145 - Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de

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Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
9.1
La máquina de inducción
En el capítulo 7 se analizaron las ecuaciones en coordenadas generalizadas de
las máquinas eléctricas rotativas convencionales, una de las máquinas analizadas fue
la máquina de inducción. En una máquina de inducción convencional toda la energía
eléctrica fluye hacia o desde el estator. Los flujos producidos por las corrientes del
estator generan un campo magnético rotatorio que corta a los conductores del rotor, y
de esta forma se obtiene sobre ellos fuerza electromotriz inducida que es utilizada
para forzar corrientes en los ejes d y q del rotor. Al interactuar el campo magnético
rotatorio del estator con el campo magnético rotatorio originado por las corrientes que
circulan en el rotor se produce el torque eléctrico. El fenómeno descrito, similar a la
operación de un transformador, ha permitido la construcción de una máquina de gran
difusión industrial debido a que por su sencillez, esta máquina resulta económica y
robusta.
ia
a,d
va
q
id
b,q
Rotor
iq
ib
Estator
vb
Modelo en coordenadas abdq de la máquina de inducción
Fig. - 95 -
La máquina de inducción se excita con corriente alterna en el estator, de esta
forma se produce el campo magnético rotatorio. Este campo posee una amplitud
constante en el tiempo, pero varía en el espacio. La velocidad de giro del campo
magnético rotatorio está definida por la frecuencia de las corrientes inyectadas en el
estator de la máquina.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 145 -
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Para que una máquina de inducción produzca torque eléctrico medio diferente
de cero, tal y como se ha discutido en el capítulo 6, es necesario que se cumpla la
siguiente condición:
wm = wr ± we
9.1
Si la máquina no cumple con la condición impuesta en la ecuación 9.1, el torque
medio en un giro completo del rotor será cero y no podrá, por lo tanto, transformar
energía en régimen permanente.
La máquina de inducción se utiliza como generador sólo en contadas
ocasiones, porque la operación en este régimen no es eficiente en comparación con
otras alternativas. Sin embargo, la máquina de inducción puede regresar energía a la
red durante cortos períodos de tiempo en algunos accionamientos convencionales.
En particular puede generar cuando se utilizan en sistemas de tracción tales como
ascensores u otras cargas similares, con la finalidad de producir un frenado
regenerativo. En el pasado era frecuente utilizar esta máquina como convertidor de
frecuencia, para lo cual es necesario tener acceso a los devanados del rotor mediante
anillos deslizantes. La máquina de inducción se utiliza ampliamente como motor en la
industria. Se la consigue en un rango muy amplio de frecuencias que van desde
fracciones de kW, hasta las decenas de MW. En potencias mayores a los 10 ó 20
MW es difícil encontrar este tipo de máquina debido a que su principio de operación
requiere un nivel importante de pérdidas en el circuito rotórico, factor que incide
negativamente en el rendimiento de la máquina.
9.2
Campo magnético rotatorio en máquinas con “m” fases
Debido a que el sistema eléctrico industrial utiliza fuentes trifásicas de energía,
la máquina de inducción se construye normalmente con tres devanados. Estos
enrollados se distribuyen en el interior de la máquina desfasados espacialmente 120°.
Además las bobinas se distribuyen por las ranuras del material ferromagnético para
que la distribución de la fuerza magnetomotriz en el entrehierro resulte
aproximadamente sinusoidal.
En cada una de las tres bobinas desfasadas espacialmente, se inyectan
corrientes alternas sinusoidales desfasadas en el tiempo 120° unas de otras. Cada
bobina produce un campo magnético estático en el espacio. La amplitud de este
campo se encuentra en la dirección del eje magnético de la bobina y varía
sinusoidalmente en el tiempo. La combinación de los campos pulsantes producidos
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
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por las tres corrientes desfasadas temporalmente, circulando por las tres bobinas
desfasadas espacialmente, se traduce en un campo magnético distribuido
sinusoidalmente en el espacio, que rota a la velocidad de variación de las corrientes
en el tiempo.
Fa
ia
Norte
Fr
Campo
Magnético
q
ib
Fc
Sur
Fb
ic
Distribución sinusoidal del campo magnético rotatorio
Fig. - 96 -
La fuerza magnetomotriz de cada fase es proporcional al número de vueltas de
la bobina y a la corriente que circula por ella. Cada eje produce de esta forma un
campo fijo en el espacio, pero cuya amplitud varía en el tiempo. La distribución
espacial de estos tres campos Fa, Fb y Fc es sinusoidal. Las magnitudes de estas
fuerzas magnetomotrices también varían sinusoidalmente en el tiempo, con un
desfasaje de 120°, debido a la variación temporal de las corrientes. La fuerza
magnetomotriz en un punto a del entrehierro, en un instante dado, producida por la
corriente ia que circula por la fase “a” de la máquina es:
Fa(a,t) = k . Na. ia(t). cos a
d
9.2
En esta ecuación, kd es un coeficiente adimensional denominado constante de
distribución del devanado. este coeficiente se relaciona con que la distribución real de
la fuerza magnetomotriz no es completamente sinusoidal y kd es la proporción de
fuerza magnetomotriz de primera armónica - fundamental - con respecto a la fuerza
magnetomotriz máxima Na.iamax. Donde Na es el número de vueltas de la bobina “a” y
a es el ángulo medido en el sentido de las agujas del reloj, entre el eje magnético de
la fase “a” y un punto cualquiera en el entrehierro de la máquina.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 147 -
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Considerando que el ángulo b define el desfasaje de la corriente inyectada en la
bobina “a” de la máquina, esta corriente viene dada por la expresión genérica:
ia(t) = 2 Ia cos(wt-b)
9.3
Sustituyendo la ecuación 9.3 en la 9.2, y realizando la misma operación en las
otras bobinas de la máquina, se puede calcular la fuerza magnetomotriz de cada una
de las tres fases:
Fa (a, t) = k Na 2 Ia cos (wt-b) cos (a)
d
9.4
Fb (a , t) = k Nb 2 Ib cos (wt-b- 2p ) cos (a - 2 p )
d
3
3
9.5
Fc (a , t) = k Nc 2 Ic cos (wt-b- 4 p ) cos (a - 4 p )
d
3
3
9.6
Superponiendo las ecuaciones 9.4, 9.5 y 9.6 se calcula la fuerza magnetomotriz
resultante F R :
c
F (a , t) = Fa(a , t) + F (a , t) + Fc(a , t) =
R
b
å F i(a, t)
i=a
6.7
Considerando que las tres corrientes inyectadas a la máquina son iguales en
valor efectivo I, y que los tres devanados poseen el mismo número de vueltas N, se
puede escribir la ecuación 6.7, en función de las fuerzas electromotrices de las tres
fases, así:
F (a, t) = 2 I N k
R
d
[ cos(wt-b) cos(a)+
2p
2p
) cos(a - )+
3
3
4p
4p
cos(wt-b - ) cos(a - ) ]
3
3
cos(wt-b -
Para simplificar
trigonométrica:
la
expresión
anterior
se
puede
9.8
utilizar la identidad
cos A . cos B º 1 [ cos (A+B) + cos (A-B) ]
2
9.9
Utilizando esta última identidad en la ecuación 9.8 se obtiene, después de
simplificar la suma de los tres cosenos desfasados 120° entre ellos:
F (a, t) =
R
3 2
k . N. I cos(wt - b - a)
d
2
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 148 -
9.10
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Si en lugar de tres bobinas se dispone de un sistema con m fases, desfasadas
espacialmente unas de otras 2p/m radianes, al excitar este sistema con m corrientes
sinusoidales desfasadas temporalmente el mismo ángulo de 2p/m radianes, se
obtiene la fuerza magnetomotriz siguiente:
F (a, t) =
T
m
k N 2 I cos (wt - b - a)
2 d
9.11
La ecuación 9.11 carece de sentido si m=1 ó si m=2, debido a que en estos
casos particulares, la fuerza electromotriz está orientada en una sola dirección y no se
puede formar por esta razón el campo magnético rotatorio. El campo que se origina
en esta condición es pulsante. Cuando m=4, la fase “a” y “c” se encuentran
enfrentadas, de igual forma que las fases “b” y “d”, además las corrientes están
desfasadas 90° en esta condición y por lo tanto las fases “a” y “c” producen flujos
iguales y en la misma dirección. Lo mismo ocurre entre las otras dos fases. De esta
forma se observa que el sistema tetrafásico degenera en un caso especial en el cual
existen dos bobinas a 90° en el espacio, que se alimentan mediante corrientes
desfasadas 90° en el tiempo. En muchas ocasiones al sistema tetrafásico, donde se
excitan sólo dos bobinas (fases “a” y “b”) se le conoce como sistema bifásico.
ia
ia
m=4
m =2
ib
id = - i b
ic = - ia
ib = - i a
Comparación entre máquinas bifásicas y tetrafásicas
Fig. -97 -
Para el resto de los casos, es decir para los valores de m mayores que dos; la
ecuación 9.11 se cumple con toda rigurosidad.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
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Cuando se fija el tiempo en la expresión 9.11, por ejemplo t = t1, se obtiene una
variación sinusoidal del campo en el espacio. Es decir, al variar el ángulo a los
valores de la fuerza magnetomotriz dependen sinusoidalmente de la posición:
F (a,t ) =
T
1
m
k N 2 I cos (wt - b - a)
1
2 d
9.12
La amplitud de la fuerza magnetomotriz está ubicada en la posición angular
donde se anula el argumento de la función coseno:
a = b - wt
1
9.13
Si por el contrario, transcurre el tiempo, y se observa lo que ocurre en un
determinado punto del entrehierro, por ejemplo en el punto a = a1, la fuerza
magnetomotriz en este punto varía sinusoidalmente en el tiempo con la velocidad
angular w:
m
F (a , t ) = k N 2 I cos (wt - b - a )
T 1
1
2 d
9.14
9.3
Fuerza electromotriz inducida
Aplicando la ley circuital de Ampère a la máquina, se obtiene:
ò
H(a ,t ). dl = FR (a ,t ) Þ H(a , t) =
FR (a , t)
2g
9.15
En esta expresión, H(a, t) es la intensidad del campo magnético en el
entrehierro, y g es el espesor del entrehierro de la máquina. Conocida la intensidad
del campo magnético H(a, t) de 9.15, se calcula la densidad de campo B(a, t)
mediante la siguiente relación constitutiva:
B(a , t) = mo . H (a , t)
9.16
La fuerza electromotriz inducida sobre los conductores de una máquina con
simetría cilíndrica es:
e = ( v x B ).l
9.17
donde:
e
v
l
es la fuerza electromotriz inducida sobre un conductor.
es la velocidad tangencial con la cual el campo magnético cota al
conductor.
es la longitud del conductor.
