Ampliación 2
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Galaxias espirales Unos dos tercios de todas las galaxias son espirales y de estas, más de dos tercios tienen una estructura espiral regular, con dos brazos que pueden seguirse continuamente desde el centro de la galaxia (el bulbo central) hasta los extremos del disco. Una descripción adecuada se consigue en la mayoría de los casos a través de la teoría de ondas de densidad. Pero antes, para entender estas galaxias, debemos estudiar la estabilidad gravitatoria de un disco galáctico y definir las principales características de las órbitas de las estrellas en el disco (teoría de los epiciclos). 1. Dinámica estelar, estabilidad y órbitas Dinámica estelar El gas en una galaxia espiral tiene una masa como máximo del 10% de la galaxia. A efectos prácticos, sólo la masa de las estrellas tiene importancia. Al estudiar las galaxias elípticas vimos que el potencial gravitatorio de la galaxia podía expresarse como un potencial promedio, en donde las atracciones de muchas estrellas a grandes distancias eran más importantes que las atracciones de unas pocas estrellas a distancias pequeñas. Similarmente a como vimos para las galaxias elípticas, los tiempos de relajación (trel) y de cruce (tcross) cumplen la relación: trel h N h t ≈ ≈ rel tcross esp R 8 ln N R tcross elip donde N ≈ 10 11 es el número de estrellas en la galaxia. Un valor típico entonces para la razón anterior es trel/tcross ≈ 10 con tcross ≈ 10 años. 8 8 Al igual que ocurría con las galaxias elípticas, el tiempo de relajación por colisiones entre estrellas de las galaxias espirales es mucho mayor que la edad del universo, por lo que las colisiones pueden ser despreciadas. El conjunto de estrellas constituye un medio sin colisiones, cuyo estado de equilibrio en un potencial dado viene gobernado por la ecuación de Vlasov. Estabilidad Una vez que se ha alcanzado un estado de equilibrio, no se mantendrá necesariamente en ese estado. El ejemplo más sencillo es el de un disco frío (velocidades de dispersión pequeñas) representando una galaxia espiral en equilibrio rotacional. Cada estrella se mueve en una órbita circular con una velocidad angular tal que Ω = (1 r )(∂φ ∂r ) . Este sistema es violentamente 2 inestable y forma condensaciones: se necesita un cierto grado de dispersión de velocidades para evitar la aparición de inestabilidades de Jeans. Este tipo de perturbaciones se llama perturbaciones axisimétricas para distinguirlas de las inestabilidades en forma de barras o brazos espirales, las cuales pueden ocurrir en un disco suficientemente caliente para evitar las inestabilidades de Jeans. Inestabilidades de Jeans El método de Jeans para determinar el criterio de estabilidad ya fue descrito anteriormente. Recordemos que este criterio asume un medio homogéneo e infinito en equilibrio. Desde el punto de vista ondulatorio, el método consiste en perturbar ligeramente la densidad del sistema ρo mediante una onda del tipo: ρ1 = α e i ( kr −ωt ) y linealizar el sistema de ecuaciones para encontrar la relación de dispersión ω(k) de estas ondas. El sistema es inestable cuando ω < 0, esto es, si existe una solución que aumenta 2 exponencialmente con el tiempo: e −ω 2t . Para un fluido con una densidad ρo y presión Po = ρocs (cs la velocidad del sonido en el medio), el 2 criterio de Jeans establece que las perturbaciones con un tamaño mayor que la longitud λJ de Jeans: λ> cs = λJ Gρ o son inestables. Esto significa que el sistema es inestable para un tamaño λ si la onda de sonido no tiene suficiente tiempo (r/cs) para cruzar esta región en el tiempo de caída libre (tiempo dinámico) t ff = 1 Gρ . Por tanto, la fuerza debida a la presión es despreciable frente a la gravedad. Puede usarse el método de Jeans para un sistema de estrellas linealizando las ecuaciones de Poisson y de Vlasov, y considerando los movimientos aleatorios de las estrellas como una forma de presión. Esta presión de las estrellas puede escribirse como ρoσ , donde σ es la velocidad de dispersión. 2 Entonces, cada elemento de masa de tamaño λ es inestable si el tiempo de cruce de este elemento por una estrella es mayor que el tiempo dinámico correspondiente, esto es, si: λ > λJ = σ . Gρ o Estabilidad debida a la rotación La rotación de un disco galáctico permite la estabilidad en escalas grandes, en contrate con los efectos de presión que se estabilizan en escalas pequeñas. 2 Consideremos una pequeña región de tamaño L en un disco de densidad superficial µ y de masa µL , girando con una velocidad angular Ω, a una distancia d del centro. En el sistema de referencia 2 de esta región, las fuerzas presentes son la gravitatoria, centrífuga y de Coriolis. Imaginemos una perturbación que aumenta localmente la densidad superficial en una cantidad µε. El resultado es que un elemento de la periferia de esta región se acerca una distancia εL. El incremento en la fuerza gravitatoria será: [ ] GµL2 (L − εL ) − L−2 ≈ 2εGµ −2 por unidad de masa. Por la conservación del momento angular por unidad de masa, J = d Ω, la velocidad de rotación de 2 la región contraída aumentará también proporcionalmente a ε, debido a que: ∆J = 2Ωd ∆d + d 2 ∆Ω = 0 y ∆Ω − 2 ∆d 2εL = = . Ω d d La fuerza centrífuga también aumenta en una cantidad ∆(Ω d) ≈ 3εLΩ . Si esta fuerza es suficiente 2 2 para mandar la masa a su posición inicial, el sistema será estable. De aquí se deduce que: L > Lcrit = 2Gµ . 3Ω 2 La rotación estabiliza pues a regiones grandes, al revés que la presión. El orden de magnitud de Lcrit puede estimarse a partir de que Ω R = V /R ≈ GµR /R = Gµ, y por 2 2 2 2 tanto Lcrit ≈ R. Así, la rotación estabiliza estructuras con tamaños de la galaxia, en vez de estructuras locales. El criterio de estabilidad Para garantizar la estabilidad en todas las escalas lo que se necesita es una velocidad de dispersión mínima para hacer que la longitud de Jeans crítica sea igual a Lcrit. Calculemos la longitud de Jeans para un disco delgado en función de la densidad superficial. Los tiempos de caída libre y de cruce son, respectivamente: t ff = L Gµ t cross = L σ 3 donde σ es la velocidad de dispersión. Si igualamos estas dos escalas de tiempo obtenemos la longitud de Jeans: λJ = σ2 . Gµ La estabilidad en todas las escalas se produce cuando λJ = Lcrit, o sea, cuando σ = Gµ/Ω. En realidad se necesita un cálculo más riguroso para encontrar el factor numérico. Para un disco infinitamente delgado, la velocidad de dispersión radial mínima σr = 3.36 Gµ/κ, donde κ es la frecuencia epicíclica que calcularemos posteriormente. La razón entre la dispersión radial de