N - Universidad Nacional del Callao.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
Capítulo 3:
MEDIDAS DE
CENTRALIZACION
INTRODUCCIÓN
Ante la necesidad en las empresas, negocios, investigaciones, etc. de
conocer los instrumentos necesarios para que puedan saber a través de los
promedios sobre la economía de su empresa, sobre las investigaciones
sobre bacterias, muertes por año, se ha elaborado este capítulo a fin de
resolver sus inquietudes
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3.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIDAS DE
CENTRALIZACION O PROMEDIOS
Es el típico representativo de un conjunto de datos y como tales datos tienden a
concentrarse alrededor de su valor central reciben el nombre de medidas de
centralización o medidas de tendencias central. Los principales promedios son:
Los promedios pueden aplicarse o datos simples y datos agrupados.
Media aritmética
(X)
Media geométrica
(G)
Media armónica
(H)
Media Cuadrática
(RMS)
Mediana
(Md)
Moda
(Mo)
Los Cuartiles
(Q1, Q2…)
Deciles
(D1, D2)
Percentiles
(Pi, P2)
Medias Principales
(1,5,6)
Medias Secundarias
( 2,3,4,7,8,9 )
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3.1.1 DATOS SIMPLES:
Son aquellos que no han sido considerados en un cuadro de distribución de frecuencias.
3.1.2 DATOS AGRUPADOS PONDERADOS O CLASIFICADOS:
Son aquellos a los cuales se les aplicado los reglas para construir cuadro de distribución
de frecuencia y se encuentran considerados en las clases de una distribución
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3.2 MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética es la medida de tendencia central más conocida, familiar a todos
nosotros y de mayor uso, también es fácil de calcular, ya sea de datos no tabulados
(datos simples) como de datos tabulados (datos agrupados).
3.2 MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE
La media aritmética es el valor obtenido sumando todas las observaciones y dividiendo
el total por el número de observaciones que hay en el grupo.
La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta
todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
En la media aritmética simple cada una de los datos como un punto media o marca de
clase.
Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula
X=  Yi
N
Donde:
x
=
media aritmética
Yi
=
Representa los valores de la variable o valores a promediar

=
Es la letra griega sigma, y se lee suma o sumatoria
N
=
Es el número total de casos o número de valores a promediarse.
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Ejemplo:
a) En un examen con propósito de promoción se han obtenido las siguientes
calificaciones 84, 91, 72, 68, 87, 78. Calcular la media aritmética simple:
 Xi = 84+91+72+68+87+78 = 480
N=6
X = 84 + 91 + 72 + 68 +87 +78 =
6
480
6
= 80.
b) ¿Cuál fue el ingreso medio diario de un comerciante durante la última semana?
DIA DE LA SEMANA
INGRESO DIARIO (Q)
Lunes
75
Martes
225
Miércoles
175
Jueves
300
Viernes
180
Sábado
400
TOTAL
1355
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 Xi = 75+225+175+300+180+400 = 1355
N=6
APLICANDO LA FORMULA:
X =  Yi
N
X = 1355
6
X = 225.83
INTERPRETACION:
Es como si el comerciante hubiera vendido diariamente, de lunes a sábado Q.225.83.
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c) ¿Cuál fue la producción media diaria de una fábrica? si en la última semana
produjo:
DIA DE LA SEMANA
INGRESO DIARIO (Q)
Lunes
100
Martes
150
Miércoles
125
Jueves
110
Viernes
90
Sábado
115
TOTAL
690
 Xi = 100+150+125+110+90+115 = 690
N=6
X =  Yi
N
APLICANDO LA FORMULA
X= 690
X= 115
6
INTERPRETACION:
Si la fábrica trabajara a igual ritmo todos los días de la semana, produciría 115 unidades
diarias.
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3.2.2 MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Es cuando se asigna ciertos coeficientes significación, pero importancia, etc. a los datos
de una determinada actividad.
Ejercicio clásico de ponderación son los llamados coeficientes que se le asigna a ciertos
exámenes.
Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula:
5
X =  ni yi
N
Donde:
x
=
media aritmética

=
Es la letra griega sigma, y se lee suma o sumatoria
yi
=
Representa los valores de la variable o valores a promediar
ni
=
N
=
Frecuencia
Es el número total de casos o número de valores a promediarse.
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3.2.2.1
INCONVENIENTES DE SU USO:
Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en
situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:

Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en
función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se
consideren.

Es una medida a cuyo significado afecta
sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos
homogéneos sean los datos, menos información
proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas
en su composición pueden tener la misma media.4 Por
ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de
igual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura
media de 1,95 m, valor que representa fielmente a esta
población homogénea. Sin embargo, un equipo de
jugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m,
1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendría también,
como puede comprobarse, una estatura media de 1,95 m,
valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.
La estatura media como resumen
de una población homogénea

En el cálculo de la media no todos los valores (abajo) o heterogénea (arriba).
contribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen más
peso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de
un empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso
como el de diez empleados "normales" que ganen 1.000 €. En otras palabras, se ve
muy afectada por valores extremos.

No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de
clase abiertos.
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Ejemplo:
En una empresa hay 5 trabajadores que ganan Q.200; 4 que ganan Q.250; 8 que ganan
Q.175 y 3 que ganan Q.300. ¿Cuál es el promedio de salarios de la empresa?
