En muchas de las бreas de investigaciуn del conocimiento humano

En muchas de las áreas de investigación del conocimiento humano nos encontramos
con fenómenos que dependen de cierta condición o condiciones y que, al cambiar algunas
de ellas se tiene una forma distinta. Además, cabe resaltar la importancia del estudio de
fenómenos en los que se presentan situaciones repetitivas o cíclicas.
El comportamiento de los fenómenos anteriormente descritos puede ser modelado matemáticamante mediante el análisis de los sistemas dinámicos, es por eso la importancia
de estudiar la teoría de sistemas dinámicos.
En el presente trabajo se discuten los sistemas dinámicos discretos, en especial los
semisistemas dinámicos discretos. La teoría de estos sistemas es muy extensa, nos limitaremos a los sistemas dinámicos en la circunferencia.
En el primer capítulo se discuten los conceptos básicos de la teoría de Sistemas Dinámicos Discretos que sirven como introducción a la parte medular del trabajo y donde
se tocan temas como la dinámica periódica, estabilidad, la iteración de funciones en un
intervalo, las bifurcaciones y la conjugación topólogica.
En la capítulo dos deÞnimos a las funciones de la circunferencia, las cuales determinan
sistemas dinámicos. Dado que su dominio y codominio son el circulo, su gráÞca es un
subconjunto del producto cartesiano de dos circulos, al cual le llamamos toro, podemos
deÞnir funciones reales de valores reales que determinan ese mismo sistema, estas funciones se llaman levantamientos y son una herramienta para estudiar los sistemas dinámicos
en la circunferencia, discutiremos algunas de sus propiedades importantes.
En el capítulo tres damos un concepto de gran importancia, el cual es el número de
rotación, analizando sus propiedades básicas. Este número deÞne la rotación promedio
de un endomorÞsmo de la circunferencia y además está bien deÞnido en homeomorÞsmos
donde será una herramienta primordial para entender el comportamiento del sistema.
Por último en el capitulo cuatro ejempliÞcamos los resultados dados anteriormente
en una familia clásica llamada la familia de Arnold, además de enunciar otros resultados
1
interesantes característicos de esta familia e involucrando un concepto nuevo llamado
envolvencia, el cual nos será de gran ayuda.
La herramienta computacional utilizada consistió en el software CIRCULO, en la
implementación de un programa que genera las Lenguas de Arnold en la Silicon Graphics
y de otros programas en la PC para calcular las bifurcaciones de puntos Þjos.
Agradesco la valiosa colaboración y el apoyo incondicional del Dr. Humberto Carrillo Calvet, jefe del laboratorio de dinámica no-lineal de la Facultad de Ciencias de la
U.N.A.M. , así mismo del M.en C. Fernando Ongay Larios de la Facultad de Ciencias
de la U.A.E.M., de quienes laboran en el laboratorio antes mencionado y a todas las
personas que tuvieron que ver en el desarrollo del presente trabajo.
Irma Elizabeth Díaz Bobadilla.
2
INTRODUCCIÓN..........................................................................1
CAPÍTULO 1 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS.................................5
1 SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS.......................................5
2 DINÁMICA PERIÓDICA Y ESTABILIDAD...............................7
3 ITERACIONES DE FUNCIONES EN INTERVALOS................11
4 BIFURCACIONES EN UNA DIMENSIÓN................................13
5 CONJUGACIÓN TOPOLÓGICA................................................19
CAPÍTULO 2 ENDOMORFISMOS DE LA CIRCUNFERENCIA..............22
1 ENDOMORFISMOS DE LA CIRCUNFERENCIA.....................22
2 LEVANTAMIENTOS...................................................................25
3 ENVOLVENCIA...........................................................................34
4 HOMEOMORFISMOS DE LA CIRCUNFERENCIA..................38
4.1 HOMEOMORFISMOS QUE PRESERVAN ORIENTACIÒN...40
5 SISTEMAS CAÓTICOS...............................................................44
CAPÍTULO 3 NÚMEROS Y CONJUNTOS DE ROTACIÓN.......................48
1 ÓRBITAS PERIÓDICAS..............................................................49
2 NÚMEROS Y CONJUNTOS DE ROTACIÓN............................50
3 NÚMERO DE ROTACIÓN DE LAS ROTACIONES..................67
4 TEOREMAS SOBRE CONJUGACIÓN PARA
DIFEOMORFISMOS CON NÚMERO DE ROTACIÓN
IRRACIONAL..............................................................................69
3
CAPÍTULO 4 ESTUDIO DE UNA FAMILIA DE FUNCIONES................78
1 PUNTOS FIJOS...........................................................................80
1.1 BIFURCACIÓN DE PUNTOS FIJOS......................................80
1.2 ESTABILIDAD DE PUNTOS FIJOS.......................................89
2 PUNTOS PERIÓDICOS EN LA REGIÓN DE
HOMEOMORFISMOS..................................... ..........................92
3 BIESTABILIDAD.......................................................................104
3.1 BIESTABILIDAD DE PUNTOS FIJOS......... ........................104
3.2 COEXISTENCIA DE ÓRBITAS DE DISTINTOS
PERÍODOS................................................................................108
4 BIFURCACIÓN DE DOBLAMIENTO DE PERÍODO..............110
EPÍLOGO: DISCUSIÓN Y COMENTARIOS FINALES...............115
APÉNDICE....................................................................................116
BIBLIOGRAFÍA.............................................................................120
4
Capítulo 1
SISTEMAS DINÁMICOS
DISCRETOS
El objetivo principal de esta capítulo es introducir algunas deÞniciones y resultados de
la Teoría de Sistemas Dinámicos Discretos.
1.1
SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS.
Los Sistemas Dinámicos ocurren en todas las ramas de las ciencias, desde las ecuaciones
diferenciales de la mecánica clásica hasta las ecuaciones diferenciales en la Economía Matemática y la Biología. En los últimos décadas hemos visto una explosión de interés en el
estudio de Sistemas Dinámicos. Podemos decir que un sistema dinámico es un fenómeno
que cambia con el tiempo y lo podemos modelar de alguna forma matemática.
Si f : X → X es una función continua de una Variedad Diferencial X, las iteradas de f son las funciones f n deÞnidas inductivamente por f 0 (x) = x, f 1 (x) =
f (x), f n+1 (x) = f n (f (x)). Si f es un homeomorÞsmo entonces también podemos den
Þnir la función f −n (x) = (f −1 ) (x), para n ∈ N.
5
Definición 1.1. Sea X una Variedad Diferencial. Un Sistema Dinámico Discreto
en X de clase C k es la terna (X, Z, Φ), donde Φ es un función de clase C k , k > 0 tal que
Φ : Z×X→X,
donde Φ(m, x) = Φm (x), y la función Φt : X→X satisface:
(i) Φ0 : X→X, es la identidad
(ii) La composición Φm1 ◦ Φm2 = Φm1 +m2 , para cada m1 , m2 ∈ Z.
x representa el estado del sistema y toma valores en X al cual se le llama Espacio
Fase del sistema dinámico. Algunas veces el espacio fase es un espacio Euclideano o
un subconjunto de él pero también puede no tener una estructura Euclideana como un
circulo, una esfera, un toro ó alguna otra Variedad Diferencial.
Así mismo deÞnimos un Semisistema Dinámico Discreto (SSD), sólo que en lugar de
considerar los enteros Z serán los naturales N.
Dado un Sistema Dinámico determina una función f : X → X difeomorÞsmo de clase
C k dado que
f 1 (x) = Φ1 (x), x ∈ X (mapeo a tiempo uno) .
A f se le llama la función generadora del Sistema Dinámico. Reciprocamente, todo
f : X → X difeomorÞsmo de clase C k , determina un Sistema Dinámico de clase C k en
X.
Φn (x) = f n (x), ∀ x ∈ X y ∀ n ∈ Z.
veamos si cumple las condiciones:
i) Φn ◦ Φm (x) = f n ◦ f m (x) = f n+m (x) = Φn+m (x).
Como f es difeomorÞsmo existe f −1 , entonces f −m (x) = (f −1 )m (x)
ii)
Φ0 (x) = Φ1−1 (x) = Φ1 ◦ Φ−1 (x) =
f ◦ f −1 (x) = f 1−1 (x) = f 0 (x) = x = IdM
Por lo tanto, Φ es un Sistema Dinámico.
6
Observaciones.
i) Si f no es inyectiva , f −1 no esta deÞnida entonces se tiene un semisitema dinámico.
ii) f endomorÞsmo de clase C k k > 0, deÞnirá un semisistema dinámico y al revez.
Sea f : X → X una función. Si f es inyectiva sobre la Im(f) entonces hay unicidad
pero no tenemos un Sistema Dinámico
Si Im(f) ⊂ X f no es sobre ya que f −1 : Im(f ) ⊂ X → X no puede iterarse cuando
se sale de la Im(f ). Para que tengamos un Sistema Dinámico requerimos que f sea una
biyección de X en X.
Existe otra clase de Sistemas Dinámicos llamados Continuos, donde la terna es
(X, R, Φ), los cuales se relacionan con ecuaciones diferenciales. En lo sucesivo cuando nos reÞramos a un Sistema Dinámico, entenderemos que este es Discreto.
1.2
DINÁMICA PERIÓDICA Y ESTABILIDAD.
Para analizar a los sistemas dinámicos tenemos que entender el comportamiento asintótico ó eventual de un proceso iterativo. Lo anterior se logra comprendiendo algunas
deÞniciones de gran relevancia. Sea f una función de clase C 1 .
Definición 2.1.La semiórbita positiva de x es la sucesión O+ (x) = {f n (x)}n≥0 . y la
semiórbita negativa de x es la sucesión O− (x) = {f −n (x)}n≥0 .
Nos referiremos a O+ (x) como la órbita de x, O(x), cuando consideremos la semiórbita negativa haremos la aclaración.
Proposición 2.2. Dado un Sistema Dinámico si O(x) ∩ O(y) 6= ∅ entonces O(x) =
O(y).
Demostración.
Como O(x) ∩ O(y) 6= ∅ entonces existe n1 , n2 tal que
{Φn (x) : n ≥ n1 } = {Φn (y) : n ≥ n2 }
7
por lo cual, a partir de n Φn (x) = yi = Φn (y).
Sea xi ∈ O(x) tal que Φni (x) = xi , ni > n, entonces ni = n + m
Φni (x) = Φm+n (x) = Φm ◦ Φn (x) = Φm ◦ Φn (y) = Φn+m (y)
entonces xi ∈ O(y), por lo cual O(x) ⊂ O(y); analogamente O(x) ⊂ O(x). Por lo tanto
O(x) = O(y).
Observación 2.3. Dado un Semisistema Dinámico
i) Solo tiene O+ (x) x ∈ M.
ii) Si O+ (x) ∩ O + (y) 6= ∅ entonces O+ (x) = O + (x)
Definición 2.4. Un punto x es un punto periódico de f, si f q (x) = x para algún
q ≥ 1. q es llamado el período de x.
El menor positivo q para el cual f q (x) = x, es llamado el período de x.
Los puntos periódicos de período q = 1, son los puntos fijos de f. El conjunto de
todos los puntos Þjos de f lo denotamos por F ix(f) y el conjunto de puntos periódicos
de período q como P erq (f ).
Definición 2.5. Una órbita de un punto periódico de período q, esta constituida por
puntos x, que satisfacen f q (x) = x , la cual es llamada órbita de período q, q − periódica
ó un q − ciclo.
Ahora veremos las deÞniciones de estabilidad, en el sentido de Lyapunov, para las
dinámicas más fundamentales que encontramos en los Sistemas Dinámicos.
Definición 2.6. Sea x∗ un punto periódico de f. Decimos que x∗ es estable si para
toda vecindad U de x∗ , ∃ U 0 ⊆ U de x∗ tal que si x ∈ U 0 entonces f n (x) ∈ U, para toda
n > 0.
Un punto periódico que no es estable, se dice que es inestable.
8
Definición 2.7. Sea x∗ un punto periódico de período q. Si x∗ es estable y para
toda x en alguna vecindad U de x∗
lim f qn (x) = x∗ ,
n→∞
entonces x∗ es asintoticamente estable.
Definición 2.8. Los puntos periódicos estables pero no asintóticamente estables son
llamados neutralmente ó marginalmente estables.
Definición 2.9. Sea x∗ un punto asintóticamente estable. La Cuenca de Atracción
de x ∗ es el conjunto
n
n
∗
x : lṍm f (x) = x
n→∞
o
.
Definición 2.10. Sea x∗ un punto periódico de período q. El punto es hiperbólico si
|(f q )0 (x∗ )| 6= 1. El número (f q )0 (x∗ ) es llamado el multiplicador del punto periódico.
Proposición 2.11. Si x∗ es un punto periódico hiperbólico de período q y |(f q )0 (x∗ )| <
1, entonces la órbita O(x∗ ) es asintóticamente estable. En este caso, O(x∗ ) se llama atractor periódico exponencial.
Demostración.
Como f q es de clase C 1 , existe ² > 0 tal que |(f q )0 (x)| < A < 1 para x ∈ [x∗ − ², x∗ + ²] .
Por el Teorema del Valor Medio
|f q (x) − x∗ | = |f q (x) − f q (x∗ )| ≤ A |x − x∗ | < |x − x∗ | ≤ ².
por lo tanto f q (x) esta contenida en [x∗ − ², x∗ + ²]. Vía el mismo argumento
|f qn (x) − x∗ | ≤ Aqn |x − x∗ | ,
9
con n > 0, entonces si n → ∞,
lṍm |f qn (x) − x∗ | ≤ lṍm Aqn |x − x∗ | ,
n→∞
n→∞
por lo tanto
lṍm f qn (x) = x∗
n→∞
es decir, O(x∗ ) es asintoticamente estable.
Definición 2.12. Sea x∗ un punto periódico de período q. Si f 0 (x∗ ) = 0 entonces
x∗ se le llama superestable.
Proposición 2.13. Si x∗ es un punto periódico hiperbólico de período q y |(f q )0 (x∗ )| >
1, entonces existe una vecindad U de x∗ tal que si x ∈ U, x 6= x∗ entonces existe k tal
que f n (x) ∈
/ U para todo n ≥ k. En este caso, x∗ se llama repulsor periódico exponencial.
Definición 2.14. Sea x∗ un punto periódico de período q. El punto es semiatractor
si |(f q )0 (x∗ )| = 1.
Definición 2.15. El conjunto omega-límite de x, ω(x), del sistema dinámico generado
por f , es el conjunto de puntos de acumulación de {f n (x) : n ∈ N }.
Definición 2.16. Sea y ∈ X. Diremos que x ∈ ω (y), si existe una sucesión {ni } de
naturales tal que
i) lṍm f ni (y) = x.
i→∞
ii) lṍm ni = ∞.
i→∞
De manera análoga se de deÞne el conjunto α − lṍmite.
Definición 2.17. Si la función f tiene inverso, entonces podemos deÞnir el conjunto
alfa-límite de x, α(x), del sistema dinámico generado por f , es el conjunto de puntos de
acumulación de {f n (x) : −n ∈ N}.
Definición 2.18. Sea y ∈ X. Diremos que x ∈ α (y), si existe una sucesión {ni } de
naturales tal que
10
i) lṍm f −ni (y) = x.
i→∞
ii) lṍm ni = ∞.
i→∞
1.3
ITERACIÓN DE FUNCIONES DEL INTERVALO.
Consideremos funciones f : I → I donde I es un intervalo de números reales e incluso
la recta real. La dinámica puede ser visualizada en la recta por la gráÞca en Figura 3.1
(A). Otra forma útil de examinar la dinámica es dibujando la gráÞca de la función f en
el cuadrado I × I y la recta y = x que es la diagonal del cuadrado como se muestra en
Figura 3.1 (B).
B
A
Fig. 3.1. Iteración de una f unción.
A) En la Recta Real; B) En el cuadrado I × I
Los puntos x ∈ I los podemos identiÞcar con lo puntos (x, x) en la diagonal del
cuadrado, tomamos un punto (x0 , x0 ) en la diagonal, trazamos la recta vertical, a partir
de este punto, hasta intersectar la gráÞca de f y de ahí la recta horizontal hasta intersectar nuevamente la diagonal; el punto de intersección es (f (x0 ), f(x0 )). Podemos seguir
iterando de esta manera y obtener una sucesión de puntos en la diagonal, que se proyecta
sobre una órbita en I.
11
Los puntos Þjos de la función f son evidentemente las intersecciones de la gráÞca
f con la diagonal. Así mismo, los puntos periódicos de período q, son los puntos de
intersección de la gráÞca f q con la diagonal. El principal resultado sobre la existencia de
órbitas periódicas es el siguiente:
Teorema 3.1. (Sarkovskii, [3])Sea (I, f ) un Sistema Dinámico en I y deÞnase el
siguiente orden de enteros positivos:
3 ≺ 5 ≺ 7 ≺ ... ≺ 2 · 3 ≺ 2 · 5 ≺ ... ≺ 23 ≺ 22 ≺ 2 ≺ 1.
