Valoración de opciones mediante simulación de Monte Carlo con

Marialejandra Castillo Torres
Carlos Enrique Vecino Arenas, Ph. D
Las opciones son transadas en los mercados
financieros.
ƒ Una opción call le da a su propietario el
derecho más no la obligación de comprar un
activo subyacente en un tiempo y a un precio
predefinidos.
ƒ Por su parte una opción put le da a su
propietario el derecho más no la obligación
de vender un activo subyacente en un tiempo
y a un precio predefinidos.
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ƒ
En los comienzos de los años 70’s Fisher
Black, Myron Scholes y Robert Merton
realizaron el mayor avance en lo que
concierne a la valoración de opciones
financieras.
ƒ
Este modelo ha tenido gran influencia en la
forma en que los traders valoran las opciones.
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Lognormalidad de los Precios de las Acciones
⎡⎛
⎤
σ2 ⎞
⎟⎟T , σ T ⎥
ln ST − ln S 0 ≈ φ ⎢⎜⎜ μ −
2 ⎠
⎣⎝
⎦
⎡
⎤
⎛
σ2 ⎞
⎟⎟T , σ T ⎥
ln ST ≈ φ ⎢ln S 0 + ⎜⎜ μ −
2 ⎠
⎝
⎣
⎦
Donde ST es el precio de la accione en el tiempo T, S0 es el precio en tiempo cero y φ(m,s) es una distribución normal con media m y desviación s.
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No existen costos de transacción o impuestos.
Todos los títulos valores son perfectamente
divisibles.
No existen dividendos durante la vida de los
derivados.
No existen oportunidades de arbitraje sin riesgo.
Las transacciones de los títulos valores es
continua.
La tasa libre de riesgo es constante e igual para
todos los tiempos de ejercicio.
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Esta es sin duda la principal herramienta para el análisis de los derivados. ƒ Esta propiedad puede aplicarse debido a que
no existen variables que estén afectadas por
las preferencias de riesgo de los
inversionistas.
ƒ Por tanto puede hacerse el supuesto de que
los inversionistas son neutrales al riesgo.
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c = S 0 N (d1 ) − K e
p=Ke
− rT
− rT
N (d 2 )
N (−d 2 ) − S 0 N (−d1 )
2
ln( S 0 / K ) + (r + σ / 2)T
donde d1 =
σ T
2
ln( S 0 / K ) + (r − σ / 2)T
d2 =
= d1 − σ T
σ T
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A pesar de que el modelo de Black and
Scholes es tan importante en la historia de la
valoración de las opciones financieras,
muchas veces es visto como una caja negra
debido a su gran cantidad de supuestos.
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De una forma más intuitiva y ayudados de la
simulación de Monte Carlo es posible
encontrar el valor de las opciones.
ƒ
Para poder encontrar el valor de la opción es
necesario conocer los mismos parámetros
que son requeridos por el modelo B&S.
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Datos de entrada
• Drift annual
• Volatility annual
• Initial price
• Risk free rate
• Time to maturity
Cálculos preliminares
• Periodic drift
• Periodic volatility
• Drift mean
• Exercise Price
Cálculos finales
• Movimiento Browniano Geométrico
• Price option
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Nombre de la acción: DELL Drift anual: 0,2076% Tasa libre de riesgo: 0,2076%
Volatilidad anual: 33,84% Fecha del contrato: 18 de Junio
Día de valoración: 11 de Mayo
Tiempo para la maduración: 38 días
Precio inicial: $16,41 Número de subperiodos 365 Universidad Industrial de Santander‐ Grupo de Investigación FINANCE
Movimiento Browniano Geométrico
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Drift Periódico (μ)= Drift anual/Número de
subperiodos
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Volatilidad
Periódica(σ)=
Volatilidad
anual/(Número de subperiodos)^1/2
ƒ
Media del Drift = (μ‐(σ^2/2))
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El precio de la acción estará dado por el Movimiento Browniano Geométrico así:
⎛
σ2 ⎞
⎟⎟ + σ * RiskNormal (0,1)
St = So * exp ⎜⎜ μ −
2 ⎠
⎝
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El precio en el tiempo de ejercicio es una variable de salida.
⎛
σ2 ⎞
⎟⎟ + σ * RiskNormal (0,1)
St = Riskoutput (" Pr iceT " ) + ST −1 * exp ⎜⎜ μ −
2 ⎠
⎝
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El pago de la opción estará dado por:
Payoff = Riskoutput (" OptionPayoff " ) + MAX (0; ( ST − K )
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El pago esperado estará dado por la media de la distribución de probabilidad del pago:
Expected _ Payoff = Riskmean( Payoff )
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El valor de la opción estará dado por el valor presente del pago esperado:
Option _ value = Expected _ payoff * EXP( − rT )
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El uso de la simulación de Monte Carlo ofrece
una gran ventaja para demostrar procesos
como el Movimiento Browniano Geométrico.
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La corrida de la simulación para el cálculo de
la opción con un mayor número de
iteraciones arroja resultados más cercanos al
valor obtenido con Black and Scholes.
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La diferencia entre los valores calculados
radica en la discretización del tiempo, ya que
B&S cálcula el valor de la opción en tiempo
continuo.
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