Lógica Proposicional

Fund. de la Informática(Ing. Electr.) y Programación (TUM)
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
Existen en la realidad un número considerable de problemas con los que una persona se enfrenta y de los
cuales se deben deducir ciertos datos para poder resolverlos. Generalmente la forma en que las personas
aplican el poder deductivo es muy personal, sin embargo éste podría ser encausado o guiado a través del
uso de reglas de deducción. A su vez, será necesario que dichas reglas sean establecidas y usadas con una
cierta precisión de modo que puedan ser reutilizadas toda vez que un mismo problema o problemas de
características similares sean planteados.
La manera cotidiana de expresar los problemas es por medio de nuestro lenguaje natural. Sin embargo
éste es en esencia ambiguo por lo cual es necesario transformarlo, acotarlo o restringirlo de modo que se
convierta en un lenguaje inequívoco. Particularmente los lenguajes simbólicos proveen esa clase de
precisión. Y, si además esos símbolos son símbolos matemáticos, lo que tendremos es una precisión
matemática en la acción de deducir.
Esta es precisamente la finalidad de la lógica matemática: expresar problemas por medio de un lenguaje
inequívoco que habilite el uso de reglas de deducción para la solución de los mismos.
Enunciados y conectivas
Nuestro lenguaje cotidiano se conforma de frases o expresiones. Si se desea deducir información a partir
de una frase es necesario poder evaluarla como verdadera o falsa. No obstante no toda frase puede ser
evaluada, existen frases las cuales no se pueden categorizar.
Frases que se pueden categorizar
Frases NO categorizables
El lider ha muerto
Juan compró dulces con dinero
El barómetro ayuda a determinar el clima
Si Juan no tiene dinero entonces no compra dulces
Si el barómetro desciende, entonces lloverá o nevará
Qué frío!!
¿Cuánto pesas?
Alcánzame el libro
Generalizando, diremos que toda frase que tiene una función de tipo informativa, son frases que se
pueden categorizar, quedando entonces fuera todas aquellas frases que cumplen una función de transmitir
una orden o directriz y las que se utilizan con una función expresiva.
Si se analiza gramaticalmente una frase o expresión del lenguaje cotidiano, veremos que éstas pueden
clasificarse como frases simples o compuestas. Las frases simples constan de un sujeto y un predicado.
Las frases compuestas se conforman a partir de las frases simples unidas por elementos gramaticales
especiales que las asocian (conjunciones).
Considerando estos conceptos y con la intención de lograr un lenguaje menos ambiguo es que, como
primera medida, se restringe el mismo a solamente el conjunto de frases categorizables, estableciendo el
siguiente supuesto básico:
Toda frase simple puede evaluarse como verdadera o falsa.
Como segunda medida tendiente a lograr un lenguaje aún más preciso, se acuerda adoptar una nueva
terminología y representación o simbología asociada.
Esto es, llamar:
ƒ
ƒ
a las frases: enunciados o proposiciones (ya sea simples o compuestos según corresponda)
a los elementos gramaticales que unen a las frases simples: conectivos
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Y establecer como símbolos:
ƒ
ƒ
para representar los enunciados (frases simples o compuestas): las letras mayúsculas
para representar los conectivos: símbolos tales como (⇔ ⇒ ∨ ∧¬ )
Cuando un enunciado del lenguaje natural se representa por medio de la simbología asociada, lo que
queda bosquejado es la estructura o esqueleto lógico del mismo; es decir, la “forma” que tiene dicho
enunciado o conjunto de enunciados. Dicha forma es la que nos va a permitir realizar nuestras
deducciones sin tener en cuenta el significado asociado.
Teniendo en cuenta esta última afirmación, analicemos el siguiente ejemplo:
Caso 1:
ƒ
Si Sócrates es hombre entonces es mortal.
De este enunciado claramente se puede deducir que como Sócrates es hombre, éste es también mortal
Caso 2:
ƒ
Si Sócrates es hombre, mortal es.
ƒ
Sócrates es hombre.
Sócrates es mortal.
Caso 3:
ƒ
En los casos 2 y 3 se podría llegar a deducir lo mismo que en el caso 1 (no obstante tener dos enunciados
en el caso 3) pero haciendo uso de reglas gramaticales y del significado por nosotros conocido asociado a
las palabras.
Con lo cual se estaría violando la intención arriba establecida de que la estructura del enunciado debe
permitirme inferir una información particular.
Evaluación de los Enunciados
En la Lógica Formal se estudian los principios y métodos a través de los cuales podemos determinar la
validez de argumentos, desde el punto de vista solamente de su estructura, sin tomar en cuenta el
contenido semántico de las expresiones de los argumentos. De esta manera si se argumenta que:
ƒ
ƒ
ƒ
Todos los majadíes son de Majadistán
Rudistein es Majadí
En consecuencia, Rudistein es de Majadistán.
En este argumento, no se toma en cuenta si los majadíes son humanos, perros, pericos o un concepto
abstracto de cualquier área.