SALARIO
Yi
NUMERO DE TRABAJADORES
ni
TOTAL
ni Yi
200
5
1000
250
4
1000
175
8
1400
300
3
900
 ni Yi = 4300
APLICANDO LA FORMULA:
X =  ni Yi
N
X = (5x200)+(4x250)+(8x175)+(3x300)
20
X= 4300
20
X = 215
RESPUESTA: El promedio de salarios de la empresa es de Q.215.
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3.2.2.2 MEDIA ARITMETICA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE
VALORES AGRUPADOS EN INTERVALOS DE AMPLITUD CONSTANTE O
VARIABLE.
Para calcular la media aritmética de valores que están agrupados en intervalos de
amplitud constante o variable, es necesario antes calcular la marca de clase o punto
medio de cada intervalo y multiplicarla por la frecuencia respectiva. La fórmula a aplicar
es la misma que uso en el cálculo anterior, teniendo presente que Xi representa la
marca de clase.
Ejemplo:
Calcular la media aritmética de los siguientes valores agrupados en intervalos de
amplitud constante.
Intervalos
f
Marca de clase
Xi
f.Xi
10-19
4
(10+19)/2 = 14.5
4x14.5 = 58.0
20-29
7
(20+29)/2 = 24.5
7x24.5 = 171.5
30-39
9
(30+39)/2 = 43.5
9x34.5 = 310.5
40-49
10
(40+49)/2 = 44.5 10x44.5 = 445.0
50-59
5
(50+59)/2 = 54.5
N = 35
5x54.5 = 272.5
 f.Xi = 1257.5
OBSERVACION:
Las dos primeras columnas corresponden a los datos, las otras columnas son
calculadas.
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PROCEDIMIENTO:
Primero calculamos las marcas de clase o puntos medios. Para eso sumamos los dos
intervalos y al resultado le sacamos mitad.
Multiplicamos las frecuencias absolutas por las marcas de clase y obtenemos así, la
columna f.Xi.
Sumamos la columna de frecuencias por puntos medios. Esta suma da como resultado:
1257.5.
Calculamos la media aritmética por medio de la fórmula correspondiente:
x = (f.Xi)
N
SUSTITUYENDO VALORES EN LA FORMULA:
x = 1257.5
35
EFECTUANDO LA DIVISION
x = 35.928
APROXIMANDO EL RESULTADO A DOS DECIMALES:
_
X = 35.93 Media Aritmética
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EJERCICIOS DE MEDIA ARITMETICA
1.- Determinar el promedio de un alumno de medicina cuyas notas y coeficientes se dan
continuación:
Notas Yi
Coeficiente ni
ni.Yi
Promedio Anual
14
01
14
Examen Escrito
12
02
24
Examen Oral
08
03
24
N=6
 niYi = 62
X =  ni Yi
N
 X =  ni.Yi = 62 = 10.33
N
6
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2.-Calcular la estatura media de 100 alumnos de la universidad, distribuidos en la
siguiente tabla de frecuencia.
L1 _L2
Yi´-1 _ Yi
Yi
ni
ni.Yi
1.495 - 1.545
1.50 - 1.54
1.52
5
7.6
1.545 - 1.595
1.55 - 1.59
1.57
12
18.84
1.595 - 1.645
1.60 - 1.64
1.62
40
64.8
1.645 - 1.695
1.65 - 1.69
1.67
26
43.42
1.695 - 1.745
1.70 - 1.74
1.72
11
18.92
1.745 - 1.795
1.75 - 1.79
1.77
6
10.62
N = 100
 ni.Yi =164.2
X =  ni Yi
N
 X =  ni.Yi = 164.2 = 1.642
N
100
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3.-Calcular la media aritmética del siguiente cuadro de distribución de frecuencias que
nos indica los titulares de la libreta de una caja de ahorro con relación a la edad y sus
sueldos.
L1 _L2
Yi´-1 _ Yi
Yi
Ni
ni.Yi
45 – 55
45.5 – 54.5
50
4
200
55 – 65
55.5 – 64.5
60
12
720
65 – 75
65.5 – 74.5
70
20
1400
75 – 85
75.5 – 84.5
80
10
800
85 – 95
85.5 – 94.5
90
4
360
N = 50
 ni.Yi =
3480
X =  ni Yi
N
_
 X =  ni.Yi = 3480 = 69.6
N
50
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4.- Calcular la media aritmética de los siguientes cuadros de distribución de frecuencia.
L1 _L2
Yi´-1 _ Yi
Yi
Ni
ni.Yi
0.0005 – 0.0025
0.0010 – 0.0020
0.0015
30
0.045
0.0025 – 0.0045
0.0030 – 0.0040
0.0035
50
0.175
0.0045 – 0.0065
0.0050 – 0.0060
0.0055
40
0.22
0.0065 – 0.0085
0.0070 – 0.0080
0.0075
20
0.15
0.0085 – 0.0105
0.0090 – 0.0100
0.0095
60
0.57
0.0105 - 0.0125
0.0110 – 0.0120
0.0115
10
0.115
0.0125 – 0.0145
0.0130 – 0.0140
0.0135
50
0.675
N = 260
 ni.Yi = 3480
X =  ni Yi
N
 X =  ni.Yi = 1.95 =
N
0.0075
260
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5.- Hallar la media aritmética Del siguiente cuadro de distribución de frecuencia
L1 _L2
Yi
Ni
ni.Yi
0 – 10
5
12792
63960
10 – 20
15
11346
170190
20 – 30
25
17941
448525
30 – 40
35
19313
675955
40 – 50
45
18000
810000
50 – 60
55
15181
834955
N = 94573
 niYi = 3003585
X =  ni Yi
N
 X =  ni.Yi = 3003585
N
=
31.75943451
94573
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6.- La media aritmética de 13 números es 10 y la media aritmética de otros 42 números
es 16 hallar la media aritmética de los 55 números tomados conjuntamente.
