arbol de decisiones

ARBOL DE DECISIONES
Yanet Liz
Febrero 20, 2012
Definición
• Es una tecnica util para problemas en los
que se presentan decisiones
secuenciales.
• Aunque esta tecnica es de mayor utilidad
para situaciones en que el riesgo esta
presente tambien es empleada en
condiciones de certeza.
Simbolos a usar en Arboles de
Decisiones
•
•
Nodo de decisión del cual salen
varias alternativas.
Nodo de un estado de la naturaleza.
Pasos a seguir para usar Arbol de
Decisiones
1. Definir el Problema
2. Dibujar el Arbol de Decisiones
3. Asignarles probabilidades a los diversos
estados.
4. Estimar los resultados de cada una de las
posibles combinaciones de alternativas y
estados de la naturaleza.
5. Resolver el problema calculando los valores
monetarios esperados de cada nodo de los
estados de la naturaleza
NOTA: debe hacerse de atrás para adelante.
Finalidad del Arbol de Decisiones
• Mostrar graficamente toda la informacion
de un problema.
• Dibujar la representacion esquematica del
problema logrando asi que la informacion
se entienda mas facilmente.
• Simplificar los calculos de probabilidades
muy complejas.
Punto importante
• La parte mas importante suele ser
identificar:
– Las distintas alternativas
– Los posibles eventos que pueden influir en
los resultados,
– Las probabilidades de ocurrencia de estos
eventos.
Tipos de Arbol de Decisiones
• Para caso de
certidumbre:
– Se conoce, con
certeza los resultados
esperados para cada
opcion.
– No existen los nodos
de los estados de la
naturaleza.
• Para caso de riesgo:
– Los posibles
resultados se
presentan en funcion
de una probabilidad ya
que no se puede
afirmar con certeza.
Ejemplo para caso de Certidumbre
• Liz & Co estudia la posibilidad de introducir un
nuevo producto ahora o dento de un año. Los
beneficios de cada caso son:
Alternativas
1er año
2do año
A1: Introducir producto
ahora
$600,000
800,000
A2: Introducir Producto
Proximo ano
0
650,000
A3: No introducir
producto.
0
0
Ejemplo caso de Certidumbre
(Grafico)
A1
$ 1,400,000
$ 1,400,000
$ 650,000
650,000
$ 0.00
Ejemplo 1 para caso de Riesgo
• Se dispone de $2,000 para invertir. Hay tres
posibles resultados qe tienen un riesgo
determinado y posibles ganancias o perdidas
según la siguiente tabla. Se quiere maximizar el
valor monetario esperado (VME).:
Posibilidades Beneficio / Perdida Probabilidad
A1:
$ 1,200
0.3
A2:
$ 700
0.5
A3:
($ 500)
0.2
Ejemplo caso de Riesgo
(Grafico)
A1: (0.3) $ 1,200
VME=$ 610
A2: (0.5) $ 700
Invertir
A3: (0.2) $ -500
No Invertir
VME=$ 0.00
$ 0.00
Ejemplo caso de Riesgo
(Gráfico - Cálculo)
• VME = (0.3*1200)+(0.5*700)+(0.2*-500)
• VME = 360 + 350 - 100
• VME = 610
• De manera que si se invierte el valor
monetario esperado es de $610. La
alternativa en este caso es invertir, como
resultado de este arbol de decisiones.
Ejemplo 2 para caso de Riesgo
• El propietario de una empresa desea
ampliar su planta de produccion.
Actualmente analiza dos opciones: una
planta grande y una pequena.
• Los datos que esta considerando para el
analisis son:
Nivel de demanda
Nivel de
Demanda
Alta
Probabilidades
0.40
Costos Estimados
•Planta Grande:
$ 1,200,000
Moderada
0.35
•Planta Pequena:
$ 500,000
Baja
0.25
Valor presente neto
(Al 17% por 10 años)
Demanda
Planta Grande
Planta Pequena
Alta
$ 2,400,000
1,005,000
Moderada
1,400,000
1,000,000
Baja
700,000
700,000
Beneficio Potenciales de la Inversion
(Tomando en cuenta los costos de Construccion)
Demanda
Planta Grande
Planta Pequena
Alta
$ 1,200,000
505,000
Moderada
200,000
500,000
Baja
(500,000)
200,000
Ejemplo 2 caso de Riesgo
(Planteamiento)
Da: (0.4)
Planta
Grande
Dm: (0.35)
Db: (0.25)
Da: (0.4)
Planta
Pequeña
Dm: (0.35)
Db: (0.25)
Ejemplo 2: Calculo del VME
Se procede a calcular el Valor Monetario Esperado (VME)
multiplicando, para cada opcion, el Beneficio Esperado por
su respectiva probabilidad como se visualiza en el
siguiente cuadro.