Si f
tiene una órbita de período n y n ≺ m, entonces f tiene también una órbita de
período m.
Una consecuencia de este Teorema probada por Li y Yorke, es que si f tiene una
órbita de período 3, entonces tiene órbitas de todos los períodos.
Un problema importante es determinar sus cuencas de atracción y cuantas órbitas
periódicas atractoras existen.
El principal resultado en esta dirección tiene que ver con la derivada de Schwarz. Sea
f de clase C 3 , deÞnimos la derivada de Schwarz o Schwarziana de f en x como
f 000 (x) 3
−
Sf (x) = 0
f (x)
2
µ
f 00 (x)
f 0 (x)
¶2
.
Teorema 3.2. [3] Supongase que Sf < 0 (Sf = −∞ es permitido) y que f tiene
n puntos críticos (i.e. f 0 (x) = 0) entonces f tiene a lo más n + 2 órbitas periódicas
atractoras.
12
1.4
BIFURCACIONES EN UNA DIMENSIÓN
En Sistemas Dinámicos el objeto de la teoría de bifurcación es estudiar los cambios que
sufre una función cuando los parámetros cambian. Estos cambios usualmente envuelven
estructuras de puntos periódicos, pero pueden haber otro tipo de cambios.
Consideremos familias de funciones de valores reales, que dependen suavemente de
un parámetro.
Las bifurcaciones más estudiadas son las del sistema generado por la función logística,
deÞnida como sigue:
fλ : [0, 1] →
x
[0, 1],
7→ λx(1 − x), con λ ≥ 0.
El caso más simple de bifurcación de una familia de funciones fλ : X → X con X un
espacio compacto1 de dimensión uno y λ ∈ U un abierto es un punto Þjo, en este caso
nos interesa hacer la gráÞca de λ contra x, de la relación implícita
fλ (x) = x.
En el caso general, cuando estudiamos las bifurcaciones de órbitas periódicas de período q, es necesario hacer la gráÞca λ contra x, de la relación
fλq (x) = x.
En todos los casos las gráÞcas son un subconjunto de U × X.
Entonces si conocemos la gráÞca de
fλn(x) = x,
1
Ver Apéndice
13
para todo n y la estabilidad de estas órbitas, conocemos el diagrama de bifurcación de
la familia de funciones fλ , el cual se traduce en información básica para entender los
cambios de la dinámica (cambios cualitativos) al cambiar continuamente el parámetro λ,
ó la familia de parámetros en cado caso.
Calcular análiticamente el diagrama de bifurcación es bastante diÞcil ya que si consideramos el caso más simple por ejemplo la función logística que es un polinomio de grado
dos, equivale a resolver una ecuación polinomial de grado 2n − 1. Sin embargo, numéricamente se tienen más posibilidades para estudiar estos sistemas. A continuación daremos
los teoremas que nos dan condiciones para bifurcaciones simples (a lo mas periódicas de
periodo dos), sin contener información sobre la estabilidad de las órbitas periódicas que
bifurcan.
Consideremos fλ una familia de funciones dependientes del parámetro λ.
Teorema 4.1 (Bifurcación Silla-nodo) Si fλ , es de clase C ∞ , y si para algún punto
(x0, λ0 ) se satisfacen las condiciones:
1. fλ0 (x0 ) = x0 ;
2. fλ0 0 (x0 ) = 1;
3. fλ000 (x0 ) 6= 0;
4.
∂fλ0 (x0 )
∂λ
6= 0.
Entonces existe un intervalo I alrededor de x0 y una función suave p(x) : I → R, que
satisface p(x0 ) = λ0 ,y, fp(x) (x) = x, además p0 (x0 ) = 0 y p00 (x0 ) 6= 0.
Demostración:
Los puntos Þjos de fλ (x) estan dados por
fλ (x) − x ≡ G(x, λ) = 0.
14
Buscamos condiciones bajo las cuales G(x, λ) deÞne una curva en el plano x − λ que
cumple (1) y (2). Por el Teorema de la Función Implícita2
∂fλ0 (x0 )
∂G(x0 , λ0 )
=
6= 0,
∂λ
∂λ
lo cual implica que una curva simple de puntos Þjos pasa por (x, λ) , más aun para un
x suÞcientemente pequeño esta curva puede ser representada como una gráÞca sobre las
x’s variables, es decir, existe una única funcion Cr p(x),con x suÞcientemente pequeño
tal que
G(x, p (x)) ≡ fλ (x, p (x)) − x = 0.
Ahora simplemente requerimos que
dp(x0 )
dx
d2 p(x0 )
dx2
=0
6= 0
derivando implicitamente
G(x, p (x)) ≡ f (x, p (x)) − x = 0
³
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
´³
dp(x0 )
dx
´
³
+
³
dp(x0 )
dx
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂x ³
´
=
´
=
³
∂f (x0 ,p(x0 ))
´ ∂p(x)³
∂G(x0 ,p(x0 ))
−
∂x
³
´
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
=−
´³
´
³
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂x
´
³
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂x
dp(x0 )
+
dx ´
∂f (x0 ,p(x0 ))
−1
∂x
³
´ =
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
0
´
−1 =0
´
−1 =0
Analogamente
³
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
´³
dp(x0 )
dx
´
³
+
³ 2
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂x
d p(x0 )
dx2
´
=
´
=
³
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
∂ 2 G(x0 ,p(x0 ))
−
∂x2
³
´
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
=
´³
dp(x0 )
dx
∂ 2 f (x0 ,p(x0 ))
−
∂x2
³
´
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
+
6= 0
DeÞnimos G(x, λ) = fλ (x) − x, por hipótesis fλ0 (x0 ) = x0 ; entonces G(x0 , λ0 ) = 0.
2
Consúltese Apéndice I
15
Aplicando el Teorema de la Función Implícita3 a G(x, λ),
∂fλ0 (x0 )
∂G(x0 , λ0 )
=
6= 0,
∂λ
∂λ
entonces existe una función diferenciable p(x) : I → R tal que
G(x, p(x)) ≡ f (x, p (x)) − x = 0.
Derivando implícitamente obtenemos que p0 (x), esta dada por
³
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂x
´
+
³
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂λ
³
p0 (x0 ) =
−
³
´
p0 (x0 ) =
´
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂x
´
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
³
∂f (x0 ,p(x0 ))
³∂x
=−
´
+
³
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂λ
´
∂f(x0 ,p(x0 ))
−1
∂x
´
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
³
=0
´
p0 (x0 ) = 0
entonces la gráÞca de G(x0 , λ0 ) = 0, en el plano (x, λ) tienen una tangente vertical en el
punto (x0 , λ0 ).
Si ahora calculamos p00 (x), se tiene
−∂
p (x0 ) = ³
00
2 G(x ,p(x ))
0
0
∂x2
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂λ
−∂
´=³
2 f (x ,p(x ))
0
0
∂x2
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂λ
´ 6= 0
Observación:El signo de p00 (x0 ) nos dice de que lado de λ0 se localiza la curva de
puntos Þjos, es decir, determinan la dirección de la bifurcación.
B
A
3
Consúltese Apéndice
16
Figura. 4.1 Gráfica de la Bifurcación Si lla − Nodo.
A) p00 (x0 ) > 0; B) p00 (x0 ) < 0
Teorema 4.2.(Bifurcación Doblamiento de Período).Supongamos que
1. fλ (x0 ) = x0 , para todo λ en un intervalo I alrededor de λ0
2. fλ0 (x0 ) = −1
3.
0
∂ (fλ2 (x0 ))
∂λ
6= 0
Entonces existe un intervalo I que contiene a x0 y una función diferenciable λ =
2
(x) = x.
p(x) : I → R, tal que fp(x) (x) 6= x,pero fp(x)
Demostración.
DeÞnimos G(x, λ) ≡ fλ2 (x) − x . Por hipótesis los puntos Þjos son
G(x, λ) ≡ fλ2 (x) − x = 0,
Aplicando el Teorema de la Función Implícita4 a G(x, λ),
¢
¡
∂ fλ20 (x0 )
∂G(x0 , λ0 )
=
6= 0,
∂λ
∂λ
entonces existe una función diferenciable p(x) : I → R tal que
G(x, p(x)) ≡ f 2 (x, p (x)) − x = 0.
Derivando implicitamente obtenemos que p0 (x), esta dada por
³
4
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂x
´
+
³
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂λ
³
p0 (x0 ) =
−
³
´
0
p (x0 ) =
´
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂x
´
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
³
∂f (x0 ,p(x0 ))
³∂x
=−
Consúltese Apéndice
17
´
+
³
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂λ
´
∂f(x0 ,p(x0 ))
−1
∂x
´
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂p(x)
³
=0
´
p0 (x0 ) = 0
entonces la gráÞca de G(x0 , λ0 ) = 0, en el plano (x, λ) tienen una tangente vertical en el
punto (x0 , λ0 ).
Si ahora calculamos p00 (x), se tiene
−∂
p (x0 ) = ³
00
2 G(x ,p(x ))
0
0
∂x2
∂G(x0 ,p(x0 ))
∂λ
H(x, λ) =
−∂
´=³
G(x,λ)
,
x
2 f (x ,p(x ))
0
0
∂x2
∂f (x0 ,p(x0 ))
∂λ
´ 6= 0
si x 6= 0
G0 (x, λ), si x = 0
entonces H es diferenciable y se satisface
1
H 0 (0, λ0 ) = G00 (0, λ0 ),
2
1
H 00 (0, λ0 ) = G000 (0, λ0 ),
2
además por hipótesis
H(0, λ0 ) = G0 (x, λ) = 0
´ ∂f 2 (x )
∂
∂ ³ ¡ 2 ¢0
0
H 0 (0, λ0 ) =
(G0 (x, λ)) =
fλ (0) − 1 = λ0
6= 0,
∂λ
∂λ
∂λ
Si ahora aplicamos el teorema de la función implícita a la función H, existe una
función diferenciable p(x) tal que H(x, p(x)) = 0, en particular
G(x, p(x))
= 0, x 6= 0.
x
entonces x es un punto periódico de período dos de fλ . Observemos que
0
p (x0 ) =
∂H(0,λ0 )
∂x
∂H(0,λ0 )
∂λ
=0
ya que
(fλ2 )00 (0) = ((fλ )0 (0))2 (fλ )00 (0) + (fλ )00 (0)(fλ )0 (0) = 0.
18
Observación:
La concavidad de la curva deÞnida por la función p(x) se puede conocer si calculamos
−H 00 (0, λ0 )
00
p (x0 ) =
³
³
∂H(0,λ0 )
∂λ
∂H(0,λ0 )
∂λ
00
p (x0 ) =
´2
´
2 000
f (0) + (fλ00 (0))2
3 λ
∂(fλ2 )(0)
∂λ
La gráÞca de la bifurcación de doblamiento de período depende del signo de fλ000 (0)+
(fλ00 (0))2 .
A
B
Figura. 4.2.Gráf ica de la Bif urcación de Doblamiento de P erṍodo con :
à 32 !
à 32 !
A)
∂ fλ (x)
∂x3
∂ 2 f 2 (x)
λ
∂x∂λ
−
> 0; B)
∂ fλ (x)
∂x3
∂ 2 f 2 (x)
λ
∂x∂λ
−
< 0.
Al sufrir f una bifurcación de Doblamiento de período , f 2 sufre una bifurcación de
Tenedor.
1.5
CONJUGACIÓN TOPOLÓGICA
Definición 5.1. Sean f, g : X → X. Decimos que f es topológicamente conjugada a g
si existe un homeomorÞsmo h tal que
h ◦ f = g ◦ h.
Proposición 5.2. Dos funciones que son topológicamente conjugadas dan lugar a
sistemas dinámicos tal que
19
1. Tienen igual número de puntos periódicos.
2. Sus correspondientes ω − lṍmites son homeomorfos.
Demostración.
Sean f y g topológicamente conjugadas, entonces
g ◦ h = h ◦ f,
donde h es un homeomorÞsmo.
Así que si x es un punto periódico de período n, entonces
f n (x) = x,
es decir
f n (x) = h−1 (g n (h(x))),
o sea que
g n (h(x)) = h (f n (x)) = h(x),
de donde se concluye que si x es un punto periódico de f , lo es también de g vía el
homeomorÞsmo.
Por otra parte, si el conjunto ω(f ) es el conjunto ω − lṍmite de f el correspondiente
a g es
{g n (x) : x ∈ N}
es decir,
© −1 n
ª
(h f h)(x) : n ∈ N
Definición 5.3. Un subconjunto Y de X es Denso si para todo x ∈ X y para toda
vecindad U de x existe y ∈ Y ∩ U.
20
Definición. 5.4. Un conjunto de Cantor es un conjunto que es cerrado, todos sus
puntos son de acumulación y es denso en ninguna parte.
21
Capítulo 2
ENDOMORFISMOS DE LA
CIRCUNFERENCIA.
En este capítulo discutiremos las ideas y resultados básicos que involucra el estudio de
la dinámica de las funciones de la circunferencia.
Las funciones de la circunferencia determinan sistemas dinámicos útiles para modelar diversos procesos naturales donde se maniÞesta una actividad cíclica. Después del
trabajo pionero de Poincaré y Denjoy se han acumulado múltiples investigaciones de matemáticos y cientíÞcos contemporáneos que han estudiado la dinámica de las iteraciones
de estas funciones desde un punto de vista puro y aplicado. El estudio de estos sistemas dinámicos requiere combinar métodos matemáticos (analíticos y geométricos) con
simulaciones computacionales.
2.1
ENDOMORFISMOS DE LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia S es la clase de equivalencia topológica del conjunto
22
{e2πit /t ∈ [0, 1)}.
Otra representación de S nos la da el espacio topológico
R
Z
que resulta de identiÞcar
los extremos del intervalo [0, 1].
Una función
f : S → S,
es llamada una función de la Circunferencia. Llamaremos a una función continua de la
circunferencia un Endomorfismo de la Circunferencia.
Las gráÞcas de las funciones de la Circunferencia son curvas en T 2 = S × S.
Para visualizar estas gráÞcas conviene pensar a T 2 como el cuadrado [0, 1] × [0, 1]
donde los lados opuestos están identiÞcados.
Ejemplo 1:
A
B
Figura. 1.1. A) Identidad en el T oro;
B) Identidad en el cuadrado [0, 1] × [0, 1]
Consideramos las gráÞcas de estas funciones en el cuadrado en lugar de hacerlo en la
superÞcie de una dona; siendo así más fáciles de dibujar. Cuando nos reÞramos a gráÞcas
23
en el Toro estaremos pensando en gráÞcas en el cuadrado [0, 1] × [0, 1].
Definición 1.1 La Proyección Canónica es:
π: R →
t
S
7→ e2πit
Fig. 1.2 Pr oyección Canónica
Observación 1.2 La proyección canónica cumple:
i) π(t) es continua.
ii) Para todo t, s ∈ R, π(t) = π(s) si y solo si t = s (mod 1), es decir, π(t) = π(s) si
y solo si t = s + k, k ∈ Z.
Demostración.
i) Observemos que si identiÞcamos C con R2 , π se puede redeÞnir por simplicidad
π : R → R2 ,
t 7→ (cos t, sen t)
dπ t = (−sen t, cos t)
existe para toda t ∈ R, por lo que π es diferenciable en R y por lo tanto es continua en R
24
ii)
π(t) = π(s)
e2πit = e2πis
e2πit e2πi(−s) = 1
e2πi(t−s) = 1
t = s + k,
k∈Z
t = s mod (1).
2.2
LEVANTAMIENTOS
Las funciones de la circunferencia las podemos representar por medio de funciones reales
de valores reales.
Teorema 2.1 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia. Entonces existe una
función continua F : R → R y un entero k = k(f ) tal que:
i) para cada t ∈ R, F (t + 1) = F (t) + k,
ii) conmuta el diagrama
F
R → R
π
↓
↓ π
S → S
f
es decir, π ◦ F = f ◦ π.
Definición 2.2 Cualquier función continua F que satisfaga (i) y (ii) de la proposición
anterior se llamará un levantamiento de f . Al entero k(f) se le llamará el grado de la
función continua f.
La discusión que sigue nos demuestra que el grado está bien deÞnido.