Ni
Ni.Yi
10
13
130
16
42
672
Yi
 ni.Yi=802
N = 55
X =  ni Yi
N

X =  ni.Yi = 802 = 14.58181818
N
55
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7.- Hallar la media aritmética del siguiente cuadro de distribución de frecuencia.
L1 _L2
Yi´-1 _ Yi
Yi
Ni
ni.Yi
68 – 72
68.5 – 71.5
70
4
280
72 – 76
72.5 – 75.5
74
9
666
76 – 80
76.5 – 79.5
78
16
1248
80 – 84
80.5 – 83.5
82
28
2296
84 – 88
84.5 – 91.5
86
45
3870
88 – 92
88.5 – 91.5
90
66
5940
92 – 96
92.5 – 95.5
94
85
7990
96 – 100
96.5 – 99.5
98
72
7056
100 – 104
100.5 – 103.5
102
54
5508
104 – 108
104.5 – 107.5
106
38
4028
108 – 112
108.5 – 111.5
110
27
2970
112 – 116
112.5 – 115.5
114
18
2052
116 – 120
116.5 – 119.5
118
11
1298
120 – 124
120.5 – 123.5
122
5
610
124 –128
124.5 – 127.5
126
2
252
N = 480
 ni.Yi = 46064
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X =  ni Yi
 X =  ni.Yi = 46064 = 95.96666
N
480
N
8.- Los sueldos de cuatro empleados son: 500, 600, 650, 3000 nuevos soles.
a) Hallar la media aritmética de los sueldos.
b) Se podría decir que este promedio es representativo de los sueldos ?
SOLUCIÓN
X =  Yi
a)
N
 X =  Yi = 500+600+650+3000 = 4750 = 1187.50
N
4
4
b) La media de 1187.50 no es representativa de los sueldos. El dar este promedio sin
mayor comentario conduciría a un error.
“La gran desventaja de la media aritmética es que es fuertemente afectada por los
valores extremos, razón por la cual no debe aplicarse para promedios, sueldos ó
salarios.
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9.- En una población los precios a que se vende el vino en 5 establecimientos son 8
,9.5, 10, 11, 11.5 nuevos soles, las cantidades que se venden de los mismos son: 1500,
2000, 1000, 500, 400 litros respectivamente.
Determinar la media aritmética simple y ponderada e indique cual es el verdadero
promedio.
a) Simple
X =  Yi
N
_
 X =  Yi = 8+9.5+10+11+11.5 = 50 = 10
N
5
5
b) Ponderada
X =  ni Yi
N
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Yi
Ni
Ni.Yi
8
1500
12000
9.5
2000
19000
10
1000
10000
11
500
5500
11.5
400
4600
N= 54000
ni YI =51100
 X =  ni.Yi = 51100 = 9.462962963
N
5400
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10.- Calcular la frecuencia de la tercera y quinta clase de la siguiente distribución se la
media aritmética es = 66.3.
L1 _L2
Yi´-1 _ Yi
Yi
Ni
ni.Yi
59.5 – 62.5
60 - 62
61
5
305
62.5 – 65.5
63 – 65
64
7
448
65.5 – 68.5
66 – 68
67
X
67x
68.5 – 71.5
69 – 71
70
6
420
71.5 – 74.5
72 – 74
73
Y
73y
N = 30
 ni.Yi =
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X =  ni Yi
N
_
X = 1173 + 67x + 73y
30
30 = 5 + 7 + x + 6 + y
30-18 = x + y
12 = x + y
66.3 * 30 = 1173 + 67x + 73y
x = 12 - y
1989-1173 = 67x + 73y
x = 12 - 2
816 = 67 ( 12 – y ) + 73y
816 = 804 - 67y + 73y
x = 10
816 - 804 = - 67y + 73y
12 = 6y
2=y
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3.3 PROPIEDAD PRINCIPAL DE LA MEDIA ARITMETICA
La suma algebraica de todos los desvíos de un conjunto de datos con respecto a su media
aritmética es igual á cero (0).
Ejercicio:
1.- Determinar la suma algebraica de los desvios de los números 3, 6, 9, 10, 12 con respecto a
su media aritmética.
Yi
d
3
3 – 8 = -5
6
6 – 8 = -2 –7
9
9–8= 1
10
10 – 8 = 2
12
12 – 8 = 4 +7
Yi = 40
= Yi –X
(Yi-X) = -7 + 7 = 0
X = Yi = 3+6+9+10+12 = 40 = 8
N
5
5
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3.4 MEDIAS SECUNDARIAS
La media aritmética, la mediana y la moda son consideradas como Las medidas de
posición más importantes debido a su utilidad, sencillez y aplicabilidad. Sin embargo,
hay circunstancias en que se pueden ser útiles otras de Las medidas de tendencia
central como la media geométrica, la media armónica, la media cuadratica y los cuartiles
(cuartiles, diciles y percentiles)
145
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3.5 LA MEDIA GEOMETRICA ( G )
Se define la media geométrica como la raíz enésima del producto de "n" términos y se
usa generalmente para:
a) Promediar razones.
b) Tazas de cambio.
c) Progresiones geométricas equilibrándolas.
d) Promediar promedios de ventas
e) Tasa de crecimiento de las poblaciones (esperanza de vida de los pobladores y sus
proyecciones)
f) Cultivo de bacterias ( número de colonias )
Se determina mediante la aplicación de las siguientes formulas:
1 .- DATOS SIMPLES (FÓRMULA GENERAL):
G=
n
Yi 1 * Yi 2 * … * Yi N
2.- POR LOGARITMOS:
G = Antilog  Log Yi
N
146
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3.- DATOS AGRUPADOS (FÓRMULA GENERAL)
G = n Yi 1 ni * Yi 2 ni * … * Yi N ni
4.- POR LOGARITMOS :
G = Antilog  ni LogYi
N
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Ejercicios:
1.- Calcular la media geométrica y aritmética de los números 2, 4 y 8 y establecer la
relación entre los promedios.