Demanda
Probabildad Planta Grande
Planta Pequena
Alta
0.40
$ 1,200,000
505,000
Moderada
0.35
200,000
500,000
Baja
0.25
(500,000)
200,000
425,000
427,00
VME=
Ejemplo 2 caso de Riesgo
(Arbol decisorio con los resultados)
Da: (0.4) $1,200,000
480,000
425,000
Dm: (0.35) $ 200,000
Planta
Grande
70,000
Db: (0.25) -500,000
-125,000
Da: (0.4) 505,000
Planta
Pequeña
202,000
Dm: (0.35) 500,000
175,000
427,000
Db: (0.25) 200,000
50,000
Ejercicios para
desarrollar en el aula
Ejercicio 1
• Una empresa quiere
decidir la estategia que
debe usar para
promover un producto
que lanzara al mercado.
• Una firma de
consultores determino
las utilidades esperadas
de las estrategias
propuestas y sus
probabilidades:
Utilidad
Estrategias
4,000
6,000 12,000
Probabilidades
E1
0.5
0.3
0.2
E2
0.2
0.6
0.2
E3
0.1
0.6
0.3
Cuál es la estrategia óptima?
Ejercicio 2
• Una oprtunidad de inversion altamente
especulativa, a corto plazo, ofrece
potenciales retornos de la inversion de
$2,000, $1,500 y -$3,500.
• Las respectivas probabilidades son: 0.4,
0.25 y 0.35.
Cuál es el valor de esta oportunidad para
un inversionista?
Valor de la información
Valor Esperado de la Información
Perfecta
• Se utiliza cuando
se desea saber si
la información que
se pretende
obtener a través de
un estudio de
mercado realmente
justifica la
inversión.
Ejemplo
Planta Grande / Panta Pequeña
• Volviendo al ejemplo de la elección de
construir una planta grande o una
pequeña, podemos ver que aunque la
elección más rentable es la pequeña, la
Grande tiene un mejor valor esperado si la
demanda fuera alta.
• Revisemos nuevamente el árbol decisorio:
Arbol decisorio con los resultados
Mejor VE con demanda alta
Da: (0.4) $1,200,000
480,000
425,000
Dm: (0.35) $ 200,000
Planta
Grande
70,000
Db: (0.25) -500,000
-125,000
Da: (0.4) 505,000
Planta
Pequeña
202,000
Dm: (0.35) 500,000
175,000
427,000
Db: (0.25) 200,000
50,000
Planteamiento
• Suponga que el presidente de la empresa
quiere tener una mejor informacion en
cuanto a la posible demanda del mercado.
• Se estima que el costo de dicho estudio
sería de $60,000.
Cuál sería el valor de la información
perfecta?
Cont.
• Si la demanda real pudiera ser conocida
por adelantado, el presidente pudiera
tomar la decision correcta.
• Si del estudio resulta la demanda
moderada o baja, la planta pequena debe
ser construida; si resulta alta, en cambio,
la planta grande es la que debe
construirse.
En el cuadro siguiente se presentan los posibles resultados
en los casos que se han mencionado
Demanda
Probabilidad
Decision
Resultado ($)
Alta
0.40
PG
$1,200,000
Moderada
0.35
PP
$ 500,000
Baja
0.25
PP
$ 200,000
El valor monetario esperado con la informacion es de: $ 705,000.
VEcIP= (0.40*1,200,000) + (0.35*500,000) + (0.25*200,000)
La alternativa con mayor valor esperado, cuando no se tiene certeza,
nos dio $427,000 (Planta pequeña).
Aplicaremos la siguiente fórmula:
Calculo del Valor de la Informacion
Perfecta
• VEIP = VEcIP – VEsIP
– VEIP: Valor Esperado de la Informacion
Perfecta
– VEcIP: Valor esperado con Informacion
perfecta del estado de la naturaleza.
– VEsIP: Valor esperado sin Informacion
perfecta de la mejor alternativa
• Nota: la ecuacion esta planteada en valor
absoluto.
Cont.
• VEIP = 705,000 – 427,000
• VEIP = 278,000
• Como se habia estimado en $60,000 el
estudio de mercado, se puede considerar
rentable realizarla.
Tomando en cuenta la “confiabilidad”
del estudio de mercado…
• Tomando en cuenta que todo estudio
conlleva un margen de inexactitud, es
necesario tomar en cuenta la
confiabilidad.
• En este ejemplo, sabemos que el esudio
determinará si la demanda sera alta,
moderada o baja, como se muestra a
cotinuacion
Arbol Inicial
Eda (Estudio demanda alta)
Edm (Estudio demanda media)
Edb (Estudio demanda baja)
Debido a que el Estudio servira para redecidir en ambas alternativas (Planta
Grande y pequena) se plantea el siguiente arbol decisorio:
Arbol Completo
PG
PP
Da
Dm
Dp
Da
Dm
Dp
Da
PG
Edm
Dm
Dp
Da
PP
Dm
Dp
Da
PG
PP
Dm
Dp
Da
Dm
Dp
Cont.
