Dinámica de Procesos

Serie 4
Dinámica de Procesos
Función de Transferencia
• Se define como G(s) = Y(s) / X(s)
• Representa un modelo normalizado de un proceso, donde
Y(s) es la variable de salida y X(s) es una de las entradas.
• Y(s) and X(s) están expresadas como variables desviación.
• La forma de la función de transferencia representa el
comportamiento dinámico del proceso.
X(s)
PROCESO
G(s) = Y(s) / X(s)
Y(s)
Pasos para hallar la G(s)
Plantear el balance correspondiente
Entrada − Salida ± Generación = Acumulación
Ecuación diferencial (ED)
Ecuación diferencial (ED)
Sí
Lineal?
No
Linealizar
Ecuación diferencial lineal
Linealizar con expansión en serie de Taylor
Si la ecuación diferencial no es lineal, hay que linealizar los
términos no lineales de la misma (por ejemplo, exp(a), a2, a*b, b1/2).
 dy 
y ( x) ≈ y ( x0 ) + ( x − x0 )
+ ...

 dx  x = x 0
Esta expresión provee una aproximación lineal de la función y(x)
alrededor de x=x0.
Cuanto más cercano sea x a x0, más exacta será la aproximación.
Cuanto menos lineal sea la ecuación original, menos exacta será la
aproximación.
Ecuación diferencial lineal
Restar balance en estado estacionario
Sí
Ecuación diferencial
lineal enNo
variables desviación
Aplicar Transformada de Laplace
Ecuación algebraica en s (Y = f (X, Z, W, …)
Ecuación algebraica en s (Y = f (X, Z, W, …)
Aplicar principio de superposición
Sí
Ecuación
algebraica Y(s)
No = f (X(s))
Reordenar
Función de transferencia G(s) = Y(s) / X(s)
Función de transferencia G(s) = Y(s) / X(s)
Aplicar cambio en X y antitransformar
SíRespuesta temporal
No y(t)
Aplicar TVI
Aplicar TVF
y(0)
y(∞)
Teorema del Valor Final
lim t →∞ [ f (t )] = lim s →0 [s F ( s )]
• Permite usar la transformada de Laplace de una
función para determinar el valor final de estado
estacionario de esa función.
Teorema del Valor Inicial
lim t →0 [ f (t )] = lim s →∞ [s F ( s )]
• Permite usar la transformada de Laplace de una
función para determinar el valor inicial de esa
función.
Respuesta Dinámica
1
G ( s) =
2
( s + a ) ( s + bs + c) ( s − d )
A
B
C
Y ( s) =
+ 2
+
( s + a ) ( s + bs + c) ( s − d )
y (t ) = A′ e − at + B′ e pt sin(ω t ) + C ′ e dt
Siendo a, b, c y d, constantes positivas, la función de transferencia
muestra respuestas de caída exponencial, oscilatoria y crecimiento
exponencial, respectivamente.
Polos en el plano complejo
Raíces
s41 (a4,b4)
s31 (0,b3)
s21 (a2,b2)
s1 (-a1,0)
a1t
a2t
s21, s22
e− (K1 cosb2t ± K2 senb2t )
s31, s32
(K3 cosb3t ± K4 senb3t )
ea4t (K5 cosb4t ± K6 senb4t )
s5
K6 e
s6
K7
s5 (a5,0)
s22 (a2,-b2)
K0 e −
s1
s41, s42
s6 (0,0)
Términos para t>0
a5t
ai y bi son constantes positivas.
s32 (0,-b3)
s42 (a4,-b4)
Ki son constantes arbitrarias y
pueden determinarse por expansión
en fracciones simples.
Raíces y respuestas
Real negativa
Caída
exponencial
Complejas conjugadas
con parte real negativa
Sinusoide
Amortiguada
Complejas conjugadas
con parte real positiva
Sinusoide
creciente
(inestable)
Comportamiento Inestable
Si la salida de un proceso crece ilimitadamente para
una entrada acotada, el proceso es inestable.
Si la parte real de cualquier polo de una función de
transferencia es positiva, el proceso es inestable.
Si algún polo está localizado en el plano derecho, el
proceso es inestable.
Ejemplo
Mezcla de dos corrientes con cp = 1. Nivel constante. Ө vs. Ө1?
Balance (Ec. dif.)
Linealización
F1 θ1 + F2 θ 2 − ( F1 + F2 ) θ = M
dθ
dt
F1 θ1 = ( F1 θ1 ) e + (d ( F1 θ1 ) / dθ1 ) e (θ1 − θ1e )
+ (d ( F1 θ1 ) / dF1 ) e ( F1 − F1e ))
Variables desviación
θ = θ −θe
θ 1 = θ1 − θ1e θ 2 = θ 2 − θ 2 e
Restar BEE.
ED linealizada en
variables desviación.
dθ
M
= F1e θ 1 + θ1e F 1 − ( F1 + F2 ) e θ
dt
Aplicar transformada de Laplace para
obtener una ecuación algebraica
(T=f(T1, F1).
F1e θ 1 ( s ) + θ1e F 1 ( s )
θ ( s) =
[M s + ( F1 + F2 ) e ]
F1e
θ (s)
( F1 + F2 ) e
K
=
=
G (s) =
M
θ1 ( s )
s + 1 Ts + 1
( F1 + F2 ) e
Usar principio de superposición y
reordenar para hallar la función de
transferencia. Determinar el orden
del sistema.
 ∆( salida ) 
K = Ganancia = 