velocidades observada y la velocidad de dispersión crítica se denota como Q, por lo que la estabilidad se obtiene cuando Q > 1. Este es el criterio de Toomre. En la vecindad solar, Q adopta un valor entre 1 y 2. Las estrellas que nacen en el medio interestelar empiezan con una velocidad de dispersión baja, del orden de la dispersión del gas (10 km/s). Esta baja dispersión crea inestabilidades locales, que aumentan σ hasta un valor tal que Q > 1. Órbitas estelares Muchas veces, el comportamiento colectivo de las estrellas en una galaxia puede entenderse con más claridad si conocemos las órbitas de las estrellas individuales o, al menos, los principales tipos de órbitas periódicas. El cálculo orbital en un potencial promedio se justifica por el hecho de que una galaxia constituye un medio sin colisiones. Epiciclos Consideremos un potencial gravitatorio axisimétrico y aplastado, correspondiente a una galaxia espiral, de la forma U(r,z), con U(z) simétrico respecto al plano z = 0. Escogemos un sistema de coordenadas cilíndricas (r,θ,z). Consideremos las órbitas más numerosas, que son casi circulares. Llamemos x a la desviación radial con respecto al círculo de radio R e y a la desviación azimutal: r = R+ x θ = Ωt + y donde Ω es la velocidad angular para una trayectoria circular: Ω2 = 1 ∂U ( R,0) . R ∂r En coordenadas cilíndricas, las ecuaciones de movimiento se escriben como: 4 ∂U , ∂r rθ + 2rθ = 0, ∂U . z = − ∂z r − θ 2 r=− Desarrollando en series de Taylor el potencial U(r,z) en la vecindad de la trayectoria circular obtenemos: ∂U ( R,0) ∂U ∂ 2U ( R,0) ∂ 2U ( R,0) . = +x + z ∂r ∂r ∂r ∂z ∂r 2 El último término en la expresión anterior es igual a cero debido a la simetría de U(z). Linealizando las ecuaciones de movimiento encontramos que en primer orden de aproximación: ∂ 2U ( R,0) , x − 2Ωy R − Ω x = − x ∂r 2 Ry + 2 xΩ = 0, ∂ 2U ( R,0) z = − z . ∂z 2 2 Este resultado se conoce como aproximación epicíclica. Integrando la segunda ecuación del movimiento obtenemos: Ry + 2 xΩ = a ≡ constante, e insertando esto en la primera ecuación: ∂ 2U ( R,0) . x − 2Ω( a − 2 xΩ) − Ω x = − x ∂r 2 2 Esta ecuación pude expresarse en la forma: x + κ 2 ( x − x0 ) = 0 y y = − 2Ωx , R con ∂ 2U ( R,0) dΩ κ = + 3Ω 2 = R + 4Ω 2 . 2 ∂r dR 2 5 Podemos tomar a = 0, de donde x0 = 0 (de otra manera las pequeñas oscilaciones ocurrirían alrededor de otro punto de equilibrio, lo que alteraría las condiciones iniciales r = R). De esta manera, x e y ejecutan movimientos oscilatorios con frecuencia epicíclica κ; de la misma forma, z oscila con frecuencia νz, tal que ν z = ∂U ( R,0) ∂z . 2 2 La trayectoria de una estrella proyectada en el plano de la galaxia es el resultado de un círculo y de un epiciclo (una pequeña elipse en el sistema de referencia en rotación), como se muestra en la Figura 1: en general la forma es la de una roseta. La estrella se mueve a través del epiciclo en dirección contraria al movimiento circular, siendo la razón entre los ejes κ/2Ω. La curva de rotación de una galaxia espiral puede modelarse aproximadamente como una composición de: 1. Rotación fija cerca del centro, con Ω=Ω0 constante y V = Ω0r. 2. Rotación lejana, donde la rotación es diferencial con V = V0 constante y con Ω = V0/r. En el primer caso, κ = 2Ω, y luego se hace κ = 2 Ω (véase Figura 2). Para potenciales reales, κ/Ω toma valores entre 1 y 2. Se puede determinar entonces la forma de las rosetas, siendo el número de lóbulos por revolución κ/Ω. Cuando κ = 2Ω, la órbita se cierra exactamente en una elipse, con dos lóbulos por revolución. Figura 1 Aproximación epicíclica de primer orden. (a) Definición de coordenadas. (b) La trayectoria epicíclica en el plano xOy para una estrella; el epiciclo viaja en sentido retrógrado. (c) Caso en que κ = 2Ω; aquí la curva de rotación es fija (V = Ω0r) o una órbita resonante en el sistema de referencia en rotación (Ωp = Ω - κ/2). (d) La órbita de la estrella en un sistema en corrotación, Ωp = Ω; la razón de los ejes epicíclicos es κ/2Ω. Hay exactamente tres constantes del movimiento: el momento angular Lz (que se conserva porque U/θ = 0), y la energía de dos osciladores, en la dirección z y epicíclica, dado que: z 2 + ν z2 z 2 , 2 x2 +κ 2x2 Ex = ; 2 Ez = otra constante posible es la energía total. 6 Figura 2 Modelo simplificado de curva de rotación galáctica. Región 1: rotación fija, v(r) = Ω0r. Región 2: curva de rotación plana, v(r) = V0. La razón κ/Ω está entre 1 y 2. Resonancias de Lindblad y de corrotación Tanto si existe una perturbación espiral con m brazos, una barra o incluso una galaxia compañera en interacción, a menudo existe una velocidad angular privilegiada Ωp que juega un papel especial para las estrellas. En le sistema de referencia en rotación con la perturbación, las estrellas giran con una velocidad angular Ω' = Ω - Ωp. Hay entonces regiones de la galaxia en las que Ω' = κ/m, o sea, regiones en las que las órbitas epicíclicas se cierran después de m lóbulos. Las estrellas en estas órbitas se alinean con la perturbación y se mueven con ella. Al interactuar con la perturbación siempre con el mismo signo, se ponen en resonancia. Estas son las resonancias de Lindblad (Figura 3). El caso más común es m = 2. Otra resonancia es la de corrotación Ω(rCR) = Ωp que ocurre en el radio de corrotación rCR. En el sistema de referencia en rotación, las órbitas en las resonancias son periódicas. Figura 3 Resonancias de Lindblad. (a) Una representación de las órbitas resonantes en el sistema de referencia en rotación con velocidad angular de la perturbación espiral, Ωp (Ωs en la figura): la resonancia interna (Ωp = Ω - κ/2); la corrotación (Ωp = Ω); la resonancia externa (Ωp = Ω + κ/2). (b) Las curvas de rotación Ω(r) y las curvas combinadas con la frecuencia epicíclica Ωp = Ω ± κ/2 permiten determinar las resonancias de Lindblad. 7 Imaginemos que la velocidad Ω - κ/2 fuese prácticamente constante para la mayoría de las estrellas de la galaxia. En el sistema de referencia en rotación con una velocidad Ωp cualquier estructura adoptada por las estrellas en un momento dado sería muy duradera, no deformándose sino girando como un sólido rígido en el sistema de referencia fijo. Para nuestra galaxia, la curva Ω - κ/2 determinada por observaciones permanece constante y cercana a Ωp a grandes distancias. Ninguna otra curva Ω - κ/m cambia tan lentamente como Ω - κ/2. Este hecho ayuda a entender la mayor cantidad de galaxias con dos brazos espirales. 