manual parte entera Docentes - MATEMATICA

La Función
Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
(Para Docentes)
Ilustración hecha por: Dorian Román Pérez
Función Parte Entera
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José Pablo Flores Zúñiga
ÍNDICE
Página
Introducción…………………………………………........... 3
Recomendaciones…………………………………………. 4
Marco teórico……………………………………………….. 5
Plan Unidad…………………………………………………. 7
Objetivos…………………………………………………….. 8
Motivación histórica……………………………...………… 9
1.1 Definición de parte entera………………….…............ 10
Ejercicios 1.1……………………………………………….. 12
1.2 Orden de los números reales………………………...
13
Ejercicios 1.2 ……………………………………………….. 14
1.3 Análisis de la función parte entera…………………… 15
Ejercicios 1.3 ……………………………………………….. 15
Ejercicios de mayor grado dificultad……………………... 17
Respuesta de los ejercicios…………………………......... 18
Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
Introducción
La función parte entera es considerada como una función
especial la cual es estudiada por estudiantes de diferentes niveles a
nivel de secundaria y universitaria como por ejemplo comparar
números reales, en el estudio de la continuidad, y principalmente
sus aplicaciones en la teoría de números.
En este protocolo se pretende conocer el marco teórico de la
función parte para trabajar con la unidad didáctica de este tema, de
manera que se pueda aplicar a nivel de secundaria y permita abrir
puertas para el estudio más profundo de la función parte entera en
sus aplicaciones.
Se mostrará una propuesta de planeamiento de la unidad de la
función parte entera para que los docentes puedan utilizarla o
modificarla de acuerdo a las necesidades de los estudiantes a
trabajar.
Al terminar de leer y analizar este documento se espera que se
alcance los siguientes objetivos:
Familiarizarse con la motivación histórica de la función parte
entera.
Notar la definición de parte entera.
Analizar el marco teórico relacionado con la función parte
entera.
Observar la unidad didáctica de la función Parte Entera.
Considerar el tema de función parte entera en educación
secundaria.
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Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
Recomendaciones
Se recomienda que los estudiantes dispongan de una
calculadora para poder aproximar números irracionales.
Se recomienda al docente de matemática que trabaje el
manual con estudiantes de décimo nivel después de que el
estudiante maneje los conocimientos básicos sobre funciones
para practicar el tema y relacionarlo con la parte entera la cual
tiene aplicaciones que no se enseñan en secundaria.
El docente puede aplicar el manual a estudiantes de noveno
año para el estudio de los números reales, la cual debe hacer
las modificaciones necesarias debido a que el estudiante no
maneja los conceptos de funciones, pero no limita a que se
utilice la parte entera porque no es necesario conocer sobre
funciones para poder calcular la parte entera de un número
real.
El manual se puede aplicar como un trabajo extraclase dado a
que se incluye explicaciones de cómo calcular la parte entera
con variedad de ejemplos.
El manual se puede entregar como material complementario o
utilizarlo con estudiantes talentosos en matemática y además
viene una lista de ejercicios de mayor dificultad diseñados
para estudiantes talentosos.
El manual se puede aplicar para una enseñanza a distancia.
Se recomienda que el docente oriente al estudiante la relación
de la función parte entera con el conjunto de los números
reales para caracterizar las propiedades del mismo como que
es ordenado y denso.
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Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
Función Parte Entera
Definición: Sea:, : tal que esta definido por donde
á / Observación: De la definición se desprende que, evidentemente
, ; Ejemplos:
3 √3 3 1 4 4
# ln 10 #3
0,9 0
Teorema 1 , :
a) es único
b) ( 1
c) ) d) *, * : * *
e) , ) # #
f) , # ) # # # 1
g) , ; +, + tal que + ( + 1 ) + Prueba
- entonces
a) Sean ,
, y , (1)
, , . , (2)
- y - (3)
/, / , / . / - (4)
De (1) y (4), , de (2) y (3), - ,
b) Sea , entonces
, y , (1)
, , . , (2)
0,-
Por (1) al ser , se sigue Si 1 1 entonces 1 , 1 . , 1 con , 1 (por ser ,, 1 Por condición (2) , 1 , . 1 0 ¡ ! 0 ( 1 y finalmente
( 1
c) .