• Se necesita calcular:
– Las probabilidades de los posibles resultados
de la encuesta: P(Eda), P(Edm) y P(Edb).
– Las probabilidades de las demandas
condicionadas a los resultados del estudio:
P(Da/Eda), P(Dm/Eda), etc
Cont.
• La confiabilidad de los resultados del Estudio
para las diferentes condiciones de la demanda
son estimados según la siguiente tabla:
Resultado
Estudio
Alta (Da)
Moderada (Dm)
Baja (Db)
Eda
0.80
0.20
0.10
Edm
0.15
0.70
0.20
Edb
0.05
0.10
0.70
Como se lee esta tabla?
Ej.: Si la demanda resulta verdaderamente alta, la probabilidad de que el
estudio la haya pronosticado como “alta” es de 0.80.
Cont.
• Para calcular la probabilidad de cada
resultado del estudio:
– P(Eda):
• P(Da)*P(Eda/Da) + P(Dm)*P(Eda/Dm)
+
–v
P(Db)*P(Eda/Db)
• 0.40*0.80 + 0.35*0.20 + 0.25*0.10
• 0.415
– Esto significa que la probabilidad de que al
hacer el estudio la prediccion sea que la
demanda sera alta (Da) es de 0.415.
Cont
• P(Edm):
– 0.40*0.15 + 0.35*0.70 + 0.25*0.20
– 0.355
• P(Edb):
– 0.40*0.05 + 0.35*0.10 + 0.25*0.70
– 0.230
La bifurcación del nodo de probabilidad de
resultados será la siguiente:
Eda (0.415)
Edm (0.355)
Edb (0.230)
Ahora se procede a ajustar las
probabilidades de la demanda
• P(Da/Eda):
• P(Da ∩ Eda) / P(Eda)
– P(Da ∩ Eda) =
P(Da) * P(Eda/Da)
• P(Da/Eda):
P(Da) * P(Eda/Da) / P(Eda)
0.40 * 0.80/ 0.4.15
– 0.32/0.415 = 0.771
• P(Dm/Eda): 0.169
• P(Db/Eda): 0.060
• Recordando:
• P(A ∩ B):
– P(A/B)*P(B)
– P(B/A)*P(A)
Las demas probabilidades se
calcularian:
• P(Da/Edm)= 0.169
• P(Da/Edb)= 0.087
• P(Dm/Edm)= 0.690
• P(Dm/Edb)= 0.152
• P(Db/Edm)= 0.141
• P(Db/Edb)= 0.761
Da 1,200,000
Arbol Completo
PG
Dm, 200,000
Db -500,000
0.169
0.060
Da 505,000
PP
0.771
0.771
Dm 500,000
0.169
Db 200,000 0.060
0.415
Da 1,200,000
0.169
Dm 200,000
PG
Edm
0.355
Db -500,000
Da 505,000
PP
Dm 500,000
Da 1,200,000
Db -500,000
Da 505,000
PP
0.690
0.141
0.087
Dm 200,000
PG
0.141
0.169
Db 200,000
0.230
0.690
0.152
0.761
0.087
Dm 500,000
Db 200,000
0.152
0.761
Se procede a calcular el VME de
cada nodo de probabilidad
• Ejemplo:
– Para Eda – PG, el VME sería:
– 1,200,000*0.771 + 200,000*0.169 500,000*0.060
• $929,000.00
• Para cada nodo, quedaría el siguiente
arbol:
VME
929,000
PG
PP
485,855
0.415
PG
Edm
0.355
PP
270,000
458,545
0.230
PG
PP
245,700
272,135
Interpretacion de los VME
calculados
• Si el Estudio predice una demanda alta
(Eda) la decisión será construir una planta
grande, pues tiene mayor VME.
• Si predice una demanda moderada,(Edm)
se debe construir una planta pequeña
• Si predice una demanda baja, (Edb) se
construirá una planta pequeña.
Para decidir si es factible hacer el Estudio,
se procede con los siguientes calculos:
• Evaluar las oportunidades de resultados del
Estudio:
Eventos
Eda
Prob
0.415
Resultados
929,000
Edm
0.355
458,545
Edb
0.230
272,135
VME (Estudio)
$ 610,910
Conclusion
• Esto significa que si se hace el Estudio, el
VME será de $ 610,910.
• Si se le resta el costo del estudio
($60,000) quedaría un retorno neto de
550,910.
• Al comparar con el VME sin Estudio
($427,000), resulta factible la
investigación.