2. La teoría de las ondas de densidad La mayoría de las galaxias tienen estructura espiral, algunas sorprendentes por su simetría y regularidad. Estas estructuras son elementos esenciales en la formación y evolución de estas galaxias, ya que es en los brazos espirales donde se forman la mayoría de las estrellas, particularmente las más masivas y luminosas. La espiral también es un medio de llevar momento angular hacia el exterior, permitiendo la formación de barras y concentraciones en los centros galácticos. El problema de la estructura espiral La existencia de la espiral es un gran problema teórico. Los brazos espirales no pueden cimentar su estructura en la materia, ya que la rotación diferencial de la galaxia enrollaría los brazos y la desharía. El centro de la galaxia puede haber dado mil revoluciones desde su formación, mientras que las regiones externas apenas han completado unas decenas de órbitas. Lindblad fue el primero en proponer en 1963 que los brazos espirales pueden ser una estructura girando como un sólido rígido. En el centro de la galaxia, la materia gira más deprisa que la espiral, mientras que las regiones externas lo hace más lentamente. En medio, hay una resonancia de corrotación entre las estrellas y la espiral. Lindblad propuso que el mantenimiento de la estructura puede ser un efecto debido a la autogravedad de las estrellas. Estas ideas están detrás de la teoría de onda de densidad, desarrollada por Lin y Shu entre 1964 y 1970. Los brazos espirales son vistos como ondas que pueden propagarse en una galaxia. La hipótesis de Lin y Shu es suponer la existencia de ondas estacionarias o cuasiestacionarias que permiten la duración de la estructura espiral (un paquete de onda progresiva no se mantendría mucho más tiempo que unos brazos de materia). La relación de la onda de dispersión El principal problema estriba en la coherencia de las ondas. Imaginemos una onda espiral en un disco infinitamente delgado. La densidad superficial es: 8 σ = σ 0 (r ) + σ 1 (r ,θ , t ) , donde σ0(r) es la densidad axisimétrica no perturbada y σ1 la perturbación. Expandiendo la expresión anterior en series de Fourier, obtenemos: σ 1 = σ 1 (r ) e im [θ −θ o ( r ) ]+iωt , que representa una onda espiral con m brazos y amplitud σ1(r). La forma de los brazos queda determinada por la media de la función θ0(r). Sólo la parte real de la expresión tiene sentido físico. En primera aproximación, se asume que la perturbación es sinusoidal, con ω/m la velocidad angular de la onda. El número de onda correspondiente es k = dθ0(r)/dr. Se puede considerar entonces dos casos: 1. k < 0: si los ángulos se miden positivamente en la dirección de rotación de la materia (Ω), las partículas entran en los brazos por el lado cóncavo. La estructura espiral se atrasa. 2. k > 0: las partículas entran en los brazos por el lado convexo. La estructura espiral se adelanta. La forma de los brazos espirales viene dada por el ángulo de inclinación i entre la tangente a la espiral y el círculo de radio r: tg i = 1 dr 1 = r dθ 0 kr (para una espiral muy enrollada, kr >> 1). Figura 4 Dirección en la que se enrolla la onda espiral respecto al sentido de rotación de la galaxia. Cuando la materia cruza los brazos desde el borde cóncavo (a), la onda se retrasa; en (b) se adelanta. La dirección depende del sigo del número de onda k = dθ0/dr, donde θ0(r) determina la forma geométrica de los brazos. 9 Obtención de la relación de dispersión La relación de dispersión de ondas se obtiene en tres pasos. En primer lugar, el potencial gravitatorio creado por la distribución de masa σ1 puede calcularse a partir de la ecuación de Poisson: ∆φ = 4πGρ , donde ρ = σ (r )δ ( z ) . En el caso de galaxias elíptica, calculábamos la respuesta de una estrella a cierto potencial en función del estado del sistema descrito por la función de distribución f(r,v,t), tomado a partir de la ecuación de Vlasov. Análogamente, Lin y Shu usaron la ecuación de Liouville para determinar la N probabilidad f (rn,vn) de encontrar un conjunto de N estrellas en el estado (rn,vn) por unidad de volumen en el espacio de fase. Esta probabilidad se llama función de distribución de N partículas. Con este segundo paso se puede obtener, integrando sobre las velocidades, la densidad de estrellas en el disco. El último paso consiste en identificar la distribución de estrellas obtenida anteriormente con la distribución inicial, con el fin de asegurar la coherencia de la hipótesis. La ecuación resultante es la relación de dispersión de las ondas. El cálculo analítico sólo es posible en la aproximación de ondas de densidad muy enrolladas (la longitud de onda o distancia radial entre los brazos espirales es pequeña comparada con el radio de la galaxia). Esta aproximación permite despreciar el acoplamiento en gran escala, haciendo la ecuación local. De hecho, la densidad superficial oscila rápidamente al alejarnos del punto de cálculo, asegurando la cancelación de las contribuciones distantes al potencial perturbado. La aproximación de ondas de densidad muy enrolladas suele llamarse WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) por su similitud a la aproximación del mismo nombre en el contexto de mecánica cuántica. En realidad, muchas galaxias no tienen una estructura espiral suficientemente enrollada para justificar el uso de la aproximación WKB. En la mayoría de las galaxias, además, el potencial espiral supone algo más que una pequeña perturbación, y la teoría lineal debe ser utilizada con precaución. Aparte de estas limitaciones, la teoría de ondas WKB es una herramienta fundamental para entender la naturaleza de las ondas espirales en galaxias. La relación de dispersión se muestra en la Figura 5: las curvas representan los valores absolutos de la frecuencia local de las ondas de densidad en unidades de la frecuencia epicíclica, ν = m(ΩpΩ)/κ, en función de la longitud de onda λ/λcrit [en unidades de la longitud de onda crítica para la inestabilidad de Jeans: λcrit = 4π Gµ(r)/κ (r)]. Las curvas representan el valor absoluto de ν, la 2 2 10 frecuencia a la que una estrella del disco se encuentra con la onda (ν = 0 para la corrotación. Las curvas pueden extender por simetría respecto a la corrotación: ν = ±1 corresponde a las resonancias externa e interna de Lindblad. En estos puntos, por ejemplo en una espiral con dos brazos, Ωp = Ω ± κ/2, y en el sistema de referencia de las ondas las estrellas tienen órbitas elípticas periódicas. Similarmente, solo se representan longitudes de onda positivas λ = 2π/k, que corresponden a ondas retrasadas, pero las curvas se pueden generalizar a ondas adelantadas por simetría para valores negativos de k. Figura 5 Relación de dispersión para ondas WKB obtenida por Lin y Shu en 1964. En el eje y se muestra la frecuencia