Como la máquina es cilíndrica, el campo y la velocidad tangencial son
perpendiculares entre si, por esta razón la expresión 9.17 queda:
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 150 -
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e = v.B.l
9.18
La velocidad angular del campo, también llamada velocidad de fase es igual a
la frecuencia angular de las corrientes como se mencionó anteriormente. La velocidad
de fase se determina observando la velocidad que es necesario imprimir a un
observador en el entrehierro, de tal forma que el mismo no detecte cambios en la
magnitud del campo. Para esto es suficiente con hacer constante el argumento en la
expresión 9.11:
wt - b - a = constante
9.19
Derivando esta expresión con respecto al tiempo, y recordando que el ángulo b
tiene un valor fijo, se obtiene:
w - da = 0 Þ da = w
dt
dt
9.20
F (a , t )
R
1
da
= w
dt
t=t
1
0
a
da
= w
dt
Distribución espacial de la fuerza magnetomotriz en el instante t =t1
Fig. -98-
La expresión 9.20 demuestra que la velocidad de fase de la onda de fuerza
magnetomotriz es igual a la frecuencia angular de las corrientes inyectadas en las
bobinas de la máquina. La velocidad tangencial con la cual son cortados los
conductores viene dada por la siguiente relación:
v =w.r
T
9.21
Sustituyendo en la ecuación 9.18 las ecuaciones 9.14, 9.15 y 9.21, se obtiene:
e(a, t) = w. r. l .
mo
2g
. k . N.
d
m
. 2 I. cos(wt - b - a)
2
9.22
Esta expresión permite determinar la fuerza electromotriz que se produce en el
interior de la máquina en la dirección de los conductores.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 151 -
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9.4
Factor de paso de la bobina
En una máquina, la situación ideal para obtener la máxima fuerza electromotriz
en las bobinas, consiste en colocar los conductores de retorno a 180° eléctricos de los
conductores entrantes. Sin embargo, en las máquinas convencionales es habitual
reducir el contenido armónico de la fuerza magnetomotriz controlando el ángulo de
paso de la bobina. Este fenómeno se analizará detalladamente en capítulos
posteriores, pero su efecto sobre la generación de la fuerza electromotriz inducida se
tiene en cuenta para el desarrollo del modelo de la máquina de inducción en este
capítulo.
ret orno de
bobina
bobina
X
b ob in a
ab atim ie nto
li ne al
e1
1 80 ° e
18 0°e
e2
180°-g
reto rn o d e
b ob in a
g
ret orno de bobina
c on pas o ac ortado
a cor tami en to
d e p aso
e = e 1 - e2
Acortamiento de paso en las bobinas de la máquina
Fig. - 99 -
Para calcular la fuerza electromotriz total en una bobina con paso acortado en
un ángulo g, se utiliza la expresión 9.22. La amplitud de esta función es constante
para una máquina dada, excitada con una corriente cuyo valor efectivo y frecuencia
son fijas. Si se define, tal como se muestra en la figura - 99 -, e1 como la fuerza
electromotriz inducida en los conductores de entrada de la bobina y e2 en los retornos,
la fuerza electromotriz total sobre la bobina es:
e(a , t) = e (a , t) - e (a + p - g, t) =
1
1
1
2
m
= wrl o k N
2g d
m
= 2wrl o k
2g d
1
m 2I
2
[cos(wt-b-a 1) - cos(wt-b-a 1-p-g) ] =
m 2 I cos (wt-b-a + g ) cos g
1 2
2
2
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 152 -
9.23
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La expresión anterior se puede representar graficamente haciendo uso de la
composición fasorial de las fuerzas electromotrices inducidas sobre los conductores
de la máquina, figura -100-.
g
2
E1 - E2
E1
-E 2
E2
g
Diagrama fasorial de las fuerzas electromotrices en la máquina
Fig. -100 -
En el desarrollo anterior se deduce que el factor de paso es el coeficiente que
reduce la fuerza electromotriz, debido a que los devanados no se encuentran
diametralmente opuestos. El factor de paso se define matemáticamente como:
k p = co s
g
2
9.24
La fuerza electromotriz para una bobina con paso acortado es:
m
g
e (a, t) = 2 w r l o N 2 I m k kp cos(wt - b - a + )
2g
2 d
2
9.5
9.25
Fuerza electromotriz en una bobina del estator
En la expresión anterior, 2.r.l es el área de proyección de la máquina, y el valor
del flujo máximo que atraviesa esta área será:
fmax = A . Bmax = 2 r l
mo k N 2 I
d
2g
m
2
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 153 -
9.26
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El valor de la fuerza electromotriz en una espira del estator se puede escribir a
partir de las ecuaciones 9.25 y 9.26 de la siguiente forma:
e (a , t) = w kp fmax cos (wt - b - a +
g
)
2
9.27
La expresión anterior permite determinar la fuerza electromotriz inducida sobre
una espira por una fuerza magnetomotriz desarrollada a partir de una bobina con N
vueltas, factor de distribución kd y factor de paso kp. Para obtener la fuerza
electromotriz total que aparece sobre todas las N vueltas distribuidas y acortadas en la
periferia de la máquina, es necesario multiplicar la ecuación 9.27 por el número de
vueltas equivalente de la bobina completa. Este número de vueltas equivalente tiene
que tener en cuenta el acortamiento de paso y el factor de distribución. Por esta razón
la fuerza electromotriz inducida sobre toda la bobina es:
m
g
2
e (a , t) = 2 w r l o m 2 I (N k kp ) cos (wt - b - a + )
d
2g 2
2
3.28
El valor efectivo de la fuerza electromotriz en una bobina del estator, debido al
campo magnético rotatorio producido por todas las bobinas del estator es:
m
2
Ee = m w r l go I (Ne k kpe )
de
2
3.29
El subíndice “e” de la expresión anterior se refiere a cualquiera de las m
bobinas en estator de la máquina.
9.6
Fuerza electromotriz en el rotor
Como el rotor de la máquina puede girar con respecto al estator, el campo
magnético rotatorio que este produce en el estator corta a las bobinas o conductores
del rotor con una velocidad diferente a como lo hace con las propias bobinas del
estator. El campo magnético rotatorio gira espacialmente a una velocidad angular
igual a la velocidad angular temporal de las corrientes inyectadas en el estator de la
máquina. Esta velocidad es independiente de la velocidad mecánica del rotor. Entre
el campo magnético producido en el estator y en el rotor de la máquina se establece
una velocidad relativa, esta velocidad se denomina velocidad angular de deslizamiento
y se puede definir manteniendo el sentido horario en la definición de los ángulos y de
las velocidades, como:
w = w e - wr
d
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 154 -
9.30
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En régimen permanente, es decir cuando el eje de la máquina gira a una
velocidad constante, la posición del rotor medida a partir de un sistema fijo en el
estator se puede expresar por:
a e = a r + wr t + de
9.31
donde:
ae
es la posición en el rotor medida en el sistema de referencia del
estator.
es la posición en el rotor medida en el sistema de referencia del
rotor.
es la velocidad mecánica del rotor.
es el ángulo entre el rotor y el estator en el instante inicial (t = 0 ).
ar
wr
de
La fuerza electromotriz inducida sobre una espira del rotor localizada en la
posición ar del sistema fijo en el rotor es:
e r (a r , t ) =
me
rlw
2
mo
N e k kpe 2 I cos (w t - b - a r - d e )
d g
de
d
Eje magnético
de la fase a
del estator
9.32
B
ae
Estator
ve = we.r
g
vr = wr.r
Rotor
wrt+de
ar
Eje magnético
de la fase a
del ro tor
Sistemas de referencia del estator y del rotor
Fig. -101-
Si la bobina del rotor tiene Nr vueltas, factor de distribución kdr y factor de paso
kpr, el valor efectivo de la fuerza electromotriz en esa bobina es:
Er =
me
2
mo
w r l g Ne k kpe Nr k kpr I
d
de
dr
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 155 -
9.33
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Dividiendo las ecuaciones 9.29 y 9.33 se obtiene la relación de transformación
entre las fuerzas electromotrices del estator y el rotor, debidas al campo magnético
rotatorio producido por las corrientes que circulan en el estator:
Ee
Er
=
we N e k
k
de pe
w Nr k kpr
d
dr
1
= w
d
we
N*e
*
1 Ne
=
s N*
N*r
r
9.34
En esta relación de transformación, s es la velocidad de deslizamiento en por
unidad de la velocidad del campo magnético rotatorio (“slip” en inglés), N*e es el
número de vueltas equivalentes del estator y N*r es el número de vueltas equivalentes
de las bobinas del rotor. Es importante destacar que esta relación es independiente
del número de fases de la máquina. Incluso no es necesario que el número de fases
de estator me, debe ser igual al número de fases del rotor mr. El número de pares de
polos en ambos sistemas si debe coincidir para permitir la existencia de torque medio
diferente de cero, tal y como se analizó en el capítulo 5.
9.7
El deslizamiento en la máquina de inducción
El deslizamiento de una máquina de inducción, se define como la velocidad
relativa entre el campo magnético producido por las corrientes inyectadas en el estator
y la velocidad mecánica del rotor, en por unidad de la velocidad del campo:
w
w -w
w
s = wd = ew r = 1 - w r
e
e
e
9.35
Si la máquina se encuentra detenida, la velocidad del eje mecánico es cero
(wr=0), y de 9.35 se obtiene que el deslizamiento en esta condición es uno (s=1).
Cuando el rotor de la máquina gira a la velocidad del campo, el deslizamiento es cero
(s=0). En general a la velocidad del campo se le denomina velocidad sincrónica de la
máquina, y el deslizamiento mide cuan cerca se encuentra la máquina de esta
velocidad. Si el rotor de la máquina gira a una velocidad mayor que la sincrónica, el
deslizamiento se hace negativo. Cuando se conocen todos los parámetros del modelo
de una máquina de inducción y la fuente de alimentación, el deslizamiento determina
el punto de operación. Por esta razón se utiliza esta variable para definir el estado de
la máquina.
La ecuación 9.34 indica que la fuerza electromotriz que se origina en el rotor de
una máquina de inducción depende de la fuerza electromotriz del estator, de la
relación de transformación entre los devanados del rotor y del estator, y del
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 156 -
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deslizamiento. Si el rotor de la máquina está detenido, esta expresión es similar a lo
que sucede en un transformador con un primario de N*e vueltas y un secundario con
N*r . Como el rotor puede girar a cualquier velocidad, el campo magnético rotatorio
producido por el estator induce fuerza electromotriz en el rotor proporcional a la
diferencia entre la velocidad de este campo y la velocidad mecánica del propio rotor.
Por este motivo la fuerza electromotriz del rotor producida por el campo magnético
rotatorio depende directamente del deslizamiento.
9.8
Equilibrio entre las fuerzas magnetomotrices del estator y del rotor
La aparición de fuerza electromotriz inducida en el rotor de la máquina de
inducción, es capaz de hacer circular corriente por sus bobinas, siempre y cuando
estos devanados estén, en cortocircuito o con una carga conectada entre sus
terminales. Debido a que las fuerzas electromotrices se encuentran desfasadas en el
tiempo producen corrientes que también están desfasadas en el tiempo, y que al
circular por devanados desfasados en el espacio, producen un nuevo campo
magnético rotatorio en el rotor. Este campo gira con respecto al rotor con la velocidad
angular de deslizamiento wd. Como el rotor gira a la velocidad mecánica wr, con
respecto a un sistema de referencia fijo en el estator, el campo producido por las
bobinas del rotor gira a la velocidad sincrónica para un observador en el entrehierro.
La iteracción entre los dos campos, actuando como imanes giratorios sincronizados,
es la encargada de producir el torque eléctrico de la máquina de inducción. Si estos
dos campo rotantes no girasen a la misma velocidad, el torque medio sería cero al
concluir una revolución completa de un campo sobre el otro.