∆
(
entrada
)

 ee
Τ = Constante de tiempo ⇒ Velocidad de respuesta
C = Capacitancia
Τ = CR
 d(fuerza impulsora) 
R = Resistencia = 

d(flujo)

 ee
F
h
+
Resistencia
-
R
R = dh / dF
R = dV / di
Altura h = Diferencia de potencial = Fuerza impulsora
R = resistencia
Caudal F = intensidad de corriente
Intensidad
Diferencia de potencial
Concepto de resistencia
Sistema de primer orden
dh
F1 − F2 = A
dt
F1
h
F2
F2 = f (h) = b h
F2 = F2 e +
dF2
(h − he )
dh e
b he 1
dF2
b
=
=
=
dh e 2 he
2he
R
R
Reescribiendo el balance
Restando el balance en e.e.
y transformando
F1 − F2e −
1
dh
(h − he ) = A
R
dt
1
F1 ( s ) − h( s ) = As h( s )
R
h( s )
R
K
G (s) =
=
=
F1 ( s ) RAs + 1 Ts + 1
Sistema capacitivo puro
dh
F1 − F2 = A
dt
F1
h
F2 ≠ f (h)
F2
A
F1 ( s ) − F2 ( s) = As h( s )
Aplicando el principio de superposición, queda:
h( s ) K
G1 ( s) =
=
F1 ( s) As
h( s ) − K
G2 ( s ) =
=
F2 ( s) As
Retardo puro
F
F
f (t − L)
f (t )
G (s) = e
− Ls
Sistemas de primer orden en serie
a) Sistemas no interactuantes
Balance TK1
F0
F0 − F1 = A1
dh1
dt
h1
F1 = b1 h1
A1
R1
F1
Balance TK2
h2
A2
R2
F2
dh2
F1 − F2 = A2
dt
F2 = b2 h2
Linealizando, queda:
 dF1 
F1 = F1 e + 
e  ( h1 − h1e )
 dh1 
 dF2 
F2 = F2 e + 
e  ( h2 − h2 e )
 dh2 
b1
F1 = F1e +
(h1 − h1e )
2 h1 e
b2
F2 = F2 e +
(h2 − h2 e )
2 h2 e
b1 h1e
b1
F1e
1
=
=
=
2h1e
2h1e R1
2 h1 e
b2
2 h2
1
F1 = F1e + (h1 − h1e )
R1
e
b2 h2 e
F
1
=
= 2e =
2h2e
2h2 e R2
1
F2 = F2 e + (h2 − h2 e )
R2
1
dh
(h1 − h1e ) = A1 1
R1
dt
F0 e − F1e
=0
F0 − F1e −
Balance linealizado,
expresado en
variables desviación
TK1
-
F0 −
Transformada
de Laplace
Función de
Transferencia
TK1
1
dh
h1 = A1 1
R1
dt
1

F0 ( s ) = h1 ( s )  + A1 s 
 R1

h1 ( s )
R1
K1
G1 ( s ) =
=
=
F0 ( s ) R1 A1 s + 1 T1 s + 1
Balance
linealizado,
expresado en
Variables
desviación
TK2
Transformada
de Laplace
Función de
Transferencia
TK2
F1e +
-
F1e
dh
1
1
(h1 − h1e ) − F2 e − (h2 − h2 e ) = A2 2
R1
R2
dt
−
F2 e
=0
1
1
dh
h1 − h2 = A2 2
R1
R2
dt
 1

