MEDIDA DE LA DENSIDAD DE LÍQUIDOS

-9MEDIDA DE LA DENSIDAD DE LÍQUIDOS
OBJETIVO
• Medida de la densidad de líquidos utilizando la balanza de Mohr-Westphahl. Estudiar la
dependencia de la densidad con la concentración en una disolución.
MATERIAL
• Balanza de Mohr, con jinetillos de tres pesos
• Inmersor sólido: ampolla de vidrio con
• Agua destilada y disolución problema.
• Probetas
FUNDAMENTO
Según el Principio de Arquímedes, al sumergir un cuerpo de volumen V en un líquido de
densidad conocida, ρ1 , el cuerpo experimenta un empuje vertical hacia arriba, E1, igual en
magnitud al peso del fluido desalojado, es decir:
[1]
E1 = ρ1gV
Si el mismo cuerpo se introduce en un líquido de densidad distinta, ρ2 , el nuevo empuje
será:
[2]
E2 = ρ2 gV
Dividiendo estas dos ecuaciones, se puede expresar la densidad del segundo líquido, ρ2 , en
función de la densidad del primero y de la relación entre los dos empujes:
ρ2 =
E1
ρ1
E2
[3]
Esta expresión es la que utilizaremos para determinar la densidad de un líquido problema a
partir de la densidad del agua, que es conocida. El cociente entre los dos empujes se mide
utilizando la balanza de Mohr.
1
MÉTODO
En el laboratorio encontraremos la balanza de Mohr junto con sus pesas o jinetillos así
como varias probetas y dos recipientes, uno con agua destilada y el otro con un líquido
problema azulado, que es una disolución de sal en agua de concentración C0= 100 g/l.
La práctica consiste en medir la densidad de la disolución original y de sucesivas diluciones
de la misma. Con la balanza medimos la densidad de la disolución original, tal y como se
explica a continuación. Utilizamos para ello un volumen V de disolución de 150 cm3.
Luego diluimos la disolución retirando un volumen V’=20 cm3 de la probeta y vertiendo el
mismo volumen V’ de agua destilada y volvemos a repetir la medida de la densidad.
Obsérvese que, con este procedimiento, tenemos siempre el mismo volumen V de
disolución, pero cada vez más diluida, es decir, con menos concentración de sal. La
densidad por tanto variará y repitiendo el proceso al menos 6 veces, tendremos varios datos
de densidad y concentración que nos permitirán analizar cómo la densidad depende de la
concentración de sal.
Descripción de la balanza de Mohr
La balanza de Mohr es una palanca de primer género con brazos desiguales, cuyo equilibrio
se alcanza cuando los momentos debidos a los pesos suspendidos de ambos brazos se
igualan. El brazo más corto está formado por un contrapeso montado sobre un tornillo de
forma que se puede ajustar su distancia al eje de giro de la balanza, y con ello, el momento
que genera. El brazo más largo está dividido en 10 partes iguales. Para conseguir el
equilibrio, se utilizan unos jinetillos, cuyos pesos están en la proporción 1:10:100, y que, al
colocarlos en distintas posiciones sobre el brazo largo de la balanza, dan lugar a diferentes
momentos.
2
Medición de la densidad
La balanza no es capaz de medir el empuje que experimenta el inmersor en un líquido, pero
sí puede medir el cociente entre dos empujes, que es lo que necesitamos para utilizar la
ecuación [3]. Para determinar el empuje relativo (respecto al agua) que el inmersor
experimenta al ser sumergido en el líquido problema procedemos del modo siguiente:
a) Se equilibra la balanza con el inmersor suspendido del extremo del brazo
largo de la balanza y sin sumergirlo en la probeta. Para ello utilizamos el tornillo del
contrapeso, sin poner ningún jinetillo. Una vez nivelada la balanza, los momentos
generados por el contrapeso (en el brazo corto) y por el inmersor (en el brazo largo)
deben ser iguales:
τ (wcontrapeso ) = τ (winmersor )
[4]
b) A continuación rellenamos la probeta más ancha con agua. Una vez introducido
el inmersor en la probeta, y teniendo cuidado de no volver a tocar el contrapeso, se
equilibra la balanza con el inmersor sumergido en agua colocando los jinetillos
sobre el brazo largo de la balanza. Debe ponerse especial cuidado en que el
inmersor esté totalmente sumergido y que no toque paredes ni fondo. En esta
situación los momentos generados por el contrapeso en el brazo corto, y por el
inmersor, los jinetillos y el empuje del agua en el brazo largo deben anularse:
τ (wcontrapeso ) = τ (winmersor ) + τ (w jinetillos,1 ) − τ (Eagua )
[5]
Si tenemos en cuenta que el contrapeso y el inversor estaban previamente en
equilibrio (de la ecuación [4]), se deduce que:
τ (w jinetillos,1 ) = τ (Eagua )
[6]
c) Vaciamos la probeta y volvemos a rellenarla con el líquido problema (tintado).