25
Demostración del Teorema 2.1:
Sea t0 ∈ R tal que π(t0 ) = e2πit0 = 1. Para t ∈ [t0 , t0 + 1), deÞnamos:
F (t) =
1
arg(f(e2πit )),
2π
tomando una rama continua de arg, de este modo F es continua en t ∈ [t0 , t0 + 1). y
1
1
2πit
arg(f (e2πit ))) = e2πi( 2π arg(f (e )))
2π
i arg(f (e2πit ))
= e
= f(e2πit ) = f ◦ π
π ◦ F = π(
en dicho intervalo. Por otro lado
lim
t→1
1
1
arg(f (e2πi(t0 +t) )) =
arg(f (e2πit0 )) = F (t0 ) + k,
2π
2π
donde k es el entero por el que diÞeren las dos ramas de arg en f (e2πit0 ) . DeÞnimos
entonces F (t0 + 1) = F (t0 ) + k y, para t ∈ [t0 + 1, t0 + 2), F (t) por la misma relación
que antes, pero con la nueva rama del argumento . Es claro que este proceso lo podemos
repetir indeÞnidamente y obtener así F (t) para t ≥ t0 tal que cumpla la conmutatividad
del diagrama. Para t < t0 se hace algo semejante, con lo cual tenemos una función
continua deÞnida en toda la recta real que satisface todos los requerimientos.
Ejemplos:
A
B
26
Figura. 2.1. A) Gráf ica del Levantamiento; B) Gráf ica en el T oro
f (x) = 0.5 + (0.4)sen2πx,
A
k(f ) = 0.
B
Figura. 2.2. A) Gráf ica del Levantamiento; B) Gráf ica en el T oro
f (x) = x + 0.6 + (0.95)sen2πx,
A
k(f ) = 1.
B
Figura. 2.3. A) Gráf ica del Levantamiento; B) Gráf ica en el T oro
f (x) = 2x + 0.1 + (0.6)sen2πx,
k(f ) = 2.
Observación 2.3 Si f es un endomorÞsmo de la circunferencia de grado k entonces
para todo levantamiento F de f se tiene
F (t + m) = F (t) + mk,
∀t ∈ R y ∀m ∈ Z.
Demostración:
Sea f una función continua de grado k, aplicamos inducción sobre m. Si m = 1, por
el Teorema 2.1 i),
F (t + 1) = F (t) + k,
27
Supongamos que se cumple para m − 1
F (t + (m − 1)) = F (t) + (m − 1)k
Probemos que se vale para m, es decir,
F (t + m) = F (t) + mk
F (t + m) = F (t + m − 1 + 1)
= F (t + (m − 1)) + k
= F (t) + (m − 1)k + k
= F (t) + mk.
La gráÞca de un levantamiento se puede obtener en toda la recta, conociéndola en
un intervalo de longitud uno, digamos en[0, 1], de la proposición anterior sabemos que
el punto Þnal en 1 está k unidades arriba que el punto en 0, comenzando en el punto (1, F (1)) repetimos la misma gráÞca, ahora sobre el intervalo [1, 2], repitiendo este
proceso, a izquierda y derecha del trozo de la gráÞca conocido, se obtiene la gráÞca del
levantamiento; llamemos al trozo de la gráÞca de un levantamiento que asume valores en
[0, 1], un trozo fundamental.
B
A
Figura. 2.4. A) Gráf ica del Levantamiento; B) T rozo F undamental.
Los levantamientos de un endomorÞsmo de la circunferencia son únicos salvo por la
28
suma de una constante entera.
Observación 2.4 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia y F un levantamiento
continuo de f . Entonces F ∗ es otro levantamiento continuo de f si y sólo si existe m ∈ Z
tal que F ∗ (t) = F (t) + m, para todo t ∈ R
Demostración
⇐) Supongamos que F ∗ es tal que existe m ∈ Z
F ∗ (t) = F (t) + m, ∀ t ∈ R
aplicando π en ambos miembros
π(F ∗ (t)) = π(F (t) + m) = π(F (t))
= f (π(t)).
Entonces F ∗ es también levantamiento de f.
⇒)Sean F (t) y F ∗ (t) levantamientos de f , entonces
π(F ∗ (t)) = f(π(t)) = π(F (t)),
∀ t∈ R
entonces,
F ∗ (t) − F (t) ∈ Z,
∀ t ∈ R.
Como F ∗ (t), F (t) son continuas y F ∗ (t) − F (t) es discreto, entonces es constante. Por lo tanto,
F ∗ (t) − F (t) = m
para algún m ∈ Z.
Aunque los levantamientos de un endomorÞsmo de la circunferencia no son únicos,
29
Þjando el valor del levantamiento en algún punto, digamos F (0) = F0 , queda determinado
un único levantamiento F (t).
Alternativamente, podemos determinar un único levantamiento F de f, si suponemos
la condición de que F (0) ∈ [0, 1).
Es posible también ir en la otra dirección, es decir, de levantamientos a funciones de
la circunferencia; la gráÞca de una función en la circunferencia puede obtenerse también
de la gráÞca de sus levantamientos si consideramos un trozo fundamental de la gráÞca de
cualquier levantamiento entonces cruzará verticalmente un número entero de cuadrados
de lado uno; esto nos determina un rectángulo de base uno y altura igual a un entero,
digamos k. Cortemos ahora este rectángulo en k cuadrados unitarios y superponiéndolos
obtenemos la gráÞca de f.
Ejemplo:
Figura. 2.5. A) Gráf ica del Levantamiento; B) Gráf ica en el T oro
f(x) = x + 0.3 + (0.3)sen2π(x + 0.3 + (0.3)sen2πx),
k(f ) = 1.
Teorema 2.5 Supongamos que F : R → R es una función continua, k un entero y
F (t + 1) = F (t) + k
para t ∈ R. Entonces existe un único endomorÞsmo de la circunferencia f tal que F es
un levantamiento de f. Obviamente este endomorÞsmo f es de grado k.
30
Demostración:
DeÞnimos
f(x) = π(F (t)).
donde t es cualquier punto en π −1 (x).
Veamos que la función está bien deÞnida, es decir, que no depende de la elección de
t. Si t0 ∈ R tal que
π(t0 ) = x,
entonces
π(t0 ) = π(t)
por lo que
t0 − t ∈ Z
de aquí que
f(x) = π(F (t0 )) = π(F (t) + k(t0 − t)) = π(F (t)).
Observación 2.6( i) Las iteradas f n de un endomorÞsmo de grado k tienen grado
kn.
(ii) F n es un levantamiento de f n si F es levantamiento del endomorÞsmo de la
circunferencia, f.
Demostración.
Efectuemos inducción sobre n en los incisos (i) , (ii) .
(i) Sea F es un levantamiento de f de grado k. Por el Teorema 2.1 i),
F (t + 1) = F (t) + k,
Suponemos para n
F n (t + 1) = F n (t) + k n .
31
Por demostrar que se vale para n + 1.
F n+1 (t + 1) = F (F n (t + 1))
= F (F n (t) + k n )
= F (F n (t)) + k n k
= F n+1 (t) + k n+1 ,
por la observación 2.3. Por lo tanto f n es de grado k n .
(ii) Como F es un levantamiento de f
π ◦ F = f ◦ π.
Supongamos que vale para n,es decir
π ◦ F n = f n ◦ π,
Demostremos para n + 1,
π ◦ F n+1 = π ◦ F n ◦ F = f n ◦ π ◦ F
= f n ◦ f ◦ π = f n+1 ◦ π
además como f es continua y claramente F n (t+1) = F n (t)+k(f), F n es un levantamiento
de f n .
Ejemplo:
A
B
32
Figura. 2.6. Gráf ica del Levantamiento de f (x) = 2x + (0.5) sen 2πx :
A) k(f ) = 2; B) k(f 2 ) = 4
Definición. 2.7 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia y F levantamiento
continuo de f. Diremos que
(i) f es monótono decreciente si F lo es.
(ii) f es monótono creciente si F lo es.
Para posterior referencia hacemos las siguientes observaciones.
Observación 2.8 Sean f, g endomorÞsmos de la circunferencia de grado k y F, G
levantamientos de f, g respectivamente, entonces para todo t ∈ R y n ∈ Z, F n (t)−Gn (t)
es una función de grado cero, es decir es una función periódica
Demostración.
Sea n = 1. Como f y g tienen grado k, tenemos que
F (t + 1) = F (t) + k,
G(t + 1) = G(t) + k
entonces
F (t + 1) − G(t + 1) = F (t) + k − G(t) − k
= F (t) − G(t)
Por lo tanto, F (t) − G(t) es de grado cero.
Como F n, Gn son levantamientos de f n , g n endomorÞsmos de la circunferencia de
grado k, se cumple el paso anterior y por lo cual F n (t) − Gn (t) es de grado cero.
En particular, si G(t) = t se tiene F n (t) − t es de grado cero.
Observación 2.9 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, monótono creciente,
33
de grado uno y sea F un levantamiento de f. Entonces para n = 1, 2, ... si
Mn =M áx (F n(t) − t) y
mn =Mṍn (F n (t) − t),
t∈R
t∈R
se tiene Mn − mn ≤ 1.
Demostración:
Como F (t) − t es continua, existen T, t ∈ R con 0 ≤ (T − t) < 1 tal que,
F (T ) − T = M
y
F (t) − t = m,
además como F (t) es monótona creciente, de grado uno, se tiene que
F (T ) ≤ F (t + 1) = F (t) + 1,
F (T ) − F (t) ≤ 1,
entonces,
M − m = (F (T ) − T ) − (F (t) − t)
= (F (T ) − F (t)) − (T − t)
≤ 1 − (T − t)
≤ 1.
2.3
ENVOLVENCIA.
Proposición 2.10 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, de grado uno. Si x es
un punto periódico de período q de f y F es un levantamiento de f entonces dado t tal
que π(t) = x existe un entero m(t, F ) tal que
F q (t) = t + m(t, F ).
34
Demostración.
Sea t tal que π(t) = x, como x es un punto de período q de f, entonces
f q (x) = x
f q (π(t)) = π(t),
siendo F un levantamiento de f,
f q (π(t)) = π(F q (t)) = π (t) .
De aquí concluimos que existe m(t, F ) tal que
F q (t) = t + m(t, F ).
Proposición 2.11 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, de grado uno. Si x es
un punto periódico de período q de f , F1 , F2 levantamientos continuos de f , t1, t2 ∈ R
tales que π(t1 ), π(t2 ) ∈ O(x) y F1q (t1 ) = t1 + m1 , F2q (t2 ) = t2 + m2 entonces
m1 = m2 mod q.
Demostración.
Sean r, s y l enteros y xr , xs ∈ S, tales que
π(t1 ) = xr = f r (x),
π(t2 ) = xs = f s (x),
como F1 , F2 son levantamientos de f, entonces,
F1 (t) = F2 (t) + l,
35
t ∈ R,
l ∈ Z.
Con k = r − s ≥ 0
xr = f r (x) = f r−s+s (x) = f r−s (xs ) = f k (xs )
π (t1 ) = xr = f k (xs ) = f k (π (t2 )) = π(F k (t2 ))
por lo cual,
t1 = F k (t2 ) + m, m ∈ Z
entonces,
m1 = F1q (t1 ) − t1 = F2q (t1 ) + ql − t1
= F2q (F2k (t2 ) + m) + ql − t1
= F2q+k (t2 ) + m + ql − t1
= F2k (F2q (t2 )) + m + ql − t1
= F2k (t2 + m2 ) + m + ql − t1
= F2k (t2 ) + m + m2 + ql − t1
= t1 + m2 + ql − t1
= m2 + ql
Proposición 2.12 Un endomorÞsmo de la circunferencia f ,de grado uno, tiene una
órbita O (xi ) de período q si y sólo si existe una única F, levantamiento continuo, tal que
F q (t) = t + p con 0 ≤ p < q, para toda t tal que π(t) = xi para algún índice i.
Demostración.
⇐) Si existe un levantamiento F continuo y ti tal que F q (ti ) = ti + p con 0 ≤ p < q,
f q (π(ti )) = π(F q (ti )) = π(ti + p) = π(ti )
como π(ti ) = xi , entonces
f q (xi ) = xi .
36
⇒) Dado ti tal que π(ti ) = xi , se tiene que,
f q (π(ti )) = π(ti ),
entonces para todo F levantamiento de f,
π(F q (ti )) = π(ti ),
F q (ti ) = ti + m,
por el algoritmo de la división,
F q (ti ) = ti + m = ti + p + cq, con 0 ≤ p < q.
Sea F ∗ = F − c, entonces
(F ∗ )q (ti ) = F q (ti ) − cq = ti + p + cq − cq = ti + p,
y el levantamiento F ∗ cumple la condición buscada.
Veamos que es única, consideremos otro levantamiento F, que cumpla
(F )q (ti ) = ti + p,
como F ∗ = F + l, con l ∈ Z distinto de cero,
(F ∗ )q (ti ) = F q (ti ) + lq = ti + p + lq,
pero (F ∗ )q (ti ) = ti + p, entonces
ti + p + lq = ti + p
37
lq = 0, pero q > 0, entonces l = 0 lo cual es una contradicción.
Definición 2.13 Sea O (xi ) una órbita de período q del endomorÞsmo de grado uno f,
F representación continua de f y t ∈ R, m ∈ Z tales que F q (t) = t + m. La envolvencia
E de una órbita O(xi ) se deÞne como
E = m mod q.
Llamaremos Caraterística de una órbita a la pareja (p, q) donde p es la envolvencia de la
órbita y q el período de ella.
2.4
HOMEOMORFISMOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Los homeomorÞsmos de la circunferencia, es decir, las funciones continuas de la circunferencia cuya inversa también es continua, han sido estudiadas extensamente. Presentamos
algunos resultados importantes respecto a estas funciones.
Observación 3.1. Si f es un homeomorÞsmo de la circunferencia y F es un levantamiento continuo de f, entonces F es un homeomorÞsmo y además F −1 es un levantamiento de f −1 .
Demostración:
Sean f un homeomorÞsmo y F, F ∗ levantamientos continuos de f y f −1 respectiva-
38
mente, entonces
π ◦ Id = Id ◦ π
= (f ◦ f −1 ) ◦ π
= f ◦ (f −1 ◦ π)
= f ◦ (π ◦ F ∗ )
= (f ◦ π) ◦ F ∗
= (π ◦ F ) ◦ F ∗
= π ◦ (F ◦ F ∗ )
y como π es suprayectiva, se tiene que
Id = F ◦ F ∗ ,
análogamente
Id = F ∗ ◦ F
por lo que
F ∗ = F −1
entonces, F es homeomorÞsmo.
Observación 3.2. Sean f, g funciones continuas de la circunferencia y F, G sus
levantamientos respectivos. Si f y g son topológicamente conjugadas entonces F y G son
topológicamente conjugadas.
Demostración.
Si f y g son topológicamente conjugadas entonces existe h homeomorÞsmo tal que
h◦f =g◦h
39
por el Teorema 2.1 ii), tenemos
(h ◦ f ) ◦ π = (g ◦ h) ◦ π
h ◦ (f ◦ π) = g ◦ (h ◦ π)
h ◦ (π ◦ F ) = g ◦ (π ◦ H)
(h ◦ π) ◦ F = (g ◦ π) ◦ H
(π ◦ H) ◦ F = (π ◦ G) ◦ H
π ◦ (H ◦ F ) = π ◦ (G ◦ H)
como π es suprayectiva,
H ◦F =G◦H
y como H es homeomorÞsmo por la observación anterior, se tiene que F y G son topológicamente conjugadas.
2.4.1
HOMEOMORFISMOS QUE PRESERVAN ORIENTACIÓN.
El ”orden” natural de la circunferencia es tal que x < y , si partiendo de un punto de
referencia arbitrario, en sentido contrario de las manecillas del reloj, nos encontramos
con x primero y después con el punto y.
Fig. 3.1. Orden natural de la circunf erencia.
40
Definición 3.3 Un homeomorÞsmo de la circunferencia f preserva la orientación en
S 1 , si siempre que x, y ∈ S 1 , x < y implique que f(x) < f(y), con el ”orden” natural de
la circunferencia.
Que un homeomorÞsmo preserve la orientación es equivalente a que, si tomamos un
segmento dirigido en la circunferencia y lo iteramos, su imagen en cada iteración, sea un
segmento dirigido con la misma dirección que el segmento original que se tomó.
Abreviaremos ”Homeomorfismo que preserva la Orientación” por HPO.
Proposición 3.4 Sea f un HPO. Entonces todo levantamiento continuo F de f es
estrictamente creciente y
F (t + 1) = F (t) + 1,
∀t ∈ R
es decir, el grado de f es uno.
Demostración.
Sean t0 , t1 ∈ [0, 1), tales que t0 < t1 , entonces
π(t0 ) < π(t1 ).
Supongamos que F no es creciente, es decir, existen t0 , t1 ∈ [0, 1) tales que F (t0 ) ≥
F (t1 ), aplicando π en ambos miembros
π(F (t0 )) ≥ π(F (t1 )),
y por el Teorema 2.1 ii),
f(π(t0 )) ≥ f (π(t1 ))
lo cual contradice el hecho de que f preserva la orientación. Por lo tanto, F es estrictamente creciente.