de la onda ν = (ω-mΩ)/κ = m(Ωp-Ω)/κ, en unidades de la frecuencia epicíclica κ. La velocidad angular de la onda es Ωp = ω/m. Debido a la simetría, sólo se muestran los valores absolutos de ν y valores positivos de λ. Las curvas representan relaciones de dispersión para varios valores de la velocidad de dispersión (Q). Para Q = 1 toda la región entre ν = -1 y 1 (resonancias externa e interna de Lindblad) está permitida, pero para Q > 1 aparece una región prohibida alrededor de la corrotación (ν = 0). Para una frecuencia dada, puede haber dos soluciones en cada una de las ramas de onda (corta o larga). Las diferentes curvas corresponden a distintos valores de Q (parámetro de estabilidad de Toomre). Solamente se muestran curvas tales que Q > 1, para las que las velocidades de dispersión son suficientemente grandes para que las inestabilidades de Jeans no fragmenten la galaxia. La curva Q > 1 delimita dos regiones en el diagrama, correspondientes a las longitudes de onda corta y larga. La aproximación WKB restringe la validez de los cálculos a las longitudes cortas, dado que λcrit es del orden del radio de la galaxia. Sin embargo, las longitudes de onda largas son esenciales para producir ondas espirales cuasiestacionarias, y los cálculos siempre acaban usándose en la rama larga. Otro resultado fundamental mostrado en la Figura 5 es la existencia de una región prohibida para Q > 1 alrededor de la corrotación en el que las ondas son evanescentes (el número de onda k es 11 complejo). El área prohibida se amplía al aumentar Q (para estrellas con mayor velocidad de dispersión). Estos resultados pueden interpretarse fácilmente si recordamos la necesidad de ajustar los ritmos de precesión Ω - κ/2 a las órbitas periódicas de las estrellas a grandes distancias para evitar la deformación de la espiral formada por dichas órbitas en un momento dado. Cuando la autogravedad es despreciable, el ritmo de precesión es exactamente Ω - κ/2, y la coincidencia sólo se produce en las resonancias de Lindblad (ν = ±1). Esto se indica por la evolución de las curvas como función de Q. Cuando Q tiende a infinito (la velocidad de dispersión hace despreciable la autogravedad), la relación de dispersión tiende a una línea recta horizontal ν = 1, y las ondas se restringen a la región de resonancia. La autogravedad tiene el efecto de disminuir la frecuencia radial de oscilación de las estrellas de κ a νκ. El nuevo ritmo de precesión de las órbitas periódicas se hace Ω - νκ/2. Este ajuste sólo puede conseguirse variando la longitud de onda. En el caso límite Q = 1 (la autogravedad se vuelve importante) las ondas pueden propagarse entre las dos resonancias de Lindblad al tomar ν todos los valores posibles en la rama corta. La relación de dispersión de las ondas permite calcular la forma de la espiral. Para una Ωp dada obtenemos k(r) e integrando θ0(r) (ya que k = dθ0/dr), la forma geométrica del modo correspondiente. Puede observarse, a partir de la evolución de la relación de dispersión en función de Q, que para un sistema caliente (altas velocidades de dispersión) la espiral será más abierta que para un sistema frío (Figura 6), para la rama corta. Lo contrario se cumple para la rama larga. Como veremos más adelante, la onda de la rama larga tiene mayor amplitud en la amplificación, las espirales abiertas indican sistemas fríos. Figura 6 Forma geométrica de las ondas deducida a partir de la relación de dispersión. Para una cierta frecuencia, la longitud de onda es proporcional a Q para la rama corta e inversamente proporcional a Q para la rama larga. Esta última se muestra en la figura para (a) un sistema de estrellas frío y (b) un sistema caliente. Dado que la relación de dispersión de la Figura 5 se refiere a ondas progresivas, éstas se moverán a lo largo del disco de la galaxia y llevarán energía y momento angular. La velocidad con la que un paquete de ondas se mueve es la velocidad de grupo, que en un medio dispersivo se escribe como 12 vg = vlκ)/k) = ω/N. Esta velocidad tiene dirección radial y puede calcularse a partir de la relación de dispersión. Toomre (1969) fue el primero en calcular la velocidad de grupo, demostrando que el tiempo de propagación de la corrotación en la resonancia interna es muy corto, del orden de unas pocas rotaciones de la galaxia, lo que crea el problema del mantenimiento de las ondas si desaparecen en la resonancia interna. Propagación de la onda En las galaxias Q > 1. Las ondas no se pueden propagar entonces a través de la corrotación. Sin embargo, se puede determinar el comportamiento del paquete de ondas entre las resonancias. La Figura 7 indica la naturaleza de las ondas (atrasadas o adelantada, cortas o largar) y la dirección de la velocidad de grupo en función de la posición en la galaxia. Obsérvese que en la vecindad del área prohibida cerca del radio de corrotación, la velocidad de grupo cambia de signo. Esto puede interpretarse como una reflexión del paquete de onda. Sigamos, por ejemplo, un paquete de onda adelantado y muy enroscado (ondas cortas) cuando deja la resonancia interna de Lindblad. Se propaga hacia el exterior, abriéndose progresivamente (λ aumenta). Cuando regresa, justo antes de alcanzar la corrotación, está tan abierta que choca contra la rama de longitudes de onda largas. Cuando la onda llegar a la resonancia interna de Lindblad, la teoría WKB no es apropiada, ya que el número de onda k = 0 y la aproximación kr >> 1 no se satisface. Sin embargo, λcrit permanece pequeña respecto al radio R, las ondas largas adelantadas se reflejarán en la resonancia interna de Lindblad como ondas largas retrasadas. Después de reflejarse en la resonancia interna de Lindblad el paquete de ondas retrasa, y se propaga hacia la corrotación intensificándose (λ disminuye). Allí, de nuevo, se refleja y se dirige hacia el centro a lo largo de la rama corta. Estas condiciones de frontera nos permiten imaginar la formación de ondas estacionarias. Uno de los problemas que las relaciones obtenidas hasta ahora dejan sin resolver es el comportamiento de ondas retrasadas muy enroscadas en la resonancia interna de Lindblad. Varios autores (Mark 1971; Lynden-Bell y Kalnajs 1972) han mostrado que las ondas se amortiguan en la resonancia interna de Lindblad mediante un fenómeno similar al amortiguamiento de Landau: la interacción entre las ondas y las partículas en la resonancia permite el intercambio de energía, las estrellas se calientan con el debilitamiento de la onda. Sin embargo, si la función Q(r) crece suficientemente hacia el centro (aunque no tanto como para violar la aproximación WKB), la teoría predice que el paquete de onda se reflejará antes de alcanzar la resonancia interna. Un paquete de ondas cortas retrasado se refleja como ondas largas. Estas reflexiones en la resonancia interna y en la corrotación nos hace esperar una posible amplificación de las ondas. 