Ahora se equilibra la balanza con el inmersor sumergido en el líquido
problema. Repetimos los apartados anteriores y por un razonamiento análogo
obtenemos que:
τ (w jinetillos,2 ) = τ (Elíquido )
[7]
Dividendo las ecuaciones [6] y [7] y teniendo en cuenta la ecuación [3] llegamos a
la relación final:
τ (w jinetillos,1 ) τ (Eagua )
l × Eagua
E
ρ
=
=
= agua = agua
τ (w jinetillos,2 ) τ (Elíquido ) l × Elíquido Elíquido ρ líquido
donde l es el la longitud del brazo largo de la balanza. Finalmente:
3
[8]
ρ líquido =
τ (w jinetillos,2 )
ρagua
τ (w jinetillos,1 )
[9]
que es la ecuación que utilizaremos para determinar la densidad del líquido
problema.
Hay tres tamaños de jinetillos, cada uno diez veces más pesado que el anterior. A su
vez, el brazo de la balanza está graduado en divisiones iguales. El momento que
cada jinetillo genera depende de la división del brazo de la balanza sobre la que
apoyamos el jinetillo. Si esta división es n, el momento que genera el jinetillo viene
dado por la siguiente tabla:
Jinetillo
Tabla 1 τ(w
)
jinetillo
Mayor
0.1 n
Mediano
0.01 n
Pequeño
0.001 n
Puesto que en las ecuaciones [8] y [9] comparamos los momentos generados por los
jinetillos en las dos pesadas, no importan las unidades en que se miden dichos
momentos. El momento total será la suma de los momentos de todos los jinetillos
que se han utilizado para equilibrar la balanza.
d) Finalmente, la temperatura ambiente.obtenemos el valor de la densidad del agua
a la temperatura ambiente del laboratorio. Para ello nos dirigimos a la pared
cercana a la salida del laboratorio, en donde se encuentra un termómetro en el que
podemos leer la temperatura ambiente. Al lado del termómetro se encuentra una
gráfica en la que se puede determinar la densidad del agua en función de la
temperatura.
Una vez determinada la densidad del agua, basta utilizar la ecuación [9] para calcular la
densidad del líquido problema.
Diluciones y concentración de la disolución
Las diluciones se realizarán de la siguiente manera. Inicialmente vertemos un cierto
volumen V =150 cm3 de disolución en la probeta. Después de medir su densidad siguiendo
el procedimiento descrito, procedemos a la primera dilución retirando un volumen pequeño
V’ = 20 cm3 y sustituyéndolo por agua destilada. La sustitución la haremos con la probeta
graduada, que tiene mayor precisión para medir volúmenes. Una vez realizada la dilución,
medimos con la balanza la densidad del líquido resultante. Realizamos una segunda
dilución, medimos la densidad del líquido resultante y así sucesivamente hasta realizar un
mínimo de 6 diluciones. Con ello tendríamos 7 datos de densidad y concentración: los
correspondientes al líquido inicial y al que resulta de las 6 diluciones sucesivas.
