mallado, se ha realizado mediante elementos cuadrados, en el caso
de las virolas, tomando un elemento de 25 cm de lado, y lineal de la misma longitud para
los rigidizadores. Siendo este tamaño de 25 cm lo suficientemente fino en la estructura
analizada para que los resultados sean válidos, teniendo en cuenta que tamaños más
pequeños (mallas más finas) generan más elementos que se traducen en más ecuaciones
y hacen que el problema sea más lento de analizar y necesite más memoria virtual del
ordenador.
- Para la definición de la estructura se ha utilizado como
sistema global de
coordenadas el sistema de referencia ortogonal X, Y, Z, mostrado en la figura 5.3, situado
en la base del silo, en el que el eje Z coincide con el eje de revolución del cilindro que
supone el cuerpo principal del silo.
Figura 5.3: “Sistema de referencia global de la geometría en la configuración 2”
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A continuación se muestran algunas figuras en las que se aprecian los detalles
más importantes de las geometrías modeladas:
Sector mallado con los rigidizadores verticales
Detalle de unión entre los rigidizadores
hasta abajo
verticales y el rigidizador en anillo
Detalle del rigidizador en anillo (UPN-300 en
Detalle de un rigidizador vertical en la base
virola superior)
del silo (medio IPE-330)
5.3.
Proceso seguido hasta la definición del modelo del silo
En este apartado se va a describir el trabajo realizado previamente a la definición
del modelo usado finalmente en el silo, ya que en este proceso se han encontrado
diversas dificultades que tras un cierto estudio han determinado el modelado definitivo
que se ha presentado en este capítulo. De todos estos problemas encontrados en el
trayecto recorrido, el más destacable y que más ha costado superar ha sido el que
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presentaba la convergencia del problema no lineal, y por ello merece un tratamiento
especial en un capítulo aparte (capítulo 6).
a) Aproximación inicial
El modelado pensado inicialmente tenía algunas características diferentes del
modelo final, las más relevantes:
-
La intención era analizar los 360º del cilindro modelando un sector y usando el
comando CYCLIC de Ansys.
-
Se hizo un modelado de las acciones de viento y de los efectos de la
temperatura para incluirlos en los cálculos.
-
Para las virolas se proponía el elemento Shell 63 y para los rigidizadores el
Beam 44, pasándole a ambos las características de la sección mediante constantes
reales.
-
No había un modelo para la introducción de las imperfecciones en el análisis
no lineal (aunque se pretendía incluirlo).
-
No se incluía el comportamiento plástico del material.
Las primeras modificaciones a este modelo, consistieron en la introducción del
comportamiento plástico y la asignación de las secciones mediante el comando
SECTYPE en lugar de usar constantes reales, esto hizo que se pasara del elemento
Beam 44 al más moderno Beam 188.
El modelo no daba problemas en cuanto al análisis de pandeo de autovalores (que
nos da la carga crítica de pandeo de la estructura mediante un análisis lineal), pero no se
lograba completar el análisis no lineal debido a problemas con la convergencia, por lo que
en este punto la investigación se centró en la convergencia de análisis de pandeo no
lineales con elementos finitos para comprender mejor los parámetros que la gobiernan.
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En esta etapa se hicieron muchos análisis de problemas más sencillos, siendo los
más destacables2:
•
“Estudio del pandeo en un pilar a compresión” sacado de los Tutoriales para
Ansys 7.0. de la Universidad de Alberta3.
•
“Buckling of a Bar with Hinged Ends” sacado de la ayuda de Ansys 8.0
(Verification Manual nº127), que a su vez procede de [S. Timoshenko. Strength
of Material, Part II, Elementary Theory and Problems. 3rd Edition. D. Van
Nostrand Co., Inc.. New York, NY. 1956. pg.148, article 29].
•
“Snap-Through Buckling of a Hinged Shell” sacado también de la ayuda de
Ansys 8.0 (Verification Manual nº17), que a su vez procede de [C. C. Chang.
“Periodically Restarted Quasi-Newton Updates in Constant Arc-Length
Method”. Computers and Structures, Vol. 41, No. 5. pp. 963-972. 1991.].
Estos análisis, junto con un estudio de los métodos numéricos usados por Ansys
en la resolución de este tipo de problemas (analizados en el capítulo 6) sirvieron para
tener una idea más clara tanto de los parámetros a tener en cuenta a la hora de resolver
problemas no lineales, como del comportamiento de barras y láminas frente al fenómeno
del pandeo.
Aún así nuestro problema seguía sin converger. En este punto se hicieron
consultas entre usuarios avanzados de Ansys e incluso se llegó a contactar con
J.M.Rotter, al que se debe la mayor parte de lo concerniente a estructuras metálicas
laminares en los eurocódigos, llegando a dos conclusiones: 1) El elemento Shell 63 no
presenta un comportamiento óptimo en lo referente a la convergencia de problemas de
lámina delgada con un grado alto de no linealidad; y 2) pese a lo que pueda pensarse, la
convergencia numérica del problema de pandeo no lineal del cilindro sin imperfecciones
sometido a compresión pura es mucho más difícil de obtener que la del mismo cilindro
cuando presenta imperfecciones geométricas. Cuanto más imperfecto geométricamente,
más fácil será que converja.
2
3
Las macros de estos problemas pueden consultarse en el anexo II.
El tutorial completo se puede encontrar en www.mece.ualberta.ca/tutorials/ansys
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b) Estudio del problema de estabilidad de láminas de la Universidad de
Aalborg
Llegados a este punto, además, se encuentra en la web un estudio sobre la
estabilidad de láminas llevado a cabo en la Universidad de Aalborg4 usando Ansys. Al
análisis de este problema asemejándolo paso a paso al del silo se deben la mayor parte
de las modificaciones finales del modelo presentado.