13 Figura 7 Otra forma de la relación de dispersión, mostrando el número de onda k (en el eje X y en unidades del número crítico de onda kcrit = 2π/λcrit) en función del radio (en el eje Y y en unidades del radio de corrotación rCR). Sólo se representa la región entre la resonancia interna de Lindblad y la corrotación. El valor correspondiente de Q es 1.5. Las flechas indican la dirección de la velocidad de grupo de los paquetes de onda correspondiente. De izquierda a derecha podemos seguir la propagación de una onda corta adelantada: De A a B la onda se propaga hacia el exterior y alcanza la corrotación C, abriéndose cada vez más. Se refleja, la velocidad de grupo cambia de signo, y se propaga hacia el centro de la galaxia como una onda larga adelantada. En la resonancia interna de Lindblad (E) las ondas adelantadas pueden reflejarse como ondas retrasadas. La onda larga retrasada (F) se refleja otra vez en la corrotación y se convierte en una onda corta retrasada (G) propagándose hacia la región interna. Para confirmar e ilustrar la propagación del paquete de ondas en el esquema de la teoría WKB se utiliza simulaciones numéricas como la de la Figura 8. La parte analítica de la teoría llega a su límite de validez cuando aparecen ondas largas. La simulación, realizada por Toomre y Zang (1981), calcula la evolución de un paquete de ondas adelantado y enroscado a partir de la teoría de perturbaciones lineales. De esta manera se puede estudiar la propagación de ondas largas sin necesidad de la aproximación kr >> 1. La Figura 8 muestra la transformación en la resonancia interna del paquete inicial de ondas adelantado en un paquete retrasado. Para interpretar intuitivamente la transformación adelantado-atrasado (y atrasado-adelantado) del paquete de ondas en el centro de la galaxia, sigamos una onda retrasada a través de los puntos A, B y C en su movimiento radial hacia el centro en el sistema de referencia en rotación con la onda. La última posición de estos tres puntos puede dibujarse esquemáticamente (Figura 9). Puesto que la velocidad de grupo es igual para todos los puntos de la onda, estos puntos habrán cubierto la misma distancia, así que AA' = BB' = CC'. Puede verse fácilmente que la dirección de enroscado del brazo espiral se invierte al pasar por el centro. 14 Figura 8 La evolución de un paquete de onda adelantado enroscado, calculado a partir de las simulaciones de Zang (Toomre 1981), en un disco de estrellas con parámetros Q = 1.5 y X = 2. Las distintas etapas, de la 1 a la 9, están separadas por un intervalo de tiempo correspondiente a la mitad del período de la espiral. Las posiciones de las resonancias se indican mediante círculos. Esta simulación muestra la gran amplificación de oscilación de un paquete de onda retrasado originado por un paquete de onda incidente adelantado. Figura 9 El cambio en la dirección de enrollado al pasar la onda por el centro de la galaxia. En este esquema simplificado, los tres puntos de referencia A, B y C de la onda retrasada incidente alcanzan, después de un tiempo de propagación, las posiciones A', B' y C' de manera tal que los caminos recorridos son los mismos (la velocidad de grupo es constante: AA' = BB' = CC'. Los puntos de referencia A', B' y C' indican que la perturbación se ha transformado en una onda adelantada. 15 Amplificación de oscilación La simulación en la Figura 8 revela un fenómeno que en la teoría WKB no es evidente: la notable amplificación de la amplitud de la onda original adelantada durante su transformación en una onda retrasada. Cuando la onda retrasada se intensifica (etapa 9), es más intensa que la onda original adelantada, pero la amplificación temporal como ondas abiertas retrasadas es considerable. Este mecanismo, conocido como amplificación de oscilación (swing amplification), había sido ya considerado por Goldreich y Lyden-Bell en 1965, pero se popularizó con el trabajo de Toomre en 1981. El principio puede entenderse a partir de la Figura 10. La amplificación tiene lugar cuando el paquete abierto de ondas adelantadas se transforma en un paquete retrasado, debido a la rotación diferencial. De esta manera el movimiento de la onda intermedia empieza a resonar a una frecuencia κ, y durante su epiciclo cada estrella interactúa fuertemente con la onda debido a que la sigue. La autogravedad lleva a la estrella más cerca, lo que amplifica la perturbación espiral que están formando. Debido a que todo esto ocurre cuando la onda cambia de adelantada a atrasada, Toomre habla de conspiración entre la cizalla de la rotación diferencia y la oscilación epicíclica. La amplificación de la energía de la onda se obtiene en detrimento de la energía de rotación. Figura 10 El principio de la amplificación de oscilación, que deriva de la cooperación entre la rotación diferencial, oscilación epicíclica, y autogravedad. El diagrama representa el movimiento de estrellas atrapadas en una región de brazo espiral (la zona punteada). La dirección x es radial, hacia el exterior de la galaxia; la dirección y es tangencial, en la dirección de rotación. En (a) la onda se adelanta; se abre en (b). En (c) y (d) se ha convertido en una onda retrasada debido a la rotación diferencial. Durante este tiempo la autogravedad, que atrae las estrellas en el brazo, y los movimientos epicíclicos conspiran para mantener las estrellas en el brazo y reforzar la amplitud de la onda. 16 Varias simulaciones realizadas variando los parámetros, en especial la velocidad de dispersión y el grado de apertura de la onda, han permitido determinar las condiciones favorables para la amplificación de oscilación. Definamos el parámetro X como la razón entre la longitud de onda proyectada (λ/sin i; de hecho suele considerarse la proyección k sin i del número de onda) y la longitud crítica: X = λ/sin i/λcrit, donde i es el ángulo de inclinación de los brazos espirales. Recordemos que toda perturbación mayor que λcrit = 4π Gµ/κ 2 2 es estable respecto a las inestabilidades de Jeans debido a los efectos de rotación. La Figura 11 muestra los resultados para X > 1. La amplificación máxima se alcanza para X =2 y decrece abruptamente hasta anularse en X = 3. La autogravedad no es lo suficientemente fuerte como para aglomerar las partículas a distancias mucho mayores que el tamaño de la inestabilidad crítica. Esto