X =  Yi = 2 + 4 + 8 = 14 = 4.667
N
3
3
3
G= N
Yi1* Yi2 * Yi3
=
3
2*4*8 =
G = Antilog  ni log Yi = 1.80617998
N
64 =
4
= Antilog 0.302059993 = 4
3
Log 2 = 0301029995
Log 4 = 0.302059991
Log 8 = 0.903089987
X >G
4.667 > 4
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2.- Calcular la media geométrica de -2 y +8
N
G=
Yi1* Yi2 * Yi3 =
-2 * 8
=
-16
= 4 i
3.- Calcular la media geométrica de los números 7, 8, 9, 10 y 0
5
5
G =
7 * 8 * 9 * 10 * 0
=
0
=
0
CONCLUSIONES :
1. Para cualquier seriede terminos que no sean iguales, la media geométrica es
siempre menor que la media aritmética por ser esta ultima fuertemente afectada por los
valores extremos.
2. Cuando uno de los valores es negativo la media geométrica es imposible de calcular.
3. Cuando uno de los valores es igual a "0" la media geométrica tambien es igual a "0"
y por lo tanto inadecuada.
Ejercicio:
1.- Calcular la media geométrica de los números 11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,26 ,29 ,332.-
8
G
=
8
11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 26 * 29 * 33
G
=
=
2.6433318 * 1010
20.08024282
149
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2.- Calcular la media geométrica del siguiente cuadro de distribución de frecuencia que nos
indica el número de pacientes del servicio de obstetricia mediante la aplicación de la aplicación
de la formula general y logaritmo.
L1 _L2
Yi´-1 _ Yi
Yi
ni
ni Yi
Log Yi
Ni log Yi
45 –55
45.5 – 54.5
50
4
200
1.698970004
6.795880017
55 – 65
55.5 – 64.5
60
12
720
1.77815125
21.337815
65 – 75
65.5 – 74.5
70
20
1400
1.84509804
36.9019608
75 – 85
75.5 – 84.5
80
10
800
1.903089987
19.03089987
85 – 95
85.5 – 94.5
90
4
360
1.954242509
7.816970038
 ni.Yi =
3480
 ni logYi =91.88352573
N = 50
150
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3. Calcular G por la fórmula general y por logarítmica de la siguiente distribución de
frecuencias
_
_
X =  ni Yi =
3480
N
= 69.6
X>G
50
a) Fórmula General
N
G =
Siempre
b)
ni
Yi 1
ni
*
ni
Por logaritmos
G = Antilog  ni log Yi
Yi2 * Yi3
N
G = Antilog 91.88352573
50
50
G =
50 4 * 60 12 * 70 20 * 80 10 * 904
G = 68.81300359
G =
G
Antilog 1.837670515
=
68.81300359
151
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4. Calcular la media geométrica de los siguientes cuadros de frecuencias:
Y´ I - 1 - Y´ Í
YÍ
Ní
Log Y Í
NiLogY I
200 - 224
212
26
2.326335861
60.48473238
225 - 249
237
21
2.374748346
49.86971527
250 - 274
262
39
2.418301291
94.31375036
275 - 299
287
52
2.457881897
127.8098586
300 - 324
312
30
2.494154594
74.82463782
325 - 349
337
24
2.527629901
60.66311762
350 - 374
362
14
2.558708571
35.82191999
N =
niLogYi =
206
503.787732
G = Antilog  niLogYi
N
=
Antilog
503.787732
206
G = Antilog (2.445571514) = 278.979
152
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5. Calcular G del siguiente cuadro de distribución de frecuencia haciendo uso de:
Fórmula general:
G=
G=
L1 - L2
Yi1 - Yi
Yi
ni
Log Yi
1,495 - 1,545
1,50 - 1,54
1,52
5
0,181843587
154,5 - 1,595
1,55 - 1,59
1,57
12
1,145899652
1,595 - 1,645
1,60 - 1,64
1,62
40
0,209515014
1,645 - 1,695
1,65 - 1,69
1,67
26
0,222716471
1,695 - 1,745
1,70 - 1,74
1,72
11
0,235528446
1,745 - 1,795
1,75 - 1,79
1,77
6
0,247973266
N=100
LogYi=1,24347644
6
152
. x157
. x1.62 x1.67 x1.72 x1.77
6
19.65515348
G = 1.642779999
153
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6.
