PRUEBA PARCIAL No3 - Universidad de Atacama

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 3
Profesor: Hugo S. Salinas.
Segundo Semestre 2011
1. El tiempo en años que un satélite permanece en el espacio es una variable aleatoria exponencial T , cuya función de distribución acumulada está dada por
F (t) = 1 − e−0.5t ,
t > 0,
a) Calcular la probabilidad que un satélite permanezca en el espacio entre uno y tres años.
Solución:
Según el enunciado F (t) = P (T ≤ t) = 1 − e−0.5t . Se pide calcular
P (1 ≤ T ≤ 3) = P (T ≤ 3) − P (T ≤ 1) = F (3) − F (1)
= (1 − e−1.5 ) − (1 − e−0.5 ) = e−0.5 − e−1.5 = 0.3834.
(8 ptos.)
b) ¿Cuál es la probabilidad que un satélite permanezca en el espacio más de cuatro años?
Solución:
P (T > 4) = 1 − P (T ≤ 4) = 1 − F (4)
= 1 − (1 − e−2 ) = e−2 = 0.1353.
(8 ptos.)
c) Si son lanzados tres satélites simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que por lo
menos uno permanezca en el espacio más de cuatro años?.
Solución:
Sea X : número de satélites que permanecen en el espacio más de cuatro años. La
probabilidad que un satélite permanezca en el espacio más de cuatro años es p = 0.1353
(ver item b.). Entonces X se distribuye binomial con parámetros n = 3 y p = 0.1353 y
se pide calcular P (X ≥ 1). Por lo tanto:
3
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
(0.1353)0 (0.8647)3 = 0.3535.
0
(9 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 3
1
2. Con base en la experiencia pasada, el 40 % de todos los clientes de cierta estación de gasolina
pagan sus compras con tarjeta de crédito. Si se selecciona una muestra aleatoria de 200
clientes,
a) ¿Cuál es la probabilidad que cuando menos 75 paguen con tarjeta de crédito?
Solución:
Sea Y : el número de clientes que pagan sus compras con tarjeta de crédito. Entonces
Y se distribuye binomial de parámetros n = 200 y p = 0.4. De acuerdo a esto se
espera que 80 (E(Y ) = np = 200 × 0.4 = 80) clientes paguen sus compras con tarjeta de
crédito. Se pide calcular P (Y ≥ 75) y lo haremos aproximando
p Y con una v.a.
√ X normal
con parámetros µ = np = 80 y desviación estándar σ = np(1 − p) = 48 = 6.93.
Entonces:
74.5 − 80
P (Y ≥ 75) = 1 − P (Y ≤ 74) = 1 − P (X < 74.5) = 1 − P Z <
6.93
= 1 − P (Z < −0.79) = 1 − 0.2148 = 0.7852.
(8 ptos.)
b) ¿Cuál es la probabilidad que no más de 70 paguen con tarjeta de crédito?
Solución:
70.5 − 80
P (Y ≤ 70) = P (X ≤ 70.5) = P Z ≤
= P (Z ≤ −1.37) = 0.0853.
6.93
(8 ptos.)
c) ¿Cuál es la probabilidad que entre 70 y 75, inclusive, paguen con tarjeta de crédito?
Solución:
69.5 − 80
75.5 − 80
P (70 ≤ Y ≤ 75) = P (69.5 ≤ X ≤ 75.5) = P
≤Z≤
6.93
6.93
= P (−1.52 ≤ Z ≤ −0.65) = P (Z ≤ −0.65) − P (Z ≤ −1.52)
= 0.2578 − 0.0643 = 0.1935.
(9 ptos.)
3. Se desean rodamientos de un centı́metro de radio, con tolerancia de 0.5 milı́metros. El fabricante gana US$0.10 por cada rodamiento aceptado. Si el radio es menor de lo permitido,
el rodamiento se debe refundir, produciendo una pérdida de US$0.05; por otra parte, si el
radio es mayor de lo aceptado se debe rebajar el rodamiento, con una pérdida de US$0.03.
Supongamos que el radio de los rodamientos tiene una distribución normal con media 1.01
centı́metros y una varianza de 0.0009 centı́metros2 .
Primero que todo vamos a definir los siguientes eventos:
A : el rodamiento es aceptado.
B : el rodamiento debe ser refundido.
C : el rodamiento debe ser rebajado.
Sea la variable aleatoria R el radio del rodamiento tal que R es normal con media µ =
1.01 centı́metros y desviación estándar σ = 0.03 centı́metros. Ahora vamos a calcular la
PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 3
2
probabilidad de que ocurran los eventos A, B y C. En efecto,
P (A) = P (1 − 0.05 < R < 1 + 0.05) = P (0.95 < R < 1.05)
1.05 − 1.01
0.95 − 1.01
<Z<
= P
0.03
0.03
= P (−2 < Z < 1.33) = P (Z < 1.33) − P (Z < −2) = 0.9082 − 0.0228 = 0.8854
(2 ptos.)
