Filtros de Frecuencia - Departamento de Física

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Física
Laboratorio de Física II FI-35 A
Guía Nº 09
Filtros de Frecuencia
Objetivos
- Introducción al concepto de impedancia.
- Análisis de circuitos de corriente alterna.
- Filtros pasa alto y pasa bajo, circuito integrador y diferenciador.
Introducción
I.- Transiente y estado estacionario.
En el experimento 1 estudiamos la respuesta transiente de un circuito RC, o sea, lo que ocurre durante el
corto periodo de tiempo después que se ha aplicado un voltaje al circuito. Si se aplica un voltaje alterno (CA) en
vez de un voltaje continuo, se observa una combinación de dos efectos: la respuesta transiente de corta duración y
una de larga duración, que es la respuesta del estado estacionario. En este experimente se estudiará el estado
estacionario.
En el estado estacionario, de particular interés son las diferencias en amplitud y fase de los voltajes de
CA sobre los elementos del circuito. Estas diferencias varían como una función de la frecuencia. En este
experimento estudiaremos la amplitud de los voltajes en el estado
estacionario.
R
Consideremos un circuito simple que consiste en una
fuente de voltaje CA, una resistencia y un condensador (Fig. 1).
C
ε(t)
La ley de Kirchoff de los voltajes se expresa:
ε( t) = VR + VC
[1]
Fig.1
En el experimento 1, vimos que el tiempo requerido para
cargar un condensador a un voltaje aplicado, es proporcional al producto RC. En el caso de que el período de
oscilación del voltaje de CA es corto (<<RC), la polaridad del voltaje se invierte antes de que el condensador
adquiera una carga significativa. Luego los voltajes deben depender de la frecuencia de la CA.
Para calcular cuantitativamente los valores de VC y VR en la respuesta de estado estacionario, utilicemos
el formalismo de impedancia.
II.- Formalismo de impedancia
El formalismo de impedancia simplifica bastante el análisis, en comparación con la resolución por
métodos generales de la ecuación diferencial del circuito (por ejemplo, la ecuación [1]). Sin embargo, sólo es
aplicable a circuitos de CA en estado estacionario, o sea, después que la respuesta transiente ha diminuido a un
nivel insignificante.
Primero, debemos extender el concepto de resistencia para incluir condensadores e inductancias. Esta
resistencia generalizada se denomina impedancia, se denota por Z y se define por la relación:
Z ≡ V I.
[2]
El voltaje V y la corriente I son sinusoidales y pueden representarse en forma exponencial
como V(t) = V0 eiωt , siendo i =
− 1 , V0 la amplitud y ω la frecuencia angular.
1
El voltaje sobre una componente será la parte real del voltaje imaginario.
Con las consideraciones anteriores podemos encontrar que::
• Para una resistencia, no hay cambio:
ZR =
VR
=R
IR
[3]
• Para un condensador, obtenemos la impedancia utilizando la relación Q = C ⋅ V .
V = V0 e
iωt
Suponiendo que
:
dQ
dV
=C
= i ω C ⋅ V0 e iω t
dt
dt
V
V0 e iω t
.
Z=
=
I
iω C ⋅ V0 e iωt
I=
Por lo tanto:
ZC = 1 / iωC
[4]
Vemos que un capacitor se comporta como un corto circuito ( ZC → 0 ) a frecuencias altas (ω
ω → ∞) y como
un circuito abierto ( ZC → ∞ ) a frecuencias bajas (ω
ω → 0 ).
Una conexión en serie de dos impedancias tiene una impedancia equivalente que es la suma de las dos
impedancias, como en la combinación en serie de dos resistencias. La impedancia equivalente de una resistencia
en serie con un condensador es R + 1 / iωC. En general, Z1+ 2 = Z1 + Z2 , pero como las impedancias son
complejas, puede suceder que Z1+ 2 ≠ Z1 + Z2 .
Por ejemplo, un diodo, no es un elemento óhmico (pues no cumple la Ley de Ohm), tiene una resistencia
dinámica (es decir que cambia según las condiciones de voltaje y corriente en las que se encuentre), pero además la
juntura N-P, dá lugar a una capacidad, con lo cual una descripción más adecuada del diodo no es en términos de
su capacidad (que depende de la frecuencia) o de la resistencia dinámica, sino una combinación de ambos
parámetros bajo el concepto más genérico de la impedancia del diodo.
III.- La respuesta de estado estacionario del circuito RC:
Analizando el circuito de la Fig. 1 por el método de impedancias, la ley de Kirchoff de los voltajes
(ecuación [1]) se convierte en:
ε = VR + VC = I⋅(ZR + ZC)
El circuito se reduce a un tipo de divisor de voltaje con dos elementos de impedancia en serie, parecidos a la
combinación en serie de resistencias estudiada en el Experimento 1. Entonces,
I = ε ( Z R + ZC )
y la caída de voltaje a través del condensador está dada por el análogo de la ley de Ohm:
 ZC 
VC = I ⋅ ZC = ε ⋅ 

 Z R + ZC 
2
Sustituyendo ZC y ZR de las ecuaciones [3] y [4],

1 iω C 
1


VC = ε ⋅ 
 = ε ⋅
 .
 1 + i ω RC 
 R + (1 i ω C ) 
[5]
IV.- Filtros de frecuencia
El circuito en la Fig. 2 es idéntico al recién analizado, salvo que ahora identificamos ε con Vin , el voltaje
de una señal de entrada, e identificamos Vc como Vout , el voltaje de
b
una señal de salida. Este circuito puede considerarse como un filtro a
pasa bajos. La impedancia del condensador Zc es grande para bajas
R
frecuencias, entonces Vin pasa hacia Vout con poca atenuación. Al
Vout
C
revés, Zc es pequeño para frecuencias altas, así que las frecuencias Vin
altas son efectivamente bloqueadas en la salida. Lo que ocurre es que
c
la señal de alta frecuencia es cortocircuitada a tierra (el punto c) por
el condensador. ( La división entre dominios de alta y baja frecuencia
ocurre aproximadamente alrededor de ω= 1/RC . En este
Fig. 2: Filtro pasa bajos
experimento, nos interesa la magnitud de Vout en relación con Vin.
De la ecuación [5]:
VC
ε
2
∗
1
1