Calcular la media geométrica de las estaturas de 100 alumno de la Universidad
distribuidos de acuerdo a la siguiente tabla mediante :
a. La fórmula general
b. Mediante Logaritmos
Y´ I - 1 - Y´ Í
YÍ
Ní
Log Y Í
1.50 - 1.54
1.52
5
0.181843587
0.909217939
1.55 - 1.59
1.57
12
0.195899652
0.2350795829
1.60 - 1.64
1.62
40
0.209515014
0.8380600582
1.65 - 1.69
1.67
26
0.222716471
0.579062825
1.70 - 1.74
1.72
11
0.235528446
0.2590812916
1.75 - 1.79
1.77
6
0.247973266
0.1487839598
N =
50
G = 100
niLogY I
niLogYi =
21.50989511
1.52 5 * 1.57 1 2 * 1.62 4 0 * 1.67 2 6 * 1.72 1 1 * 1.77 6
G = Antilog niLogYi
N
= 21.50989511
100
G = Antilog (0.2150989511) = 1.640963613
154
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7. Calcular la media geométrica de los siguientes cuadros de frecuencias :
Y´ I - 1 - Y´ Í
YÍ
Ní
Log Y Í
niLogY I
200 - 224
212
26
2.326335861
60.48473238
225 - 249
237
21
2.374748346
49.86971527
250 - 274
262
39
2.418301291
94.31375036
275 - 299
287
52
2.457881897
127.8098586
300 - 324
312
30
2.494154594
74.82463782
325 - 349
337
24
2.527629901
60.66311762
350 - 374
362
14
2.558708571
35.82191999
niLogYi =
N =
216
631.5975907
G = Antilog niLogYi = Antilog 503.787732
N
216
G = Antilog (2.332350611) = 214.9565144
155
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3.5.1 TASAS DE CRECIMIENTO DE LAS POBLACIONES
Una de las aplicaciones de la estadística es para determinar la tasa de
crecimiento de las poblaciones.
Todos los países que desean proyectarse hacia el futuro tienen que
trazarse planes de desarrollo y en el caso del Perú, este estudio es
elaborado por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) con
el auspicio del Fondo de Población de las Naciones Unidas y el Centro
Latinoamericano de Demografía.
El censo de 1993 nos señalo las siguientes proyecciones de la población
del Perú entre 1995 y 2025.
1. Uno de los principales factores que explicó la disminución de la tasa de
crecimiento poblacional en el Perú de 2.9% en el quinquenio de 1960 -1965
ha disminuido a 1.7% en el quinquenio de 1990 -1995, se debe al
decremento de la tasa de fecundidad.
Si entre 1960 y 1965, una mujer peruana tenía un promedio de 6.9 hijos en
el quinquenio de 1990-1995 es de 3.4 hijos en promedio, estimándose que
para el año 2025 el número promedio de hijos al término de un período
reproductivo será de 2.1 por mujer. Según el estudio del número promedio
de hijos por mujer genera una reducción de la tasa de natalidad con una
clara tendencia decreciente.
156
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2. En el período l960-l965 la tasa era de 46.3 nacimientos por cada mil
habitantes, mientras que en el quinquenio de l990 -l995 la proporción era
de 27.6 por cada mil. Para el año 2005 se proyecta un crecimiento de l6.2
nacimientos por cada mil pobladores.
El INEI informó que en los últimos 10 años se ha reducido de 82 a 56
defunciones por cada mil nacidos vivos proyectándose para el 2025 en 45
las defunciones de menores de un año.
3. La esperanza de vida al nacer también ha variado. La población
peruana a aumentado de 44 años en el quinquenio de l940 -l945 a 67 años
en el periodo de l990-l995.
4. Se estima que el periodo de vida de los será de 75 años. Esta
disminución en las tasas de mortalidad infantil
y el aumento de la
esperanza de vida se ha manifestado pr incipalmente en el área urbana.
5. En el año 2025 más de la mitad de la población tendrá 32 años en los
próximos 30 años la estructura por edades de la población cambiará
significativamente.
6. La edad mediana de la población que en 1965 era de 18 años en 1995
alcanza los 21.6 años y en 2025 será de 31.7 años como resultado de los
descensos del ritmo de fecundidad y mortalidad.
7. Al analizar la estructura de la población por grandes grupos de edades,
se señaló que en el período 1995 -2025 la proporción de la pobl ación
menor de 5 años disminuirá del 12% al 8%.
8. La población en edad de trabajar de (15 a 64 años) aumentará de 60%
al 68% y el porcentaje de la población mayor de 65 años se incrementará
del 4% al 9% de la población total.
9. En términos absolutos, la pobl ación menor de 15 años se mantiene en
torno a los 8.4 millones con tendencias a decrecer, también las personas
de 65 años ó más se triplicará para pasar de 1 a 3 millones.
157
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10. La población de 15 a 64 años se incremento en 10 millones al pasar de
14 a 24 millones en el período de 1995 -2025.
11. En el 2025 habrá 9.39 millones de alumnos de nivel primaria con un
incremento de 11000 alumnos promedio por año entre el período de 2005
a 2025.
12. Al 2015 los requerimientos de maestros para atender los servicios de
enseñanza en nivel primaria será 168 mil.
13. La población de adultos mayores de 60 años crece anualmente 2.5%,
mientras que la población de 0 a 60 años se incrementó en 1.7%. En
América Latina al comenzar el próximo siglo los mayores de 60 años
superarán el 10% poblacional.
14. En América Latina ya existen países en los que hay más del 10% de
mayores de 60 años, ejemplo: Chile, Cuba, Argentina, Urug uay. En el Perú
de acuerdo a las cifras del último censo la población mayor de 60 años
corresponde al 6.4% sobre un total de 23´854,017. La proyección de
mayores de 60 años en el Perú para el 2000 es de 6.97%. Lo que se
traduce 1´833,000 de una población t otal de 26´275,504 habitantes.