Sea k el grado de f, es claro que k > 0 pues F es estrictamente creciente. Supongamos
41
que k ≥ 2, entonces
F (t + 1) = F (t) + k,
por lo cual existen t0 , t1 ∈ [0, 1) distintos tales que
F (t1 ) − F (t0 ) = 1,
es decir π mapea a t0 y a t1 en puntos distintos de S 1 , pero F (t0 ) y F (t1 ) son el mismo
punto en S 1 , lo cual es una contradicción; ya que f es un homeomorÞsmo. Así que k ≤ 1,
por lo que concluimos que k = 1, es decir
F (t + 1) = F (t) + 1, ∀ t ∈ R
Observación 3.5 Por la proposición anterior, si f es un HPO entonces para todo
levantamiento F de f se tiene
F (t + m) = F (t) + m,
∀ t ∈ R y ∀ m ∈ Z.
Observación 3.6 Si f es un homeomorÞsmo que invierte orientación, se puede probar de manera análoga que todo levantamiento F de f es una función estrictamente
decreciente y F (t + 1) = F (t) − 1,
∀t ∈ R y ∀k ∈ Z.
Observación 3.7 f es una función continua de la circunferencia , inyectiva, de grado
uno si y solo si f es un HPO.
Demostración.
⇒) Basta con demostrar que g = f −1 es continua.
Como f es de grado uno, es sobre. Además tenemos que
f : [0, 1] → [0, 1],
42
y dado que [0, 1] es un compacto, como f es continua en [0, 1] entonces f([0, 1]) es
compacto, además f es inyectiva por lo que f −1 está bien deÞnida.
Sea H cualquier subconjunto cerrado de [0, 1] entonces H es compacto, de aquí que
f (H) es compacto por lo tanto cerrado.
H1 = f (H) = g −1 (H)
dado que H1 es un subconjunto de f ([0, 1]) = Dom(g), es decir H1 ∩ Dom(g) = g −1 (H),
entonces por el Teorema de Continuidad Global f −1 es continua
⇐) Basta con demostrar que f es de grado uno, pero f es un HPO entonces tiene
grado uno.
Rotaciones
Para cada θ ∈ [0, 1) consideramos la función Rθ : R → R dada por el levantamiento
Rθ (t) = t + θ. Rθ es el levantamiento de una función de la circunferencia.
Si θ ∈ Q se dice que Rθ es una rotación racional y si θ ∈
/ Q se dice que Rθ es una
rotación irracional.
Las rotaciones son los ejemplos más sencillos de HPO.
Ejemplo:
Fig. 3.2. Rotación R(0.5) = x + 0.5.
43
2.5
SISTEMAS CAÓTICOS
Una función de la circunferencia que no es homeomorÞsmo puede tener una dinámica
bastante compleja, llegando al extremo de ser caótica. En esta sección explicaremos lo
que se entiende por caos en Sistemas Dinámicos en la circunferencia.
Definición 4.1. Sea f una función de la circunferencia. El sistema dinámico determinado por f es caótico si:
i) Tiene puntos periódicos de todos los períodos.
ii) Es sensible respecto a condiciones iniciales. Es decir, existen algunos n ∈ N y
ε > 0 tales que para toda x ∈ S y todo abierto N tal que x ∈ N, existe y ∈ N, y 6= x
con la propiedad que
|f n (x) − f n (y)| > ε.
Proposición 4.2. Si f es una función de la circunferencia caótica y g es topológicamente conjugada a f , entonces g es caótica.
Demostración.
Como se probó anteriormente, si f y g son conjugadas, entonces cada punto periódico
de f corresponde con un punto periódico de g. Resta por demostrar que la sensibilidad
respecto a condiciones iniciales se preserva por conjugación.
Si f es sensible respecto a condiciones iniciales, entonces existe ε > 0 tal que para
todos x, y ∈ S, x 6= y, existe n ∈ N tal que
|f n (x) − f n (y)| > ε.
Supongamos que g no es sensible respecto a condiciones iniciales, es decir, para toda
ε > 0 existe y0 6= x0 tal que para toda n ∈ N
|f n (x) − f n (y)| ≤ ε.
44
Supongamos que la conjugación de f y g es h. Como h está deÞnida en un compacto
y es continua, entonces h es uniformemente continua, es decir, podemos elegir ε de tal
manera que si |x − y| < ε, se tenga
|h (x) − h (y)| < ε.
Si en particular se deÞnen
x = f n (x0 ) ,
y = f n (y0 ) ,
con n tal que
|g n h (x) − g n h (y)| > ε,
se tiene que como
|f n (x) − f n (y)| ≤ ε,
entonces
|h (f n (x0 )) − h (f n (y0 ))| ≤ ε,
pero como f y g son conjugadas, se obtiene que
h (f n (x0 )) = g n h (x0 ) ,
h (f n (y0 )) = g n h (y0 ) ,
y entonces
|g n h (x0 ) − g n h (y0 )| ≤ ε,
lo cual es una contradicción.
Proposición 4.3. Si f es un homeomorÞsmo de la circunferencia, entonces no es
45
caótico.
Demostración.
Como veremos en el siguiente capítulo, si ρ (f ) ∈ Q, la dinámica es periódica y si
f ∈ C 2 y ρ (f) ∈ R − Q entonces es topológicamente conjugado a una rotación .
Una herramienta importante para detectar dinámicas estables o dinámicas caóticas
es el número de Lyapounov.
Más precisamente el número de Lyapunov, mide una de las características que deÞnen
el caos: sensibilidad respecto a condiciones iniciales; en este caso, el número de Lyapunov
es positivo; por otra parte , si es negativo el sistema tiene por lo menos una órbita
atractora.
Así podemos obtener que
es decir
¯
¯
εeNλ(x0 ) = ¯f N (x0 + ε) − f N (x0 )¯
µ N
¶
1
df (x)
λ(x0 ) = lṍm lṍm
ln
,
N→∞ ε→∞ N
dx


N−1
1 Y 0

ln 
f (xi ) ,
= lṍm
N→∞ N
i=0
N−1
1 X
= lṍm
ln(f 0 (xi ))
N→∞ N
i=0
de esta forma se tiene lo siguiente.
Definición 4.4. El número de Lyapunov asociado a un sistema dinámico generado
por una función de la circunferencia f es
46
λ(f) = lṍm
n→∞
1
n
n−1
P
i=0
¯ i ¯
¯
¯
ln ¯ dfdx(x) ¯ .
Proposición 4.5. Se sabe que sobre un atractor A, de f se tiene:
i) λ(f) no depende de la condición inicial x.
ii) λ(f ) > 0 para las órbitas de f que son sensibles respecto a condiciones iniciales.
iii) λ(f ) < 0 f tiene órbitas atractoras.
Fig. 3.3 f(x) = x + bsen2πx, con b ∈ [0, 1] .
A) Gráfica del N úmero de Lyapunov.
B) Diagrama de bif urcación con órbitas atractoras.
47
Capítulo 3
NÚMEROS Y CONJUNTOS DE
ROTACIÓN
En el presente capítulo revisaremos algunos resultados sobre el número y conjunto de
rotación. Un concepto de gran importancia es el número de rotación, el cual nos sirve de
criterio para la existencia de órbitas periódicas de funciones de la circunferencia. En el
presente capítulo revisamos algunos resultados y propiedades del número de rotación.
48
3.1
ÓRBITAS PERIÓDICAS
Consideremos órbitas periódicas de endomorÞsmos de la circunferencia.
Fig. 1.1 Órbitas periódicas de caraterṍticas :
A) (4, 1); B) (4, 3); C) (5, 1); D) (5, 2).
Observemos la caraterística de las órbitas periódicas anteriores:
1. El período de la órbita, es decir el entero q tal que f q (x) = x.
En los ejemplos el período de la órbita de f es 4, de la órbita de g es 4, de la órbita
de h es 5, de la órbita de r es 5.
2. La envolvencia ó índice de la órbita, es decir el número de vueltas que da la órbita
a la circunferencia antes de regresar al punto de partida.
En los ejemplos el índice de la órbita de f es 1, de la órbita de g es 3, de la órbita de
h es 1, de la órbita de r es 2.
49
3.2
NUMEROS Y CONJUNTOS DE ROTACIÓN
Si cualquier función f es una rotación Rθ , los puntos iterados avanzan un mismo ángulo
θ en cada iteración. En general, cuando f no es una rotación las iteradas no hacen un
avance uniforme en cada iteración. Sin embargo, si existe una órbita periódica de f,
tenemos que:
Observación 2.1 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia entonces el avance
promedio de f en cada iteración sobre una órbita cualquiera es
lṍm
n→∞
F n (t)
,
n
donde F es cualquier levantamiento de f y t mod(1) es un punto de la órbita en cuestión.
Demostración.
Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia y F un levantamiento de f. αk es el ángulo
que generan f k−1 (x), f k (x) con respecto al centro de la circunferencia,
αk = (F k (t) − F k−1 (t))2π,
Fig. 2.1 Ángulo que generan f k−1 (x) y f k (x).
por lo que el avance promedio de los primeros n ángulos α0k s es
n
P
αk
k=1
n
=
n
P
k=1
(F k (t) − F k−1 (t))2π
n
50
n
P
= 2π k=1
(F k (t) − F k−1 (t))
n
(F n (t) − t)
= 2π
n
entonces el avance promedio de todos los ángulos es:
lṍm
n→∞
F n (t)
.
n
Proposición 2.2 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia y F un levantamiento
de f . Si t mod (1) es un punto sobre una órbita que converge a una órbita periódica de
período q y de índice p entonces
lṍm
n→∞
F n(t)
p
= .
n
q
Demostración.
Como f tiene una órbita de período q y de índice p, entonces existe t ∈ R tal que
F q (t) = t + p para algunos p, q ∈ Z
por inducción,
F nq (t) = t + np
de aquí que,
¶
t + np
lṍm
n→∞
nq
µ
¶
t
p
=
lṍm
+
n→∞ nq
q
p
=
q
F nq (t)
lṍm
=
n→∞
nq
51
µ
por lo tanto el avance promedio sobre una órbita de período q y de índice p es
p
.
q
El límite de
F n (t)
n
no existe en general, aunque f sea continua.
Ejemplos:
F n (t)
n
n→∞
1. lṍm
= ∞. Sea
F (t) = 2t,
entonces,
F 2 (t) = F (F (t)) = 2(2t),
F 3 (t) = F (F 2 (t))) = 2(2(2t))),
..
.
F n (t) = F (F n−1 (t)) = (2)n t,
de aquí que,
lṍm
n→∞
F n (t)
2n t
= lṍm
= ∞.
n→∞ n
n
Notese que F es un levantamiento de una función f de grado 2.
F n (t)
n
n→∞
2. lṍm
depende de la condición inicial. Consideremos la función
F (t) = t + (0.5)sen2πt
hagamos t = 0 :
F (0) = (0.5)sen2π(0) = 0,
entonces,
F n (0) = F n−1 (F (0)) = F n−1 (0),
= F n−2 (F (0)) = F n−2 (0),
..
.
= F (F (0)) = 0,
52
por lo tanto,
lṍm
n→∞
F n (t)
0
= lṍm
= 0;
n→∞ n
n
ahora sea t = 0.25,
F (0.25)
= 0.25 + (0.5)sen2π(0.25) = 0.75,
F 2 (0.25) = F (0.75) = 0.75 + (0.5)sen2π(0.75) = 0.25,
entonces
F n (0.25) = F n−2 (F 2 (0.25)) = F n−2 (0.25)
= F n−4 (F (0.25)) = F n−4 (0.25)
..
.
= F 2 (F 2 (0.25)) = F 2 (0.25) = 0.25,
por lo tanto,
F n (t)
1
= .
lṍm
n→∞
n
2
Proposición 2.3 Si f es un endomorÞsmo de la circunferencia, de grado uno, entonces
existe K > 0 tal que
¯ n ¯
¯ F (t) ¯
¯
¯
¯ n ¯ < K,
∀t ∈ R
para todo levantamiento F de f .
Demostración.
Sea F un levantamiento de f, como f tiene grado uno por la observación 2.8 del
capítulo 2, F n (t) − t es de grado cero entonces es acotada, es decir,
sup |F (t) − t| < A1 ,
t∈R
sup |F 2 (t) − t| < A2 ,
t∈R
..
.
sup |F n (t) − t| < An ,
t∈R
por otro lado,
53
F (t)
= t + ϕ(t),
F n (t) = F (F n−1 (t)) = F n−1 (t) + ϕ(F n−1 (t))
= F (F n−2 (t)) + ϕ(F n−1 (t))
= F n−2 (t) + ϕ(F n−2 (t)) + ϕ(F n−1 (t))
..
.
= t + ϕ(t) + . . . + ϕ(F n−1 (t)),
tenemos que,
|F n (t) − t| = |ϕ(t) + ϕ(F (t)) + ... + ϕ(F n−1 (t))|
≤ n sup |ϕ(t)| = nA,
t∈R
de aquí que,
concluimos,
es decir, es acotada.
¯ n
¯
¯ F (t) − t ¯
¯
¯≤A
¯
¯
n
¯ n ¯
¯ n
¯
¯ F (t) ¯
¯
¯
¯
¯ = ¯ F (t) − t + t ¯
¯ n ¯
¯
¯
n
¯ n
¯ ¯ ¯
¯ F (t) − t ¯ ¯ t ¯
¯+¯ ¯
≤ ¯¯
¯ ¯n¯
n
¯ ¯
¯t¯
< A + ¯¯ ¯¯
n
Definición 2.4 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, de grado uno y F un
levantamiento de f entonces el número de rotación de F en el punto t es
F n (t)
ρ(F, t) = lim sup
n
n→∞
54
Observaciones 2.5 Sean f, g endomorÞsmos de la circunferencia, de grado uno y
F, G levantamientos de f, g respectivamente.
i) ρ(F, ) : R → R, es de grado cero y en general no constante.
ii) ρ(Rα ◦ F, t) = ρ(F, t) + α,
si α ∈ Z
iii) ρ(Rα , t) = α para todo t ∈ R
iv) Si h ◦ g = f ◦ h, con h homeomorÞsmo de la circunferencia, entonces ρ(G, t) =
ρ(F, H(t)). En particular si F = Rα , se tiene ρ(G, t) = α ∈ R.
Demostración.
i)
F n (t + 1)
F n (t) + 1
= lim sup
lim sup
n
n
n→∞
µ n
¶
F (t) 1
F n (t)
= lim sup
+
= lim sup
n
n
n
= ρ(F, t)
ρ(F, t + 1) =
ii) Como (Rp ◦ F )(t) = F (t) + p, entonces
(Rp ◦ F )n(t) = (F + p)n (t)
= (F + p)n−1 ◦ (F + p)(t)
= (F + p)n−1 ◦ F (t) + p
= (F + p)n−2 ◦ (F + p) ◦ F (t) + p
= (F + p)n−2 ◦ F 2 (t) + 2p
..
.
= F n (t) + np,
así tenemos que,
55
n
n
ρ(Rp ◦ F, t) = lim sup (Rp ◦Fn ) (t) = lim sup F (t)+np
n
³ n
´ n→∞
n
= lim sup F n(t) + p = lim sup F n(t) + p
n→∞
= ρ(F, t) + p.
iii)
ρ(Rα , t) =lim sup
n→∞
=lim sup
n→∞
Rα n (t)
n
t+nα
n
=lim sup
n→∞
=lim sup
n→∞
t+nα
n
t
n
+α
=α
iv) Tenemos que,
h ◦ g = f ◦ h,
es decir que f , g son topológicamente conjugadas, por la observación 3.2 del capítulo 2,
sus levantamientos también lo son, entonces
(H ◦ G)(t) = (F ◦ H)(t),
por inducción,
(H ◦ Gn )(t) = (F n ◦ H)(t).
Como H tiene grado uno, sea ϕ = H − t nótese que ϕ tiene grado cero. Sustituimos H,
((t + ϕ) ◦ Gn )(t) = (F n ◦ H)(t),
Gn (t) + (ϕ ◦ Gn )(t) = (F n ◦ H)(t) − H(t) + H(t),
Gn (t) + (ϕ ◦ Gn )(t) − H(t) = (F n − Id) ◦ H(t),
Gn (t) + (ϕ ◦ Gn )(t) − t − ϕ(t) = (F n − Id) ◦ H(t),
56
Gn (t) − t + (ϕ ◦ Gn)(t) = (F n − Id) ◦ H(t) + ϕ(t),
Gn (t) − t (ϕ ◦ Gn )(t)
((F n − Id) ◦ H)(t) ϕ(t)
+
=
+
,
n
n
n
n
Gn (t)
t
(ϕ ◦ Gn )(t)
((F n − t) ◦ H)(t) ϕ(t)
− +
=
+
,
n
n
n
n
n
si calculamos el límite superior cuando n → ∞, tenemos
lim sup
n→∞
µ
Gn (t) − t (ϕ ◦ Gn )(t)
+
n
n
lim sup
n→∞
µ
Gn (t) − Id
n
¶
¶
µ
(F n − t) ◦ H(t) ϕ(t)
= lim sup
+
n
n
µ
F n (H(t)) − H(t)
= lim sup
n
¶
,
¶
entonces
ρ(G, t) = ρ(F, H(t)).