Si el entrehierro de la máquina de inducción es lo suficientemente pequeño
como para considerar que la fuerza magnetomotriz necesaria para magnetizar el
sistema es despreciable, se cumple en forma aproximada que:
F = Fe + Fr @ 0
M
9.36
Tanto la fuerza magnetomotriz del estator, como la del rotor giran a la misma
velocidad en el entrehierro y poseen una distribución espacial sinusoidal, por este
motivo es posible representarlas fasorialmente. Partiendo de la expresión aproximada
9.36, se establece:
F =
M
me
2
Ne k
de
kpe I e +
mr
2
Nr k kpr I r @ 0
dr
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 157 -
9.37
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donde las corrientes Ie e Ir son corriente fasoriales que mantienen el ángulo de fase
necesario entre las fuerzas magnetomotrices del estator y del rotor respectivamente.
De la expresión 9.37 se determina la relación de transformación entre los
módulos de las corrientes del estator y rotor de la máquina:
Ie = -
mr
N*r mr
Ir = I
* me r
Ne k kpe me
N
de
e
Nr k
k
dr pr
9.38
Según la expresión 9.38, la corriente en el estator de la máquina equilibra
aproximadamente la fuerza magnetomotriz producida por las corrientes del rotor. Es
interesante destacar que esta relación es independiente del deslizamiento, debido a
que en el entrehierro los dos campos giran a la misma velocidad sea cual sea la
velocidad del rotor. También es necesario indicar que la relación de transformación
para las corrientes depende del número de fases del rotor y del estator. En cambio, la
relación entre las fuerzas electromotrices del estator y rotor depende del deslizamiento
y es independiente de la relación entre el número de fases en ambos sistemas.
9.9
Impedancia del circuito rotórico
En la sección 9.7 se desarrolló la relación 9.34, para la transformación de las
fuerzas electromotrices del estator y el rotor de la máquina de inducción. En la
sección 9.8 se obtuvo la transformación de las corrientes estatóricas y rotóricas a
partir de un balance de fuerzas magnetomotrices. Con estas dos transformaciones se
puede determinar la relación de transformación entre impedancias en el rotor y en el
estator. Una impedancia en el rotor reflejada hacia el estator se puede evaluar
mediante la relación de transformación siguiente:
*
1 Ne E
s N* r
r
N* 2
( e)
Ee
N*r
me Er 1 N*e 2 me
'
Zr =
=
= s × mr × Ir = s ( N* ) mr Zr
Ie
N*r mr
r
Ir
m
*
N
e
e
9.39
El signo menos de la expresión 9.39 desaparece dentro de la impedancia Zr,
debido a que las dos corrientes, la del estator y la del rotor entran hacia las bobinas y
por esta razón si se conecta en el rotor una impedancia, la corriente del rotor tiene una
referencia contraria a la definición de una impedancia.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 158 -
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Ie
Ee
N*e
Z'r
Estator
Ir
N* r
Er
s
me
mr
Zr = -
Er
Ir
Rotor
Esquema del reflejo de la impedancia del rotor hacia el estator
Fig. -102 -
Los conductores del rotor ofrecen una resistencia eléctrica a la circulación de la
corriente. Además, cuando la corriente circula por estos conductores, se establecen
enlaces de flujo que magnetizan la máquina acoplando el rotor con el estator, y una
fracción de estos enlaces recorre un camino de fuga o dispersión. Las corrientes del
rotor varían con la velocidad angular de deslizamiento wd, y por esta razón la
reactancia de fuga del rotor es proporcional a esta frecuencia.
Estator
Lm
Ie
Entrehierro
Ir
Lr
Rotor
Inductancias de magnetización y de dispersión del rotor
Fig. -103 -
La reactancia y resistencia del circuito del rotor de la máquina de inducción
pueden ser modelados de la siguiente forma:
Zr = Rr + j w Lr = Rr + j s we Lr
d
9.40
La reactancia de dispersión y la resistencia de los conductores limitan la
circulación de corriente, por esta razón en el modelo de impedancia de la ecuación
9.40 se considera que estos dos parámetros deben estar conectados en serie.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 159 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Si se refiere la impedancia definida en 9.40 del rotor al estator mediante la
relación de transformación de impedancias 9.39 se obtiene el siguiente resultado:
Z'r
*
R'r
R'r
1 Ne 2 me
'
= (
)
[ Rr + j s we Lr ] =
+ j we Lr =
+ j X'r
s N*
mr
s
s
r
9.41
donde:
R'r = (
N*e 2 me
)
× Rr
mr
N*r
N*e 2
'
Lr = (
) ×
N*r
9.42
me
× Lr
mr
9.43
La expresión 9.41 indica que desde el punto de vista del estator, la reactancia
inductiva del rotor es constante, pero la resistencia del circuito varía con el
deslizamiento de la máquina. Cuando el rotor de la máquina de inducción gira a la
velocidad sincrónica, el deslizamiento es cero y la impedancia del rotor referida al
estator tiende al infinito. Por una impedancia infinita no pueden circular corrientes si
las fuentes son finitas, en estas condiciones el rotor se comporta como un circuito
abierto. Este fenómeno tiene una explicación física muy simple, si el rotor de la
máquina gira mecánicamente a la misma velocidad del campo magnético rotatorio, no
se producen cortes de los conductores por el flujo, no se inducen fuerzas
electromotrices en las bobinas del rotor y por tanto no circulan corrientes por estos
devanados. Todo esto es, desde el punto de vista circuital, similar a una topología de
circuito abierto.
Por otra parte, si la máquina está detenida, el deslizamiento es unitario y el
rotor se refleja en el estator con una resistencia de las bobinas y una reactancia de
dispersión, semejante al reflejo que produce un transformador ordinario en la
condición de cortocircuito. En este caso la explicación física es tan simple como
antes, debido a que si el rotor de la máquina está detenido, la máquina se comporta
exactamente igual a un transformador, el primario es el estator y el secundario es el
rotor. Entre estos dos sistemas no hay movimiento relativo y como las bobinas del
rotor están generalmente en cortocircuito, el comportamiento de la máquina de
inducción en este caso no difiere de un transformador cortocircuitado en el secundario.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 160 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
9.10 Circuito equivalente de la máquina de inducción
Generalmente las bobinas o conductores del rotor de una máquina de inducción
se encuentran en cortocircuito. En muchas ocasiones no se tienen acceso al circuito
rotórico y resulta conveniente reflejar la impedancia del rotor hacia el estator de la
máquina. En el estator existen me fases, pero como la máquina trabaja en un sistema
equilibrado de corrientes y tensiones, es suficiente representar lo que sucede en una
fase de estator de la máquina. El rotor posee en el caso más general, un número
diferente de fases que el estator. Sin embargo al reflejar la impedancia del rotor en el
lado del estator, el circuito equivalente de la máquina queda definido según el número
de fases del estator.
Rr wd Lr
Ie
N*e
N *r
Ee
Z 'r
Er
s
E sta tor
me
mr
Ir
Vr = 0
Rotor
Representación esquemática de una fase de la máquina
Fig. - 104 -
La máquina de inducción, según se analizó en las secciones anteriores, se
comporta como un transformador que posee una relación de transformación diferente
para las fuerzas electromotrices y para las corrientes.
En la relación de
transformación para las fuerzas electromotrices entra en juego el concepto de
deslizamiento, y en la relación de transformación para las corrientes se debe
considerar el número de fases del estator y rotor de la máquina.
El modelo circuital considerado en la figura -104-, y desarrollado hasta el
momento, no considera la necesidad de magnetizar la máquina. Sin embargo en la
situación real la presencia de un entrehierro de algunos milímetros de espesor,
requiere un fuerte consumo de corriente de excitación para que el flujo pueda
atravesarlo. Esta corriente puede ser representada colocando una inductancia de
magnetización en paralelo con el circuito del estator, tal como se modela en el circuito
equivalente de los transformadores convencionales.
Esta inductancia de
magnetización se añade en el circuito del estator debido a que es normalmente en
este eje eléctrico por donde se alimenta la máquina de inducción.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 161 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Al igual que en el circuito del rotor, las bobinas del estator tienen resistencia y
reactancia de dispersión. Por este motivo, en el circuito equivalente que modela la
máquina de inducción, se incluye una resistencia y una reactancia en serie, por donde
circula la corriente inyectada en las bobinas del estator. Las corrientes del estator
varían en el tiempo con la velocidad sincrónica y por lo tanto la reactancia de fuga
depende directamente de la inductancia de dispersión de las bobinas estatóricas y de
la velocidad sincrónica.
Ve
Re
we Le
Ie
Im
I* e
Rr
wd Lr
Ir
w eL m
s
mr
N*r
me
N*e
E stator
Vr = 0
Er
Ee
Roto r
Modelo menos idealizado de la máquina de inducción
Fig. -105-
Al conectar la reactancia de magnetización, la corriente del estator se divide en
dos partes, una alimenta al transformador ideal y se denomina en la figura -105- como
I*e , y por la rama de magnetización circula la corriente Im. La corriente I*e satisface las
hipótesis impuestas inicialmente para una máquina sin magnetización. La corriente de
magnetización es considerablemente grande cuando se la compara con la de un
transformador de igual potencia, debido a que en la máquina el entrehierro representa
un obstáculo importante al paso del flujo.
we Le
Re
we L 'r
Im
Ie
Ve
weL m
I*e
Ee
I'r
R' r
s
Circuito equivalente de la máquina referido al estator
Fig. -106-
El circuito equivalente de la máquina se obtiene refiriendo el circuito del lado
rotórico al lado del estator de la máquina. En este circuito equivalente es habitual
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 162 -
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colocar una resistencia en paralelo con la reactancia de magnetización con la finalidad
de representar las pérdidas en el hierro de la máquina. Estas pérdidas son debidas al
flujo principal de la máquina y este flujo produce la fuerza electromotriz del estator.
La resistencia total del rotor referida al estator, depende inversamente del
deslizamiento. Cuando es necesario hacer un balance de pérdidas en la máquina
resulta conveniente separar esta resistencia en dos partes: una representa las
pérdidas en los conductores del rotor, y la diferencia representa la potencia que sale o
entra del eje mecánico de la máquina. La separación de la resistencia total del rotor
referida al estator en estas dos componentes es:
é
ù
R 'r
'+ ê 1 - s ú R'
=
R
r ë s û
r
s
we L e
Re
we L'r
Im
Ie
Ve
Ee
Rm
9.44
R'r
I*e
w eL m
I'r
R'r éê 1 - s ùú
ë s û
Ca rg a
Circuito equivalente completo de la máquina de inducción
Fig. - 107 -
Desde el punto de vista eléctrico, el comportamiento de la máquina depende del
deslizamiento, de la tensión aplicada en el estator y de los parámetros del circuito
equivalente. Una vez que se conocen los parámetros del modelo, el deslizamiento del
rotor y la fuente de alimentación, se pueden determinar las corrientes que circulan por
la máquina. El análisis circuital de la máquina de inducción es semejante al de un
transformador con una carga resistiva variable. Esta carga depende exclusivamente
del deslizamiento del rotor.
A pesar de las similitudes entre el modelo de un transformador y el modelo
circuital de la máquina de inducción, existen algunas diferencias importantes que es
necesario destacar:
a.-
La reluctancia del circuito magnético de la máquina de inducción es mucho más
grande que la reluctancia de magnetización de un transformador. Esto se debe
principalmente a la presencia de entrehierro en la máquina. La corriente de
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 163 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
excitación de una máquina es considerablemente mayor que la de un
transformador de igual potencia. Esta corriente puede alcanzar entre un 30% y
un 50% de la corriente nominal de la máquina, contrastando con el 0.5% a 1.0%
en un transformador convencional.
b.-
Al ser tan grande la reluctancia de magnetización, se incrementa
considerablemente los enlaces de dispersión. Por esta razón las reactancias de
dispersión de la máquina son mayores que las reactancias de un transformador
de similar potencia. Cada una de las reactancias de dispersión de la máquina
pueden superar el 10%, en comparación con un transformador donde se
encuentran entre el 1% y el 6% aproximadamente.