158
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FÓRMULA PARA CALCULAR LA TASA DE CRECIMIENTO DE LAS POBLACIONES:
n
G=
A
B
- 100 %
A = POBLACIÓN DEL ÚLTIMO CENSO
B = POBLACIÓN DEL CENSO TOMADO COMO BASE
N = DIFERENCIA EN AÑOS ENTRE UNO Y OTRO CENSO
G = TASA DE CRECIMIENTO
159
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Ejercicio:
Considerando los resultados de los censo de población y vivienda realizados en Perú
determinar:
a. La tasa de crecimiento entre censo y censo
b. La población del Perú para los años 2000, 2010, 2020, 2030, 2040, 2050.
c. En qué año se duplicará la población de 1997
Año de censo
Tiempo ti/x
Población/yi
1940
0
7023,1
1961
21
10420,4
1972
32
14121,6
1981
41
17762,2
1993
53
22639,4
A
G
100
%
B
n
160
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a)
N = 1961 - 1940 = 21
A = 10,420.4
B = 7.023.1
21
10420
7.0231 -
100% = 1.018966222 - 100%
 101.8966222% - 100% = 1.8966222%
G = 1.8966222%
b)
N = 1972 - 1961 = 11
A = 14.121.6
B = 10.420.4
G=
11
12121.6
- 100% = 1.028016194 - 100%
10420.4
G = 102.8016194% - 100%
G = 2.8016194%
161
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c)
N = 1981 - 1972 = 9
A = 17762.2
B = 14121.6
G=
17762.2
- 100% = 1025812754 - 100%
141216
.
G = 102.58812754 - 100%
G = 25812754%
d. N = 1993 - 1981 = 12
A = 22639.4
B = 17762.2
G=
22639.4
- 100% = 1020424036 - 100
17762.2
G = 1020424036% - 100%
G = 20424036%
Tomado cinco años base la población del año 2000
Datos:
N =2000-1993=7 Elevando ambos miembros a la séptima potencia
A2000 = X200
B1993 = 22’639.4
Tasa de crecimiento (g1) = 1.020424036
162
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FORMULA PARA DETERMINAR LAS PROYECCIONES DE POBLACION
La fórmula para determinar las proyecciones de la población a futuro es la misma de la
tasa de crecimiento sin considerar el 100 %.
Nota: Dado que en el Perú no hay una política de censos, la tasa de crecimiento a
futuro es la que se obtuvo en el último censo.
Cuando hay igual amplitud entre uno y otro censo, la tasa de crecimiento a futuro es el
promedio.
G=
N
A
B
Del ejercicio anterior
b) N = 2000 – 1993 = 7
A2000 = ?
B1993 = 22’639.4
G = 1.020424036
163
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Población para el 2000
Población para el 2010
7
1.02042403581 =
__A___
1.02042403581 =
__A___
22’639.4
1.152032565 = __A___
26’08132.06
1.224071521 =
22’639.4
__A___
26’081.32606
A = 1.224071521 * 26’081.32606
A = 1.152032565 * 22’639.4
A = 31925.40847
A = 26081.32605
A = 31’925408.47
A = 26’08132.06
Población para el 2030
Población para el 2020
1.02042403581 =
1.02042403581 =
__A___
__A___
10
39078.98332
31’925.40847
1.224071521 =
__A___
1.224071521 =
31’925.40847
__A___
39078.98332
A = 1.224071521 * 31’925.40847
A = 1.224071521 * 39078.98332
A = 39078.98332
A = 47835.47057
A = 39’078983.32
A = 47’835470.57
164
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Población para el 2050
Población para el 2040
10
1.02042403581 =
1.224071521 =
A
47835.47057
A
47835.47057
1.02042403581 =
1.224071521 =
A
58554.03724
A
58554.03724
A = 1.224071521 * 47835.47057
A = 1.224071521 * 58554.03724
A = 58554.03724
A = 71674.32945
A = 58’554037.24
A = 71’674329.45
C). Cuando de duplicara y triplicara:
Se duplicará
:
N
1.02042403581 = 2 ( 26081.32606 )
26081.32606
N = 0.301029995
0.008780679
1.02042403581 = N
2
= 2 1/N
N = 34.28322364
Aplicando logaritmos :
Log 1.02042403581 = 1 Log2
N
N=
Se duplicará el 2000 + 34.28 =2034
Log 2
Log 1.02042403581
165
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Se triplicará :
1.02042403581 = 3 ( 26081.32606 )
N=
26081.32606
0.477121254
0.008780679
1.02042403581 = N
3
= 3
1/N
N = 54.33762636
Aplicando logaritmos :
Log 1.02042403581 = 1 Log3
N
N=
Se triplicará el 2000 + 54.34 =2054
Log 3
Log 1.02042403581
166
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3.6 MEDIA ARMONICA (H)
Se define la media armónica como la recíproca de la media aritmética de los recíprocos
de los números y se caracteriza por la menor afectada por los valores extremos, razón
por la cual se le utiliza para:
◊
Promediar tasa de productividad
◊
Promediar velocidad
◊
Promediar valores que no deben su afectos por los valores extremos
◊
En relaciones industriales para pagar en forma justa de acuerdo al rendimiento a
los obreros y empleados.
Se determina mediante la aplicación de:
DATOS SIMPLES
DATOS AGRUPADOS
H =. N .
H = . N .
 1
Yi
 ni
Yi
167
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Ejercicios:
1.- Al calcular la media armónica de los números 2, 4, 8
DATOS SIMPLES
H =. N .
 1
Yi
H =. N . =
 1
Yi
3
1 + 1 + 1
2
4
8
=
3
4+2+1
8
=
24 = 3.248571429
7
H = 3.248571429
168
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2.- Calcular la media armónica del siguiente cuadro de distribución de frecuencias.