El estudio inicial de esta macro introduce dos modificaciones fundamentales en el
modelo del silo, que, por otra parte, eran aspectos que ya se había detectado que no
funcionaban bien en el modelo usado en ese momento. Estos son:
El cambio del tipo de elementos de lámina usado, del Shell 63 al Shell 93.
La introducción de un comando de Ansys (UPGEOM) que modifica el
modelo geométrico estudiado añadiéndole los desplazamientos obtenidos como resultado
de un análisis previo. (Esto nos sirvió para introducir de forma sencilla las imperfecciones
sobre el patrón de geometría obtenido tras hacer el análisis de pandeo de autovalores al
hacer un análisis sobre la resistencia frente a pandeo, como indica el eurocódigo).
Una vez introducidos estos cambios fundamentales, la estrategia fue ir
introduciendo sobre la macro original de Aalborg los cambios necesarios hasta llegar al
modelo del silo e ir viendo, en el proceso, el comportamiento frente a la convergencia que
tenía el problema. Esto hizo que se modificaran aún otros aspectos del modelo del silo
hasta llegar al modelo final que se ha analizado. Esta etapa del proceso se resume en:
-
Las cargas debidas al peso de la estructura superior, que hasta entonces se
aplicaban como una presión en la línea superior del silo, pasaron a aplicarse directamente
sobre los nodos de los elementos. Esto se debe a que si se aplicaban de la otra forma
seguían la dirección deformada de la línea superior del silo en vez de conservar la
dirección vertical que caracteriza al peso.
4
La macro original de la Universidad de Aalborg también puede consultarse en el anexo II y en la
dirección web http://www.aaue.dk/bm/ansys/
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-
En un principio se cambiaron los elementos originales por el Shell 93, para las
virolas y Beam 189, para los rigidizadores. Ambos elementos son cuadráticos (con nodos
intermedios) y compatibles entre sí, además el hecho de ser cuadráticos hacía que el
tamaño de elemento no fuera tan determinante en el mallado, pero dado que al elemento
Shell 93 se le asignan las propiedades a través de constantes reales y no a través de
secciones con el comando SECTYPE, se hizo otro cambio de elementos: Shell 181, para
las virolas (que sí admite asignación de secciones) y Beam 188, para los rigidizadores,
ambos elementos compatibles entre sí y sin nodos intermedios que son los usados en el
modelo final.
-
Se comprobó que el comando CYCLIC de Ansys no era capaz de mantener las
condiciones y parámetros aplicados al sector básico cuando resolvía el sector replicado,
incluso se estudiaron las macros internas a las que llama dicho comando, pero finalmente
se optó por estudiar un sector representativo del silo imponiendo condiciones de simetría
en los bordes y extrapolar los resultados al silo completo.
-
Se llegó a la conclusión de que el sector de silo estudiado sería de 45º (lo que
supone 6 repeticiones del sector básico que se iba a usar con la simetría cíclica), lo
suficientemente representativo y no excesivamente grande (ya que a mayor número de
elementos, más ecuaciones y más lento y propenso a no converger se hace el análisis).
En los bordes θ = cte , se aplican condiciones de contorno de simetría normal, no de
simetría cíclica.
Validación del sector de 45º
La validación de la elección del sector de 45º se basa en el análisis realizado para
la macro de Aalborg modificada con altura=1000mm, r=1000mm, un tamaño de elemento
de 16mm y 15 substeps en el método del arc-length. Las condiciones de contorno son de
empotramiento en la base y borde superior apoyado. Para esta validación se ha analizado
la variación de las cargas críticas de pandeo tanto lineales como no lineales de la macro
comentada, en dos configuraciones sometidas a compresión pura: una sin rigidizar y la
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otra con 32 rigidizadores verticales uniformemente distribuidos en la pared de chapa
vertical desde la base hasta el borde superior.
Los resultados para la configuración sin rigidizar (en MPa) se pueden ver en la
tabla 5.1, dónde se comprueba que la carga crítica calculada con MEF no cambia mucho
Carga crítica
Valor teórico
Análisis lineal (autovalores)
Análisis no-lineal
5,625
127,050
127,250
26,175
11,25
127,050
127,250
26,099
Lámina cilíndrica sin rigidizar
Sector en º
22,5
45
90
127,050
127,050
127,050
127,250
126,650
126,720
26,163
36,475
36,495
180
127,050
126,685
29,961
360
127,050
126,365
al variar el ángulo discretizado.
Tabla 5.1: “Validación del sector de 45º. Chapa de espesor constante sin rigidizar. Variación de la
carga crítica calculada en Ansys según el sector analizado”
Existe una diferencia numérica del 0,7% entre los valores máximo y mínimo de la
tabla anterior. Sin embargo, aunque los valores numéricos son muy parecidos, hay una
diferencia entre la forma de los modos de pandeo obtenidos con ángulos inferiores a 45º y
los demás. Los tres primeros valores de la lista corresponden a modos de pandeo con
simetría de revolución, mientras que los otros tres no tienen simetría de revolución.
Los resultados obtenidos para la lámina cilíndrica rigidizada (en MPa) se muestran
en la tabla 5.2, donde nuevamente se muestra la poca variación de la carga crítica con
respecto al sector representado.
Carga crítica
Análisis lineal (autovalores)
Análisis no-lineal
Lámina cilíndrica rigidizada (32 rigidizadores en toda la altura)
Sector en º
5,625
11,25
22,5
45
90
180
164,640
164,640
164,640
164,640
164,640
164,690
30,129
30,129
30,129
30,129
30,129
30,138
Tabla 5.2: “Validación del sector de 45º. Chapa de espesor constante rigidizada. Variación de la
carga crítica calculada en Ansys según el sector analizado”
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