9.11 Ecuaciones de la máquina de inducción
Del modelo circuital de la máquina de inducción mostrado en la figura -107-, se
pueden extraer varias relaciones de gran utilidad para determinar el comportamiento
de la máquina en diferentes condiciones de operación. Algunas de estas relaciones
son:
a.-
Potencia de pérdidas en el rotor:
Todas las pérdidas eléctricas del rotor se encuentran principalmente en las
resistencias de las bobinas del rotor. Como la máquina posee me fases en el estator,
estas pérdidas se pueden calcular mediante la siguiente ecuación:
2
Ppr = me (I*e ) . R'r
b.-
9.45
Potencia de pérdidas en el estator:
Los conductores del estator poseen resistencia, y por esta razón en estos
devanados se producen pérdidas. También en el hierro de la máquina se producen
pérdidas por histéresis del material magnético y por inducción de corrientes parásitas.
Todas estas pérdidas se pueden calcular mediante la siguiente relación:
2
Ppe = P
pRe
+P
pFe
=
2
me ( Ie
Re +
Ee
Rm
)
9.46
La fuerza electromotriz Ee se puede calcular a partir de la corriente del estator,
mediante la siguiente ecuación fasorial:
E e = V e - (Re + j Xe ). Ie
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 164 -
9.47
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c.-
Potencia mecánica en el eje del rotor:
De la potencia que entra a la máquina por los ejes eléctricos del estator, una
parte se consume en los devanados de estator y otra porción en las pérdidas del
hierro. El resto de la potencia de entrada atraviesa el entrehierro de la máquina y llega
al circuito del rotor. En este circuito se pierde otra porción en las resistencias de los
conductores. Finalmente la diferencia entre la potencia que entró por el estator y
todas las pérdidas, se encuentra disponible en el eje del rotor como potencia
mecánica. Este razonamiento permite calcular la potencia en el eje mediante la
siguiente relación:
'
2 Rr
2
*
P =P
- P = me ( Ie ) [
- R'r ] = me ( I*e ) R'r [ 1 - s ]
s
s
eje
rotor pr
9.48
La ecuación 9.48 demuestra que la potencia mecánica disponible en el eje es
igual a la potencia que se consume en la resistencia de carga representada en la
figura -107 -. La potencia mecánica útil puede ser menor a la calculada por la
expresión anterior debido a que existen pérdidas de tipo mecánico tales como la
fricción y la refrigeración de la máquina mediante ventiladores acoplados al eje
mecánico, que reducen la potencia disponible en el eje.
d.-
Torque eléctrico:
El torque eléctrico de la máquina se puede calcular a partir del cociente entre la
potencia mecánica disponible en el eje, y la velocidad mecánica del rotor. De esta
forma se obtiene el siguiente resultado:
P
me
m
(1-s) Protor
eje
2
2
* ) R'
)
=
= w
Te = w = we ( I*e ) R'r ( 1-s
(I
r s
s
we (1-s) e
r
r
e
9.49
La ecuación anterior permite calcular el torque eléctrico por dos vías diferentes:
mediante la potencia mecánica disponible en el eje y la velocidad mecánica del rotor,
o con la potencia eléctrica que atraviesa el entrehierro y la velocidad sincrónica. El
torque eléctrico se produce en la interacción entre las fuerzas magnetomotrices del
estator y rotor tal como se ha estudiado en el capítulo 5.
Estas fuerzas
magnetomotrices giran a la velocidad sincrónica y por esta razón el torque eléctrico se
puede calcular a partir de la potencia transferida al rotor y la velocidad del campo
magnético rotatorio, como se demuestra en la ecuación 9.46.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 165 -
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we L e
Re
we L'r
Im
Ie
Ve
Ee
Rm
I*e
R'r éêë 1 - s ùúû
s
weL m
P
Te = w r
Pe
R'r
e
Carga
Pr
Peje
Te =
Peje
wr
Cálculo del torque eléctrico mediante el circuito equivalente de la máquina
Fig. - 108 –
e.-
Cálculo de la corriente del rotor referida al estator:
Para calcular la potencia en el eje y el torque eléctrico, es necesario evaluar la
corriente del rotor referida al estator, I*e. Un método simple para determinar esta
corriente consiste en realizar un equivalente de Thèvenin visto desde el rotor hacia la
fuente del estator.
Ze
we Le
Re
we L' r
Im
Ve
I*e
Ie
Rm
R'r
ù
R'r éêë 1 - s úû
s
w eL m
Carga
Thèvenin
Zm
Equivalente de Thèvenin para la determinación de I*e
Fig. -109 -
La tensión de Thèvenin en el circuito de la figura -109 - se determina mediante
un divisor de tensión entre la impedancia serie del estator Ze, y la impedancia de
magnetización Zm :
Zm
V =
V
Th
Zm + Ze e
9.50
La impedancia de Thèvenin del circuito es el resultado del paralelo entre Ze y
Zm, en serie con la reactancia de dispersión del rotor:
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 166 -
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Z
Th
=
Ze × Zm
Ze + Zm
RTh
+ j X'r = R
Th
XTh
+jX
Th
9.51
R'r
I* e
é
ù
R'r ê 1 - s ú
ë s û
VTh
Carga
Equivalente de Thèvenin del circuito
Fig. -110 -
La corriente I*e se obtiene a partir del circuito mostrado en la figura -110-:
V
I *e =
Th
R'
+ sr
Th
Z
9.52
En las ecuaciones 9.48 y 9.49 se requiere el módulo de la corriente I*e:
V
I*e =
X
2
Th
Th
R' 2
+ ( R + sr )
Th
9.53
Sustituyendo la expresión 9.53 en las ecuaciones 9.48 y 9.49, se determina la
potencia en el eje y el torque eléctrico en función de los parámetros de la máquina, la
tensión de Thèvenin y el deslizamiento del rotor:
P
V
eje
2
Th
= me R'r ( 1-s
s ) 2
R'r 2
X +(R + s )
Th
Th
R'
m
Te = w e × sr ×
e
9.54
2
V
Th
X
2
Th
R' 2
+ ( R + sr )
Th
9.55
9.12 Característica torque eléctrico - deslizamiento
La ecuación 9.55 determina el torque eléctrico de la máquina de inducción. Si
la tensión de alimentación Ve tiene una amplitud constante, la tensión de Thèvenin
también tendrá su magnitud constante, debido a que las impedancias del estator y de
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 167 -
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magnetización son independientes del deslizamiento del rotor. Si se excluye el
deslizamiento, todos los términos de la ecuación 9.55 son constantes para una
máquina dada, mientras que la frecuencia de la red sea constante.
Para comprender el comportamiento funcional de esta característica, resulta
conveniente realizar aproximaciones asintóticas de la ecuación 9.55 con respecto a
valores extremos del deslizamiento. Cuando el deslizamiento es cero, la velocidad
angular del eje rotor es igual a la velocidad del campo magnético rotatorio, en esta
condición el flujo no corta los conductores del rotor, no se produce fuerza electromotriz
en estas bobinas, no circula corriente, y por esta razón no se produce torque eléctrico
medio.
Para deslizamientos muy pequeños, pero diferentes de cero, el término R’r / s
es mucho mayor que la resistencia y que la reactancia de Thèvenin. En estas
condiciones es posible despreciar en el denominador de la expresión 9.55, la
resistencia y la reactancia de Thèvenin:
Te @
me × V
2
Th
× s
we × R'r
; si, s®0
9.56
En el intervalo de deslizamientos, para los cuales es válida la expresión 9.56, el
comportamiento de la característica torque-deslizamiento es lineal. En la práctica, la
ecuación 9.56 es de gran utilidad debido a que en los puntos de operación normales o
de régimen permanente, los deslizamientos de la máquina son en general lo
suficientemente pequeños como para satisfacer la aproximación anterior con mucha
precisión.
Cuando los deslizamientos son grandes, el término R’r / s es despreciable y la
característica torque-deslizamiento se aproxima a:
me R'r
Te @ w ×
×
s
e
V
X
2
Th
2
2
2
+R
Th
Th
me VTh R'r
= w ×
×
; si s ® ± ¥
s
2
e
Z
Th
9.57
La ecuación anterior indica una variación hiperbólica del torque eléctrico a
medida que el deslizamiento aumenta. En valores negativos del deslizamiento, la
aproximación anterior es igualmente válida, sin embargo en este caso el torque
eléctrico es negativo.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 168 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Te
Ta s
Tmax
T a 1/ s
Te(s)
wr
2we
-1
-1.5
we
-0.5
sTmax 0.5
0
0
1
1.5
s
Tas
T a 1/ s
Característica Torque eléctrico-deslizamiento de una máquina de inducción
Fig. - 111 -
En el gráfico de la figura -111- se ha destacado un punto importante de la
característica torque eléctrico-deslizamiento, este punto corresponde al torque máximo
de la máquina. El torque eléctrico es máximo cuando la potencia que atraviesa el
entrehierro es máxima, esto se debe a que la velocidad sincrónica depende de la
frecuencia de las corrientes inyectadas en el estator, y por lo tanto es constante. Para
calcular la potencia máxima que puede atravesar el entrehierro se aplica el principio
de máxima transferencia de potencia al equivalente de Thèvenin de la figura - 110 -.
La máxima transferencia de potencia ocurre cuando la impedancia de la carga se
iguala a la impedancia del equivalente de Thèvenin. En este circuito la carga es
puramente resistiva, mientras que la impedancia de Thèvenin es fuertemente
inductiva, en este caso para transferir la máxima potencia es necesario que los
módulos de las impedancias se igualen:
s
R'r
=
2
2
+R
Th
Th
X
Tmax
9.58
Despreciando en la ecuación anterior la resistencia de Thèvenin, que en
general es muy pequeña en comparación con la reactancia, y reemplazando esta
expresión en la ecuación 9.55 se puede calcular el torque eléctrico máximo que
produce la máquina de inducción:
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 169 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Tmax @
me
2we
×
2
Th
V
X
Th
9.59
El deslizamiento que produce el torque máximo se calcula de la expresión 9.58:
R'r
s
=
Tmax
X
2
2
+R
Th
Th
9.60
Al examinar la ecuación 9.55 se observa que la característica torquedeslizamiento no es completamente simétrica con respecto al origen. El denominador
de esta ecuación no es indiferente al signo del deslizamiento. Si la resistencia de
Thèvenin es nula o despreciable, la característica es simétrica.
El deslizamiento es la variable que define el punto de operación de la máquina
de inducción. Conocido este dato se puede determinar las corrientes, el torque
eléctrico, las potencias de entrada o salida, las pérdidas, el factor de potencia y el
rendimiento de la máquina.