L1 _L2
Yi´-1 _ Yi
Yi
ni
ni/Yi
1.495 - 1.545
1.50 - 1.54
1.52
5
3.289473684
1.545 - 1.595
1.55 - 1.59
1.57
12
7.643312102
1.595 - 1.645
1.60 - 1.64
1.62
40
24.69135802
1.645 - 1.695
1.65 - 1.69
1.67
26
15.56886228
1.695 - 1.745
1.70 - 1.74
1.72
11
6.395348837
1.745 - 1.795
1.75 - 1.79
1.77
6
3.389830508
N = 100
H =. N . =
100
 ni
Yi
60.97818543
=
 ni/Yi =
60.97818543
1.639930720
169
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3.6.1 TASA DE PRODUCTIVIDAD
Una de las aplicaciones de la media armónica es para promediar tasas de productividad
de obreros y empleados debido a que no es influenciada por los valores externos como
sucede con otros promedios, razón por la cual debe ser utilizada en todo tipo de
empresas para pagar en forma justa y de acuerdo a su rendimiento.
Ejercicios:
1.- Un laboratorio de productos farmacéuticos ha asignado a que un grupo de 4
trabajadores para completar una orden de 700 artículos de un mismo tipo. Las tasas de
productividad de cada uno de los trabajadores están dadas a continuación.
Trabajadores
Tasa de productividad
H
4 mint. por art.
I
6 mint. por art.
J
10 mint. por art.
K
15 mint. por art.
170
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Determinar :
a) El promedio de minutos por producto para el grupo de trabajadores.
b) En qué tiempo estará listo el pedido
c) Qué cantidad de productos se entregara a cada trabajador
d) Si por cada producto que entrega el trabajador recibe s/.0.50 ¿ Cuanto tendrá que
abonarse a cada uno de los trabajadores y cuanto tendrá que abonar la empresa por
derecho de mano de obra?
Solución :
4
a)
=
1+1+1+1
4
b)
4
15 +10 + 16 + 4
6 10 15
48 __ 1
X = 700 * 48
7
__
700
=
35
48 = 6.857142857
7
60
7
X
= 240
Estará listo en 4800 minutos
lo que equivale a 80 horas.
X = 4 800
171
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c)
Si demora 4800 minutos, cada uno tendrá 1200 minutos
H
_ 1200 / 4
300
I
_ 1200 / 6
200
J
_ 1200 / 10 120
K
_ 1200 / 15
80
700
d)
H
_ 300 * 0.50 150
I
_ 200 * 0.50 100
J
_ 120 * 0.50
60
K
_ 80 * 0.50
40
350
e)
7000 * 6 6/7 700 * 48
= 4800
7
4800 = 1200 = 20 horas
1er
_ 8
2do
_ 8
3er
_ 4
equivale a 2 días y medio
20
172
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3.7 MEDIA CUADRATICA (R.M.S)
Se define la media R.M.S como la raíz cuadrada del cuadrado de la media y que se le
utiliza para la determinación de:
1. Investigaciones de laboratorio
2. Aplicaciones físicas y químicas
3. Para la determinación de la desviación estándar se determina mediante la aplicación
de las siguientes fórmulas:
DATOS SIMPLES
DATOS
AGRUPADOS
RMS =  Yi2
N
RMS =
 ni.Yi2
N
173
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Ejercicios
1.- Calcular la media cuadrática de los números 2, 4, y 8.
RMS =
22 + 42 + 82
=
4 + 16 + 64 =
3
84
3
= 5.29150262
3
2.- Calcular la RMS del siguiente cuadro de distribución de frecuencia.
L1 _L2
Yi´-1 _ Yi
Yi
ni
Yi2
ni Yi2
45 - 55
45.5 - 54.5
50
4
2500
10000
55 - 65
55.5 - 64.5
60
12
3600
43200
65 - 75
65.5 - 74.5
70
20
4900
98000
75 - 85
75.5 - 84.5
80
10
6400
64000
85 - 95
85.5 - 94.5
90
4
8100
32400
N = 50
 ni.Yi2 = 247 600
174
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Solucion:
RMS =
 ni.Yi2
N
=
247600 =
4952 = 70.37044834
50
RELACIÓN DE PROMEDIOS
En un conjunto de números positivos se pueden establecer la siguiente relación entre
los promedios:
R.M.S > X > G > H
175
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Ejercicios:
1.- Calcular la relación de los promedios de los números 2, 4, y 8.
_
X =  Yi
=
N
G =  log N
14
= 4.6
3
= 1.806179974 = Antilog.0.602059624
N
RMS =
4
3
 Yi2
N
H =
=
=
5.291502622
 RMS > X > G > H
N =
3
=
3 __ =
3*8
5.29
>
4.67
>
4
>
3.43
1
1+1+1
4+2+1
7
Yi
2 4 8
8
= 24 = 3.428571429
7
 RMS > X > G > H
5.29 > 4.67 > 4 > 3.43
176
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3.8 LA MEDIANA (Md)
Es el valor que impide a una distribución de modo tal que a cada lado de ella queda un
número igual de términos.
CÁLCULO DE LOS MD PARA DATOS SIMPLES:
La medida de un conjunto de datos ordenados según su magnitud es el valor central en
el caso de un número impar de datos o la media aritmética de los dos valores centrales
en el caso de un número par de datos.
Ejemplos :
a)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Md = 5
b)
2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10
Md = 1 (5 + 7)
2
Md = 6
177
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CALCULO DE LA MD PARA DATOS AGRUPADOS PONDERADOS O
CLASIFICADOS
Se determina por interpelación mediante la aplicación de los siguientes fórmulas:
Md
=
L1
+
N - (  Ni)1
2
niMd
i
Donde :
L1
=
Limite real inferior de la clase mediana.