sucede cuando κ aumenta, haciéndose los movimientos propios de dispersión más importantes, y también cuando m es menor. De forma análoga, se entiende porqué el mecanismo es mucho más efectivo en un disco frío donde la autogravedad es predominante Figura 11 La variación del ritmo de la amplificación de oscilación en función de los parámetros Q y X. La amplificación es mucho menos eficiente para un sistema caliente (Q grande); por otra parte, el ritmo de amplificación es máximo para X = 2 y se anula en X = 3 (cuando la autogravedad del disco se cancela por la acción, por ejemplo, de masa invisible con una distribución esférica). Los tres sistemas de curvas comparan los resultados obtenidos por (a) Goldreich y Lynden-Bell (1965, (b) Julian y Toomre (1966), y (c) Zang (1981). Ondas de choque inducidas en el gas Las finas líneas de polvo a lo largo de los brazos espirales y los rayones de polvo que cruzan las barras de las galaxias SB sugieren la existencia de ondas de choque inducidas en el gas por la perturbación gravitatoria de las ondas de densidad. La emisión en el radio continuo se ve considerablemente amplificada en estas líneas, lo que confirma la compresión del gas interestelar y del campo magnético, congelado en la materia. 17 En 1964 Lin y Shu se dieron cuenta de que el gas estaba mucho más frío que las estrellas (su velocidad de dispersión es menor). La respuesta a las ondas de densidad debe ser mucho mayor en el gas, por ser inversamente proporcional a la velocidad de dispersión. Puesto que el contraste entre los brazos y las regiones que los separan debe exceder por mucho el de las estrellas, la contribución a la perturbación gravitatoria de la propia onda debe ser substancial, a pesar de que el gas raramente constituye más de un 10% de la masa total. El medio interestelar continuo Hasta finales de los años 70, el medio interestelar se modelaba como un medio continuo con dos componentes. una componente fría, formada por nubes de hidrógeno atómico a una temperatura 4 de 100 K, y una componente caliente, gas ionizado a 10 K en la vecindad de estrellas jóvenes. Como la mayor parte de la masa en el medio frío, el gas es muy sensible al pozo de potencial gravitatorio de los brazos espirales. La energía potencial del pozo corresponde a una energía cinética tal que la velocidad relativa del gas se hace supersónica: un onda tenue de choque se produce cuando el gas entre en los brazos. El punto de entrada corresponde al lado cóncavo del brazo si la estructura espiral se retrasa, y el radio de corrotación se localiza dentro de los límites del disco visible. La diferenciación de la estructura espiral se debe a estas ondas de choque y a la compresión del gas al entrar en los brazos. La compresión del gas causa inestabilidades gravitatorias en las nubes de gas, que estaban en equilibro antes de entrar en los brazos. Esto provoca colapsos que forman estrellas o cúmulos de estrellas. Pueden formarse estrellas de cualquier masa, pero las importantes desde el punto de vista de radiación son las más masivas. La luminosidad de una estrella varía en proporción a la cuarta potencia de su masa (L ∝ M ), y aún tomando en cuenta el 4 espectro inicial de masa de las estrellas, las estrellas masivas dominan. La vida media de las estrellas masivas es muy corta (varía como la razón M/L ∝ M ). La duración de las asociaciones -3 7 OB es del orden de unos cuantos 10 años, que es del mismo orden que el tiempo medio que le toma a la materia cruzar un brazo espiral. La mayoría de las estrellas masivas cuya formación se desencadena a partir de la onda de choque dejan de brillar al salir del brazo espiral. El estudio de la circulación del gas en una galaxia perturbada por una onda de densidad espiral fue desarrollado en este contexto por Roberts en 1969. La idea de que la formación de estrellas masivas se desencadena al cruzar el gas un brazo espiral, aún cuando no está completamente desarrollada, ofrece muchas oportunidades de ser confirmada a partir de observaciones. Nos permite explicar la presencia de regiones H II alineadas en los brazos espirales, el gran contraste de la componente joven de la galaxia (gas interestelar, regiones ionizadas y estrellas jóvenes) en los brazos comparado con las regiones que los separan, y la presencia de líneas de polvo. Esto 18 nos permite entender por qué los brazos espirales son muy luminosos aún cuando la perturbación espiral es pequeña comparada con la masa total (menos que un 10%). Figura 12 El comportamiento no lineal del gas interestelar, considerado como un medio continuo, en un potencial gravitatorio con forma espiral. Las ondas de choque se forman cuando el gas penetra el brazo espiral: el contraste entre los brazos y las regiones que los separan es de 5 a 10. (a) La compresión del gas al entrar en el brazo provoca inestabilidades de Jeans y la formación de nuevas estrellas masivas. Estas estrellas ionizan el gas que las rodea, lo que explica la presencia de muchas regiones H II tras la onda de choque (que está trazada por el polvo). (b) Al cruzar el brazo el gas experimenta grandes variaciones en su velocidad: se producen desviaciones sistemáticas en la trayectoria cuasicircular del gas. Nubes interestelares y el medio templado Los primeros modelos de la respuesta del gas a una onda de densidad espiral se basaban en una visión excesivamente simplificada del medio interestelar, la cual sufrió revisiones muy importantes en la década de los ochenta. Las observaciones de moléculas en el milimétrico pusieron de manifiesto que la mayor parte de la masa del medio interestelar está contenida en nubes moleculares densas, cuyo factor de llenado (filling factor) volumétrico es muy pequeño (f ≈ 3%). Además, observaciones en rayos X y consideraciones teóricas (McKee y Ostriker 1977) revelaron que las nubes interestelares están inmersas en un medio caliente y tenue, llamado medio coronal 6 -3 -3 por su semejanza con el gas de la corona solar (a temperatura 10 K y con densidad 10 cm ). Este medio es el resultado de la superposición de burbujas de plasma alrededor de los remanentes de supernova, y su factor de llenado volumétrico puede alcanzar el 80%. Este gas no responde al potencial espiral, debido a su alta temperatura y su correspondiente velocidad, que es la del 2 sonido, vs (vs es mucho mayor que la energía del pozo de potencial espiral). Sólo las nubes interestelares es sensible al potencial espiral. 