Circuito RC - Profesor Jorge CAMBLONG

Provincia de Buenos Aires
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Circuito RC
Constante de tiempo de un Circuito RC
Un circuito RC es un circuito con un condensador y
una resistencia, como muestra la figura. En un proceso de carga, cuando cerramos el
interruptor S, el condensador no se carga instantáneamente, su carga evoluciona con
el tiempo en forma exponencial:
Q = C(1 - e-t/RC)
y la corriente en forma
. Es decir, inicialmente toma el valor Io =
después decrece exponencialmente con el tiempo.
/R, y
Al producto RC se le llama constante de tiempo del circuito  y equivale al tiempo que
el condensador tardaría en cargarse de continuar en todo momento la intensidad inicial
Io. También equivale al tiempo necesario para que el condensador se cargue con una
carga equivalente al 0,63 (1-1/e) de la carga final, o lo que es lo mismo que la
intensidad decrezca hasta 0,37Io.
En un proceso de descarga, partiendo de un condensador cargado, al cerrar el
interruptor, el condensador se descarga a través de la resistencia, disminuyendo la
carga en la forma Q = Qoe-t/RC. La intensidad comienza valiendo Qo/RC y disminuyendo
en la forma:
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Al producto RC se le llama constante de tiempo del circuito  y equivale al tiempo que
el condensador tardaría en descargarse de continuar en todo momento la intensidad
inicial Io. También equivale al tiempo necesario para que el condensador adquiera una
carga igual al 0,37 (1/e) de la carga inicial, o lo que es lo mismo que la intensidad
decrezca hasta 0,37Io.
Circuito RC
Indice
1. Introducción
2. Circuitos RC
3. Carga de un capacitor
4. Constante de tiempo
5. Descarga de un capacitor
6. Conclusiones
7. Bibliografia
1. Introduccion
El presente trabajo es una investigación sobre el circuito RC, un circuito que cuenta con
infinidad de aplicaciones, para ello se establece en primer lugar el desarrollo
matemático del mismo , acompañado de un argumento teórico y seguido de ejemplos
para apoyar las ideas planteadas en este trabajo.
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El simple acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en
que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo, los capacitores tienen
muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energía; por eso,
entender lo que sucede cuando se cargan o se descargan es de gran importancia
practica.
Muchos circuitos eléctricos contienen resistores y capacitores. La carga/ descarga de
un capacitor tiene muchas aplicaciones.
Por ejemplo algunos automóviles vienen equipados con un elemento mediante el cual
los limpiadores del parabrisas se utilizan de manera intermitente durante una llovizna
ligera. En este modo de operación los limpiadores permanecen apagados durante un
rato y luego se encienden brevemente.
La duración del ciclo encendido/apagado es determinada por la constante de tiempo de
una combinación resistor-capacitor.
2. Circuitos RC
La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor - capacitor, o circuito RC. En la parte
a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería
puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta cerrado, el capacitor
no se carga de inmediato . En vez de lo anterior , la carga llega gradualmente a su
valor de equilibrio de q= CVo, en donde Vo es la tensión de la batería.
3. Carga de un capacitor
Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor S en la posición a.
¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de
conservación de energía tenemos:
En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del
circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energia interna ( i2
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Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el incremento dU en la cantidad
de energía U (=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la
energía da:
Є dq = i2 Rdt + q2/2C
Є dq = i2 Rdt + q/c dq
Al dividir entre dt se tiene:
Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dt
Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i
= dq/dt, esta ecuación se convierte en:
Є = i Rdt + q/c
La ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, como debe ser puesto
que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de
energía . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las
manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuente fem y
una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea :
Є -i R - q/c = 0
La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo
cual da:
Є = R dq / dt + q/c
Podemos reescribir esta ecuación así:
dq / q - Є C = - dt / RC
Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando
q),
q= C Є ( 1 – e-t/RC)
Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuación
Є = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una
identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da:
i = dq = Є e-t/RC
dt R
En las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tiene
dt R
las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama
constantecapacitiva de tiempo τ C del circuito
τ C = RC
Es el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%)
de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= C Є
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( 1 – e-t/RC) para obtener:
q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є
Grafica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el
capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del
capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf.
Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F
Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistencia junto con
un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su
valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC.
Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.
Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial V c, la carga
aumente con el tiempo durante el proceso de carga y Vc tienede la valor de la fem Є.
El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0.
En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el
tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez
que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є=
10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de
tiempos sucesivas.
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4. Constante de tiempo
Después de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e (
cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha
alcanzado
(1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Qf= C Є .
El producto RC es, pues una medida de que tan rápido se carga el capacitor. RC se
llama constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y se representa con τ :
τ = RC ( constante de tiempo para un circuito R – C).
Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la
carga lleva mas tiempo.
Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en
menor tiempo.
Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC
1) Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie con una bateria
como se muestra en la figura siguiente. Si Є= 12v, C= 5 μ F y R= 8 x 10 5 Ώ,
dterminese la constante de tiempo del circuito, la maxima carga en el capacitor, la
maxima corriente en el circuito y la carga y la corriente cono funcion del tiempo.
