Hallar por el método de Cross los diagramas de momentos flectores

Cátedra de Ingeniería Rural
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
Hallar por el método de Cross los diagramas de momentos flectores y
esfuerzos cortantes, así como las reacciones de todas las barras del pórtico de
la figura.
La relación entre los momentos de inercia de las barras es:
I1 = 2 ⋅ I2 = 3 ⋅ I3
P=5 T
q1=2 T/m
q2=1 T/m
A
I1
B
I1
C
I2
I3
I2
D
E
F
3
3
5
4
1º . Determinamos los coeficientes elásticos (βi, Ki y ri).
Nudo A
4 ⋅ E ⋅ I2
= 0 .8 ⋅ E ⋅ I 2
5
4 ⋅ E ⋅ I1
K AB =
= 1.33 ⋅ E ⋅ I2
6
1
β AB =
2
1
β AD =
2
K AD =
1
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K AD
0 .8
=
= 0.38
K AD + K AB 0.8 + 1.33
K AB
1.33
=
=
= 0.62
K AD + K AB 0.8 + 1.33
rAD =
rAB
Nudo B
4 ⋅ E ⋅ I1
= 0.67 ⋅ E ⋅ I1
6
4 ⋅ E ⋅ I1
K BC =
= E ⋅ I1
4
K BE = 0
1
β BA =
2
1
β BC =
2
β BE = 0
K BA
0.67
rBA =
=
= 0.40
K BA + K BC + K BE 0.67 + 1 + 0
K BC
1
rBC =
=
= 0.60
K BA + K BC + K BE 0.67 + 1 + 0
K BA
rBE =
=0
K BA + K BC + K BE
K BA =
Nudo C
4 ⋅ E ⋅ I1
= 2 ⋅ E ⋅ I2
4
4 ⋅ E ⋅ I2
K CF =
= 0 .8 ⋅ E ⋅ I 2
5
1
β CB =
2
1
β CF =
2
K CB
2
rCB =
=
= 0.71
K CB + K CF 2 + 0.8
K CB =
2
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rCF =
K CF
0 .8
=
= 0.29
K CB + K CF 2 + 0.8
2º . Calculamos los momentos y pares de empotramiento.
q ⋅ l2
1⋅ 5 2
MD = M A = −
=−
= −2.08 T ⋅ m
12
12
1 T/m
A
D
mD = +2.08 T ⋅ m
5
m A = −2.08 T ⋅ m
5T
M A = MB = −
P ⋅l
5⋅6
=−
= −3.75 T ⋅ m
8
8
B
A
m A = +3.75 T ⋅ m
3m
3m
mB = −3.75 T ⋅ m
2 T/m
C
B
MB = MC = −
q ⋅ l2
2 ⋅ 42
=−
= −2.67 T ⋅ m
12
12
4m
mB = +2.67 T ⋅ m
m C = −2.67 T ⋅ m
3
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3º . Cross: Transmisiones.
-0.63
-2.08
-0.32
+2.08
-0.03
+0.09
+0.05 +0.08
+0.16
-0.14
-0.27 -0.03
-0.02
-0.20
-0.10 -0.41
-0.21
+0.32
+0.64 +0.78
+1.55
-1.04
-0.52 +0.96
+0.48
+3.75
-3.75 +2.67
-2.67
0.62
0.40 0.60
0.71
0.38
-0.12
-0.06
-0.02 -0.05
- 0.74
+ 0.36
+0.05
-0.01
+ 4.00
+ 0.71
+0.03
-0.03
+0.04
+0.01
-0.02
+0.07
+0.01
+0.01
+0.32
+ 1.74
+0.02
+0.64
4
- 3.99
0.29
- 2.77
+ 2.77
Momentos flectores en los nudos:
-2,77
-3,99 –4,0
-0,74
-2,77
0,71
-1,74
-0,36
4
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4
Momentos isostáticos
1 T/m
Mmáx i =
D
A
q ⋅ l 2 1⋅ 5 2
=
= 3.13 T ⋅ m
8
8
5
Mmáx =
MD + M A
− 1.74 − 2.77
+ Mmáx i =
+ 3.13 = 0.87 T ⋅ m
2
2
5T
Mmáx i =
P⋅l 5 ⋅ 6
=
= 7 .5 T ⋅ m
4
4
B
A
3m
3m
Mmáx =
2 T/m
B
− 2.77 − 3.99
+ 7.5 = 4.12 T ⋅ m
2
Mmáx i =
q ⋅ l2 2 ⋅ 4 2
=
= 4 T ⋅m
8
8
C
4
Mmáx =
MB + MC
− 4.0 − 0.74
+ Mmáx i =
+ 4 = 1.63 T ⋅ m
2
2
5
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4º . Diagrama de momentos flectores.
-4.0
-2.77
+0.71
-2.77
-0.74
B
A
C
-1.74
+1.63
-0.36
+4.12
D
E
F
5º . Cálculo de reacciones.
2.77
1.74
∑M
1 T/m
D
A
5
A
=0
R D ⋅ 5 − 1.74 + 2.77 − 1⋅ 5 ⋅
5
=0
2
R D = 2.29 T
∑ MD = 0
6
Cátedra de Ingeniería Rural
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R A ⋅ 5 + 1.74 − 2.77 − 1⋅ 5 ⋅
5
=0
2
R A = 2.71 T
5T
2.77
3.99
A
B
C
F
0.71
0.74
2 T/m
B
C
4
C
=0
R F ⋅ 5 + 0.36 + 0.71 = 0
R F = 0.21 T
∑ MF = 0
R C ⋅ 5 − 0.36 0.71 = 0
R C = −0.21 T
∑M
4.0
=0
R A ⋅ 6 − 2.77 − 5 ⋅ 3 + 3.99 = 0
R A = 2.30 T
∑ MA = 0
∑M
0.36
5m
B
R B ⋅ 6 − 3.99 + 2.77 − 5 ⋅ 3 = 0
R B = 2.70 T
3m
3m
∑M
B
=0
R C ⋅ 4 − 0.74 + 4.0 − 2 ⋅ 4 ⋅
4
=0
2
R D = 3.19 T
∑ MC = 0
R B ⋅ 4 + 0.74 − 4.0 − 2 ⋅ 4 ⋅
4
=0
2
R B = 4.81 T
7
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6º . Diagrama de esfuerzo cortante.
4.81
2.30
2.71
3.19
2.70
2.29
0.21
7º . Deformada.
8