19 Los resultados de Roberts con un medio interestelar continuo podrían generalizarse fácilmente si consideráramos el conjunto de nubes interestelares como un fluido, cuyas moléculas fueran las nubes, y a una temperatura equivalente medida a través de la velocidad de dispersión entre nubes. Sin embargo, el conjunto de nubes es solamente un fluido muy imperfecto, ya que el tiempo de 8 colisión tcol es del mismo orden de magnitud que el tiempo de cruce de un brazo espiral (tc = 10 años). La distribución del conjunto de nubes no tiene suficiente tiempo para alcanzar el equilibrio en el tiempo dinámico, por lo que no podemos definir la temperatura equivalente. Esto implica que las nubes se comporten como partículas balísticas en el potencial gravitatorio espiral, y estén sujetas a colisiones. Una solución simple de este problema puede obtenerse si la estructura espiral está fuertemente enroscada (kr >> 1). En tal caso la perturbación espiral introduce únicamente fuerzas radiales de la forma A sin(kr + mφ). Puesto que el movimiento azimutal de las partículas permanece constante, podemos escribir φ = (Ω0-Ωp)t en el sistema de referencia en rotación a Ωp. De esta manera, el problema se reduce a calcular el movimiento de N osciladores e una dimensión ( la radial) cuya frecuencia propia es la frecuencia epicíclica κ y que está sujeta a una perturbación sinusoidal A sin[kr + m(Ω0 - Ωp)t]. Este problema simple de mecánica clásica se muestra en la Figura 13, donde puede verse claramente la acumulación de partículas en el pozo de potencial de la onda progresiva. Figura 13 El movimiento de nubes moleculares en un potencial espiral, en analogía con el problema clásico de N osciladores unidimensionales con frecuencia epicíclica κ. La perturbación sinusoidal es de la forma A sin(kx - mΩ't). El péndulo se acumula en el pozo de potencial (a). Para perturbaciones más fuertes pueden incluso producirse colisiones entre los péndulos (b). En planteamientos más realistas, se debe tener en cuenta las colisiones entre nubes que, si no son elásticas, favorecen la acumulación de materia. Esperamos entonces que el contraste entre los brazos y las regiones intermedias sea aún más pronunciado para las nubes masivas. Las observaciones de nubes moleculares gigantes en galaxias cercanas confirman estas predicciones. Todas las nubes en los modelos de medio interestelar continuo se acumulan en los brazos espirales, sin la existencia de choques estrictamente, pero estiradas una distancia de unos pocos caminos libres medios (1 kpc), que es el grosor típico de un brazo espiral. En el caso general, por 20 el contrario, no hay una secuencia bien definida entre el gas comprimido, la formación estelar, las regiones ionizas y el gas atómico. El amortiguamiento de las ondas Gran parte de la energía de la onda se puede disipar bien por ondas de choques en un medio continuo o por colisiones no elásticas de las nubes que proliferan en los brazos espirales. Por ejemplo, en nuestra galaxia, hay una cantidad pequeña de estrellas con velocidades de dispersión suficientemente bajas como para participar activamente en las ondas de densidad. Por tanto, casi la mitad del potencial de onda se debe al medio gaseoso. A falta de un mecanismo que mantenga indefinidamente las ondas, su tiempo de vida puede entonces estimarse de unas pocas rotaciones. En conclusión, el problema del amortiguamiento de las ondas confirma lo que ya se había mencionado cuando estudiamos el proceso de amplificación de oscilación: debemos abandonar la explicación de la estructura espiral como ondas cuasipermanentes, con tiempo de vida similar a la 9 10 de la galaxia (varias decenas de rotaciones, entre 10 y 10 años). De hecho, los ejemplos más espectaculares de ondas de densidad espirales se hallan claramente en galaxias en interacción (M51 y NGC 5195; M81 y M82) o en galaxias barradas. En un tiempo muy corto después de su formación, una galaxia espiral puede amplificar varios paquetes de onda provocados por una perturbación externa, como la interacción de marea con una galaxia vecina. 3. Mecanismos de Generación de ondas espirales Toda la exposición anterior sobre la dinámica y cinemática de las galaxias espirales deja muchos problemas sin resolver. Entre ellos, cabe destacar el hecho de que las ondas de densidad espirales se retrasan siempre que se han podido medir y el que la amplificación sea tan eficiente para ondas retrasadas y no para las adelantadas. Hemos visto que la relación de dispersión para las ondas no da una respuesta apropiada a estas preguntas. El número de onda siempre aparece elevado al cuadrado, por lo que los dos tipos de onda podrían ser igualmente probables. Este comportamiento debe estar asociado con el hecho de que si la galaxia se encuentra en estado estacionario y sólo se tiene en cuenta las estrellas y las fuerzas gravitatorias, la simetría con respecto a una inversión temporal asocia una solución adelantada con una retrasada. De acuerdo con esta simetría, la morfología de la galaxia se mantiene pero las velocidades se invierten, así como la dirección de rotación. Esta es la base del Teorema antiespiral de Lynden-Bell y Ostriker (1967). Transferencia de momento angular La existencia principalmente de ondas retrasadas puede explicarse por el papel que juegan las ondas en la transferencia de momento angular desde el centro hasta el borde de la galaxia. Un disco galáctico tiende a transferir su momento angular hacia el exterior para disminuir su energía 21 total. Las ondas retrasadas cumplen este cometido, mientras que las adelantadas llevan momento desde el borde al centro. La evolución natural de un sistema aislado es buscar estados de máxima entropía. En estos estados la energía cinética asociada con movimientos desordenados es máxima. Para una galaxia en estado estacionario satisfaciendo el teorema del virial, la energía total E (constante), la energía cinética T y la potencial W cumplen: E = W + T W = 2 E ⇒ W + 2T = 0 T = − E T puede descomponerse en la suma de las energías de rotación y aleatoria, T = Trot + Trand. Puesto que T es constante, un aumento en Trand implica una disminución en Trot. Para encontrar la tendencia correspondiente en la distribución del momento angular escribamos Trot como una función de la distribución µ(j), con µ la masa cuyo momento angular j = rvθ se encuentra entre j y j+dj. Trot se define como ½ ∫ j r µ(j) dj. Por tanto, una disminución de Trot implica que la masa debe 2 -2 moverse hacia el exterior llevando su momento, de manera tal que r aumenta. Debe haber alguna compensación para que la energía potencial W también permanezca constante. W se balancea gracias a la masa central. El resultado es que hay una transferencia de momento angular hacia las regiones externas, que aumentan su tamaño, y hay una contracción pequeña de las regiones interiores (lo que conserva W). Así, la evolución natural del sistema es hacia estados de mínima energía, con aumento de la entropía. Veamos los estados de mínima energía para un conjunto de dos partículas de masas m1 y m2, momentos por unidad de masa j1 y j2, y energías por unidad de masa e1 y e2. La energía del conjunto es m1e1 + m2e2. El momento debe permanecer constante: J = m1j1 + m2j2. Llamemos ε(j) a la energía mínima por unidad de mas que puede tener una estrella con momento j. Entonces: 2 j2 vr + v z2 + 2 r e= + U (r, z ) . 