N
2
=
Mitad del total de frecuencias absolutas.
(  Ni)1
=
Frecuencia acumulada anterior de la clase mediana.
ni Md
=
Frecuencia de la clase mediana
"i" ó "c"
=
Amplitud de clase.
178
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NOTA:
La formula de la mediana a diferencia de otros promedios necesita de
un proceso previo para determinar en qué clase está contenida la
mediana.
El proceso consiste en:
1. Construir la columna de frecuencias acumuladas Ni.
2. Determinar el valor N/2 y buscar en cual de las frecuencias acumuladas menores
está contenido, esto nos indicará cual es la clase que contiene a la mediana.
3. Determinar los datos y aplicar la formula.
Ejercicios:
1.- Determinar la mediana del siguiente cuadro de distribución de frecuencias.
L1 - L2
Yi
ni
Ni
45 - 55
50
4
4
55 - 65
60
12
16
70
20
36
75 - 85
80
10
46
85 - 95
90
4
50
65
Yi'-1 - Yi
- 75
Clase Mediana
N = 50
179
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Proceso :
1.- Determinar los datos.
Proceso
1) Ni
2) N/2 = 50 = 25
2
Un número en Ni que sea el menor que contenga a 25, en este caso es el 36 por lo tanto
todo esa recta es la clase MD
Datos:
L1 = 65
N/2 = 25
(ni)1 = 16 un número anterior a la clase mediano
Nimd = 20
i ó c = 10
L1
=
65
N
=
50 =25
2
2
(Ni)1 =
16
ni Md =
20
"i"
10
=
Md
=
65 +
25-6
10
20
Md
=
65 +
90
20
Md
=
65 +
Md
=
69.5
4.5
180
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Ejercicio:
Calcular la mediana de los siguientes cuadros de la distribución de frecuencia:
L1 - L2
Yi1 - Yi
1,495 - 1,545
Yi
ni
Ni
1,50 - 1,54
5
5
1,545 - 1,595
1,55 - 1,59
12
17
1,595 - 1,645
1,60 - 1,64
40
57
1,645 - 1,695
1,65 - 1,69
26
83
1,695 - 1,745
1,70 - 1,74
11
94
1,745 - 1,795
1,75 - 1,70
6
100
100
181
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DATOS:
L1 = 1.595
N/2 = 50
(ni) = 17
Nimd = 40
i = 0.05
 N
 ( n i)1

2
L1  
m i / m d







Md = 1.595 + (50-17) = 0.05
40
Md = 1.595 + 1.65
40
Md = 1.595 + 0.04125
Md = 1.636625
182
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3.9 LA MOD A
En términos psicológicos la moda es aquello de mayor aceptación
popular. En estadística la moda conocida también como modo o media
modal es el valor que se repite con mayor frecuencia, lo que equivaldría a
decir que es el término, número o valor que está de moda.
3.9.1 CALCULO DE LA MODA PARA DATOS SIMPLES
Puede o no tener moda o no ser única.
a) 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7 , 8 , 10
No existe
b) 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 5 , 7 , 8 , 9
Unimodal Mo = 5
c) 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 6 , 6 , 6 , 7 , 8
Bimodal Mo = 3 y 6
d) 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 6 , 6 , 6 , 7 , 9 , 9 , 9
Multimodal Mo = 3 , 6 y 9
183
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3.9.2 C A L C U L O D E L A M O D A P A R A D A T O S A G R U P A D O S :
Se determina por interpolación mediante la aplicación de la siguiente fórmula :
Mo
= L1 +
d1
i
d1 +d2
DONDE :
l1
=
lImite real inferior de la clase modal
d1
=
Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de la
clase contigua anterior.
d2
=
Diferencia entre la mayor frecuencia de clase y la frecuencia de la
clase contigua posterior ó superior.
"i"
=
Amplitud de clase
NOTA:
La clase modal es aquella que tiene la mayor frecuencia de clase.
184
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Ejercicios:
1.- Calcular la moda del siguiente cuadro de distribución de frecuencias.
L1 - L2
Yi'-1 - Yi
Yi
Ni
45 - 55
50
4
55 - 65
60
12
70
20
d1
d1
65
- 75
Clase modal
d2
75 - 85
80
10
85 - 95
90
4
Datos :
L1
=
65
d1
=
20 - 12 = 8
d2
=
20 - 10 = 10
"i"
=
10
185
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Reemplazando :
Mo
=
65 +
8
10
8 + 10
Mo
=
65 +
80
18
Mo
=
65 +
4.44
Mo
=
69.44
Ejercicio:
Determinar la moda del siguiente cuadro de distribución de frecuencia:
L1 - L2
Yi1 - Yi
Yi
ni
1,495 - 1,545
1,50 - 1,54
1,52
5
1,545 - 1,595
1,55 - 1,59
1,57
12
1,595 - 1,645
1,60 - 1,64
1,62
40
1,645 - 1,695
1,65 - 1,69
1,67
26
1,695 - 1,745
1,70 - 1,74
1,72
11
1,745 - 1,795
1,75 - 1,70
1,77
6
N= 100
186
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Datos:
L1 = 1.595
d1 = 28
d2 = 14
i ó c = 0.05
Mo = 1.595 + 28 x 0.05/42
Mo =
.
 ( 28) 
 1595

 0.05
 28  14 
Mo = 1.6283333333
187