En las máquinas con rotor devanado es posible incluir resistencia en serie con
el circuito del rotor. Esta posibilidad se puede utilizar para reducir las corrientes
durante el arranque o para incrementar sustancialmente la magnitud del torque
eléctrico durante este proceso. Incluso es posible añadir suficiente resistencia como
para permitir que la máquina arranque con el torque máximo:
S
Tmax
=
R'r + R'
adicional
2
Th
2
Th
X +R
= 1
Þ R'
adicional
=
2
Th
2
- R'r
Th
X +R
9.61
La magnitud del torque máximo no es afectada por la variación de la resistencia
del rotor, pero la característica torque-deslizamiento se modifica considerablemente
como se observa en la figura -112 -.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 170 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Te
Tmax
-1
-0.5
R'r
0 sT
max
R'r + R'
ad.
s
0.5
1
Efecto de la variación de la resistencia del rotor en la característica Te.vs.s
Fig. -112 -
9.13 Punto de operación de la máquina
La característica torque eléctrico-deslizamiento analizada en la sección anterior,
indica el valor del torque eléctrico para cualquier deslizamiento. Para definir el
deslizamiento de operación de la máquina es necesario conocer la característica de la
carga mecánica. El punto de operación del sistema formado por la máquina eléctrica
y la carga mecánica está definido por la intersección de las dos características.
La característica torque mecánico-velocidad de una bomba depende
cuadráticamente con la velocidad. Esta característica se puede representar en
función del deslizamiento de la máquina de inducción de la siguiente forma:
2
Tm = k w2r + k wr + k = k (1-s) w2e + k (1-s) we + k
1
2
3
1
2
3
9.62
El punto de operación de la máquina se obtiene en el deslizamiento que iguala
el torque eléctrico con el torque mecánico:
Tm(sop ) = Te (sop )
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 171 -
9.63
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Te
Te
Te = Tm
Tm
sop
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
s
Punto de operación de la máquina eléctrica con carga mecánica en el eje
Fig. -113-
Según la ecuación 9.55, el torque eléctrico de la máquina de inducción depende
del cuadrado de la tensión de Thèvenin. Este hecho puede utilizarse para controlar el
punto de operación de la máquina variando la tensión de alimentación.
T
Ve
T e1
0.9Ve
1
2
T e2
0.8Ve
3
T e3
Tm
s1
0
0.1
s2
0.2
s3
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Ajuste del punto de operación por variación de la tensión de alimentación
Fig. - 114-
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 172 -
1
s
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En la figura -114- se observa que la reducción de la tensión de alimentación
afecta fuertemente el torque eléctrico de la máquina en todo el rango de
deslizamientos.
Si la tensión se reduce durante el proceso de arranque de la
máquina, el torque eléctrico puede no ser suficiente para acelerar la máquina hasta el
punto final de operación. Para que la máquina pueda acelerar, el torque eléctrico
debe ser mayor que el torque de la carga. Si esta diferencia es muy pequeña, la
máquina demora mucho tiempo para alcanzar el punto de operación permanente:
Te - Tm = T
acel.
=J
dwr
dt
9.64
La ecuación 9.64 determina el proceso dinámico de arranque de la máquina de
inducción. En la medida que el torque eléctrico supera al torque mecánico, se
incrementa la velocidad del rotor. Cuando estos torques se igualan en el punto de
operación, la aceleración se anula y la máquina eléctrica acciona a la carga a esa
velocidad. Si varía la carga o la tensión de la red, la máquina se acelera o frena hasta
alcanzar el nuevo equilibrio. Algunos puntos de intersección de las características de
torque eléctrico y mecánico no son estables. Si al aumentar la carga mecánica
disminuye el torque eléctrico, o al disminuir la carga mecánica, aumenta el torque
producido por la máquina, el punto de operación es inestable y a la menor
perturbación, la máquina se detendrá o buscará un punto de operación estable.
T
Máquina arranca
y opera
Máquina opera,
pero no arranca
Punto de operación
inestable
Tm
Puntos de
operación
estable
Máquina ni opera,
ni arranca
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Puntos de operación estables e inestables de la característica torque-deslizamiento
Fig. -115-
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 173 -
s
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9.14 El punto de operación nominal
La corriente nominal de una máquina está determinada por la clase de
aislamiento de sus bobinas, las pérdidas generadas por esta corriente, y el sistema de
refrigeración encargado de disipar al medio ambiente estas pérdidas. Los materiales
aislantes que recubren los conductores de las bobinas se degradan más rápidamente
en relación directa con la temperatura, a este fenómeno se lo conoce como
envejecimiento. El calor generado por pérdidas resistivas en los conductores crece
con el cuadrado de la corriente que circula por las bobinas. La temperatura en el
interior de la máquina, y más concretamente en el aislamiento de las bobinas, está
determinado por la capacidad de la máquina para transmitir el calor al medio
ambiente. Esta capacidad se conoce como impedancia térmica y depende de la
geometría de la máquina, de los materiales y del sistema de enfriamiento.
La corriente nominal por lo tanto, es aquella corriente que al circular por las
bobinas, produce pérdidas que incrementan la temperatura interior de la máquina
hasta el valor máximo.
Con el valor máximo de la temperatura interior, el
envejecimiento del material del aislamiento es tan lento que permite alcanzar a la
máquina su período de vida útil (20 a 40 años), sin que se produzcan fallas en el
mismo.
Mediante la ecuación 9.52 se puede determinar la corriente en el estator de la
máquina en función del deslizamiento. Este cálculo se realiza de la siguiente forma:
E e = I*e (
Im =
Ee
Zm
=
R'r
+ j X'r )
s
I *e
R'r
(
+ j X'r )
s
Zm
R'r
R'r
(Z m+
+ j X'r )
+ j X'r )
s
s
V =
Ve
I e = I m + I *e =
Th
R'r
R'r
Zm ( Z +
)
(Z m+ Z e )(Z +
)
Th s
Th s
9.65
9.66
( Z m+
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 174 -
9.67
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
I
Ie(S=1)
Ie
I* e
Ien
-1.5
-1
-0.5
-sn 0 sn
0.5
1
1.5
s
Corriente del estator y del rotor referida al estator en función del deslizamiento
Fig. -116-
La corriente nominal define el deslizamiento nominal de la máquina como se
muestra en la figura -116-. Al quedar definido el deslizamiento nominal, también se
define el torque eléctrico nominal de la máquina y la potencia nominal en el eje. Una
vez que es conocida la temperatura máxima de operación, el sistema de enfriamiento
determina la corriente nominal, y esta a su vez el valor del deslizamiento que produce
esa corriente a una tensión determinada. Definido el deslizamiento nominal, también
quedan definidos el torque eléctrico nominal y la potencia nominal en el eje.
La tensión nominal de la máquina tiene relación con las pérdidas en el hierro y
con la magnitud de la corriente de magnetización. Cuando se aplica la tensión
nominal a las bobinas del estator, el flujo producido en el entrehierro no debe exceder
los valores máximos de la densidad de campo magnético Bmax que tolera el material
sin incrementar drásticamente las pérdidas en el hierro. Si la densidad de campo
magnético supera este valor, las pérdidas en el hierro crecen rápidamente, aumenta la
corriente de magnetización debido a la saturación del material y se incrementa la
temperatura interior de la máquina por encima del valor máximo de diseño.
Los valores nominales de la máquina no implican en forma alguna que la
máquina debe funcionar siempre en esta condición. Estos valores son simplemente
una referencia que indica un punto de operación en el cual la máquina puede
mantenerse en régimen permanente durante todo el período de vida útil para el que
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 175 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
fue diseñada. Exceder estos valores, incrementa las pérdidas y la temperatura interior
de la máquina, pero si la temperatura previa es inferior a la temperatura máxima de
diseño, la inercia térmica de los materiales retarda el incremento de temperatura.
Durante este tiempo es posible operar la máquina por encima de sus puntos
nominales sin reducir su vida útil. Incluso es posible tolerar un pequeño incremento de
la temperatura sobre la temperatura máxima sin reducir significativamente la vida útil
de la máquina.
En el arranque, las corrientes pueden alcanzar de tres a seis veces el valor
nominal, y esto produce un incremento de las pérdidas con el cuadrado de este valor.
Las pérdidas pueden crecer de nueve a treinta y seis veces su valor en el punto
nominal.
Si esta situación se mantiene indefinidamente, la temperatura se
incrementará muy rápidamente y se envejecerá el aislamiento. El tiempo de arranque
depende de la inercia conectada al eje de la máquina, y de la diferencia entre el torque
eléctrico y el torque mecánico de la carga. Cuando el arranque es lento, o se realiza
múltiples veces, la temperatura máxima se puede exceder.
Si esto ocurre
frecuentemente, indica que la especificación nominal de la máquina está por debajo
de los requerimientos de la carga. En estas condiciones es posible que durante los
períodos de operación en régimen permanente, la máquina opere por debajo de su
especificación nominal, y sin embargo la temperatura interior exceda la máxima
permitida. Por esta razón es muy importante el ciclo de carga, aceleración y frenado a
que está sometida una máquina, en su especificación definitiva.
9.15 Sistema en por unidad
Resulta conveniente utilizar el sistema de valores en por unidad en la
representación de la máquina de inducción.
Al representar las magnitudes,
parámetros y ecuaciones en un sistema adimensional de unidades, se simplifican y
visualizan mucho mejor los cálculos y condiciones de operación de la máquina.
Además, en por unidad los parámetros del circuito equivalente varían levemente con el
nivel de potencia y tamaño de la máquina, diferenciándose una de otra principalmente
por sus características constructivas. Resulta ventajoso indicar cuantas veces es
mayor la corriente de arranque con respecto a la corriente nominal, que utilizar
directamente la información en unidades físicas.
Para definir las bases del sistema en por unidad de un sistema eléctrico es
necesario especificar la potencia base y la tensión base. En los transformadores, es
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 176 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
necesario definir una tensión base en un lado del transformador, y utilizar la relación
del número de vueltas del equipo para definir la base de tensión del otro lado. Los
transformadores, las líneas de transmisión y las grandes máquinas poseen
rendimientos muy altos.