Definición 2.6 Si f es un endomorÞsmo de la circunferencia, de grado uno y F un
levantamiento de f entonces C(F, t) ⊂ [0, 1) está dado por:
C(F ) = {ρ(F, t) : t ∈ R} mod (1)
Proposición 2.7 Si f es un endomorÞsmo de la circunferencia de grado uno, entonces
C (F1 ) = C (F2 ) ≡ C(f )
para todo F1 , F2 levantamientos continuos de f.
Demostración.
Sea x ∈ C (F1 , t) entonces existe t ∈ R tal que
x = lṍm sup
n→∞
= lṍm sup
n→∞
= lṍm sup
n→∞
57
F1n (t)
n
F2n (t)+nm
n
F2n (t)
n
+m
de lo anterior x ∈ C (F2 , t) .
Definición 2.8 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, de grado uno y F un
levantamiento de f El conjunto de rotación de f es el conjunto C(f ).
Teorema 2.9 (Newhose, Palis, Takens e Ito, [5,6]) C(f ) es un intervalo cerrado.
Cuando f es un endomorÞsmo de la circunferencia, monótono, de grado uno, C(f ) se
reduce a un punto, conocido como el número de rotación de f.
Proposición 2.10 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, monótono creciente,
de grado uno y F un levantamiento de f . Entonces existe
lim
n→∞
F n (t)
,
n
∀t ∈ R
es independiente del levantamiento y de t.
Definición 2.11 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, monótono creciente de
grado uno y F un levantamiento de f . Entonces
F n (t)
n→∞
n
F n (t)
ρ(f ) = lim
mod (1).
n→∞
n
ρ(F ) =
lim
ρ(f ) es llamado el número de rotación de f, ρ(F ) el número de rotación del levantamiento
y en este caso:
C(f) = {ρ(f)} ∀t ∈ R.
Demostración de la proposición 2.10.
Primero demostraremos que el límite exite. Por la observación 2.9 del capítulo 2,
58
tenemos que Mk − mk < 1. Entonces
F k (t1 ) − t1 − 1 ≤ Mk − 1 < mk
≤ F k (t2 ) − t2
≤ Mk < mk + 1
< F k (t1 ) − t1 + 1
F k (t1 ) − t1 − 1 < F k (t2 ) − t2 < F k (t1 ) − t1 + 1,
∀t1 , t2 ∈ R
(1)
Sea t1 = 0 y t = F k(j−1) (0), sustituimos en la desigualdad anterior,
F k (0) − 1 ≤ F k (F k(j−1) (0)) − F k(j−1) (0) ≤ F k (0) + 1,
F k (0) − 1 ≤ F kj (0) − F k(j−1) (0) ≤ F k (0) + 1
n
n
n
X
X
X
k
kj
k(j−1)
(F (0) − 1) ≤
(F (0) − F
(0)) ≤
(F k (0) + 1)
j=1
j=1
j=1
nF k (0) − n ≤ F nk (0) ≤ nF k (0) + n
dividimos entre nk,
F k (0) 1
F nk (0)
F k (0) 1
− ≤
≤
+ ,
k
k
nk
k
k
de lo anterior tenemos,
y similarmente
¯ nk
¯
¯ F (0) F k (0) ¯ 1
¯
¯
¯ nk − k ¯ ≤ k ,
¯
¯ nk
¯ F (0) F n (0) ¯ 1
¯
¯
¯ nk − n ¯ ≤ n .
De las desigualdades anteriores se tiene,
Por lo tanto la sucesión
¯ k
¯
¯ F (0) F n (0) ¯ 1 1
¯
¯
¯ k − n ¯ ≤ k + n,
F n (0)
n
es de Cauchy. Esto prueba que el límite existe para
59
t = 0.
Sea t1 = 0 en (1) y dividimos entre k
F k (0) 1
F k (t2 ) t2
F k (0) 1
− <
− <
+ ,
k
k
k
k
k
k
F n (t2 )
n
n→∞
esto prueba que lim
existe.
Ahora demostraremos que es independiente de t.
Si F es un levantamiento de f entonces ∀n ∈ Z , F n (t) − t es de grado 0. Sean t1 , t2
condiciones iniciales tales que t1 6= t2 , entonces si
|t1 − t2 | < 1,
tenemos,
|F n (t1 ) − F n (t2 )| ≤ |F n (t1 ) − t1 − (F n (t2 ) − t2 )| + |t1 − t2 | < 1 + |t1 − t2 | ,
entonces
¯ n
¯
¯ F (t1 ) − F n (t2 ) ¯ 1 + |t1 − t2 |
2
¯
¯<
< ,
¯
¯
n
n
n
en el límite
¯
¯ n
¯ F (t1 ) − F n (t2 ) ¯
¯ = 0.
lim ¯
¯
n→∞ ¯
n
Y por último de la proposición 4.7 del capítulo 2, se sigue la independencia del levantamiento.
El número de rotación es un indicador de la dinámica generada por las funciones de
la circunferencia.
Teorema 2.13. Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, monótono creciente de
grado uno. Entonces f tiene una órbita de período q y de índice p, tal que (p, q) = 1 si
y sólo si ρ(f ) =
p
q
∈ Q.
60
Demostración:
⇒) Sea F un levantamiento de f. Como f tiene una órbita de período q y de índice
p, existe t tal que
F q (t) = t + p, para algun t ∈ R y p ∈ Z
entonces,
F nq (t) = t + np,
por lo tanto,
F nq (t)
= lṍm t+np
qn
n→∞
n→∞ qn
t
= lṍm qn
+ pq
n→∞
= pq
ρ(f ) = lṍm
⇐) Supongamos que f no tiene órbitas de período q y de índice p, es decir, para todo
levantamiento F de f, y para todo t ∈ R,
F q (t) 6= t − p
Ésto signiÞca que dados t y F, existe ² > 0, tal que:
F q (t) = t + p ± ²,
∀t ∈ R,
entonces,
F nq (t) = F q (F (n−1)q (t))
= F (n−1)q (t) + p ± ²
= F q (F (n−2)q (t)) + p ± ²
= F (n−2)q (t) + 2(p ± ²)
= ... = t + n(p ± ²).
F nq (t) = t + n(p ± ²)
61
lim
n→∞
t + n(p ± ²)
p±²
F nq (t)
=
=
,
nq
nq
q
entonces,
ρ(f ) <
p−²
q
ó
ρ(f) >
p+²
q
para cualquier p, q ∈ Z. Por lo tanto ρ(f ) 6= pq (mod 1).
Corolario 2.14 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, monótono creciente, de
grado uno. f tiene un punto Þjo si y sólo si ρ(f ) = 0.
Para posterior referencia hacemos la siguiente observación.
Proposición 2.15 Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia, monótono creciente,
de grado uno y F un levantamiento de f . Entonces
¯
¯
n
¯
¯ 1
F
(t)
−
t
¯ρ(F ) −
¯< .
¯
¯ n
n
Demostración.
Sean t0 , t1 ∈ R y t2 = F n(j−1) (t0 ) en (1),
F n (t1 ) − t1 − 1 < F n (F k(j−1) (t0 )) − F n(j−1) (t0 ) < F n (t1 ) − t1 + 1,
sumamos t1 a todos los miembros,
F n (t1 ) − 1 < F n (F n(j−1) (t0 )) − F n(j−1) (t0 ) + t1 < F n (t1 ) + 1,
m
m
m
X
X
X
n
nj
n(j−1)
(F (t1 ) − 1) <
(F (t0 ) − F
(t0 ) + t1 ) <
(F n (t1 ) + 1),
j=1
j=1
j=1
62
m(F n (t1 ) − 1) < F mn (t0 ) + mt1 < m(F n (t1 ) + 1),
m(F n (t1 ) − 1)
F mn (t0 ) + mt1
m(F n (t1 ) + 1)
<
<
,
mn
mn
mn
F n (t1 ) − 1
F mn (t0 ) + mt1
F n (t1 ) + 1
<
<
,
n
mn
n
¯ mn
¯
¯ F (t0 ) + mt1 F n (t1 ) ¯ 1
¯
¯< ,
−
¯
mn
n ¯ n
¯ mn
¯
¯ F (t0 ) t1 F n (t1 ) ¯ 1
¯
¯
¯ mn + n − n ¯ < n ,
¯ mn
¯
¯ F (t0 ) F n (t1 ) − t1 ¯ 1
¯
¯< ,
¯ mn −
¯ n
n
¯
¯µ
¶
mn
n
¯ 1
¯
F
(t
)
F
(t
)
−
t
0
1
1
¯ lim
¯< ,
−
¯ n
¯ n→∞ mn
n
¯
¯
n
¯
¯
¯ρ(F ) − F (t1 ) − t1 ¯ < 1 .
¯ n
¯
n
Proposición 2.16. Sean f , g endomorÞsmos de la circunferencia, monótono crecientes, de grado uno y sean F, G levantamientos de f y g respectivamente. Entonces
dado ² > 0, existe δ > 0 tal que si
kF − Gko = sup |F (t) − G(t)| < δ
t∈R
63
entonces |ρ(F ) − ρ(G)| < ².1
Demostración.
¯
¯
|ρ(F ) − ρ(G)| = ¯ρ(F ) −
¯
¯
≤ ¯ρ(F ) −
≤
Þjamos n ∈ Z, tal que
2
n
1
n
+
1
n
¯
n
n
n
¯
+ F n(t) − G n(t) + G n(t) − ρ(G)¯
¯ ¯ n
¯ ¯
¯
¯ F (t) Gn (t) ¯ ¯ Gn (t)
¯
F n (t) ¯
+
+
−
−
ρ(G)
¯
¯
¯
¯
¯
n
n
n
n
F n (t)
n
|F n (t) − Gn (t)| +
1
n
=
2
n
+
1
n
|F n (t) − Gn (t)|
< 2² ,y elegimos δ > 0,tal que,
|F n (0) − Gn (0)| <
n²
si kF − Gko < δ
2
entonces
|ρ(F ) − ρ(G)| ≤
2 1 n²
2 ²
² ²
+
= + < + =²
n n 2
n 2
2 2
por lo tanto
|ρ(F ) − ρ(G)| < ² si kF − Gko < δ.
La proposición anterior nos dice que ρ(F ) es continua para la C 0 − topología.
Proposición 2.17 (Herman [4]) Sean f, g endomorÞsmos de la circunferencia.
monótonos crecientes, de grado uno y sean F, G sus levantamientos respectivos. Entonces
si conmutan, es decir F ◦ G = G ◦ F, se tiene
ρ(F ◦ G) = ρ(F ) + ρ(G).
Demostración.
Sea {tm } una sucesión cualquiera, por la proposición 2.15 tenemos que,
1
Ver Apéndice
64
por lo cual,
¯
¯
n
¯ 1
¯
F
(t
)
−
t
m
m
¯< ,
¯ρ(F ) −
¯ n
¯
n
lṍm
n→∞
F n (tm ) − tm
= ρ(F ),
n
entonces,
ρ(F ◦ G) − ρ(F ) =
µ
(F ◦ G)n (t)
lim
n→∞
n
¶
µ
¶
F n (t)
− lim
,
n→∞
n
como F ◦ G = G ◦ F, tenemos que,
(F ◦ G)n (t) = F n ◦ Gn (t) = Gn ◦ F n (t),
así que,
µ
(Gn (F n (t))
ρ(F ◦ G) − ρ(F ) =
lim
n→∞
n
= ρ(G),
¶
µ
F n (t)
− lim
n→∞
n
¶
por lo tanto,
ρ(F ◦ G) = ρ(F ) + ρ(G).
Corolario 2.18. Sea f un endomorÞsmo de la circunferencia. monótono creciente,
de grado uno y F levantamiento de f. Entonces
ρ(F n ) = nρ(F )
para n > 0.
65
Proposición 2.19. Sea f un hoemomorÞsmo de la circunferencia. y F levantamiento de f. Entonces
ρ(F n ) = nρ(F )
para todo n ∈ Z.
Demostración.
Sea n = 1 y {(F −1 )n (t)} una sucesión , por la proposición 2.15 tenemos que,
¯
¯
¡
¢
n
n
¯
F n (F −1 ) (t) − (F −1 ) (t) ¯¯ 1
¯
¯ρ(F ) −
¯<
¯
¯ n
n
¡
¢
n
como F n (F −1 ) (t) = t,
entonces,
¯
¯
−1 n
¯
¯ 1
t
−
(F
)
(t)
¯ρ(F ) −
¯<
¯
¯ n
n
¯
¡ ¡
¢¢¯
¯ρ(F ) − −ρ F −1 ¯ < 1
n
ρ(F ) + ρ(F −1 ) = 0
por lo tanto,
ρ(F ) = −ρ(F −1 )
entonces,
ρ(F n ) = nρ(F )
para todo n ∈ Z.
66
3.3
NÚMERO DE ROTACIÓN DE LAS ROTACIONES.
En está sección veremos algunos resultados sobre el número de rotación de las rotaciones,
en el caso que esté sea racional o irracional.
Proposición 3.1.(Jácobi). Sea Ra = x + a una rotación. Si ρ(Ra ) = a ∈ R − Q
entonces todas las órbitas de Ra (x) son densas en S( las órbitas son cuasiperiódicas ).
Demostración.
Primero demostremos que cualesquiera dos puntos de cualquier órbita de Ra son
distintos.
Sea x ∈ S, supongamos que dos puntos cualesquiera de cualquier órbita fueran iguales
entonces existirian n, m ∈ Z + , con n 6= m tal que
Ran (x) = Ram (x)
Ran (eix ) = Ram (eix)
ei(x+n2πa) = ei(x+m2πa)
ei2πa(n−a)) = 0
entoncesl (n − m)a ∈ Z , lo cual contradice el hecho de que a ∈ R − Q; por lo tanto
n = m.
Ahora demostremos que Ra no tiene puntos periódicos.
Sea x ∈ S 1 y supongamos que x ∈ Ra es un punto periódico entonces existe n ∈ Z
67
tal que
Ran (x)
= x
Ran (eix )
= eix
ei(x+n2πa) = eix
ei2πan
= 0
entonces a ∈ Z , lo cual contradice que a ∈ R − Q .
Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual dice ”Todo conjunto de puntos inÞnito
y acotado tiene por lo menos un punto límite”. Cualquier conjunto inÞnito de puntos
debe tener un punto límite; como consecuencia del T.B.W. tenemos el críterio de la
convergencia de Cauchy, Ran es de Cauchy; entonces para todo ² > 0 existe n, m ∈ Z+ tal
que
|Rna (x) − Rm
a (x)|
< ²
ix
|Ran (eix ) − Rm
a (e )| < ²
Sea k = n − m
¯ k ix
¯
¯Ra (e ) − Ra0 (eix )¯ < ²
¯ k ix
¯
¯Ra (e ) − eix ¯
< ²
Ra es una simetria en S, además Ra preserva longitudes en S, es decir
|Ran (x) − Ram (x)| < |x − y|
¤
£
entonces x, Ral (x) es el arco que une a x con Ral (x), por lo tanto
¤ £
¤
£
Rla x, Ral (x) = Ral (x), Ra2l (x) < ²
£
¤
∪n∈N Ranl (x), Ra(n+1)l (x) = S.
Proposición 3.2. Sea Ra = x + a una rotación. Si ρ(Ra ) = a ∈ Q entonces todas
las órbitas de Ra (x) tiene característica (p, q) .
Demostración.
68
Tenemos que ρ(Ra ) = a ∈ Q, entonces a =
p
q
y
p
Ra (x) = x + ,
q
si hacemos la q-ésima iterada, tenemos
Raq (x) = x + p,
es decir, que todas las órbitas de Ra tienen característica (p, q).
3.4
TEOREMAS DE CONJUGACIÓN PARA DIFEOMORFISMOS CON NÚMERO DE ROTACIÓN IRRACIONAL.
El número de rotación es invariante bajo conjugación.
Proposición 4.1 Sean f, g endomorÞsmos de la circunferencia, monótonos, de grado
uno y h un endomorÞsmo de grado uno. Si h ◦ f = g ◦ h , entonces ρ(f) = ρ(g).
Demostración.