2 U(r,z) es mínima cuando z = 0, y el mínimo de e corresponde a una trayectoria circular con radio Rj (donde vr = vz = 0). Rj queda definido por la relación: de j 2 ∂U =0=− 3 + = 0. dr r ∂r 22 Entonces, la mínima energía por unidad de masa es: ε ( j) = 1 j2 + U ( R j ,0) . 2 R 2j La variación de la energía del conjunto resulta ser: dE = m1 dj1 ε ′( j1 ) + m2 dj 2 ε ′( j2 ) , donde ε ′( j ) = dε , dj y m1 dj1 + m2 dj2 = 0 . Calculando la derivada queda: j ∂R j ∂ j 2 = j = Ω( R j ) , ε ′( j ) = 2 + + U 2 2 ∂j ∂R j 2 R j Rj Rj dE = m1 dj1 (ε ′( j1 ) − ε ′( j2 ) ) = m1 dj1 (Ω1 − Ω 2 ) < 0 . Para que dE sea negativo, el cambio de momentos debe ocurrir en beneficio de la partícula con la menor Ω. En el caso de una galaxia Ω disminuye desde el centro hacia el exterior. Por tanto, las regiones externas deben absorber el momento angular. Lynden-Bell y Kalnajs (1972) calcularon el momento de la fuerza ejercida por la perturbación espiral. El resultado fundamental es que el signo de los momentos para espirales retrasadas y adelantadas es opuesto. En el caso de ondas retrasadas, el momento ejercido en las regiones externas por las regiones internas debido a la simetría axial es positivo. Además, si la onda es cuasiestacionaria, los intercambios de momento angular entre las estrellas y la onda ocurren solamente en las resonancias de Lindblad o de corrotación. Para una estrella que no esté en resonancia, el promedio de las variaciones de momento angular debe cancelarse, ya que la estrella interactúa con la onda en fases diferentes. Por el contrario, los efectos en las resonancias se acumulan. Los cálculos de Lynden-Bell y Kalnajs muestran que las estrellas ceden momento angular en la resonancia interna y lo absorben en la corrotación y en la resonancia externa. Por tanto, sólo las ondas retrasadas pueden transferir j. Esto se ilustra en la Figura 14, donde se muestran las fuerzas tangenciales debidas a la perturbación espiral. Estas fuerzas se cancelan por simetría si la trayectoria es circular, pero se acumulan para una órbita elíptica resonante. En la 23 resonancia externa, la dirección de rotación se invierte, así como el sentido de los intercambios de e y j. Figura 14 Fuerzas ejercidas sobre las estrellas por la perturbación espiral en la reonancia de Lindblad interna. (a) El excedente de fuerzas radiales y la deformación correspondiente de las órbitas circulares. (b) El excedente de fuerzas tangenciales experimentado por la órbita perturbada. Las fuerzas se dirigen siempre en sentido opuesto al de movimiento de la estrella en su órbita. Por tanto, la estrella pierde energía y momento angular. Lo contrario sucede en la resonancia externa. Excitación de las ondas espirales por una compañera El paso de una compañera crea fuerzas de marea características. La fuerza de atracción diferencial ejercida sobre las estrellas hace que el lado más cercano a la compañera sea atraído con mayor fuerza que el más lejano, alargando la galaxia (Figura 15). La descomposición del potencial de marea en series de Fourier tiene un término dominante en m = 2. Esta estimación sólo es válida si las dos compañeras están suficientemente lejos. Para galaxias muy cercanas el término dominante es m = 1. Figura 15 Las fuerzas de marea ejercidas por una compañera C a una distancia relativamente lejana del centro galáctico G produce un alargamiento en la dirección GC. Por lo tanto, el paso de la compañera tiene como efecto excitar las oscilaciones epicíclicas de la partícula, cuya órbita se hace elíptica y precesa a un ritmo Ω - κ/2. 24 Las simulaciones del encuentro de dos compañeras representadas por potenciales centrales y partículas de prueba muestran como se desarrollan las perturbaciones en las regiones externas. Dado que en estas simulaciones no se tiene en cuenta la autogravedad, el desarrollo de las ondas es cinemático: la órbita circular de una estrella se hace elíptica por la elongación producida por las fuerzas de marea, con el eje mayor alineado con la compañera. En otras palabras, la compañera excita las oscilaciones epicíclicas. Las órbitas deformadas precesan a ritmos diferentes y se enroscan formando una espiral. Sin embargo, esto no explica cómo la onda espiral interna se prolonga hasta formar los brazos espirales externos. Tomemos el caso de M51. Su compañera NGC 5195 puede dar origen a una gran onda espiral (las fuerzas de marea son nulas en el centro 2 de la galaxia y varían como r ). La onda debe excitarse dentro de los límites de la galaxia y propagarse hacia el centro, pero el tiempo de propagación es relativamente largo (unas cuantas rotaciones galácticas) y la compañera podría haber tenido tiempo de alejarse. Este problema desaparece al tener en cuenta el mecanismo de amplificación de oscilación. Incluso una perturbación de marea pequeña en el centro puede amplificarse y lo hará mucho más rápidamente que en las regiones exteriores, ya que las causas de la amplificación (rotación diferencial y epiciclos) varían rápidamente (ver Figura 2). El ciclo de amplificación es tan rápido en el centro que una perturbación inicial muy débil puede desarrollar una amplitud mucho mayor que una perturbación exterior muy fuerte. Esto sucede antes de que la onda se propague desde el centro al borde de la galaxia (Figura 16, simulación de N-cuerpos de Zang y Toomre 1981). Figura 16 La respuesta de un disco uniforme de partículas a un impulso de marea de la forma cos 2θ. En (a), (b) y (c) se tiene en cuenta la gravedad. El tiempo de impulso durante el cual las fuerzas de marea actúan aumenta en razones 0.5, 1 y 2 respectivamente. La amplitud de la perturbación es la misma (2%) en los tres casos. En (d) se desprecia la autogravedad: sólo se desarrollan ondas cinemáticas, y las regiones internas de la galaxia apenas muestran perturbación, aún cuando la amplitud de las fuerzas de marea es el doble (4%). La autogravedad, que permite la amplificación de oscilación, es esencial para que se desarrolle la onda de densidad espiral en las regiones interiores. 25