Estos elementos del sistema no tienen diferencias
importantes entre las potencias de entrada y salida. Las máquinas de inducción
utilizadas industrialmente, tienen un rendimiento sustancialmente menor y por tanto
existe una diferencia considerable entre la potencia de entrada y salida. Por esta
razón es necesario definir cual de las posibles potencias que se pueden escoger
resulta más conveniente. Esto por supuesto depende de la aplicación y del enfoque
preferido por el analista. En general, entre las infinitas posibilidades existentes son
tres las potencias base más utilizadas:
a.- La potencia aparente nominal del estator.(SB = Sn)
b.- La potencia activa nominal del estator.(SB = Pne)
c.- La potencia mecánica nominal en el eje mecánico de la máquina.(SB = Pneje)
La tensión base presenta menos problemas en su especificación y es utilizada
habitualmente como base la tensión nominal línea a línea, especificada en la placa de
la máquina. (VB = Vn). Las demás bases deben calcularse partiendo de estas dos
definiciones SB y VB. A continuación se analiza cada uno de estos sistemas:
a.-
SB = Sn
y
VB = Vn
En este caso la corriente base debe calcularse a partir de la definición de
potencia aparente en un sistema trifásico balanceado:
S = 3 V × I
B
B
B
S
Þ I =
B
B
3 V
9.68
La impedancia base del sistema se calcula monofásicamente debido a que el
circuito equivalente representa una fase de la máquina, de esta forma a partir de la
tensión base y la corriente base, se obtiene:
V
V
B
Z =
B
I
B
B
3
3
S
B
=
=
B
2
B
V
S
B
3V
9.69
Según este sistema en por unidad, la tensión, corriente del estator y potencia
aparente serán 1.0 en p.u. cuando la máquina esté operando en el punto nominal. La
B
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 177 -
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potencia activa en el estator tendrá el mismo valor del factor de potencia nominal. La
potencia en el eje tendrá como valor el producto del factor de potencia nominal por el
rendimiento del punto nominal de operación. Cuando se desea controlar que la
corriente del estator no exceda el valor nominal, este sistema es conveniente.
b.-
SB = Pen
y
VB = Vn
En este caso las expresiones 9.68 y 9.69 determinan la base de las corrientes e
impedancias del sistema. Cuando la máquina se encuentra en su punto de operación
nominal, la tensión y la potencia activa del estator son 1.0 en por unidad
respectivamente. La potencia aparente y la corriente del estator en por unidad valen
el inverso del factor de potencia nominal. La potencia mecánica en el eje, en por
unidad es igual, en este sistema, al rendimiento del punto nominal. Como la potencia
activa nominal en el estator no es una limitación operativa de la máquina, este sistema
no tiene mucha utilidad práctica.
c.-
SB = Pneje
y
VB = Vn
Igual que en los dos sistemas en por unidad anteriores, las expresiones 9.68 y
9.69, determinan la base de las corrientes e impedancias del sistema. Cuando la
máquina se encuentra operando en su punto de operación nominal, la tensión y
potencia en el eje del rotor son 1.0 en por unidad. La potencia aparente y la corriente
del estator en las condiciones nominales son iguales al producto del inverso del factor
de potencia nominal por el rendimiento en el punto nominal. Este sistema tiene
utilidad cuando se desea analizar la potencia de accionamiento de la carga mecánica.
Los sistemas electromecánicos necesitan además del cálculo de potencias,
tensiones, corrientes e impedancias, el cálculo de torques y velocidades. Como el
torque y la velocidad están relacionados por la potencia, es necesario definir una base
adicional. En general se escoge la velocidad angular sincrónica del campo magnético
rotatorio como base y de esta forma queda determinado el torque base:
S
S
S
P = T × w Þ T = w B = wB = B
B
2p fe
e
B
9.70
Si la máquina posee más de un par de polos, el torque base se calcula como el
torque definido en la ecuación 9.70, dividido por el número de pares de polos. Si la
potencia base es la potencia del eje mecánico, el torque para la condición de
operación nominal es 1.0. Cuando se define como base la potencia aparente de
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 178 -
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entrada, el torque es igual al producto del rendimiento nominal por el factor de
potencia nominal. Si la base de potencia es la potencia activa nominal del estator, en
el punto de operación nominal el torque es igual al rendimiento de la máquina en ese
punto.
9.16 Ensayos para la determinación de los parámetros del circuito equivalente
El circuito equivalente de la máquina de inducción está definido por seis
parámetros o elementos circuitales, tres resistencias que modelan las pérdidas y tres
reactancias que representan los flujos de dispersión y magnetización de la máquina.
El circuito equivalente de la máquina de inducción es igual al de un transformador
trifásico y por lo tanto la metodología utilizada en la determinación de los parámetros
de este circuito puede ser utilizada en este caso, con algunas variaciones. Las
variaciones se deben fundamentalmente a la presencia del entrehierro. En los
transformadores, la corriente de magnetización es muy pequeña en comparación con
la corriente nominal, por esta razón se puede despreciar esta rama cuando se desea
identificar las reactancias de dispersión.
En la máquina de inducción esta
aproximación es más difícil de sostener. Además, en un transformador generalmente
se dispone de acceso a sus circuitos primario y secundario. En la mayoría de las
máquinas de inducción este acceso no es posible, debido a que el rotor está en
cortocircuito.
Para identificar los parámetros de un transformador, se realizan los ensayos de
vacío y cortocircuito. El primero con la finalidad de obtener la reactancia y resistencia
de magnetización y el segundo para determinar las reactancias de dispersión y
resistencias de los conductores. La separación de la resistencia del primario y
secundario se puede realizar midiendo la caída de tensión al inyectar corriente
continua por una de sus bobinas. La separación entre las reactancias de dispersión
se obtiene repartiendo proporcionalmente a la reactancia de dispersión total, la
reluctancia del camino magnético en cada bobina. Esto conduce a que en por unidad,
las dos reactancias de dispersión del modelo T del transformador son
aproximadamente iguales y en valores físicos difieren en la relación de vueltas al
cuadrado. En la máquina de inducción no sucede lo mismo porque las ranuras y los
caminos magnéticos de las bobinas del estator y rotor pueden ser diferentes.
En la máquina de inducción también se pueden realizar estos ensayos, a
continuación se describen los más importantes:
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 179 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
a.-
Ensayo de vacío:
En esta prueba se hace girar la máquina a velocidad sincrónica, preferiblemente
por un accionamiento externo. De esta forma el deslizamiento es cero y por el circuito
del rotor no circulan corrientes. La máquina se alimenta a frecuencia y tensión
nominal en el estator y se miden con la mayor precisión posible las corrientes por las
fases, tensiones de línea y potencia activa de entrada. Como el circuito es
fuertemente inductivo es conveniente durante el ensayo utilizar vatímetros especiales
para medir bajos factores de potencia. Estos instrumentos son vatímetros normales
que permiten una deflexión de la aguja unas cinco veces mayor que la de un vatímetro
convencional para la misma potencia.
R
+
+ W1 -
Ia
IR
x y z
V
IS
VVW
RPM
U
VUV
S
M.I.
3f
M.C.C
Va
W
Ic
T
+ W2 +
+
IT
Montaje experimental para el ensayo de vacío
Fig. -117-
La tensión en la rama de magnetización es aproximadamente igual a la tensión
de alimentación, debido a que las corrientes de magnetización, aun cuando son entre
una tercera parte y la mitad de la corriente nominal, no producen una caída
significativa en la rama serie del modelo. Con esta simplificación, la resistencia y
reactancia de magnetización se obtienen mediante los siguientes cálculos:
S o = 3 Vo Io
9.71
Po = P + P
9.72
1
Qo =
2
2
2
S o - Po
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 180 -
9.73
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
2
Rm @
Xm @
Vo
Po
9.74
2
Vo
Qo
9.75
Los órdenes de magnitud habituales son los siguientes:
Io @ 0.2 ~ 0.3 p.u.
Zm @ 2.0 ~ 3.0 p.u.
Xm @ 2.0 ~ 3.0 p.u.
Rm @ 50 ~ 100 p.u.
b.-
Prueba de rotor bloqueado o ensayo de cortocircuito:
Para realizar este ensayo es necesario bloquear el rotor de la máquina de
inducción. Cuando el rotor está detenido, el deslizamiento es uno. El circuito
equivalente en estas condiciones es semejante al de un transformador en
cortocircuito.
En la identificación de parámetros del transformador se puede
despreciar la rama de magnetización, porque la corriente de cortocircuito es mucho
mayor que la corriente de magnetización. La tensión de la rama de magnetización se
deprime prácticamente a la mitad de la tensión de vacío y esto reduce aún más la
corriente que circula por ella. En el transformador, la influencia de la rama de
magnetización durante el ensayo es prácticamente despreciable.
En la máquina de inducción la corriente de rotor bloqueado puede alcanzar
entre tres y seis veces la corriente nominal. La corriente de vacío está comprendida
entre la tercera parte y la mitad de la corriente nominal. Durante la prueba de rotor
bloqueado la tensión de la rama de magnetización se deprime más o menos a la
mitad, y por esta razón la corriente de la máquina durante este ensayo puede alcanzar
a ser entre seis y dieciocho veces mayor que la corriente de magnetización. Desde un
punto de vista práctico es posible despreciar esta rama en la estimación de los
parámetros, sin embargo la aproximación no es tan precisa como cuando se aplica en
el ensayo de cortocircuito de un transformador.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 181 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
El esquema de medida es similar al ilustrado en la figura -117-, pero en lugar de
hacer girar la máquina de inducción a velocidad sincrónica, es necesario bloquear
mecánicamente el rotor. Como el circuito equivalente en este ensayo también es muy
inductivo, deben utilizarse vatímetros de bajo factor de potencia para mejorar la
precisión de la medida. En la práctica este ensayo no se realiza a valores nominales
de tensión, para evitar un calentamiento excesivo debido al incremento de las
pérdidas con el cuadrado de la corriente y a la falta de ventilación por estar detenido el
rotor. Por otra parte, es necesario utilizar una tensión suficientemente grande como
para que el circuito magnético esté operando en la zona lineal.
Aun cuando el ensayo a rotor bloqueado se realice con cierta rapidez, la
resistencia de las bobinas cambia apreciablemente con la temperatura y es necesario
corregir las medidas. Para este fin se miden las resistencias del estator cuando la
máquina está a temperatura ambiente, antes de comenzar el ensayo. Esta medida se
realiza inyectando corriente continua en la bobina y midiendo la caída de tensión. La
corriente inyectada debe ser menor a un décimo de la corriente nominal para que el
calentamiento sea despreciable. Posteriormente se efectúa el ensayo a rotor
bloqueado e inmediatamente después de terminar estas medidas, se realiza una
nueva medida de las resistencias del estator, por el mismo método descrito. Las dos
medidas de resistencia y el conocimiento del material utilizado en el bobinado de la
máquina permiten deducir la temperatura alcanzada por la máquina durante el ensayo.
Si la máquina está bobinada con cobre recocido en frío, la ecuación que determina la
variación de la resistencia en función de las temperaturas es la siguiente:
R
T
2
R
=
T
234.5 + T (°C)
2
234.5 + T (°C)
1
9.77
Para determinar los parámetros de la rama serie del circuito equivalente de la
máquina de las medidas de potencia, tensión y corriente se utiliza el siguiente
procedimiento:
S cc = 3 Icc× Vcc
9.77
1
Qcc =
2
2
S cc - Pcc
R @ Re + R'r =
T
Pcc
2
3 Icc
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 182 -
9.78
9.79
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X @ Xe + X'r =
T
Qcc
2
3 Icc
9.80
Las resistencias se pueden corregir desde la temperatura de la prueba, a la
temperatura nominal de operación. Como además se conoce la resistencia del estator
por una medida directa, la resistencia del rotor referida al estator se calcula por
diferencia:
R'r = R - Re
T
9.81
Con las medidas realizadas, no es posible realizar una separación de las
reactancias de fuga del estator y rotor, la práctica más habitual consiste en dividirlas
por igual en las dos ramas. Sin embargo es necesario recordar que los caminos de
fuga del estator y del rotor son diferentes. Estos caminos dependen principalmente de
la forma de la ranura, y esta forma puede diferir mucho.
Los órdenes de magnitud habituales en este ensayo son los siguientes:
Icc @ 3.0 ~ 6.0 p.u.
Re @ 0.01~ 0.02 p.u.
R'r @ 0.02~ 0.06 p.u.
Xe @ 0.10 ~ 0.20 p.u.
X'r @ 0.10 ~ 0.20 p.u.
9.17 Técnicas de estimación paramétrica aplicadas al circuito equivalente
En la sección anterior se ha presentado una técnica simplificada para
determinar los parámetros del circuito equivalente de la máquina de inducción. Esta
técnica se ha adaptado de la estimación de parámetros en transformadores. En los
dos ensayos descritos, se realiza la medida de la impedancia equivalente de la
máquina en dos condiciones de operación diferentes, deslizamiento cero y uno.