P (B) = P (R < 1 − 0.05)
0.95 − 1.01
= P (Z < −2) = 0.0228.
= P Z<
0.03
(2 ptos.)
P (C) = P (R > 1 + 0.05)
1.05 − 1.01
= P Z>
= P (Z > 1.33) = 1 − P (Z ≤ 1.33) = 1 − 0.9082 = 0.0918.
0.03
(2 ptos.)
a) Calcular la utilidad esperada.
Solución:
Sea la variable aleatoria U utilidad de un rodamiento. Esta variable toma valores u ∈
{0.10, −0.05, −0.03} tal que
P (U = 0.10) = 0.8854, P (U = −0.05) = 0.0228 y P (U = −0.03) = 0.0918.
Luego la utilidad esperada es:
E(U ) = (0.10)(0.8854) + (−0.05)(0.0228) + (−0.03)(0.0918) = 0.0846.
Por lo tanto la utilidad esperada por cada rodamiento es de US$0.0846.
(7 ptos.)
b) ¿A cuanto se deberı́a modificar la utilidad por cada rodamiento aceptado si se espera
ganar US$0.07 por cada rodamiento?
Solución:
Sea g la ganancia por rodamiento aceptado. Luego
E(U ) = 0.07 = g(0.8854) + (−0.05)(0.0228) + (−0.03)(0.0918)
0.07 = 0.8854g − 0.003894
De aquı́ g = 0.073894
= 0.08346. Por lo tanto, por cada rodamiento aceptado se debe
0.8854
ganar US$0.08346.
(6 ptos.)
c) Se seleccionaron 5 rodamientos. ¿Cuál es la probabilidad de que tres o más cumplan las
especificaciones?
Solución:
Sea V número de rodamientos que cumplen las especificaciones de un total de 5. De
aquı́ V es una variables aleatoria que se distribuye binomial con parámetros n = 5 y
p = P (A) = 0.8854. Nos piden calcular P (V ≥ 3), en efecto:
P (V ≥ 3) = 1 − P (V ≤ 2) = 1 − P (V = 0) − P (V = 1) − P (V = 2)
2 X
5
= 1−
(0.8854)k (0.1146)5−k = 0.9874.
k
k=0
(6 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 3
3
4. De sus archivos, un ingeniero mecánico observa que el tiempo empleado en ensamblar cierto
dispositivo a un equipo está distribuido normalmente con media 22 minutos y desviación
estándar de 6 minutos. Hoy, el ingeniero planea ensamblar 16 de estos dispositivos. Supongamos que
el tiempo en colocar un dispositivo es independiente del tiempo en ensamblar otro y
que estos 16 ensamblajes representan una muestra aleatoria de la experiencia pasada.
a) ¿Cuál es la probabilidad que 25 minutos o más sea el tiempo promedio por dispositivo
para este ingeniero?
Solución:
Sea T el tiempo en ensamblar cierto dispositivo a un equipo (en minutos) tal que
T ∼ N (µ = 22, σ = 6). El ingeniero planea ensamblar n = 16 de estos dispositivos y se
pide calcular P (T ≥ 25). En efecto,
25 − 22
√
P (T ≥ 25) = P Z ≥
= P (Z ≥ 2) = 1 − P (Z < 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228.
6/ 16
(7 ptos.)
b) ¿Cuál es la probabilidad de emplear 20 minutos o menos en el primer ensamble?
Solución:
Se pide calcular P (T1 ≤ 20), en efecto,
20 − 22
P (T1 ≤ 20) = P Z ≤
= P (Z ≤ −0.33) = 0.3707.
6
(6 ptos.)
c) Con el fin de poder llegar a una cita con su novia, el ingeniero tiene que emplear un
promedio de 20 minutos o menos por dispositivo. ¿Cuál es la probabilidad de llegar
tarde a la cita?
Solución:
Si el ingeniero emplea un promedio de más de 20 minutos por dispositivo llegará tarde
a la cita. Por lo tanto se pide calcular P (T > 20), en efecto,
20 − 22
√
P (T > 20) = P Z >
= P (Z > −1.33) = 1−P (Z ≤ −1.33) = 1−0.0918 = 0.9082.
6/ 16
(6 ptos.)
d ) El ingeniero empieza a las 8 A.M. Si en el almuerzo se demora 40 minutos, ¿a qué hora
es la cita con su novia?
Solución:
Se sabe que el ingeniero puede llegar a la cita con su novia si emplea un promedio de
20 minutos o menos por dispositivo. De esta manera se demora 20 × 16 = 320 minutos
a lo más en ensamblar los dispositivos, más el tiempo que demora en almorzar da un
total de 360 minutos en total (6 horas). Si comienza a las 8 A.M. la cita será a las 14
horas (2 P.M.).
(6 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 3
4