TEMA 2. CONDUCCION EN DIVERSOS CASOS.

TEMA 2. CONDUCCION EN DIVERSOS CASOS.
•Pared plana.
•Pared cilíndrica.
•pared esférica.
Conducción de Calor en régimen permanente en una dimensión. La
condición que prevalece en el cuerpo conductor es que la temperatura en
puntos fijos del cuerpo no varía con el tiempo.
El flujo de calor a través de una pared plana, en zonas alejadas de los
bordes, depende de la coordenada medida en la dirección a la normal a la
superficie, si despreciamos los efectos de borde en la pared el problema
se reduce a uno de conducción calorífica unidimensional.
Ecuación general de conducción de calor para régimen permanente y
flujo unidimensional será:
dt
d
(k
) + qv = 0
dx
dx
1er Caso: La pared plana con temperaturas de
contorno conocidas.
Dada una pared plana de
espesor finito pero de
superficie infinita , con cada
una de sus caras a
temperatura uniforme y con
conductividad térmica k
constante :
Puesto que no se produce generación interna de calor, la ecuación
general de conducción de calor se reduce a
d 2t
=0
2
dx
Con cond. de contorno : t=t1 en x= x1
t=t2 en x=x2
Integrando ,
t = t1 + (t 2 − t1 )
x − x1
x 2 − x1
determinamos la distribución del campo de temperaturas.
Para determinar la velocidad de flujo de calor a través de la
superficie utilizamos la ecuac. de Fourier para transmisión de calor por
conducción:
t −t
Q
= −k ( 1 2 )
A
∆x
2do. Caso: La pared de capas múltiples con
temperaturas de contorno conocidas.
Dada una pared plana compuesta de
varias capas con temperaturas diferentes
y conductividad k diferentes.
Con:
∆xmn= espesor del material entre los
planos m y n.
kmn= conductividad térmica entre los
planos m y n.
Conocidas t1 y t4, ∆x y k para todos los
materiales.
Suponiendo que el flujo de calor por unidad de superficie es el mismo
para cada caso:
t −t
t −t
t −t
Q
A
=(
1
∆x12
2
k12
)=(
2
∆x 23
3
k 23
)=(
3
∆x34
4
k 34
)
Sumando las ecuaciones tenemos:
t1 − t 2
Q
=
A ∆x12 ∆x 23 ∆x34
+
+
k12
k 23
k 34
Que nos da el flujo de calor total a través de las tres superficies.
El cálculo de las temperaturas se hace a partir de la ecuación de Fourier
para cada capa, una vez conocido Q.
Conductancia (C) y Resistencia térmica (Rk).
k
C=
,
∆x
1 ∆x
Rk = =
,
C kA
∆x
Rtk =
kA
Resistencia térmica de contacto
t A − tB
Rtc =
Q
A
Rtct
Rtc
=
A
3er. Caso: Cilindro de capa única con temperaturas
de contorno conocidas.
Dada un cilindro hueco de una sola
capa, con superficie interior de radio r1 y
exterior de radio r2, con temperaturas
uniformes t1 y t2, de manera tal que su
longitud es lo suficientemente larga para
despreciar los efectos de borde, el calor
transferido a través de su capa puede ser
calculada como un problema de
transferencia de calor en régimen
permanente y unidimensional.
Para K constante y sin generación interna de calor, la ecuación general de
transferencia de calor por conducción queda:
d
dt
dr
(r
dr
)=0
La distribución de temperaturas, en las condiciones de contorno
dadas será:
ln(r r1 )
t = t1 + (t 2 − t1 )
ln(r2 r1 )
Dado el régimen permanente a partir de la Ley de Fourier, el flujo
de calor por unidad de longitud es:
Q 2πK (t1 − t 2 )
=
L
ln(r2 r1 )
4to. Caso: Cilindro de capas múltiples con
temperaturas de contorno conocidas.
En este caso puede utilizarse el mismo
procedimiento que para la pared plana
de capas múltiples.
2π (t1 − t 4 )
Q
=
A ln(r2 r1 ) ln(r3 r2 ) ln(r4 r3 )
+
+
k12
k 23
k 34
Una vez conocido Q/L podemos
calcular las temperaturas conocidas a
través del flujo de calor en cada capa.
Efecto de la Conductividad Térmica variable
La conductividad Térmica puede
expresarse en función de la
temperatura:
k = k 0 (1 + bt )
Empleando la Ley de Fourier y
calculando la conductividad térmica
en función de la media aritmética de
la temperatura superficial, tenemos
que el flujo de calor puede ser
calculado como:
t1 − t 2
Q
= km
A
∆x
EFECTO DE LA GENERACIÓN INTERNA DE CALOR
Generación uniformemente distribuida en una pared plana
t1 − t 2
1 x − x1
Q
)
=k
− q v ( x 2 − x1 )( −
2 x 2 − x1
A
x 2 − x1
Si t1 > t2
t1 − t 2 q v ∆x
Q
( ) x1 = k
−
A
2
∆x
t1 − t 2 q v ∆x
Q
( ) x2 = k
−
A
2
∆x