1
h1 ( s ) = h2 ( s ) 
+ A2 s 
R1
 R2

R2
h2 ( s)
K2
R1
G2 ( s ) =
=
=
h1 ( s) A2 R2 s + 1 T2 s + 1
Función de Transferencia del sistema de segundo orden
R2
R1
R1
G ( s ) = G1 ( s )G2 ( s ) =
A1 R1s + 1 A2 R2 s + 1
R2
K
G ( s) =
=
2
A1 R1 A2 R2 s + ( A1 R1 + A2 R2 ) s + 1 (T1s + 1)(T2 s + 1)
b) Sistema interactuante
Balance TK1
F0 − F1 = A1
dh1
dt
F1 = b1 h1 − h2
Balance TK2
F1 − F2 = A2
F2 = b2 h2
dh2
dt
Linealizar (F2 es idem caso a)
 dF1 
 dF1 
F1 = F1 e + 
e  ( h1 − h1e ) + 
e  ( h2 − h2 e )
 dh1 
 dh2 
F1 = F1e +
b1
2 h1 − h2
b1
b1
(h1 − h1e )−
(h2 − h2 e )
2 h1 − h2 e
2 h1 − h2 e
e
b1 h1e − h2 e
F1e
1
=
+
=
2(h1e − h2 e ) 2(h1e − h2 e ) R1
1
1
F1 = F1e + (h1 − h1e ) − (h2 − h2 e )
R1
R1
1
1
dh
(h1 ) + (h2 ) = A1 1
R1
R1
dt
F0 e − F1e
=0
F0 − F1e −
Balance linealizado,
expresado en
variables desviación
TK1
-
F0 −
Transformada
de Laplace
1
1
dh
h1 + h2 = A1 1
R1
R1
dt
1

1 
F0 ( s ) − h1 ( s )  − A1 s  = h2 ( s )  
 R1

 R1 
h1 ( s ) h2 ( s )
A1 s h1 ( s ) = F0 ( s ) −
+
R1
R1
(#)
Balance
linealizado,
expresado en
Variables
desviación
TK2
Transformada
de Laplace
F1e +
-
F1e
dh
1
1
1
(h1 ) − (h2 ) − F2 e − (h2 ) = A2 2
R1
R1
R2
dt
−
F2 e
=0
1
1
1
dh
h1 − h2 − h2 = A2 2
R1
R1
R2
dt
1
1
1
h1 ( s ) − h2 ( s ) − h2 ( s ) = A2 s h2 ( s )
R1
R1
R2
h1 ( s ) h1 ( s ) h2 ( s )
A2 s h2 ( s ) =
−
−
R1
R2
R2
(*)
Eliminando h1(s) de (*) y (#), queda:

h2 ( s ) 
R2
=
F0 ( s )  ( A1 R1 A2 R 2 ) s 2 + ( A1 R1 + A2 R 2 + A1 R 2 ) s + 1 
h2 ( s )
R2
K
=
=
2
F0 ( s ) (τ 1τ 2 ) s + (τ 1 + τ 2 ) s + 1 (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1)
τ 1 y τ 2 se llaman constantes de tiempo efectivas.
No tienen sentido físico.
Son solamente la solución matemática.
Los sistemas de segundo orden se escriben genéricamente en
función de la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento