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Es fácil calcular la concentración del líquido resultante de una dilución. Si la concentración
en gramos por litro de la disolución inicial es C0, entonces tenemos VC0 gramos de sal en
un volumen V de disolución. Cuando retiramos un volumen V’ de disolución, nos quedarán
(V-V’)C0 gramos de sal en la probeta. Al verter de nuevo un volumen V’ de agua destilada
en la probeta, ésta vuelve a tener un volumen V y la concentración en gramos por litro será:
C1 =
(V − V ")C0
V
[10]
Razonando de forma análoga observamos que cada dilución sucesiva reduce la
concentración en un factor (V − V ") / V . Si Cn es la concentración del líquido resultante
después de la dilución n-ésima, entonces:
$ V −V ' '
C (V − V ")
Cn = n−1
= C0 ⋅ &
)
% V (
V
n
[11]
es decir, las concentraciones forman una progresión geométrica de razón (V − V ") / V . En el
laboratorio, la disolución original se ha preparado con una concentración inicial C0=100
g/l. A partir de este dato, y utilizando la ecuación [11], podemos calcular el valor del resto
de concentraciones.
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Una vez realizadas las medidas de 7 densidades y calculadas las correspondientes
concentraciones, procedemos a organizar y presentar los resultados.
Cálculo de errores. En primer lugar, calculamos el error de la densidad utilizando las
indicaciones que se encuentran en el documento “Estimación de errores”. En nuestro caso,
el error de la densidad del líquido problema es:
2
Δρ líquido = ρ líquido
2
" Δρ % " Δτ (w
% " Δτ (w
%
jinetillos,1 )
jinetillos,2 )
$$ agua '' + $$
'' + $$
''
# ρagua & # τ (w jinetillos,1 ) & # τ (w jinetillos,2 ) &
2
[12]
El error en el momento de los jinetillos es el valor correspondiente a una división del
jinetillo más pequeño, puesto que ésa es la precisión de la balanza. El error en la densidad
del agua es muy pequeño comparado con las otras fuentes de error, de modo que lo
despreciaremos y sólo tendremos en cuenta el error en los momentos, es decir, utilizaremos
la expresión:
2
Δρ líquido = ρ líquido
" Δτ (w
% " Δτ (w
%
jinetillos,1 )
jinetillos,2 )
$$
'' + $$
''
# τ (w jinetillos,1 ) & # τ (w jinetillos,2 ) &
2
[13]
Con esta expresión calculamos el error Δρ en cada una de las 7 medidas realizadas.
5
Presentación de resultados. Los resultados se presentarán en una tabla con dos columnas:
una con los datos de concentración y otra con los de la densidad junto con su error y
convenientemente redondeados. En esta práctica no calcularemos el error de las
concentraciones, pero en la tabla expresaremos estas concentraciones redondeando hasta el
gramo por litro, que es el error de la concentración inicial.
A continuación realizaremos una gráfica de densidad en función de concentración. Cada
punto corresponderá a un par de valores y utilizaremos el error de la densidad que hemos
calculado para dibujar barras de error verticales, que indican la incertidumbre de cada
dato.
Regresión lineal. Si suponemos que la densidad depende linealmente de la concentración:
ρ = a ⋅C + b
[14]
los puntos en la gráfica formarán aproximadamente una recta. Podemos entonces hacer una
regresión lineal tal y como se explica en el documento “Estimación de errores” y obtener
los valor de la pendiente a y la ordenada en el origen b. Finalmente, dibujaremos la recta de
regresión en la gráfica en la que hemos representado los puntos experimentales. Si la
regresión es correcta, la recta debe aproximarse a estos puntos.
CUESTIONES
1. ¿Cuál es el significado físico de la ordenada en el origen b?
2. Si se desprecia la contribución de la sal al volumen de la disolución, es muy fácil
deducir la ecuación [14] y obtener la pendiente a. ¿Se acerca este valor al obtenido
experimentalmente? ¿Podrías interpretar la discrepancia?
3.
A partir de la gráfica de los puntos experimentales y la recta de regresión se puede
hacer una estimación del error de la pendiente y la ordenada en el origen analizando
la “holgura” con la que se puede girar o mover la recta sin que salga de la región
compatible con los puntos experimentales y su barra de error. Estimar de esta forma
el error en a y en b.
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