Además se realiza una medida directa de la resistencia del estator. Conocida la
resistencia del estator, sólo resta por determinar cinco parámetros. Cada uno de los
ensayos permite establecer dos ecuaciones, una para la parte real y otra para la parte
imaginaria de la impedancia de entrada. En total se dispone de cuatro ecuaciones y
cinco parámetros por determinar.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 183 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
El problema matemático está indeterminado. La solución obtenida con tan
escasa información, además de utilizar simplificaciones más o menos razonables,
debe considerar una separación artificial de las reactancias de dispersión. Este
problema se resuelve realizando ensayos adicionales a diferentes deslizamientos. Si
se realizan varios ensayos, se obtiene un sistema con un mayor número de
ecuaciones (dos por cada ensayo). Como los parámetros que se están determinando
son siempre cinco, se tienen más ecuaciones que incógnitas. El sistema de
ecuaciones obtenido está sobre determinado. Las medidas realizadas en los ensayos
incluyen errores de apreciación del observador y precisión en los instrumentos.
Además, los parámetros de la máquina varían en la práctica dependiendo de variables
tales como el grado de saturación, la temperatura y el efecto pelicular entre otras. En
esta situación resulta de gran utilidad la técnica de estimación paramétrica por el
método de los mínimos cuadrados.
Del circuito equivalente de la máquina de inducción se puede determinar la
impedancia de entrada en función de los parámetros de la máquina, la frecuencia de
alimentación y el deslizamiento del rotor. Esta función de impedancia del estator tiene
la siguiente forma:
Z r× Z m
Z (Re , Le , Rm, L m, R'r, L'r, s, we ) = Z e +
ent.
Zr + Zm
9.82
donde:
Z e = Re + j we L e
9.83
R'
Z r = sr + j we L 'r
Zm =
9.84
j we Lm Rm
Rm + j we Lm
9.85
Utilizando el modelo de impedancia de entrada de la máquina, efectuando n
ensayos con una precisión determinada, y variando la velocidad del rotor o la
frecuencia de alimentación, el problema que se debe resolver es:
Minimizar Y:
n
Y=
å
i=1
é Z m(si, wi) - Z c(si, wi) ù é Z m(si, wi) - Z c(si, wi) ù
ê
ú× ê
ú
s Z m(s , w )
s Z m(s , w )
i
ë
û ë
û
i i
i
i i
donde:
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 184 -
T*
9.86
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Zm(si)
Zc(si)
si
wi
si
i
n
es la i-ésima impedancia medida en los ensayos.
es la i-ésima impedancia calculada mediante el modelo.
es deslizamiento de la i-ésima medida.
es la frecuencia de la i-ésima medida.
es el factor de ponderación debido a la precisión de la medida i.
es el número correspondiente a cada una de las medidas realizadas
y,
es el número total de medidas.
La ecuación 9.86 se puede escribir matricialmente como:
T
Y = f . f*
9.87
donde:
T
f = [ f (x , s , w ) f (x , s , w ) ¼ fn (x, s , w ) ]
1
i
ei
2
i
ei
i
y
i
ei
i
i
9.88
Z m(s , w ) - Z c(x, s , w )
i
f (x, s , w ) = f (Re , Xe , Rm, Xm, R'r, X'r, s , w ) =
i
ei
ei
i
ei
Z m(s , w )× s
ei
i
ei
i
9.89
Considerando que la ecuación 9.89 no es lineal en el caso general, las
derivadas primeras de la función de costos Y con respecto a cada una de las variables
de estado [x] del modelo se calculan de la siguiente forma:
é
ê
ë
T
¶Y ùú
=
g(x)
=
2
A(x)
f(x)
¶x û
9.90
donde la matriz A(x) definida en la ecuación 9.90 es la matriz Jacobiana del vector de
errores ponderados f(x). La matriz Jacobiana es de dimensión nxm, donde n es el
número de medidas y m el número total de variables de estado o parámetros del
modelo.
El incremento de los parámetros que minimiza la función de costos 9.87,
utilizando el método de Gauss-Newton es de esta forma:
é
ê
ë
k T
k
Dx = - A(x ) . A(x )
ù
ú
û
-1
k T
A(x ) f(xk )
9.91
y el vector de variables de estado o parámetros del modelo en la iteración k+1 se
calcula como:
x k+ 1 =
xk + D x
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 185 -
9.92
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Si en la iteración k, el módulo del vector Dx es menor que un cierto error e
especificado, el problema converge al mínimo local más cercano de la función de
costos Y. Este método presenta ciertos problemas de convergencia, en particular
cuando el peso de las segundas derivadas en la matriz Hessiana es importante. Para
garantizar la convergencia del método es recomendable modificar la ecuación 9.92 de
la siguiente forma:
x
k+1
k
= x + a . Dx
9.93
Sustituyendo la ecuación 9.93 en el vector de errores ponderados f(xk+1) se
puede obtener mediante la ecuación 9.90 una función de costos para la iteración k+1
en función de las variables de estado obtenidas en la iteración k, y el parámetro
unidimensional a:
Y(x
k+1
k
k
T
k
) = Y(x +a.Dx) = f(x +a.Dx) . f(x +a.Dx) = Y(a)
9.94
Para obtener el nuevo vector de corrección a.Dx, es necesario determinar el valor del
parámetro a que minimiza la función de costos.
Una vez obtenido el valor de las variables de estado que minimizan la función
de costos en la iteración k+1 se prosigue el cálculo determinando una nueva dirección
mediante la ecuación 9.94 y un nuevo proceso de búsqueda del mínimo. Cuando el
módulo del vector de dirección es inferior a la precisión requerida en los cálculos,
termina el proceso de minimización con la mejor estimación de los parámetros del
modelo.
Uno de los inconvenientes que presenta el método de Gauss-Newton
modificado es la necesidad de encontrar un valor inicial para las variables de estado.
La función de costos Y, puede tener múltiples mínimos locales. La mejor solución
para el modelo es aquella que produce el menor de los mínimos locales. Los valores
de arranque pueden ser generados mediante una estimación inicial de tipo
determinístico que puede ser realizada mediante los métodos tradicionales
simplificados analizados en las dos secciones anteriores. De todas formas, el método
de Gauss-Newton requiere de un valor inicial cercano a la solución para garantizar la
convergencia a la solución óptima.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 186 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Lectura de:
- Nº de medidas 'n'
- deslizamiento si
- frecuencia w ei
- impedancia Zmi
k= 0
Cálculo de los valores
iniciales del vector x k
Evaluación de A
k=k+1
no
k
T
g (x ) = 2 A f
k>k
max
T
H (x k) @ 2 A A
-1
Dxk = - H g
k+1
x
k
si
k
= x + a Dx
si
no
Fin
¿Otra
Solución?
si
¿| Dx | < e?
no
Obtención de a que
min. Y (x + a Dx)
búsqueda lineal
Diagrama de flujo del método de minimización de Gauss-Newton
Fig. -118-
Si se desea asegurar la convergencia del método, es conveniente limitar la
corrección máxima a Dxk para que ninguno de los parámetros de la máquina definidos
en el vector xk pueda aumentar o disminuir en más de un cincuenta por ciento. Esto
puede reducir la velocidad del algoritmo, pero asegura que los parámetros han de ser
siempre positivos y evita divergencias debido a la no linealidad del modelo.
El método de Gauss-Newton es muy eficiente para la determinación de los
parámetros cuando la función de costos se define por mínimos cuadrados. Otros
métodos de optimización no lineal también pueden obtener soluciones con más o
menos dificultad. Como ejemplo se presenta a continuación el listado de un algoritmo
realizado en el entorno de programación MATLAB 3.5. Este programa permite realizar
una manipulación matricial y vectorial muy simple con números complejos. Además
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 187 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
incluye una amplia librería matemática que facilita la solución rápida de complejos
problemas prácticos. En este ejemplo se realiza la estimación de los parámetros del
modelo de una máquina de inducción, que son previamente conocidos. Con estos
parámetros se evalúan las impedancias de entrada de la máquina para las
condiciones de la prueba de vacío, carga y rotor bloqueado. Por el método
convencional y aproximado se realiza una estimación inicial de los parámetros. Se
utiliza un programa de la librería del entorno denominado ‘fmins’ que utiliza la
modificación al método Simplex de Nelder-Meade.
%************************************************************
% Estimación de los parámetros de una máquina de inducción
% mediante la técnica de los mínimos cuadrados.
%************************************************************
% programa parámetros.
% Para este ejemplo se utilizó el circuito equivalente para
% determinar la impedancia de entrada para tres deslizamientos
% diferentes: vacío (s=0), carga (s=0.03) y rotor bloqueado (s=1)
% Los parámetros del circuito equivalente de esta máquina son:
%
%
%
Re = .02 p.u.
Xe = .10 p.u.
Rm = 50. p.u.
Xm = 3.0 p.u.
Xr = .15 p.u. Rr = .03 p.u.
% Los ensayos realizados dieron los siguientes resultados:
%
Zmedida(s=0)
= .199350+j3.0892 p.u.
%
Zmedida(s=0.03) = .833740+j.49141 p.u.
%
Zmedida(s=1)
= .047603+j.24296 p.u.
%
Re
= .02 p.u. (Medida directa)
% Utilizando el método aproximado se consiguen los siguientes
% valores de arranque.
%
Xeo = .12
p.u.
Rmo = 48.0 p.u.
%
Xmo = 3.3
p.u.
Xro =.12
p.u.
%
Rro = .0276 p.u.
% Estos valores se cargan en el vector de arranque x0:
x0 = [.12 48. 3.3 .0276 .12];
% Finalmente se llama a la rutina ’fmins’ que calcula los valores
% de los parámetros x que minimizan la función de costo.
% El error relativo especificado para la convergencia es 0.001
x = fmins('costo', x0, 0.001);
% En el vector x se han cargado los parámetros óptimos de la
% estimación. La solución es:
Refin
Xefin
Rmfin
Xmfin
Rrfin
Xrfin
=
=
=
=
=
=
0.02
x(1)
x(2)
x(3)
x(4)
x(5)
% Fin del cálculo paramétrico.
%************************************************************
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 188 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
function Fi = costo(x)
%************************************************************
% Evaluación de la función de costos por mínimos cuadrados.
% Fi = Sumatoria(errores relativos)^2
% Deslizamientos correspondientes a los ensayos de vacío,
% carga y rotor bloqueado.
s = [1e-10 .03 1.];
Re
Xe
Rm
Xm
Rr
Xr
=
=
=
=
=
=
0.02;
x(1);
x(2);
x(3);
x(4);
x(5);
%
%
%
%
%
%
Medición directa de la resistencia estator
Reactancia de dispersión del estator
Resistencia de magnetización
Reactancia de magnetización
Resistencia del rotor referida al estator
Reactancia dispersión rotor referida al estator
% Vector fila de las impedancias de entrada medidas en los
% ensayos.
Zmedida = [1.9935e-01-3.0892e+00*i
8.3374e-01-4.9141e-01*i
4.7603e-02-2.4296e-01*i]';
% Evaluación de las impedancias calculadas mediante la estimación
% de los parámetros del modelo.