K

G (s) = 
 ( 1 ) s 2 + ( 2ξ ) s + 1 
 ω n 2

ωn
ξ>1
ξ=1
ξ<1
Raíces reales y distintas
Raíces reales e iguales
Raíces complejas conjugadas
(
1
ωn
2
2
ωn =
)s + (
2ξ
ωn
) s + 1 = (T1 s + 1)(T2 s + 1)
2ξ
1
T1T2
T1 + T2
ξ =
2
ωn
= T1 + T2
1
T1T2
Como la media aritmética es siempre mayor que la media geométrica,
el factor de amortiguamiento en sistemas de segundo orden formados
por dos sistemas de primer orden en serie será siempre mayor que 1.
Sistemas de segundo orden
Ejemplo: Manómetro en U
D = Diámetro de la columna
P1 = Presión mayor
P2 = Presión menor
L = Longitud de la columna de líquido
H = Nivel por encima de la línea de equilibrio
Balance macroscópico de fuerzas: Inerciales = Exteriores – Viscosas - Hidrostáticas
F1 = F2 – F3 – F4
d 2h
F1 = ma = ρLA 2
dt
F2 = (∆P) A = ( P1 − P2 ) A
dh 32 Lµ dh (para flujo laminar)
=
A
2
dt
D
dt
F4 = 2 ρAgh
F3 = RA
Sistemas de segundo orden
d 2h
32 Lµ dh
ρLA 2 = (∆P) A − 2 A − 2 ρAgh
dt
D
dt
d 2 h 32 Lµ dh
(∆P) = ρL 2 +
+ 2 ρgh
2
dt
D dt
(∆P) L d 2 h 16 Lµ dh
=
+
+h
2
2
2 ρg 2 g dt
ρgD dt
Transformando, queda:
1
h( s )
K
2 ρg
=
=
µ
L
16
L
1 2 2ξ
2
∆P( s )
s +
s +1
s +
s +1
2
2g
ρgD
2ωn
ωn
Sobrevalor y otros parámetros
h(t) / K
SV1 = Sobrevalor máximo (overshoot)
tME= Tiempo de máxima elevación
tE = Tiempo de elevación (1° vez que llega al valor final)
η = Relación de decaimiento
SV1
1
t ME =
TP
−πξ
SVM = e
π
ωn 1 − ξ 2
1−ξ 2
−2πξ
SVn
η=
=e
SVn −1
tE
tME
1−ξ 2
t
Respuesta de sistemas
G (s) =
Y (s) K
=
X ( s ) As
y (t ) =
K
(∆X )t
A
t
Τ
Y (s)
K
G (s) =
=
X ( s ) Τs + 1
y (t ) = K ( ∆X )(1 − e )
Y (s)
K
G (s) =
=
X ( s ) Τs + 1
K −Τ
y (t ) = (e )
Τ
Y (s)
K
G (s) =
=
X ( s ) Τs + 1
G(s) =
Y (s)
K
=
X ( s ) (Τ1s + 1)(Τ2 s + 1)
−
t
y (t ) = KΤ(e
−
t
Τ
+
t
− 1)
Τ
t
t
−
−

 1 
Τ1
Τ2
y (t ) = 1 + 
T1 (e ) − T2 (e )

T2 − T1 
Identificación de sistemas
Los sistemas reales se pueden clasificar en tres grandes grupos:
1.- Es resoluble analíticamente y pueden calcularse los
parámetros. Por lo tanto, se conoce el comportamiento dinámico.
2.- Es resoluble analíticamente, pero no pueden calcularse los
parámetros. Hay que recurrir a la experiencia para hallarlos.
3.- No es resoluble analíticamente ó es resoluble con solución
compleja. Se toma el sistema como caja negra y se supone un
modelo.
Vamos a analizar sistemas como los del grupo 2.
Sistemas de primer orden
Escalón
Y ( s)
K
G ( s) =
=
X ( s ) (Τs + 1)
−
y (t ) = K (∆X )(1 − e )
y (t ) = 0.632 * K (∆X )
Si t=T, y(t)
y(t)
K ∆X
63.2%
K ∆X
T
t
Τ
t
Sistemas de primer orden
Escalón
Y ( s)
K
G ( s) =
=
X ( s ) (Τs + 1)
−
y (t ) = K (∆X )(1 − e )
∆y (t ) K (∆X )
=
∆x(t )
T
Derivada en el origen
y(t)
K ∆X
T
t
Τ
t
Sistemas de primer orden
Y ( s)
K
G ( s) =
=
X ( s ) (Τs + 1)
Eliminar exponencial
Escalón
−
t
Τ
y (t ) = K (∆X )(1 − e )
y (t )  − t

ln 1 −
=

 K∆X  T
y (t ) 
−1

Graficando ln 1 −
vs.
t,
se
obtiene
una
recta
cuya
pendiente
es
.