Si
h◦f =g◦h
y n ∈ N por inducción,
h ◦ f n = g n ◦ h,
entonces, sean F, G, H levantamiento de f, g, h respectivamente,
(H ◦ F n )(t) = (Gn ◦ H)(t),
69
Como h tiene grado uno, sea ϕ = H − t .Sustituimos
((t + ϕ) ◦ F n )(t) = (Gn ◦ H)(t) − H(t) + H(t),
F n (t) + (ϕ ◦ F n )(t) − H(t) = (Gn ◦ H)(t) − H(t),
F n (t) + (ϕ ◦ F n )(t) − t − ϕ(t) = (Gn ◦ H)(t) − H(t),
F n (t) − t + (ϕ ◦ F n )(t) = (Gn ◦ H)(t) − H(t) + ϕ(t),
(Gn − t) ◦ H(t) ϕ(t)
F n (t) − t (ϕ ◦ F n )(t)
+
=
+
,
n
n
n
n
si n → ∞, tenemos
lim
n→∞
µ
F n (t) − t (ϕ(F n ))(t)
+
n
n
¶
= lim
n→∞
µ
Gn (H(t)) − H(t) ϕ(t)
+
n
n
¶
,
tomando la parte fraccionaria, como el número de rotación para estas funciones es independiente de la condición inicial, entonces
lim
n→∞
µ
F n (t)
n
¶
= lim
n→∞
µ
Gn(t)
n
¶
ρ(f ) = ρ(g).
El recíproco de la proposición anterior no es válido; dos funciones pueden tener el
mismo número de rotación y no ser conjugadas.
Ejemplo:
Consideremos la rotación
1
R 1 (x) = x + ,
2
2
la cual tiene ρ(R 1 ) =
2
1
2
y
f(x) = x + 0.5 + (0.12)sen2πx,
70
con t = 0 tenemos
f (0)
= 0 + 0.5 + (0.12)sen2π(0) = 0.5
f 2 (0) = f (0.5) = 0.5 + 0.5 + (0.12)sen2π(0.5) = 1.0
como 0 y 1 son el mismo punto f 2 (0) = 0.
F n (t)
n
n→∞
ρ(f ) = lim
=
1
2
Entonces su número de rotación es igual pero no son conjugadas. Esto se debe a la
proposición 5.2 del capítulo 1.
Para que valga el recíproco de la proposición 4.1 hay que imponer condiciones adicionales.
Teorema 4.2.(Denjoy [3]). Sea f un difeomorÞsmo de clase C 2 y ρ(f ) = α ∈
R − Q. Entonces f es C 0 − conjugada a Rα , es decir, existe un homeomorÞsmo h tal
que f = h−1 ◦ Rα ◦ h.
Teorema 4.3. Si f un endomorÞsmo de la circunferencia con ρ(f ) = α ∈ R − Q se
tiene que:
i) ω(x) no depende de x.
ii) ω(x) es el total S ó un conjunto de Cantor.
Demostración
i) Sean m, n ∈ Z con m < n
I = [f m (x), f n (x)],
entonces, cada intervalo de la sucesión
ª
© −k(m−n)
(I) : k ∈ N ,
f
71
intersecta a su predecesor, de este modo,
©
ª
∪ f −k(m−n) (I) : k ∈ N = S,
ó la sucesión converge a un punto Þjo de f m−n . Si f m−n tiene un punto Þjo, f tiene
puntos periódicos y ρ(f ) ∈ Q, lo cual es una contradicción.
Si ahora, tomamos z ∈ ω(x) entonces, existe una sucesión
{f ml (I) : l ∈ N} ,
que tiene como punto límite a z.
Consideremos ahora el conjunto
Il = [f ml (x), f nl (x)] ,
y la sucesión asociada
© −k(m −n )
ª
l
l
f
(Il ) : l ∈ N ,
esta sucesión cubre a S. Entonces dado cualquier y ∈ S, existe k = kl tal que
y ∈ f −k(ml −nl ) (Il ),
de aquí que , para cada l,
f −k(ml −nl ) (y) ∈ Il ,
y como,
lṍm f ml (x) = z,
l→∞
es decir,
lṍm f ml (Il ) = z,
l→∞
72
se tiene que
lṍm f −k(ml −nl ) (y) = z
l→∞
de esta forma z ∈ ω(y). Si hacemos lo análogo para y, obtenemos ω(x) = ω(y).
ii) Si tomamos x ∈ ω(x), entonces existe una sucesión convergente
{f ml (I) : l ∈ N} ,
tal que
lṍm f ml (x) = x,
l→∞
Como el número de rotación es irracional, entonces f no tine puntos periódicos, de tal
modo que los puntos de
{f ml (I) : l ∈ N} ,
son todos distintos. entonces x es punto de acumulación y ω(x) es perfecto. Además la
frontera de ω(x), ∂ (ω(x))es tambien invariante bajo f. Entonces los puntos de ∂ (ω(x)) ,
son límites de suceciones en ω(x) y (ω(x))c . como ω(x) es un conjunto mínimo no puede
contener subconjuntos propios invariantes, entonces si ∂ (ω(x)) = ∅ tenemos ω(x) = S,
y si ∂ (ω(x)) = ω(x) entonces int(ω(x)) = ∅, de donde ω(x) es denso en ninguna parte.
Por lo tanto es un Cantor.
Teorema 4.4 Sea F
levantamiento de f, un endomorÞsmo de la circunferencia,
monótono creciente, de grado uno y λ ∈ R 7→ Rλ ◦ F de clase C ω . DeÞnamos ρ(λ) =
ρ(Rλ ◦ F ) entonces
i) ρ(λ + 1) = ρ(λ) + 1.
ii) ρ : R → R es continua, monótona no decreciente y ρ(R) = R.
iii) Si ρ(λ0 ) ∈ R − Q entonces ρ es estrictamente creciente en λ0 .
iv) Si F es tal que para toda p ∈ Z, q ∈ Z − {0} y para toda ξ ∈ R, se tiene
(Rξ ◦ F )q 6= Rp . entonces ρ−1 ( pq ) es un intervalo de interior no vacío.
73
v) K = R − Int(ρ−1 (Q) ) es un Cantor, es decir un conjunto perfecto, totalmente
discontinuo.
Demostración:
i) Tenemos por la observación 2.5 ii),
ρ(λ + 1) = ρ(Rλ+1 ◦ F )
= ρ(R1 ◦ Rλ ◦ F )
= 1 + ρ(Rλ ◦ F )
= 1 + ρ(λ)
ii) Demostremos que es continua, si
∼
λ ∈ R 7→(Rλ ◦ F ∈D0 (S))
entonces ρ : R → R y ρ(Rλ ◦ F ) = ρ(λ) es continua por la continuidad de ρ proposición
4.13. Además ρ(R) = R.
Demostremos que es monótona no decreciente, sean λ1 < λ0 y n > 1, n ∈ Z, entonces
(Rλ1 ◦ F )(t) < (Rλ0 ◦ F )(t)
por la proposición 3.5 del capítulo 2, F es estrictamente creciente, entonces
F ◦ (Rλ1 ◦ F )(t) < F ◦ (Rλ0 ◦ F )(t)
Rλ1 ◦ F ◦ (Ra1 ◦ F )(t) < Rλ0 ◦ F ◦ (Rλ0 ◦ F )(t)
(Rλ1 ◦ F )2 (t) < (Rλ0 ◦ F )2 (t)
siguiendo este proceso tenemos
(Rλ1 ◦ F )n (t) < Rλ0 ◦ F )n (t)
74
por lo tanto,
(Rλ1 ◦ F )n (t)
(Rλ0 ◦ F )n (t)
<
n
n
ρ(λ1 ) = lṍm
n→∞
(Rλ1 ◦ F )n (t)
(Rλ0 ◦ F )n (t)
≤ lṍm
= ρ(λ2 )
n→∞
n
n
es decir, ρ es monótona no decreciente.
iii) Por ii) tenemos que ρ es monótona no decreciente. Consideremos λ0 tal que
λ1 < λ0 < λ2 con ρ(λ0 ) ∈ R − Q y ρ(λ1 ), ρ(λ2 ) ∈ Q.
Supongamos que
ρ(λ1 ) ≤ ρ(λ0 ) ≤ ρ(λ2 )
entonces si se diera la igualdad, ρ(λ1 ), ρ(λ2 ) ∈ R − Q, lo cual es una contradicción;
entonces tendríamos que
ρ(λ1 ) < ρ(λ0 ) < ρ(λ2 )
es decir, ρ es estrictamente creciente en λ0 .
iv) Supongamos que ρ−1 ( pq ) es un intervalo de interior vacío, entonces existe
tal que ρ−1 ( pq ) = {s} un solo punto, entonces
ρ(s) =
p
q
∈Q
p
q
lo cual implica por la proposición 4.12 del capítulo 2, que Rα ◦F tiene una órbita periódica
de período q y de índce p, es decir
(Rs ◦ F )q = Rp
lo cual es una contradicción ya que f tiene la propiedad A0 . Por lo tanto ρ−1 ( pq ) es un
intervalo de interior no vacio.
v) Tenemos que K es cerrado. Demostraremos que el interior de K es vacío. Dado
λ0 ∈ K y V cualquier intervalo abierto que contiene al punto λ0 , existe ρ1 < ρ2 tal que
ρ1 , ρ2 ∈ ρ(V ).
75
Sean
p
q
∈ (ρ1 , ρ2 ) entonces ρ−1 ( pq ) ∈ V por que ρ es no decreciente y ρ−1 ( pq ) ∈
/ K ya
que no puede contener un intervalo en el ρ que sea racional. Por lo tanto, el interior de
K es vacío
Demostremos que no existen puntos aislados en K. En cada intervalo abierto que
contiene a λ0 existe ρ−1 ( pq ) ⊂ V intervalo donde ρ es racional y los puntos extremos de
ρ−1 ( pq ) son elementos de K.
De lo anterior tenemos que K es un conjunto perfecto y totalmente discontinuo.
Teorema 4.5. (Arnold [1]) Sea f un difeomorÞsmo analítico suÞcientemente próximo a Rα y ρ(f) = α ∈ R − Q. Entonces f es analíticamente conjugada a la rotación Rα.
M. R. Herman descubrió un interesante resultado que complementa los anteriores.
Para enunciarlo hacemos una clasiÞcicación de los números irracionales.
Observación 4.6. Si α ∈ R − Q, existe una sucesión (ai )i∈N , donde ai ∈ Z+ para
toda i, tal que α se desarrolla en fracciones continuas de la forma
α = a0 +
Ã
1
a1 +
1
a2 +....
Definición 4.7. Sea α∈ R − Q y α = a0 +
satisface la condición A si se tiene:
µ
!
1
a1 + a
1
2 +....
¶
, ai ∈ Z. Decimos que α
¶
µP
ai ≥B log 1≤i≤N (1 + ai )
P
lim lṍm sup
= 0.
B→∞ n→∞
log 1≤i≤N (1 + ai )
Sea A = {α ∈ R − Q : α satisface la condición A} . R − A tiene medida de Lebesgue
nula y si α ∈ A entonces para todo ² > 0, existe C² > 0 tal que para todo
¯
¯
¯α −
¯
¯
p ¯¯
C²
> 2+²
¯
q
q
76
p
q
∈Q
Teorema 4.8.(Herman [4]). Si 3 ≤ r ≤ ω y f un difeomorÞsmo de clase C r , con
ρ(F ) = α ∈ A. Entonces f es (∀β > 0) C r−1−β − conjugada a Rα (con la convención
∞ − 2 = ∞ y ω − 2 = ω).
77
Capítulo 4
ESTUDIO DE LA FAMILIA DE
FUNCIONES DE ARNOLD.
En este capítulo consideramos la familia clásica de funciones de la circunferencia dependiente de los parámetros a, b.
A: S→S
x 7→ x + a + b sen 2πx,
e
denotaremos el levantamiento de A como A.
EjempliÞcaremos resultados teóricos conocidos y realizaremos simulaciones computa-
cionales.
Esta familia ha sido estudiada por varios autores y notablemente por V. I. Arnold,
por eso es llamada la Familia de Funciones de Arnold.
Observemos como cambian las gráÞcas de A(x) en el toro y las de sus respectivos
78
levantamientos, al cambiar los valores de los parámetros.
A
B
C
D
E
F
Figura. 1. Gráficas de Levantamientos y Gráficas en el T oro
A, B) a = 0, b = 0.4; C, D) a = 0 b = 0.7; E, F ) a = 0.4, b = 0.4.
En el panel anterior vemos que el efecto que causa al variar el parámetro b es aumentar la amplitud y al variar el parámetro a es trasladar verticalmente la gráÞca de la
función.
79
4.1
PUNTOS FIJOS.
Cuando la gráÞca de A (x) toca a la identidad o bien cuando la gráÞca del levantamiento
toca alguna de las rectas b = a + k,
k ∈ Z, A(x) tiene puntos Þjos, por ejemplo.
B
A
Figura. 1.1. A) Gráf ica del Levantamiento; B) Gráf ica en el T oro
a = 1.0, b = 1.0
Vemos que la gráÞca en el toro plano toca a la identidad en cuatro puntos y la del
levantamiento, toca en dos puntos a b = a + 1, en un punto a b = a y en otro punto a
b = a − 1 por lo cual A (x) tiene cuatro puntos Þjos.
4.1.1
BIFURCACIÓN DE PUNTOS FIJOS.
Si observamos las siguientes Þguras,
A
80
B
C
D
E
Figura. 1.1.1. V ariación del parámetro a en las gráficas B, C y del
parametro b en las gráf icas D, E. A) a = 0.3, b = 0.2;
B) a = 0.2; C) a = 0.1; D) b = 0.3 E) b = 0.4
notamos que A (x) puede sufrir bifurcaciones silla-nodo cuando incrementamos el parámetro b ó el parámetro a en la recta b = a.
Proposición 1.1.1. Para cualquier k ∈ Z, sobre el conjunto
b = |k − a|
del espacio de parámetros la función de Arnold sufre una Bifurcación silla-nodo.
Demostración
Veamos en donde se cumplen las condiciones del Teorema 4.1 del capítulo 1, que nos
garantiza la bifurcación silla-nodo.
81
e (x) = x + k. Como b = |k − a| ,
Por demostrar que existe x0 ∈ [0, 1) tal que A
|k−a|
b
k−a
b
= 1,
= ±1,
sea x0 tal que sen 2πx0 = ±1, entonces
sen2πx0 =
k−a
b
a + b sen 2πx = k
x + a + b sen 2πx = x + k
e
es decir, x0 es punto Þjo de A(x).
Probemos que
e
dA(x)
dx
= 1 y que
e
dA(x)
dx
e
d2 A(x)
dx2
6= 0, entonces
= 1 + 2πb cos 2πx
√
= 1 + 2πb 1 − sen2 2πx
q
¡
¢2
= 1 + 2πb 1 − k−a
b
√
= 1 + 2πb 1 − 1 = 1.
e
d2 A(x)
dx2
= −4π 2 b sen 2πx
¡
¢
= −4π 2 b k−a
b
= −4π 2 b (±1)
= ±4π 2 b 6= 0
Por último veriÞquemos que,
e
∂ A(x)
k−a
= sen 2πx0 =
= ±1 6= 0
∂b
b
e
∂ A(x)
= 1 6= 0.
∂a
82
Observemos lo que ocurre al seguir aumentando los valores del parámetro b.
A
B
C
D
Figura. 1.1.2. a = 0 y A) b = 0.5; B) b = 1.0; C) b = 1.5; D) b = 2.0.
B
A
83
C
D
Figura. 1.1.3. a = 0.5 y A) b = 0.1; B) b = 0.5; C) b = 1.0; D) b = 1.5.
Como observamos al aumentar b se vuelve a dar la bifurcación tangente, si continuamos aumentado b ocurre una sucesión de bifurcaciones silla-nodo.
La siguiente proposición permite producir un diagrama para localizar todas los puntos
del plano de parámetros donde se producen este tipo de bifurcaciones de puntos Þjos.
Proposición 1.1.2. Sean k, l ∈ N . Entonces:
a) Si k − 1 ≤ a ≤
2k−1
2
< a ≤ k,
< a ≤ k,
< a ≤ k,
< a ≤ k,
2k−1
,
2
b =a−k+l
ó
2k−1
,
2
a − k + l < b < −a + k + l − 1
ó
−a + k + l − 1 < b < a − k + l A (x) tiene 2 (2l − 1) puntos Þjos.
d) Si k − 1 ≤ a ≤
2k−1
2
ó
b = −a + k + l − 1 A (x) tiene 4l − 3 puntos Þjos.
c) Si k − 1 ≤ a ≤
2k−1
2
l−1 ≤b < a−k+l
l − 1 ≤ b < −a + k + l − 1 A (x) tiene 4 (l − 1) puntos Þjos.
b) Si k − 1 < a <
2k−1
2
2k−1
,
2
2k−1
,
2
b = −a + k + l − 1
ó
b = a − k + l A (x) tiene 4l − 1 puntos Þjos.
e) Si k − 1 ≤ a ≤
2k−1
,
2
−a + k + l − 1 < b ≤ l
84
ó
2k−1
2
< a ≤ k,
a − k + l < b ≤ l A (x) tiene 4l puntos Þjos.