 

=
⋅

 
 1 + iωRC   1 + iωRC 
donde el asterisco (*) representa el complejo conjugado. Entonces:
La razón VC / ε=VOUT
bajos.
Vout
VC
ZC
1
=
=
=
.
[6]
Vin
ε
ZC + Z R
1 + ( ωRC) 2
/ VIN dada por la ecuación [6] se llama la función de transferencia del filtro pasa
Parte Experimental
PARTE A: Filtros pasa bajos y pasa altos
En esta parte se estudia el estado estacionario de un circuito RC.
MONTAJE A1
Conecte el filtro pasa bajos de la Fig. 2a, con R = 1 kΩ , C = 10000 pF (mida valores reales).
La entrada de corriente alterna, VIN, proviene del generador de funciones. El enchufe rojo (señal), se conecta al
punto a. El enchufe negro (tierra), se conecta al punto c.
MEDIDA A1
Ingrese con el generador de ondas una señal sinusoidal de 2 Vpp y observe en el osciloscopio VIN y VOUT
simultáneamente (conecte la punta de prueba al punto b ).
Mida la amplitud pico a pico de VOUT como función de la frecuencia, eligiendo frecuencias a "intervalos
logarítmicos": 1,10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000 KHz. Recuerde medir luego del ajuste, el valor real de la
frecuencia, a través del periodo de la señal en el osciloscopio. Cada vez que cambie la frecuencia compruebe
nuevamente que la señal de entrada es de 2 Vpp.
ANÁLISIS A1
Grafique |VOUT / VIN | en función de la frecuencia en papel log-log. Compare cualitativamente su comportamiento
con la predicción de la ecuación [6]. Recuerde que ω = 2πf, siendo f la frecuencia de la señal entregada por el
generador de funciones.
3
MONTAJE A2
El mismo de A1.
MEDIDA A2
Ajuste la frecuencia hasta que |VOUT / VIN | ≅ 1/4. Mida cuidadosamente |VOUT| y |VIN | y calcule |VOUT / VIN| (es
decir, debemos asegurarnos de que la relación es justo 1/4, para ello se ajusta el valor de Vin a 2 Vpp, se busca la
f tal que Vout cae a 0,5 Vpp, se revisa y ajusta el valor de Vin para que sea de 2Vpp, se vuelve a ajustar f
suavemente para que Vout sea 0,5 Vpp, y se vuelve a revisar Vin , hasta asegurarnos que Vin sea 2 Vpp, entonces
medimos a que frecuencia ocurre esto.
ANÁLISIS A2
Calcule VC / ε=VOUT / VIN de la ecuación [6] empleando su valor medido de ω=2πf y los valores reales de C
y R. Considere que el generador de funciones tiene una resistencia interna de 50 Ω (en serie con la externa).
¿Están de acuerdo sus mediciones con la predicción de la ecuación [6] de la dependencia con la frecuencia?
Comente al respecto.
MONTAJE A3
Monte el circuito de la figura 3, con R= 1KΩ y C= 10.000pF
MEDIDA A3
Repita las medidas de la parte A1 para obtener |VOUT / VIN |.
ANÁLISIS A3
En el mismo gráfico anterior, agregue la curva |VOUT / VIN | en función
de la frecuencia. Explique su comportamiento en función de las
características del condensador.
a
b
C
Vin
R
Vout
c
Fig. 3. Filtro pasa altos
PARTE B: Circuitos diferenciador e integrador.
∫
La relación C= Q/V que define la capacidad puede reescribirse como I = C ⋅ dV dt o como V = 1 C I ⋅ dt ,
sugiriendo la idea que un circuito RC puede producir señales que son proporcionales a la derivada o a la integral
de la onda entregada por el generador de funciones. Con algunas limitaciones, esta idea es correcta. Entonces, los
circuitos de las Figs. 2 y 3 son también conocidos como circuitos diferenciador (filtro pasa altos) y integrador
(filtro pasa bajos).
MONTAJE B1
El mismo de la parte A3.
MEDIDA B1
Con el generador de funciones entregue una onda cuadrada de unos 1000 Hz (no es importante el valor exacto).
Asegúrese que el acoplamiento (“coupling” en el osciloscopio) está en DC. Observe con el osciloscopio el voltaje
a través de la resistencia (recuerde que VR ∝ I) y dibuje la forma de la onda.
Repita lo anterior para 100 Hz y 10 Hz.
Repita lo anterior cambiando la señal de entrada por una triangular y una sinusoidal.
ANÁLISIS B1
Explique a partir de sus dibujos, por qué el circuito se llama diferenciador. Refierase además al rango en el cual
esto ocurre dependiendo de la señal. Relacione dicho rango con el término pasa alto.
MONTAJE B2
El mismo de la parte A1.
MEDIDA B2
Lo mismo que en B1, pero con frecuencias de 30 kHz, 300 Khz y 3 Mhz, dibujando sólo las más representativas
(si para frecuencias altas no puede ver la señal, revise en el osciloscopio que en la función “coupling” el botón
esté en norm).
ANALISIS B2
El mismo que en B1, pero con el término integrador y pasa bajo.
4