Por hipótesis y por definición 0 4
y sea , entonces
, y , (1)
, , . , (2) Puesto que ,por condición (2) , y
por condición (1) , 0 , d) Sean * / , entonces
, y , (1)
, , . , (2)
/ y / *
(3)
5
Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
5, 5 , 5 * . / (4)
Mostremos que * , / / , *
De , . , * *, como , * por (4) se sigue que , * / 6
Por otra parte: / * . / # * y / # * , por (2) / # * ,
. / , * (**). Así de (*) y (**) / , * . * *
e) .
Por parte c) del teorema y como , # 0 # #
Luego # #
4
Hipótesis # # por parte b) del teorema # #
. ## 1 . 1 6
por parte b) 66
De 6
66
y como 0 - entonces
f) .
Sean # ,
, y , # (1)
, , # . , (2)
- y - (3)
/, / , / . / - (4)
Mostremos que , #- # 1 . , #- # 1 – - # 1 ,
De (1) y (3): , # - . , - 0 , - . , - 0 8 , - ( 0
Si , - 0 entonces , #- . # # por e) del teorema contradice la hipótesis # Luego , - ( 0 se sigue , - #1 . , #- # 1
Por otra parte por b) del teorema ( 1 . ( - 1 0 # 9 #- # 1
Así – - # 1 ( #, por (2) #- # 1 ,. Luego de , #- # 1 # - # 1 , se
sigue que , #- # 1 como se quería demostrar.
4
Si : # entonces y por e) del teorema # #¡! que
contradice la hipótesis 0 # g) Mostremos que + satisface la definición (propiedad a) nos da la
unicidad)
.
Hay que demostrar:
(1) + + (2) , , . +
Por hipótesis se da (1) pues + + . Para mostrar (2) tenemos que
, , por ley de tricotomía + 8 9 +
Supongamos que 9 + entonces + ( ( + 1 (hipótesis)
0 + ( + 1, al ser +, + 1 enteros consecutivos, : ¡! Luego no queda
más que +
a) 4
por hipótesis + y por parte b) del teorema ( 1
0+ (+1
6
Función Parte Entera
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José Pablo Flores Zúñiga
PLAN DE UNIDAD: FUNCIÓN PARTE ENTERA
Objetivo General: Caracterizar el conjunto de los números reales a partir del
estudio de la función parte entera.
Tiempo: 4 Lecciones
Objetivos
Contenidos
Conocer la
función
parte entera
Introducción a
la función
parte entera
Determinar
imágenes de
números
reales en la
función
parte entera
Caracterizar
la función
parte entera
Definición de
parte entera
Cálculo de
imágenes en
la función
parte entera
Comparar
números
reales
Dominio
Ámbito
Intersecciones
con los ejes
Tabla de
valores
Gráfica
Clasificación
Cálculo de
preimágenes
Actividades
De
Mediación
Los estudiantes leen en
el manual páginas 4,5,6
la motivación histórica, la
introducción y la
definición de parte entera
Valores
Y
Actitudes
Se
fomentará
el hábito
de la
lectura
Los estudiantes
calcularán la parte entera
de diversos números
reales y compararán
números usando la parte
entera mediante la
ejercicios del manual
Páginas 7,8,9
En grupos de
estudiantes,
caracterizarán la función
parte entera dadas en el
manual páginas 10 y 11
determinando el dominio,
ámbito, intersecciones
con los ejes, construcción
de la gráfica, clasificación
de función y el cálculo
de algunas preimágenes
Se
fomentará
El orden
en el aula
Se
fomentará
el
compañer
ismo
Estrategias
De
Evaluación
Tiempo
Probable
Se observará
si el
estudiante
reconoce la
parte entera.
1
Lección
Se observará
si el
estudiante
calcula la
parte entera
de un número
real
1
Se observará
si los
estudiantes
caracterizan
correctamente
las funciones
dadas
relacionando
dichas
características
con la gráfica.
Lección
2
Lecciones
Observaciones:
El Manual para estudiantes se puede conseguir gratuitamente en:
http://matematicacr.files.wordpress.com/2010/06/manual-funcion-parte-entera.pdf
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Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
Función Parte Entera
Objetivos
Conocer la función parte entera
Determinar imágenes de números reales en la
función parte entera
Caracterizar la función parte entera
Determinar la propiedad de ordenado y
densidad de números reales
“Si quieres triunfar, debes abrir
nuevos caminos en vez de avanzar
por los trillados senderos por
donde siempre has pasado”
John D. Rockefeller
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Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
9
Introducción
Analicemos la imagen de la portada ¿En algún momento de su
vida usted ha tenido exactamente 5 años, o √101 años?