Figura. 1.1.4. N úmero de puntos f ijos en el espacio de parámetros
[k − 1, k] × [L − 1, L],
Figura. 1.1.5. N úmero de puntos f ijos en el espacio de parámetros
de la f unción A(x).
85
Observemos ahora el diagrama de bifurcaciones Þjando a y variando b
Figura. 1.1.6. Diagrama de Bif urcaciones con a = 0.0 y b ∈ [0, 4] .
Figura. 1.1.7. Diagrama de Bif urcaciones con a = 0.5 y b ∈ [0, 4] .
Demostración de la proposición 1.1.2.
Sean k, l ∈ N. Para k Þjo, realizamos inducción sobre l.
86
Primero sea l = 1, la región sería
Figura. 1.1.8. N úmero de puntos f ijos en el espacio de parámetros
[k − 1, k] × [0, 1] de la f unción A(x).
e
Veamos donde hay puntos Þjos, es decir las x tales que A(x)
= x + n, n ∈ N entonces
x + a + b sen 2πx = x + n
a + b sen 2πx = n
sen 2πx =
pero sen 2πx ≤ 1, entonces
n−a
b
¯
¯
¯n − a¯
¯
¯
¯ b ¯≤1
|n − a| ≤ |b|
de lo anterior tenemos que existen puntos Þjos en las regiones tales que
|n − a| ≤ |b|
y claramente no hay puntos Þjos en donde
|n − a| > |b| ,
87
es decir si n = k,
k−a>b
y si n = k − 1,
a−k+1>b
dado que las rectas que cruzan la región estudiada son b = k − a y b = a − k + 1; así
tenemos que la región donde no hay puntos Þjos es si k − 1 ≤ a ≤
0 ≤ b < a − k + 1 y si
2k−1
2
2k−1
,
2
entonces
< a ≤ k entonces 0 ≤ b < k − a.
Analizando todas las regiones que nos generan estas rectas, por la proposición anterior,
la bifurcación siilla-nodo ocurre en las rectas, entonces si k − 1 < a <
2k−1
2
a − k + 1 ó bien
k−1 ≤ a ≤
2k−1
2
<a≤k
y
2k−1
2
<a≤k
2 puntos Þjos.
2k−1
2
y
b=
e (x) tiene 1 punto Þjo y cuando
b = k−a A
y a − k + 1 < b ó bien
Por otro lado si k − 1 ≤ a ≤
2k−1
2
y b = k − a ó bien
e (x) tiene
y k−a < b A
2k−1
2
< a ≤ k y b = a−k+1
e
en particular A(x)
tiene 2 puntos Þjos, pero además ocurre otra bifurcación tangente
e (x) tiene ahora 3
aumentado un punto Þjo más distinto de los anteriores, es decir A
puntos Þjos.
Por último, si k − 1 ≤ a ≤
2k−1
,
2
k − a < b ó bien
2k−1
2
< a ≤ k,
a − k + 1 < b, en
e (x) tiene 2 puntos Þjos, pero además ya ocurrió otra bifurcación silla-nodo
particular A
e (x) tiene ahora 4
aumentado 2 puntos Þjos más distintos de los anteriores, es decir A
puntos Þjos.
Acotando superiormente las regiones obtenemos los resultados.
Supongamos que las aÞrmaciones de la proposición son ciertas para algún l.
Demostremos para l + 1.
Si k − 1 ≤ a ≤
k
2k−1
2
y l ≤ b entonces −a + k + l − 1 < b ó bien si
2k−1
2
<a≤
e (x) tiene 4l
y l ≤ b entonces a − k + l < b. Así por hipótesis de inducción A
88
e (x) tiene 4((l + 1) − 1) puntos Þjos.
puntos Þjos, es decir A
Analizando todas las regiones que nos generan estas rectas, por la proposición anterior,
la bifurcación silla-nodo ocurre en las rectas, entonces si k − 1 < a <
a − k + l + 1 ó bien
2k−1
2
<a≤k
y
2k−1
2
y
b =
e (x) tiene 1 punto Þjo más,
b = k−a+l A
e (x) tiene 4(l + 1) − 3 y cuando k − 1 ≤ a ≤
distinto de los que ya tenía, es decir A
2k−1
2
y a − k + l + 1 < b ó bien
2k−1
2
<a≤k
e (x) tiene 2 puntos
y k−a+l < b A
e (x) tiene 2(2(l + 1) − 1).
Þjos más, distintos de los que ya tenía, es decir A
Por otro lado si k − 1 ≤ a ≤
2k−1
2
y b = k − a + l ó bien
2k−1
2
< a ≤ k y
e (x) tiene 2(2(l + 1) − 1) puntos Þjos, pero además ocurre
b = a − k + l + 1 en particular A
otra bifurcación silla-nodo aumentado un punto Þjo más distinto de los anteriores, es
e (x) tiene ahora 4(l + 1) − 1 puntos Þjos.
decir A
Por último, si k−1 ≤ a ≤
2k−1
,
2
k−a+l < b ó bien
2k−1
2
< a ≤ k,
a−k+l+1 < b, en
e (x) tiene 2(2(l + 1) − 1) puntos Þjos, pero además ya ocurrió otra bifurcación
particular A
e (x) tiene
silla-nodo, aumentado 2 puntos Þjos más distintos de los anteriores, es decir A
ahora 4(l + 1) puntos Þjos.
Las cotas superiores para las regiones donde coexisten n puntos Þjos estan dadas por
las cotas inferiores donde coexisten n + 2 puntos Þjos.
4.1.2
ESTABILIDAD DE PUNTOS FIJOS.
La proposición anterior nos determina el número de puntos Þjos en un espacio de parámetros, pero no el tipo de estabilidad, esta la determina el siguente resultado.
Proposición 1.2.1. Si a, b satisfacen
a − k ≤ b, k − a ≤ b y b2 − (a − k)2 ≤
para algún k ∈ N, la función A (x) tiene un punto Þjo estable.
89
1
π2
Figura. 1.2.1 Regiones de puntos f ijos estables.
Como ejemplo tomemos un punto en la región de estabilidad (marcado con una cruz)
y observemos la dinámica del correspondiente sistema dinámico.
Fig. 1.2.2. a = 0, b = 0.25, existencia de un punto f ijo estable.
Demostración de la proposición 1.2.1.
90
e (x) tiene un punto Þjo si
Tenemos que A
es decir,
e
A(x)
= x + k, k ∈ N
x + a + b sen 2 π x = x + k,
es decir que,
sen 2πx =
esta condición se cumple si
k−a
,
b
¯
¯
¯k − a¯
¯
¯
¯ b ¯ ≤ 1.
Por otro lado tenemos que el punto Þjo es estable si
es decir,
¯
¯
¯ e0 ¯
¯A (x)¯ < 1
|1 + 2πb cos 2πx| < 1
como,
de esta forma, se obtiene
p
cos 2πx = ± 1 − sen2 (2πx),
¯
¯
s
¯
µ
¶2 ¯
¯
¯
¯1 ± 2πb 1 − k − a ¯ < 1,
¯
¯
b
¯
¯
0 < b2 − (a − k)2 <
91
1
.
π2
4.2
PUNTOS PERIÓDICOS EN LA REGIÓN DE
HOMEOMORFISMOS.
Hasta el momento nos hemos concentrado en puntos Þjos, veamos que sucede con los
puntos periódicos de período mayor que uno.
Para encontrar puntos periódicos de período q tendríamos que encontrar las órbitas
de período q de A(x) o bien los puntos Þjos de Aq (x). Por ejemplo, los puntos de período
dos serán los puntos Þjos de A2 (x) que no son Þjos de A (x) .
Cuando b = 0 y a =
p
q
∈ Q la función A(x) se reduce a una rotación.
1
Figura. 2.1. Rotacion con b = 0, a = .
2
Todas sus órbitas son periódicas de período dos. Cuando b tiende a cero, A(x) tiende a
la rotación y puede considerarse, para b pequeño, como una perturbación no lineal de la
familia de rotaciones.
92
Figura. 2.2. P erurbación no − lineal de la rotación.
a = 12 , b = 0.03.
Observamos que cuando incrementamos b únicamente se preserva una órbita periódica atractora.
Figura. 2.3. a =
16
, b = 0.
100
Cuando aproximamos a a un número irracional, en este caso a
1
,
2π
una órbita de período grande (q = 100).
Cuando b >
1
2π
la función A(x) pierde la inyectividad.
B
A
Figura. 2.4. a = 0, A) b = 0.1 <
Observación 2.1. Si a ≥ 0, 0 < b <
1
,
2π
Demostración.
93
1
1
; B) b = 0.3 >
.
2π
2π
A (x) es un difeomorÞsmo.
el sistema tiene
Como b <
1
,
2π
entonces 1 <
1
,
2πb
y
cos 2πx 6=
1
2πb
ya que cos 2πx ≥ −1,
2πb cos 2πx 6= −1
A0 (x) = 1 + 2πb cos 2πx 6= 0
así por el Teorema de la función Inversa1 A es un difeomorÞsmo local, además A es
inyectiva globalmente, pues si no lo fuera, por el Teorema de Rolle existiría x∗ tal que
A0 (x∗ ) = 0, lo cual contradice que A0 (x) = 0 para todo x en dicha región, por lo tanto A
es un difeomorÞsmo
Teorema 2.2 Si A es un homeomorÞsmo entonces todas sus órbitas periódicas tienen
la misma característica.
Demostración.
Supongamos que A tiene órbitas de característica (p1 , q1 ) y (p2 , q2 ), por el Teorema
2.13 del capítulo 3, su número de rotación sería
p1
p2
= ρ(A) =
q2
q1
lo cual contradice que el número de rotación es único.
Este Teorema no es válido cuando no es homeomorÞsmo ya que pueden coexistir
1
Ver Apéndice
94
atractores de distintos períodos.
A
B
Figura. 2.5. Coexistencia de atractores con a = 0.285, b = 0.21.
A) Órbita de perṍodo cuatro.
B) Órbita de perṍodo cinco.
Definición 2.3 La Lengua pq , que denotamos L pq es el conjunto de puntos (a, b) en
el espacio de parámetros tales que el número de rotación de A (x) , es igual a
(p, q) = 1 p < q.
p
q
con
½
¾
p
L pq = (a, b); ρ(A(x)) =
q
Figura. 2.6. Lenguas de Arnold.
Por el Teorema 2.10 del capítulo 2 en cada lengua, A(x) tiene órbitas de característica
(p, q) y por el Teorema 2.1.2. del mismo capítulo las lenguas no se intersectan
95
Ejemplos de la dinámica de A(x) en el toro y en la circunferencia con parámetros
(a, b) que pertenecen a distintas L pq .
A
B
Figura. 2.7 .a = 0.15, b = 0.15, F rontera L 0 , f ijo semiatractor.
1
Observemos el comportamiento del sistema dinámico determinado por A(x) cuando escogemos los parámetros a y b en diferentes lenguas. En la lengua L 1 tenemos lo siguiente:
2
A
B
96
C
D
Figura. 2.8. P arámetros a = 0.5, b = 0.15 en L 1 .
2
A) Órbita atractora en el T oro;
B) P untos de perṍodo dos atractores en S;
C) P untos fijos de A2 (x);
D) P untos atractores y repulsores en S
En la lengua L 1 tenemos también una órbita atractora y otra repulsora, pero ahora
3
de período tres.
A
B
97
C
D
Figura. 2.9. P arámetros a = 0.35, b = 0.15 en L 1 .
3
A) Órbita atractora en el T oro;
B) P untos de perṍodo tres atractores en S;
C) P untos fijos de A3 (x);
D) P untos atractores y repulsores en S
Si ahora tomamos parámetros en la lengua L 1 observamos que solo existen dos órbitas
4
periódicas una atractora y otra repulsora.
A
B
98
C
D
Figura. 2.10. P arámetros a = 0.28, b = 0.15 en L 1 .
4
A) Órbita atractora en el T oro;
B) P untos de perṍodo cuatro atractores en S;
C) P untos f ijos de A4 (x);
D) P untos atractores y repulsores en S
Un HomeomorÞsmo puede tener múltiples atractores, sin embargo en los ejemplos observamos que coexisten a lo más dos órbitas una repulsora y otra atractora. El siguiente
resultado nos conÞrma la generalidad de este hecho.
Teorema de Jacobson 2.4. Un difeomorÞsmo de la circunferencia
f (x) = x + φ(x)
para el cual la función angular φ es un polinomio trigonométrico de grado s > 0 tiene a
lo más 2s órbitas periódicas.
Corolario 2.5. Para todo (a, b) en la zona de difeomorÞsmos, A (x) tiene a lo más 2
órbitas periódicas.
Este resultado es consistente con la Þgura 1.1.5. que nos corrobora que en la región
de homeomorÞsmos no puede haber más de dos puntos Þjos.
99
Es importante saber que tipo de estabilidad tiene las órbitas. En los ejemplos anteriores vemos que existen a lo más dos órbitas periódicas y su estabilidad es complementaria.
Hasta el momento hemos visto variando a y b, gráÞcas de funciones en el toro, sus
levantamientos, la dinámica en el circulo y las lenguas de Arnold.
Es interesante también analizar como varia el número de rotación al Þjar un parámetro
y variar el otro. Fijemos b y variemos a.
Ejemplo:
Figura. 2.11. Gráf ica del número de rotación variando a ∈ [0, 3]
y fijando b = 0.159
A estas gráÞcas se les llama escaleras del diablo.
ces
e entonTeorema 2.6.[Herman]. Sea A un homeomorÞsmo, deÞnamos ρb (a) = ρ(A)
i) ρb (a + 1) = ρb (a) + 1.
ii) ρb : R → R es continua, monótona no decreciente y ρb (R) = R.
iii) Si ρb (a0 ) ∈ R − Q entonces ρb es estrictamente creciente en a0 .
p
iv) Si b > 0, ρ−1
b ( q ) es un intervalo de interior no vacío.
v) K = R − Int(ρ−1
b (Q) es un Cantor , es decir un conjunto perfecto y totalmente
discontinuo.
100
Es importante notar que los cantors K son ∪ρ−1 (α), con α ∈ R − Q unión las fronteras de las L pq .
p
Del resultado anterior sabemos que ρ−1
b ( q ) es un intervalo de interior no vacío, es
decir los cortes transversales de lenguas tienen interior no vacío, una estimación para el
ancho de ellas a una altura b esta dada por el siguiente resultado.
Teorema 2.7. Sea A(x) un homeomorÞsmo. El ancho de la lengua L pq a la altura b
no excede a Cbq , donde C es una constante positiva.
Por ejemplo en la Þgura 1.2.1. y 2.1.6. podemos veriÞcar que este teorema se cumple
pues L 1 tiene una anchura igual a Cb con C = 2.
1
Tenemos una cota para la anchura de las lenguas a una altura b, ahora podríamos
preguntarnos por la medida de los puntos en una sección transversal que no están en las
lenguas. En las siguientes Þguras vemos como cambia la medida de esta sección cuando
b tiende a cero.
B
A
101
C
D
E
F
Figura. 2.12. Gráf icas de ρb (a), variando el parámetro b con a ∈ [0, 1] .
A) b = 0.159; B) b = 0.13; C) b = 0.1; D) b = 0.06;
E) b = 0.03; F ) b = 0
Lo que observamos en el panel anterior es que la medida de los puntos que no están
en alguna L pq tiende a uno cuando b tiende a cero, esto ha sido expresado y demostrado
por Arnold y Herman en los siguientes resultados
Teorema 2.8. (Arnold [1]) Sea EB = {(a, b) : a ∈ [0, 1], b ∈ [0, B], tal que A(x) es
analíticamente conjugada a una rotación irracional } entonces
lṍm
B→0
m(EB )
= 1.
B
Teorema 2.9.
102
1
Sea E B = {(a, b) : a ∈ [0, 1], b ∈ [B, 2π
], tal que A(x) es analíticamente conjugada a
una rotación irracional } entonces
lṍm1
B→ 2π
m(E B )
= 0.
1
−B
2π
El siguiente resultado por Herman es también muy interesante
Definición 2.10. Dados u, v ∈ [0, 1] y b Þjo sea
n
o
eb es C r−2 − conjugada a una traslación irracional ,
M (b, u, v) = m a ∈ [u, v] : A
es decir la medida de Lebesgue del conjunto considerado.
Teorema 2.11. Para cualesquiera u, v ∈ [0, 1] tales que ρb (u) 6= ρb (v), se tiene que
M (b, u, v) > 0.
Herman generaliza el Teorema para conjugaciones no analíticas.