Ze = Re+j*Xe;
Zm = (Rm*j*Xm)/(Rm+j*Xm);
Zth = Ze*Zm/(Ze+Zm)+j*Xr;
Ve = 1.00;
Vth = Zm*Ve/(Zm+Ze);
Ir = Vth./(Zth+Rr./s);
Ee = Ir.*(Rr./s+j*Xr);
Im = Ee./Zm;
Ie = Im+Ir;
Zcalculada=Ve./Ie;
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Impedancia estator
Impedancia magnetización
Impedancia de Thevenin
Tensión del estator
Tensión de Thevenin
Corriente del rotor referida
Tensión rama magnetizante
Corriente de magnetización
Corriente del estator
Impedancia de entrada calculada
% Cálculo del error relativo entre las medidas y el modelo
error = (Zmedida-Zcalculada)./Zmedida;
% Cálculo de la función de costo por mínimos cuadrados
Fi = error*error';
% Fin de la función 'costo'
%************************************************************
% Resultados obtenidos al ejecutar el programa ...
%************************************************************
»parámetros
Refin
Xefin
Rmfin
Xmfin
Rrfin
Xrfin
»
= 0.0200
= 0.0999
= 50.0014
= 3.0000
= 0.0300
= 0.1501
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 189 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
En la siguiente tabla se presenta una comparación entre los resultados de los
dos métodos:
Parámetro
Método
Aproximado
Estimación
MATLAB
Exacto
Re
Xe
Rm
Xm
R’r
X’r
0.0200
0.0200
0.0200
0.1200
0.0999
0.1000
48.000
50.0014
50.000
3.3000
3.0000
3.0000
0.0276
0.0300
0.0300
0.1200
0.1501
0.1500
9.18 Diagramas fasoriales de la máquina de inducción
En la figura -119- se representa el circuito equivalente de la máquina de
inducción, indicando las corrientes y las tensiones en cada uno de sus elementos.
VRe
VXe
VX'r
VR'r
Re
Xe
X'r
R'r
Im
Ie
Ve
Ee
Imr
Rm
I*e
Imx
Xm
Vc
ù
R'r éêë 1 - s úû
s
Carga
Circuito equivalente de la máquina identificando las tensiones en cada elemento
Fig. -119-
La carga en el circuito equivalente de la máquina de inducción es puramente
resistiva. Por esta razón la tensión sobre la carga Vc, se encuentra en fase con la
corriente del rotor referida al estator I*e. La carga de la máquina en condiciones
normales de operación es cercana a 1.0 en p.u, alrededor del punto nominal.
Dependiendo del valor del deslizamiento, la máquina puede operar en tres
condiciones básicas: como motor, como generador y en la condición de freno.
La operación como motor requiere que el deslizamiento cumpla con las
siguientes condiciones:
1.-
El deslizamiento debe ser positivo para que el torque eléctrico sea de
accionamiento, [s ≥ 0].
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 190 -
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2.-
La resistencia de carga tiene que ser positiva para que la máquina
entregue potencia en el eje mecánico, [(1-s)/s ≥ 0].
Estas dos condiciones definen un intervalo del deslizamiento en el cual la
máquina de inducción opera como motor, accionando la carga mecánica:
0 ≤ s ≤ 1 (Motor)
9.95
En la figura -120- se representa el diagrama fasorial de una máquina de
inducción en la condición motor, cerca del punto nominal de operación.
VX e
Ve
VRe
Ee
VX ¢r
je
I mr
*
Ie
VC
VR ¢r
Ie
I mx
0 £ s £1
(Motor )
Im
Diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición motor
Fig. -120-
Con el rotor en reposo, durante el proceso de arranque (s=1), la reactancia de
fuga del rotor X’r es varias veces mayor que la resistencia del rotor R’r; el circuito es en
este caso fuertemente inductivo. En la figura -121- se representa el diagrama fasorial
de la máquina de inducción en esta condición (s=1).
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 191 -
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La operación como generador requiere que la máquina entregue potencia por el
estator. La energía entra por el eje mecánico, atraviesa el entrehierro y llega al
estator. En el circuito equivalente este fenómeno se modela cuando la resistencia de
carga es negativa. Una resistencia negativa en lugar de consumir potencia, la genera.
La potencia generada por esta resistencia proviene del accionamiento mecánico
externo. Cuando el deslizamiento del rotor es negativo (s < 0) la resistencia que
modela la carga es negativa también. Un deslizamiento negativo implica que la
velocidad del rotor es mayor que la velocidad sincrónica, en estas condiciones el
campo magnético rotatorio que se produce en el rotor adelanta al campo magnético
rotatorio del estator, el torque eléctrico se invierte de sentido y la potencia fluye desde
el rotor hacia el estator. En la figura -122- se puede apreciar el diagrama fasorial de
una máquina de inducción en la condición de generación (s < 0). El ángulo entre la
tensión y la corriente del estator es mayor de 90°.
Ve
VXe
I mr
Im
I mx
VRe
Ee
VX ¢r
VR ¢r
je
s =1
arranque
I*e
VC
Ie
Diagrama fasorial de la máquina con el rotor en reposo (s=1)
Fig. -121-
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 192 -
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I* e
Ie
VR ¢r
VC
I mr
I mx
VX ¢r
Ee
Im
Ve
s<0
generador
VRe
je
VXe
Diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición generador
Fig. -122-
Si la máquina gira en sentido contrario al del campo magnético rotatorio, el
deslizamiento es mayor que uno (s > 1). Para esta condición la resistencia de carga
es negativa. Por otra parte, la suma de la resistencia de carga con la resistencia del
rotor es positiva. En estas condiciones la máquina consume potencia tanto de la
fuente como del eje mecánico. Toda esta potencia se disipa como pérdidas en las
resistencias pasivas del circuito equivalente. En esta condición la máquina opera
como freno (s > 1). En este caso la máquina utiliza potencia eléctrica de la fuente
para openerse al sentido del movimiento. Estos puntos de operación pueden utilizarse
para frenar un motor, consumiendo para este fin la energía cinética acumulada en la
carga mecánica.
Durante el funcionamiento como freno la máquina disipa
internamente mucha energía y esto ocasiona un calentamiento importante, por esta
razón este tipo de operación tan solo debe utilizarse durante cortos períodos de
tiempo. En la figura -123- está representado el diagrama fasorial de la máquina de
inducción en la condición de freno.
Im
Ie
I mx
VR ¢r
I* e
VX ¢r E
e
je
I mr
VC
VRe
VXe
Ve
s >1
freno
Diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición de freno
Fig. -123-
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 193 -
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Para que la máquina de inducción opere en la condición de freno, es necesario
que se invierta el sentido de giro del campo magnético rotatorio con respecto a la
velocidad del rotor. Esto se puede lograr invirtiendo la conexión de dos fases del
estator, el sentido de giro del campo se invierte y la máquina entra en la condición de
freno. El torque eléctrico que produce la máquina tiene sentido contrario al
movimiento del rotor, y la carga mecánica disminuye su velocidad. Cuando el rotor se
detiene, se desconecta la máquina de la red y culmina el proceso de frenado.
En la figura -124- se presenta un diagrama Torque eléctrico-deslizamiento. En
este diagrama se han representado las diferentes condiciones de operación discutidas
anteriormente.
Te
Te
wr
wr
2we
-1
wr > 0
GENERADOR
MOTOR
FRENO
Pe > 0
we
0
Pe < 0
Pe < 0
0
Te
1
Te
wr
wr
wr > 0
wr < 0
s
Modos de operación de la máquina de inducción
Fig. -124-
9.19 Características normalizadas de la máquina. Factor Q de calidad.
El gráfico torque eléctrico-deslizamiento de la máquina de inducción es una
función que puede ser normalizada con respecto al torque eléctrico máximo y a su
deslizamiento correspondiente. La característica de torque eléctrico - deslizamiento
normalizada tiene gran utilidad cuando es necesario determinar las características de
una máquina a la cual no se le conocen sus parámetros. Este conocimiento resulta
conveniente durante el proceso de diseño o especificación de un accionamiento. La
expresión 9.55 determina el torque eléctrico en función del deslizamiento, y el torque
máximo se calcula a partir de la ecuación 9.58 como:
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 194 -
Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
m
Tmax = w e
e
V
2
Th
2
Th
2[R +
2
Th
R +X
Th
]
9.96
Dividiendo la característica del torque eléctrico-deslizamiento 9.55 por la
expresión anterior se obtiene el resultado siguiente:
Te
Tmax
=
2
Th
2[R +
R +X
Th
2
]
Th
R'r 2
2
X + (R +
)
Th
Th s
R'r
×
s
9.97
Definiendo el factor de calidad Q de la máquina de inducción como el cociente
entre la impedancia y la resistencia de Thèvenin:
Q=
X
Th
R
Th
9.98
e introduciendo la definición 9.98 y la expresión 9.58 en la ecuación del torque
normalizado 9.97 se obtiene el siguiente resultado:
Te
Tmax
1+
=
1+
2
1+ Q
s
Tmax
1
s
[
]
+
s
2 sT
max
2
1+ Q
9.99
La expresión anterior determina el torque eléctrico de una máquina de inducción
conociendo solamente el torque eléctrico máximo, el deslizamiento correspondiente al
torque eléctrico máximo, el factor de calidad de las bobinas y el deslizamiento de
interés. El factor de calidad de las bobinas es un valor característico de la máquina y
no varía en un rango demasiado amplio. En la práctica el rango del factor de calidad
Q está comprendido entre 3.0 y 10 aproximadamente.
El deslizamiento
correspondiente al torque eléctrico máximo tiene incidencia directa sobre el
rendimiento del punto nominal, cuanto menor es este deslizamiento; mayor es el
rendimiento. Sin embargo, una máquina con deslizamiento de torque máximo muy
pequeño produce un torque de arranque reducido. El torque máximo, puede corregir
esta situación.
En algunas ocasiones la expresión 9.99 se simplifica considerando que el factor
de calidad Q de la máquina tiende a infinito. Esto es una buena aproximación en
máquinas muy grandes, donde la resistencia de Thèvenin es muy pequeña
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 195 -
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comparada con la reactancia de dispersión, que no se varía practicamente en por
unidad, con el tamaño o potencia de la máquina. La expresión que se obtiene en esta
condición es:
Te
2
=
; cuando Q ® ¥
s
Tmax
Tmax
s
+
s
s
Tmax
9.100
Una expresión semejante a la 9.99 se obtiene para la corriente del rotor referida
al estator cuando se normaliza por el valor de esta corriente y del deslizamiento
correspondiente al torque máximo:
1.0
Q =0
0.9
Q =1
0.8
Q =2
0.7
Q =5
0.6
Te
0.5
Tmax
0.4
0.3
0.2
Q®
0.1
1
0.1
10
s
s
Tmax
Gráfico del torque eléctrico normalizado
Fig. -125-
I*e
I*
= 2
1+
s
Tmax
Tmax
s
+ [ 1+ (
2
s
1+ Q
Tmax 2
s
) ]
2
1+ Q
9.101
Cuando el factor de calidad Q tiende a infinito, la expresión 9.101 tiende a:
I*e
I*
Tmax
=
s
1+(
2
Tmax 2
s
; cuando Q ® ¥
)
En la figura -126- se han representado las dos últimas expresiones.
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 196 -
9.102
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2
Q =0
1.8
Q =1
1.6
Q =2
1.4
I*e
I*e
Tmax
1.2
1
Q =5
0.8
Q®
0.6
0.4
0.2
0
0.1
1
Corriente del rotor normalizada
Fig. -126-
Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción
- 197 -
10
s
s
Tmax
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- 198 -