Patrick, un estudiante que nació el 12 mayo de 1994 le preguntó
su compañera Melissa ¿qué edad tienes? (Ella le preguntó el día 4
abril de 2010) Si hacemos los cálculos de la edad, Patrick tiene
15,89589 años; sin embargo Patrick le responde a Melissa tengo 15
años.
Actividad: Pregúntele a la persona más cercana ¿Qué edad
tienes?
Motivación Histórica
En 1616, en la traducción al inglés
de una obra del escocés John Napier
(1550-1617),
las
fracciones
decimales aparecen tal como las
escribimos hoy, con coma decimal
para separar la parte entera de la
fraccionaria. Napier propuso un punto
o una coma como signo de
separación decimal: el punto decimal
se consagró en países anglosajones,
pero en muchos otros países, se
continúa utilizando la coma decimal.1
En la historia de las matemáticas se le
da créditos al matemático suizo Leonhard
Euler por precisar el concepto de función,
así como por realizar un estudio
sistemático de todas las funciones
elementales; sin embargo, el concepto
mismo de función nació con las primeras
relaciones
observadas
entre
dos
variables, hecho que surgió desde los
inicios de la matemática en la humanidad,
con civilizaciones como la griega, la
babilónica, la egipcia y la china.2
Referencias
[1] http://sites.google.com/a/glm.edu.co/matematicas-2009-200/sexto-profundizacion/tareas/ii-bimestre
[2]
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/histori
a.htm
Función Parte Entera
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1.1 Definición de Parte Entera
Sea , : entonces se llama función parte entera
denotada por: donde á / Ejemplos:
a) Calculemos la parte entera para el número Recordemos que es un número irracional y su aproximación es:
D 3,14159265358979323846 …
De la definición de parte entera buscamos un número entero
menor que , algunos enteros menores:
#3 ( #2 ( #1 ( 0 ( 1 ( 2 ( 3 ( ¿Cuál es el máximo de esos enteros (el mayor entero)?
El mayor entero es 3
Entonces 3.
b) Calculemos Observe que
=
>
=
>
4,5 algunos enteros menores que 4,5
2 ( 3 ( 4 ( 4,5
El mayor entero menor que 4,5 es 4
9
? @4
2
c) Calculemos 2
Algunos enteros menores o iguales a 2
#1 ( 0 ( 1 ( 2 2 El mayor entero es 2
2 2
d) Ahora >
A
observe que
>
A
0,6666666 …
Algunos enteros menores o iguales #2 ( #1 ( 0 ( 0,666 …
Entonces >
A
0
Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
Observemos que si el número es positivo la parte entera, es el
número entero que lo separa la coma decimal
14563,26548
Parte entera
parte decimal
e) 14563,26548 14563
Ahora veamos que pasa con números negativos
f) Calculemos #√35
Con ayuda de una calculadora o de tablas
#√35 #5,916079783 …
Algunos enteros menores que #√35
#8 ( #7 ( #6 ( #5,9160 …
Note que #√35 G #5 si no #√35 #6
g) Ahora +H*240°
Con ayuda de una calculadora, tablas o triángulos observe que
+H*240°
D #0,8660254 …
Algunos enteros menores que +H*240°
#3 ( #2 ( #1 ( #0,8660254 …
+H*240°
#1
h) Finalmente calculemos #7
Algunos enteros menores o iguales a -7
#9 ( #8 ( #7 #7
#7 #7
Nota:
Si el número es entero, la parte entera es el mismo número
2 2
0 0
#7 #7
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Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
Ejercicios 1.1
Calcule la parte entera de los siguientes números
i) 5
ii) #6
iii) √101
iv) 5
v) tan 80°
L
vi) √#27
L
vii) √45
viii) #√2
ix) #0,999 …
x) cos 100°
xi) 2PA
xii) #3Q
xiii) #7P>
xiv) H
xv) H R
xvi) ln 10
xvii) log H
xviii) # log A 56
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Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
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1.2 Orden de los números reales
Ahora veamos una aplicación de la función parte entera
Recordemos que una de las propiedades de los números reales
es el ordenamiento, por lo que podemos comparar si un número es
mayor, menor o igual que otro número real y lo podemos analizar
rápidamente si calculamos la parte entera de los números a
comparar.