Solucion:
La constante de tiempo del circuito es τ C = RC = (8 x 10 5 Ώ) (5 x 10-6 F) = 4s. La
Maxima carga en el cpacitor es Q= C Є = (5 x 10-6 F)(12V)= 60 μC. La maxima
corriente en el circuito es I0 = ЄR = (12V) / (8x10 5 Ώ) = 15 μ A. Utilizando estos
valores y las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC
dt R
se encuentra que:
q(t) = 60 ( 1 – e-t/4) μC
I (t) 15 e-t/4 μ A
Las graficas de estas funciones son las siguientes:
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2) Un resistor R (=6.2M Ώ) y un capacitor C (=2.4 μ F) estan conectados en serie, y a
traves de esta combinaciσn se conecta una bateria de 12 V de resistencia interna
insignificacnte . A) ΏCuál es la constante capacitiva de tiempo de estecircuito? B) ¿Qué
tiempo después de haber conectado la bateria, la diferencia de potencial en el capacitor
es igual a 5.6 V?
Solución:
a)De la ecuación τ C = RC tenemos:
τ C = RC = (6.2M Ώ) (2.4 x10-6 F) = 15 s
b) La diferencia de potencial en el capacitor es de Vc = q/c, lo cual, de acuerdo con la
ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) puede escribirse
Vc = q/c = Є ( 1 – e-t/RC)
Al despejar t obtenemos (usando τ C = RC)
t= - τ C ( 1 – Vc )
Є
t = - (15s) ln (1 – 5.6 V ) 9.4 s
12v
5. Descarga de un capacitor
Considerese el circuito de la siguiente figura que consta de un capacitor con una carga
inicial Q, una resistencia y un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte a),
existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de
potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo
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t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia. En algún tiempo
durante ladescarga, la corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b)
.
De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a traves de la
resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C:
IR = q
c
Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de
la carga en el capacitor. Es decir, I = - dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene a dar :
- R dq = q
dt c
dq = - 1 dt
q
RC
Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene:
Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como
función del tiempo:
donde la corriente inicial Io = Q/RC. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la
corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de
tiempo
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τ = RC.
Gráfica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q como funciones del tiempo para el circuito. La
corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.
Ejemplos. Descarga de un capacitor en un circuito RC
1) Considerese el capacitor C descargandose a traves de la resistencia R como
muestra la figura. a) Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor
será la cuarta parte de su valor inicial?
Solución: La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación
q(t) = Qe-t/RC
donde q es la carga inicial en el capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la
carga en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye q 8t) = Q / 4 en
esta expresión y se despeja para t:
¼ Q = Qe-t/RC
o
¼ = e-t/RC
Tomando logaritmos de ambos lados, se encuentra que :
-ln4 = -t / RC
o
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t= RCln4 = 1.39 RC
b) La energía almacenada en el capacitor decrece con el tiempo cuando está
descargando. ¿ Después de cuántas constantes de tiempo la energía almacenada se
reduciría la cuarta parte de su valor inicial?
Solución: Utilizando las ecuaciones se puede expresar la energía almacenada en el
capacitor en cualquier tiempo :
U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC
2C 2C
donde Uo es la energía inicial almacenada en el capacitor como en el inciso a), ahora
considerese U = Uo /4 y despejes t:
1/4Uo = Uo e-2t/RC
¼ = e-2t/RC
Nuevamente, tomando logaritmos de ambos lados y despejando t se obtiene:
t = ½ RC ln4 = 0. 693 RC
2) Un capacitor C se descarga a través de un resistor R. a) ¿ Después de cuantas
constantes de tiempo disminuye su carga a la mitad de su valor inicial? b) ¿ Después
de cuántas constantes de tiempo, la energía almacenada disminuye su valor inicial?
Solución: a) La carga en el capacitor varía de acuerdo con la ecuación
q(t) = Qe-t/RC
1/2Q = Qe-t/RC
-ln2 = -2/ τ C
t = τ C ln2 / 2 = 0.35
La carga cae a la mitad de su valor inicial después de 0.69 constantes de tiempo.
b) La energía del capacitor es
U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC
2C 2C
1/2Uo = Uo e-2t/RC
-ln 2 = -2t/ τ C
t = τ C ln2/2 = 0.35 τ C
La energía almacenada cae a la mitad de su valor inicial después de transcurridas 0.35
constantes de tiempo. Esto sigue siendo así dependientemente de cuál haya sido la
energía almacenada inicialmente. El tiempo ( 0.69 τ C) necesario para que la carga
caiga a la mitad de su valor inicial es mayor que el tiempo (0.35 τ C) necesario para que
la energía siga a la mitad de su valor inicial.
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6. Conclusiones
Los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar
carga y energía
El acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que
las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo.
Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la
carga lleva mas tiempo.
Si la resistencia es pequeña, es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en
menor tiempo.
Cuando se carga un capacitor ,la corriente se aproxima asintóticamente a cero y la
carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf y el aumento de carga en
el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la
constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría
inmediatamente hacia su valor limite.
Cuando se descarga un capacitor.la corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se
acercan asintóticamente a cero.La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo
con la ecuación q(t) = Qe-t/RC.
la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de
potencial a través del capacitor, q / C entonce IR = q/c .
Cuando el interruptor está abierto, existe una diferencia de potencial Q / C a través del
capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el
interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la
reisistencia.
7. Bibliografia
1) Serway Raymond A. "Fisica Tomo II"
Tercera edición en español ,Editorial Mc Graw Hill. Mexico, 1992
2) Halliday David / Resnick Robert / Krane Kenneth S. "Fisica Vol.2"
Tercera edición en español , Editorial Continental. México, 1996
3) Cutnell John D. / Jonson Kenneth W. "Fisica"
Primera edición , Editorial Limusa. México, 1986
4) Sears Francis W. / Zemansky Mark W. / Young Hugh D./ Freedman Roger A.
" Fisica Universitaria Vol.2 " novena edición, Editorial Addison Wesley. México, 1998
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