T
 K∆X 
Sistemas de primer orden
Impulso
Y ( s)
K
G ( s) =
=
X ( s ) (Τs + 1)
K (∆X ) − Τt
y (t ) =
(e )
Τ
y (t ) = 0.368 * K (∆X )
Si t=T, y(t)
 K (∆X
ln[ y (t ) ]= ln 
 T
 t
 − T
1,2
11
0,8
0,6
y(t)
0,4
0.368
0,2
3
2,8
2,6
2,4
2,2
2
1,8
t
1,6
1,4
T
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
00
Sistemas de primer orden
Y ( s)
K
G ( s) =
=
X ( s ) (Τs + 1)
t
−


Τ
y (t ) = Ka t − Τ(1 − e )


Rampa
t
−


Τ
x(t ) − y (t ) = at − Ka t − Τ(1 − e )


El error dinámico es
la diferencia entre las
respuestas, cuando se
extinguió la parte
exponencial.
1,00
x0(t)
0,80
Error dinámico
0,60
y0(t)
0,40
0,20
x(t)
y(t)
t0
1,00
0,91
0,82
0,73
0,64
t
0,55
0,45
0,36
0,27
0,18
0,09
0,00
0,00
x0 (t ) − y0 (t ) = at − Ka (t − Τ)
Sistemas de primer orden con retardo puro
y(t)
y632
G(s) =
K − Ls
e
Ts + 1
y632 = 0.632( y f − y0 )
K =
0
L
T
y f − y0
u f − u0
t
Sistemas de segundo orden
Y ( s)
K
G ( s) =
=
1
2ξ
X (s)
s
+
s +1
2
ωn
ξ >1
ξ =1
ωn = Frecuencia natural
ξ = Factor de amortiguamiento
ωn
Segundo orden sobreamortiguado. Raíces reales y distintas.
Segundo orden cíticamente amortiguado. Raíces reales e iguales
En ambos casos, la función de transferencia del sistema puede escribirse como
dos sistemas de primer orden en serie, interactuantes ó no interactuantes.
Y ( s)
K
G(s) =
=
X ( s ) (Τ1s + 1)(Τ2 s + 1)
ξ <1
1
ωn
2
= Τ1Τ2
2ξ
ωn
= Τ1 + Τ2
Segundo orden subamortiguado. Raíces complejas conjugadas
Respuesta de sistemas de segundo orden subamortiguados
Ante salto escalón
ξ <1
ξ <1
ξ = 0 .1
ξ <1
ξ = 0 .2
ξ = 0 .4
ξξ = =0.4 0 . 7
Obtención de parámetros
y(t)
KA
t
K=
y f − y0
u f − u0
ωP =
ω P = ωn 1 − ξ 2
2π
Tω
ξ=
u0 = Valor inicial de entrada
uf = Valor final de entrada
y0 = Valor inicial de salida
yf = Valor final de salida = KA
A1 = Amplitud de pico 1
An = Amplitud de pico n
Tω = Tiempo entre dos picos sucesivos
ωP = Frecuencia propia =Frecuencia
con que oscila el sistema.
1
ln( A1 / An )
n −1
 1

2
4π + 
ln( A1 / An )
 n −1

2
Obtención de parámetros
y(t)
SV1 = Sobrevalor 1
SV2 = Sobrevalor 2
TP = Tiempo entre dos picos sucesivos
η = Relación de decaimiento
KA
SV3
1
TP
ωn
−2πξ
SV3
η=
=e
SV2
1−ξ 2
ξ=
=
TP
1− ξ 2
2π
 SV 
ln 1 
 SV2 
 SV 
4π 2 + ln 1 
 SV2 
2
t
Respuesta de sistemas de segundo orden sobreamortiguados
Ante salto escalón
ξ >1
ξ = 1.00001
ξ =2
ξ =5
ξ >1
Método de la curva complementaria
Aplicable a sistemas de segundo orden sobreamortiguados, donde se conoce la
respuesta del sistema total ante un salto escalón. La expresión de la misma es:
t
t
  T
−
−
T2
y (t ) = ( K * ∆X ) * 1 −  1 * e Τ1 −
* e Τ2
T1 − T2
  T1 − T2
1−
y (t )
T1
=
*e
K * ∆X T1 − T2
−
t
Τ1
−
T2
*e
T1 − T2
−




t
Τ2
Pretendemos hallar los valores de ambas constantes de tiempo. Establecemos la
condición de que T1 es apreciablemente mayor que T2. A medida que el tiempo
va aumentando, el segundo exponencial decrece más rápido. Habrá un tiempo t´
desde el cual se tenga:
y (t ) 
T1