Tampoco importa si Rudinstein es un ciudadano de alguna ciudad del mundo o si es el nombre de un
perro.
De esta manera desde el punto de vista de su estructura este argumento es válido.
Se hace incapié que la Lógica no se hace responsable de su aplicación a nivel semántico.
Se puede decir que la Lógica es una herramienta para el análisis de la veracidad de argumentos en base
sólo a la estructura de éstos, donde el significado de los elementos que intervienen no es tomado en
cuenta.
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El argumento anterior tiene dos partes principales:
Las premisas:
ƒ
ƒ
Todos los majadíes son de Majadistán
Rudistein es Majadí
La conclusión:
ƒ
Rudistein es de Majadistán
De esta manera el argumento es válido, ya que de las premisas sigue la conclusión, lo cual hasta cierto
punto nos parece totalmente natural.
Consideremos el siguiente argumento:
ƒ
ƒ
ƒ
Argentina está en África o Argentina está en Asia.
Argentina no está en Asia
En consecuencia, Argentina está en África.
Este argumento es válido desde el punto de vista de la lógica formal, aún cuando se sabe que la
conclusión es falsa.
¿Cómo puede ser esto? ¿A partir de la Lógica se pueden obtener conclusiones equivocadas?
La respuesta es afirmativa, ya que la lógica no verifica el significado de las premisas.
Debido a lo anterior es necesario distinguir entre proposiciones verdaderas y proposiciones lógicamente
verdaderas.
Las primeras son verdaderas independientemente de su estructura, mientras que las segundas no lo son.
De esta manera, las proposiciones:
ƒ
ƒ
Argentina está en África o Argentina está en Asia
Argentina está en África
Son verdaderas lógicamente debido a que la primera es una premisa y a que la segunda ha sido derivada
lógicamente de sus premisas.
Concluyendo, es necesario poder lograr deducir información solamente a través de la forma de los
enunciados. Es la forma la que me asegura la independencia del significado que un enunciado posea. Es
prioritario entonces, estudiar las formas enunciativas, es decir, la forma en que se va a formular una
idea de modo que ésta exprese siempre lo que se desea. En consecuencia, no es el significado del
enunciado lo que interesa sino la forma en que éste se expresa.
Generalizando dicho concepto y formalizándolo, se podría decir que:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Dadas las letras A,B,C , éstas representan a cualquier enunciado y se las denomina variables de
enunciado o variables proposicionales.
Toda variable de enunciado es verdadera o falsa.
Dado un enunciado que se liga con cualquier otro enunciado a través de un conectivo, esta ligadura
debe darme como resultado un tercer enunciado.
Si toda forma enunciativa simple es verdadera o falsa entonces toda forma enunciativa compuesta
(constituida a partir de formas enunciativas simples) es también verdadera o falsa y sus valores
surgen a partir de los valores de las formas enunciativas que las componen.
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Formas Enunciativas Compuestas y Tablas de Verdad
Resta entonces analizar cada uno de los conectivos que me permiten armar formas enunciativas
compuestas y como éstos deben ser interpretados para que toda vez que un mismo enunciado o enunciado
de características similares sea planteado éste se evalúe de la misma manera. Esto es, ver cuáles son las
reglas que en forma inequívoca y precisa me permitan deducir los valores de verdad para las variables de
enunciado que representan formas enunciativas compuestas.
.
Negación
Se podría decir que es una conectiva particular o especial puesto que en lugar de relacionar dos
enunciados, afecta solamente al enunciado al cual se encuentra asociado.
Si se tiene un enunciado cualquiera A, su negación es ¬A. Haciendo la asociación con nuestro lenguaje
natural, la conectiva de negación está representada por la palabra ´no´ , por lo tanto toda vez que ésta se
une a cualquier frase simple categorizable, la misma produce un cambio de categoría a dicha frase.
Ejemplo:
‘Iré a verte mañana’ se podría categorizar como verdadera.
‘No iré a verte mañana’ cambia la categoria de la frase a la que se asocia a falsa.
Si se expresa dicho enunciado en forma general por medio de una variable de enunciado, digamos P
tendremos:
Sea P una variable de enunciado (o variable proposicional), su negación es ¬P y la tabla de posibles
valores que la misma puede adoptar es la siguiente:
P
V
F
¬P
F
V
Esta tabla se denomina Tabla de valores de Verdad y es considerada como la definición de dicha
conectiva.
Conjunción
Si se tiene un enunciado compuesto A conformado por dos enunciados, supongamos B y C, unidos por
medio del conectivo conjunción (∧), el enunciado A tomará valores de verdad verdadero solamente
cuando ambos enunciados que la componen son verdaderos. Haciendo la asociación con nuestro lenguaje
natural, la conectiva de conjunción esta representada por la palabra ´y´, y es la palabra cuya función más
claramente se asocia con el significado que le otorgamos.
Ejemplo:
‘Juan vino y Pedro se fue’ es el enunciado compuesto (A)
formado por los enunciados simples ‘Juan vino’ (B) y ‘Pedro se fue’ (C).