Sea Þja β > 0 pequeña (β ≤ 10−100 ) y β 0 > β ; β 0 = 32 β.
en }n∈N una sucesión de levantamientos de Cr −dif eomorf ismos
Teorema 2.12. Sea {A
en → Id en la C 2n+2β −topología, entonces
de la circunferencia y r ≥ 2 + 2β. Entonces si A
e = m{a ∈ [0, 1] : A
e es C r−1−β 0 − conjugada a una traslación ergódica} → 1
M (A)
es decir, la medida de lebesgue del conjunto considerado tiende a 1.
103
4.3
4.3.1
BIESTABILIDAD
BIESTABILIDAD DE PUNTOS FIJOS
La Lengua de Arnold está deÞnida en términos del número de rotación y pierde sentido
cuando b >
1
.
2π
A continuación veremos una forma natural de entender el concepto de
lengua fuera de la zona de homeomorÞsmos.
Definición 3.1.1. Rq:p es la cerradura del conjunto de puntos (a, b) tales que A
tiene una órbita periódica atractora de característica (p, q) . Al conjunto Rq:p se le llama
Lengua Generalizada ( o Zona de Resonancia) q : p.
Figura. 3.1.1 Lengua generalizada 2 : 1, R2:1
El siguiente resultado es útil para encontrar órbitas periódicas.
104
Teorema 3.1.2. A tiene una órbita periódica de característica (p, q) si y sólo si
existen x; n, m,∈ Z + tales que
Am (x) − [Am (x)] = An (x) − [An (x)]
m−n = q
[Am (x)] − [An (x)] = p.
Demostración.
Hagamos m = q, n = 0,
Aq (t) = t + p,
entonces de la condición de lengua generalizada
Aq (t) − [Aq (t)] = t − [t] = t + p − [f q (t)] ,
de aquí que
[Aq (t)] − [t] = p.
Por otra parte, si existe x y m, n ∈ N tales que
Am (t) − [Am (t)] = An (t) − [An (t)]
m − n = q,
[Am (t)] − [An (t)] = p,
entonces, como m = q + n, se tiene
Am (t) = An+q (t) = An (Aq (t)) = An (t) − [An (t)] + [Am (t)] ,
si deÞnimos
− [An(t)] + [Am (t)] = p
y = [An (t)] ,
105
entonces
Aq (t) = t + p,
es decir la función tiene una órbita atractora de característica (p, q).
En la región donde A no es inyectiva puede darse la coexistencia de atractores.
Proposición 3.1.3. El conjunto
½
¾
1
2
2
B = ∩k∈ℵ (a, b) : a − k ≤ b, −a + k ≤ b, b − (a − k) ≤ 2 = ∩k∈ℵ B 0
π
determina los valores de parámetros para los cuales la función A tiene dos puntos Þjos
estables coexistiendo.
Figura. 3.1.2 Re gión de biestbilidad de puntos f ijos atractores
Como ilustración tomemos un par de parámetros en alguna de estas regiones donde
106
coexisten dos Þjos atractores y observemos la gráÞca del endomorÞsmo correspondiente.
Figura. 3.1.3 a = 0.5, b = 0.52, coexistencia de f ijos atractores.
Demostración de la proposición.
Sabemos que para cada (a, b) ∈ B 0 , existe un punto Þjo estable, a saber las soluciones
en x de la ecuación:
x=
Si
Si
k−a
b
k−a
b
1
2π
arcsen
> 0 las soluciones son:
¡ k−a ¢
1
arcsen
2π
x2 =
1
2
− x1
+
1
arcsen
2π
b
< 0 las soluciones son:
1
2
x2 = 1 −
k−a
b
b
x1 =
x1 =
Si
¡ k−a ¢
1
arcsen
2π
= 0 las soluciones son:
¡ k−a ¢
b
¡ k−a ¢
b
x1 = 0
x2 =
1
2
Si k = k1 = k2 para cada una de estas k se obtienen dos soluciones estables.
107
4.3.2
COEXISTENCIA DE ÓRBITAS DE DISTINTOS PERÍODOS .
Otro fenómeno interesante que puede observarse en esta familia es la coexistencia de
órbitas periódicas de distintos períodos como por ejemplo:
A
B
C
D
E
F
108
Figura. 3.2.1. Coexistencia de órbitas atractoras.
A) a = 0.47, b = 0.6. Órbitas de perṍodo uno y dos.
B) a = 0.5, b = 0.62. Órbitas de perṍodo dos.
C) a = 0.43, b = 0.26. Órbitas de perṍodo dos y tres.
D) a = 0.39, b = 0.30. Órbitas de perṍodo dos y cuatro.
E) a = 0.5, b = 0.365. Órbitas de perṍodo tres.
F ) a = 0.5, b = 0.4321. Órbitas de perṍodo cuatro.
En la siguiente Figura se puede observar otras regiones de biestabildad en el espacio
de parámetros.
Figura. 3.2.2.Lenguas generalizadas
Los experimentos computacionales y el análisis que hemos hecho, nos hacen pensar
que: Dadas dos Lenguas de Arnold Generalizadas Rq1 :p1 , Rq2 :p2 .
a).- Para todo
p1 p2
,
q1 q2
se tiene que Rq1 :p1 ∩Rq2 :p2 6= ∅, es decir pueden coexistir atractores
periódicos de distintas características.
b).- Sean
p1
q1
6=
p2
q2
6=
p3
q3
entonces Rq1 :p1 ∩ Rq2 :p2 ∩ Rq3 :p3 = ∅, es decir más de dos
lenguas generalizadas no se intersectan
d).- La frontera de las cuencas de atracción de los atractores periódicos es un Con109
junto de Cantor.
4.4
BIFURCACIONES DE DOBLAMIENTO DE PERÍODO
Fuera de la región de homeomorÞsmos puede ocurrir otro tipo de bifurcación. En las
Þguras siguientes vemos gráÞcas de funciones en la primera y segunda iterada, en la
región de estabilidad dad por la proposición, en el límite de esta y fuera de esta.
A
B
C
A
B
C
Figura. 4.2 A2 (x) f ijando a = 0 y variando b : A) b = 0.3, B) b = 0.35, C) b = 0.4.
En la Þgura 4.2 observamos que el punto Þjo atractor se vuelve repulsor, pero aparece
una óbita periódica de períodos; ya que anteriormente teniamos que no puede haber
110
solamente puntos repulsores, por lo cual debe de aparecer algún punto de período mayor
que sea atractor,
Lo que acabamos de observar es conocido en A(x) como una bifurcación de doblamiento de período y en A2 (x) una bifurcación de tenedor.
Proposición 4.1. Para cualquier k ∈ Z, sobre el conjunto
b2 − (k − a)2 =
1
π2
del espacio de parámetros la función de Arnold sufre una Bifurcación de Doblamiento
de Período.
Demostración.
Veamos en donde se cumplen las condiciones del Teorema 4.2 del capítulo 1 que nos
garantiza la bifurcación doblamiento de período.
e (x0 ) = x0 + k
Por demostrar que existe x0 ∈ [0, 1) tal que A
e (x0 ) = x0 + a + bsen2πx0 = x0 + k
A
sen2πx0 =
k−a
b
(k − a)2
sen 2πx0 =
b2
2
Otra condición es que
e 0)
dA(x
dx
= −1, entonces
e 0)
dA(x
dx
como,
= 1 + 2πbcos2πx0
√
= 1 + 2πb 1 − sen2 2πx0
q
¡
¢2
= 1 + 2πb 1 − k−a
b
b2 − (k − a)2 =
111
1
π2
(k − a)2
1
=1− 2 2
2
b
π b
entonces,
Por último veriÞquemos que
³
e2 (x0 ))0
∂ (A
∂b
e 0)
dA(x
= −1
dx
6= 0 y
e2 (x0 ))0
∂ (A
∂a
6= 0,
e2 (x0 ) = x0 + 2a + b sen 2πx0 + b sen 2π (x0 + a + b sen 2πx0 )
A
´0
2
e
A (x0 ) = 1 + 2πb cos 2πx0 + (1 + 2πb cos 2πx0 ) 2πb cos 2π (x0 + a + b sen 2πx0 )
e2 (x0 ))0
∂ (A
∂b
= 2π cos 2πx0 + (2π + 8π 2 b cos 2πx0 ) cos 2π (x0 + a + b sen 2πx0 ) −
(1 + 2πb cos 2πx0 ) 2πb sen 2π (x0 + a + b sen 2πx0 ) sen 2πx0
¡
¡
¢¢
= 2π cos 2πx0 + (2π + 8π 2 b cos 2πx0 ) cos 2π x0 + a + b k−a
+
b
¡
¡ k−a ¢¢
2πb sen 2π x0 + a + b b
sen 2πx0
= 4π cos 2πx0 + 8π 2 b cos 2 2πx0 + 2πb sen2 2πx0
¡1¢
¡ 1 ¢2 ¡
¢
2
= 4π πb
+ 2πb − πb
+ 8π 2 b πb
=
12π+2π 2 b2 −2
πb
e2 (x0 ))0
∂ (A
∂a
6= 0
= − (1 + 2πb cos 2πx0 ) 4π 2 b sen 2π (x0 + a + b sen 2πx0 )
¡
¡
¢¢
= −4π 2 b (−1) sen 2π x0 + a + b k−a
b
q
1
2
2
= 4π b sen 2πx0 = 4π b 1 − π2 b2 6= 0
Existen otras regiones donde se producen este tipo de bifurcaciones pero no son ac-
112
cesibles analíticamente.
Figura. 4.3. Lenguas de Arnold en el espacio
de parámetros [0, 1] × [0, 1] .
Figura. 4.4 Diagrama de bif urcaciones a = 0, b ∈ (0.3, 0.6)
Observamos en el diagrama de bifurcaciones que si incrementamos b se da una cascada
113
de bifurcaciones de boblamiento de período, por ejemplo cuando se inestabiliza la de
período dos aparece una de período cuatro.
Figura. 4.5. a = 0, b = 0.55, Órbita de perṍodo 4.
114
DISCUSIÓN Y COMENTARIOS FINALES.
En este trabajo se ha hecho una recopilación de resultados sobre la dinámica de funciones de la circunferencia que aparecen dispersos en la literatura. Como ejemplo se
han analizado varios aspectos interesantes de la dinámica de la familia Clásica, también
llamada Familia de Arnold. Se exponen resultados teóricos así como resultados computacionales y gráÞcas obtenidos usando el sistema de software CIRCULO desarrollado
por Carrillo, García y Nava en el Laboratorio de Dinámica no-lineal de la Facultad de
Ciencias de la U.N.A.M.
Se introdujo el concepto de envolvencia de una órbita periódica en un semisistema
dinámco en la circunferencia, noción que, hasta donde nosotros sabemos no aparece en
la literatura del tema y resulta fundamental para describir la dinámica de estos sistemas
así como para poder dar una deÞnición apropiada del concepto de lengua generalizada
de Arnold en el espacio de parámetros.
115
1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS.
Para algunos detalles en el transcurso del trabajo nos será útil recordar algunos aspectos de espacio de funciones y de topólogia. Recopilaremos algunas deÞniciones y
resultados (sin demostraciones).
Definición
a). Una topología en un conjunto X es una familia τ de subconjuntos de X que
satisfacen:
1. ∅ ∈ τ , X ∈ τ .
2. Si A1 , ..., An ∈ τ ⇒ A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ∈ τ
3. Si {Aα }α∈A ∈ τ ⇒ ∪α∈A Aα. ∈ τ
b).Si τ es una topología en X , a la pareja (X, τ ) le llamamos espacio topológico y a
los elementos que pertenecen a τ conjuntos abiertos en X.
Ejemplos:
Topologia usual :
τ R = {∅} ∪ {E ⊆ R/E es unión de intervalos abiertos}
τ R2 = {∅} ∪ {E ⊆ R/E es unión de bolas abiertas}
Definición. Sean (X, τ ) un espacio topológico, Y un conjunto y g : X → Y una
funcion suprayectiva. La pareja (Y, τ g ) donde τ g es la topología fuerte inducida por
(X, τ ) y g, es llamado Espacio Cociente y a τ g la llamaremos la topología cociente en Y
inducida por (X, τ ) y g. Es decir
τ g = {A ⊆ X : g −1 (A) ∈ τ }
Teorema 1. Sean X y Y espacios topológicos y g : X → Y funcion suprayectiva y
continua. Si g es abierta o cerrada entonces la topología de Y coincide con la topología
cociente.
116
Teorema 2 Si Y posee la topologia cociente inducida por una funcion continua y
suprayectiva g : X → Y Entonces existe un homeomorÞsmo h de Y en el espacio de
partición D = {g −1 (y) : y ∈ Y }
Definición. Como espacio topologico S es equivalente en el plano complejo (C) a
S = {e(2πix) /x ∈ [0, 1)}.
Sean ([0, 1], TR ), (S, TR2 ) espacios topológicos.
La función
g : [0, 1] → S
g(x) = (cos2πx, sen2πx)
es supreyectiva continua y cerrada. Entonces por el Teorema 1 (S, TR2 ) es un espacio
cociente.
Definición. El Toro de dimensión 1 es el espacio cociente T 1 = [0, 1]/˜, donde la
relación de equivalencia es x ∼ y si y solo si x − y ∈ Z.
Proposición. T 1 es homeomorfo a S.
Demostración.
Con las topologias usuales de estos espacios, la siguiente función es un homeomorÞsmo
g : T1 → S
g([x]) = e2πix
Definición. El toro de dimensión 2 es el espacio cociente T 2 = [0, 1]×[0, 1]/˜ , donde
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) si y sólo si x − y, x0 − y 0 ∈ Z.
El espacio cociente (S × S, Tf ) donde f : [0, 1] × [0, 1] → S × Ses la función dada por
f (x, y) = (cos2πx, sen2πx), (cos2πy, sen2πy)).
117
La topología producto en T<2 coindide con la topología en T<2 .
Proposición. T 2 es homeomorfo a S × S .
Demostración. Con las topologías usuales de los espacios T 2 y S × S, se tiene que si
[x,y] es un representante de cada clase de equivalencia de T 2 , la función
g : T2 → S × S
es un homeomorÞsmo de estos espacios.
2. ESPACIO DE FUNCIONES
Definición. Sean X, Y espacios topólogicos. El conjunto C 0 (X, Y ) es la colección
de todas las funciones continuas de X a Y.
Topológicamente C 0 (X, Y ) se deÞne con la ε − bola alrededor de f, como sigue:
B0ε (f) = {g : X → Y continuas : ∀x ∈ X kf (x) − g(x)k < ε}
El conjunto de las ε − bolas (ε > 0) alrededor de las funciones f : X → Y
forman
una base para norma uniforme o la C 0 -topología. Esta es justamente la Topólogia de la
Convergencia Uniforme en X.
Para deÞnir las topologias de orden más grande, revisaremos algo de cálculo.
Definición. f es una función de clase C r , si existe todas las derivadas
C r (X, Y ) es la colección de todas las funciones de clase C r de X a Y
Topólogicamente las C r − ε − bolas alrededor de f ∈ C r (X, Y ) son
°
°
©
ª
Brε (f) = g ∈ C r (X, Y ) : ∀ k ≤ r y ∀ x ∈ X °D(k) f (x) − D(k) g(x)° < ε
esta deÞnición es equivalente a que para toda k ≤ r D(k) g ∈ B0ε (D(k) f )
Las C r − ε − bolas (ε > 0) alrededor de funciones de clase C r forman una base para
la topología en C r (X, Y ), llamada la C r − topó log ṍa.
Definición. Sea f : X → Y. La función f (x) es un homeomorfismo si f es una
118
función biyectiva , continua y f −1 (x) tambien es continua.
Definición. Sea f : X → Y. La función f (x) es un Cr −difeomorfismo, si f (x), f −1 (x)
son Cr −homeomorÞsmos.
Dif f r (X, Y ) es la colección de todos los difeomorÞsmos de clase C r de X a Y
Teorema. (Valor Medio) Si f : [a, b] → R es de clase C 1 , entonces existe un punto
c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f(a) = f 0 (c)(b − a).
Teorema. (Valor Intermedio) Sea f : [a, b] → R de clase C 0 . Si f (a) = u y
f (b) = v, entonces para toda z entre u y v existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = z.
Teorema (de la Función Inversa) Sean f :R → R una función de clase C ∞ y
x ∈ R tal que f 0 (x) 6= 0. Entonces existe U vecindad de x, V vecindad de f (x) y una
función g : V → U de clase C 1 tales que
f ◦ g = IdV
g ◦ f = IdU .
Teorema. (de la Función Implicita) Si f es una función de clase C 1 y
1. f(x0 , y0 ) = 0
2.
∂f (x0 ,y0 )
∂y
6= 0,
entonces existen intervalos abiertos I alrededor de x0 y J alrededor de y0 , y una
función p : I → J de clase C 1 tal que p(x0 ) = y0 y f(x, p(x)) = 0, para toda x ∈ I.
119
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