Por
ejemplo
ordenemos
los
números
TU
A
ascendentemente.
Primero calculamos la parte entera de los números:
4
? @4
3
V8+30° 0
√2 1
, cos 30°, √2
Ahora podemos ver más fácil quien es mayor y menor, recordemos
que ascendentemente va ordenado de menor a mayor:
0(1(4
Así entonces ordenamos:
cos 30° ( √2 (
TU
A
Ahora otro ejemplo: ordenemos los números: +H*210°, #√3 , 0
Calculemos las partes enteras de cada uno
+H*210° #1
#√3 #2
0 0
Por lo que #2 ( #1 ( 0 y así ordenamos #√3 ( +H*210° ( 0
¿Qué pasa si la parte entera es el mismo valor?
Comparemos 2√3 Si calculamos la parte entera
2√3 3 y 3 las partes enteras son el mismo valor 3, pero
no significa que los números son iguales, para comparar los
números habría que comparar la parte decimal de los mismos.
Función Parte Entera
José Pablo Flores Zúñiga
14
2√3 D 3,4641 … y vimos que D 3,1415 … como 1415 ( 4641
entonces ( 2√3
Pero la idea es trabajar con la parte entera por lo que no se
resolverán más casos de este tipo en este manual.
Ejercicios 1.2
Coloque el símbolo de mayor, menor o igual según corresponda
a) √5_________√10
Q
A
b) T _________ X
c) H > _______2
L
d) √9______√9
L
Y
e) # √80
_____# √60
f) V8+30°______
Z
√A
>
Q
g) # >
________# T h) log > 5 _______ ln 4
Z
i) log 1 ________ log Z[
j) 2Q _________3A
Función Parte Entera
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1.3 Análisis de la función Parte
Entera
Repase primero la definición de la Función Parte Entera
Actividad: Determine el dominio y ámbito de la función
parte entera y luego construya la gráfica ayudándose
con una tabla de valores.
Ejercicios 1.3
Complete lo indicado a continuación
Dominio: _______
Ámbito: ________
Tabla de valores
\
#5 ( #4 -5
-4
#3 ( #2
-2
#1 ( 0
0(1
1
1(2
2(3
3(4
4(5
5
]\
Gráfica
Función Parte Entera
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Compare la gráfica hecha con la siguiente:
Con base en la gráfica, determine o complete
a) Intersección con el eje de las abscisas: __________
b) Intersección con el eje de las ordenadas: __________
c) Indique tres preimágenes de 2: __________________
d) Indique tres preimágenes de -1: _________________
e) ¿Existen preimágenes de √2? ________ ¿por qué?
___________________________________________________
f) ¿Cuántas preimágenes tiene 3, compare este resultado para
cualquier otra imagen? Vea la tabla de valores, ¿cómo se
llama la propiedad de los números reales que generaliza esta
observación?
Marque con una dentro de la casilla si la función parte entera es o
no es Inyectiva, Sobreyectiva o Biyectiva.
Clasificación
Inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
Si
No
Felicidades, ya usted tiene el conocimiento básico de la función parte
entera
Función Parte Entera
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Ejercicios de mayor grado de dificultad
1) Pruebe
a) #1 +H* 1
b) #1 V8+ 1
2) Grafique las funciones:
a) > b) ^
ln c) _
2` 3) Resuelva las ecuaciones:
a) 6
b) # √2 # 1
4) Calcule #
5) Determine el criterio de la recta asintótica de la función parte
entera
Función Parte Entera
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Respuestas de los ejercicios
1.1
i) 5 ii) -6 iii) 10 iv) 15 v) 5 vi) -3 vii) 3 viii) -2 ix) -1 x) -1 xi) 0
xii) -243 xiii) -1 xiv) 2 xv) 15 xvi) 2 xvii) 0 xviii) -4
1.2
1.3
Dominio: Ámbito: Tabla de valores
Clasificación
Inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
gráfica
Si
No
X
X
X
18