1 − K * ∆X  ≅ T − T e
 t >t ´

1
2
−
t
Τ1
−
≅e
t
Τ1
Método de la curva complementaria
y (t )
T1
1−
*e
≅
K * ∆X T1 − T2
−
t
Τ1
−
≅ 1* e
t
Τ1
y (t ) 
t

ln1 −
≅ −
T1
 K * ∆X 
Representando gráficamente, se obtendrá una recta que será asintótica a la
curva de la función total para tiempos grandes.
El punto donde la recta corta al eje de ordenadas será (0, Y0).
En el caso particular de t = T1, el valor de la ordenada será 0.368Y0.
Esto permitirá obtener T1.
Método de la curva complementaria
La diferencia entre la recta y la curva de la función total, será:
T2
d=
*e
T1 − T2
−
t
Τ2
Representando en el mismo gráfico d vs. t, se obtendrá una recta.
Las coordenadas del punto para t = 0, serán (0,Y1).
En el caso particular de t = T2 el valor de la ordenada será 0.368Y1. Esto
permitirá obtener T2.
Este método se puede utilizar para sistemas de orden superior.
Método de la curva complementaria
2
y (t ) 

ln 1 −
1,8
 K * ∆X
Diferencia
1,6
Asíntota
Y01,4
Función total
1,2
1
0.368 Y
0,80
Y10,6
0,4
0.368 Y1
0,2
0
0
10
T2
20
30
T1
40
50
t
60
Método de Harriott
Aplica a sistemas sobreamortiguados o críticamente amortiguados.
G( s) =
K
(T1s + 1)(T2 s + 1)
Aplicando un escalón de magnitud A y graficando y(t)/KA vs. t / (T1+T2), se
observó que en todas las curvas se alcanzaba el 73% del cambio en la salida para
t = 1.3 (T1+T2). O sea, que todas las curvas se cortaban en un punto que tenía
coordenadas (1.3 , 0.73).
Luego, se determinó que las curvas estaban más separadas entre sí (esto es,
permitían mejor apreciación) cuando t / (T1+T2) = 0.5.
Harriott realizó un gráfico normalizado de y(t)/KA vs. T1/(T1+T2) para un valor
de t / (T1+T2) = 0.5.
Método de Harriott
K=
y(t)
y f − y0
u f − u0
t´= 0.5(T1 + T2 )
t73 = 1.3(T1 + T2 )
u0 = Valor inicial de entrada
t73 − t0
uf = Valor final de entrada
= 2.6
y0 = Valor inicial de salida
t´−t0
yf = Valor final de salida
y´= Valor de salida a tiempo t´
t0 = Tiempo en que aparece el escalón
t73 = Tiempo en que la salida alcanza el 73%
t0
t´
t73
t
t73 − t0
= 2.6
t´−t0
Método de Harriott
y (t )
KA
yt → ∞ − yt = 0
K=
A
0.73
t´= 0.5(T1 + T2 )
t73 = 1.3(T1 + T2 )
t73
= 2.6
t´
y´
0
t´
t73
tiempo
Método de Harriott
y
KA
t
= 0.5
T1 + T2
T1
T1 + T2
Método de Harriott
El procedimiento consiste en lo siguiente:
De la respuesta temporal del sistema, se obtiene (gráfica o analíticamente), el
tiempo para el cual la respuesta es el 73% del cambio en la salida. De ahí se
obtienen t73 y (T1+T2).
t
y(t)
y(t) / KA
0
0
0
---
---
---
t´ = 0.5 (T1+T2)
y´(0.5)
t73 = 1.3 (T1+T2)
0.73
Método de Harriott
Se calcula el tiempo t´ = 0.5 (T1+T2). De la respuesta temporal se lee el valor de
salida y´(0.5) y se calcula y´(0.5) / KA.
t
y(t)
y(t) / KA
0
0
0
---
---
---
t´ = 0.5 (T1+T2)
y´(0.5)
y(0.5) / KA
t73
0.73
Método de Harriott
Con el valor de y´(0.5) / KA se entra al gráfico normalizado de Harriott y
se obtiene T1 / (T1+T2). Como ya se conoce (T1+T2), pueden obtenerse los
valores de T1 y T2.
Si la ordenada del gráfico normalizado de Harriott, y´(0.5) / KA, resulta
mayor a 0.39 ó menor a 0.26, significa que la respuesta no corresponde a
un sistema de segundo orden sobreamortiguado, pudiendo ser
probablemente de segundo orden subamortiguado, ó de orden superior.