Lo anterior se puede expresar en forma general por medio de las siguientes variables de enunciado y su
correspondiente tabla o regla de composición.
Dadas P y Q dos variables proposicionales, (P representando a B y Q representando a C) los valores de
verdad que adoptará el enunciado A (representado simbólicamente por P ∧Q) son:
P
V
V
F
F
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Q
V
F
V
F
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P ∧Q
V
F
F
F
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Esta tabla es la tabla de valores de verdad para la conectiva ∧.
Disyunción
Si se tiene un enunciado compuesto A conformado por dos enunciados, supongamos B y C, unidos por
medio del conectivo disyunción (∨), el enunciado A tomará valores de verdad verdadero solamente
cuando uno de los enunciados que lo componen sea verdadero, con lo cual, si ambas son verdaderos ya se
da por cumplida la condición establecida por el conectivo. Haciendo la asociación con nuestro lenguaje
natural, la conectiva de disyunción esta representada por la palabra ´o´.
Ejemplo:
‘Estudiaré música o canto oral’ es el enunciado compuesto (A)
formado por los enunciados simples ‘Estudiaré música’ (B) y ‘Estudiaré canto oral’ (C).
Lo anterior se puede expresar en forma general por medio de las siguientes variables de enunciado y su
correspondiente tabla o regla de composición.
Dadas P y Q dos variables proposicionales, (P representando a B y Q representando a C) los valores de
verdad que adoptará el enunciado A (representado simbólicamente por P ∨ Q) son:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P∨Q
V
V
V
F
No obstante en nuestro lenguaje ordinario la palabra ‘o’ suele ser utilizada con dos sentidos: uno donde
los enunciados simples que conforman el enunciado compuesto pueden ser verdaderos, ya sea uno o
ambos a la vez sin excluir ambas alternativas, tal cual se expresó; ó donde una de las opciones excluye a
la otra alternativa, es decir, suele utilizárselo de manera excluyente.
Ejemplo:
‘Veranearemos en las sierras ó en el mar’ es el enunciado compuesto (A)
formado por los enunciados simples ‘Veranearemos en las sierras’ (B) y
‘Veranearemos en el mar’ (C).
Donde sólo uno de ellos es posible pues ambas alternativas no pueden darse al mismo tiempo.
Acorde con esto, surge una nueva conectiva denominada disyunción exclusiva y se define de la siguiente
manera:
Si se tiene un enunciado compuesto A conformado por dos enunciados, supongamos B y C, unidos por
medio del conectivo disyunción exclusiva, el enunciado A tomará valores de verdad verdadero solamente
cuando uno de los enunciados que lo componen sea verdadero, y falso en cualquier otro caso.
Lo anterior se puede expresar en forma general por medio de las siguientes variables de enunciado y su
correspondiente tabla o regla de composición.
Dadas P y Q dos variables proposicionales, (P representando a B y Q representando a C) los valores de
verdad que adoptará el enunciado A (representado simbólicamente por P ∨ Q) son:
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P
Q
V
V
F
F
V
F
V
F
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P ⊻ Q
F
V
V
F
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Condicional
Existe en nuestro lenguaje cotidiano, la posibilidad de armar frases compuestas de tipo condicional, es
decir, enunciados condicionales que llevan implícito una implicación material o condición material entre
dos enunciados simples. Estos enunciados suelen expresarse por medio del conectivo ‘si .... entonces’ que
relaciona dos proposiciones; la que se encuentra detrás de la palabra ‘si’ se denomina antecedente y la
que sigue a la palabra ‘entonces’ se denomina consecuente.
Ejemplo:
‘Si me levanto temprano, entonces tomaré el tren de las ocho’ es el enunciado compuesto (A)
formado por los enunciados simples ‘me levanto temprano’ (B) y
‘tomaré el tren de las ocho’ (C).
Resta entonces ver cuando el enunciado compuesto A (conformado por dos enunciados cualesquiera, B y
C, unidos por medio del conectivo condicional), tomará valores de verdad verdadero. Para ello se hará un
análisis de las posibles situaciones que se pueden presentar con el ejemplo planteado. Para un mejor
entendimiento del ejemplo es conveniente pensar al enunciado compuesto (A) como el hecho de “viajar”:
ƒ
ƒ
Si es cierto que me levanto temprano y no es cierto que tomo el tren de las ocho, se puede asegurar
que el viaje no se ha realizado. Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, el
condicional es falso.
En cambio, si es verdad que me levanto temprano, y también lo es que tomo el tren a las ocho, sin
duda aseguraremos que el viaje se ha realizado. Si el antecedente y consecuente son verdaderos, el
condicional es verdadero.
Se podría decir que estos son los casos mas comunes que se pueden producir y los cuales se pueden
analizar en forma intuitiva.
Quedan por analizar dos casos: cuando el antecedente es falso y el consecuente verdadero, y cuando
ambos son falsos. Pero estos casos difícilmente se presentan en el uso de nuestro lenguaje; condicionales
con antecedentes falsos resultan raros o sin sentido en el lenguaje ordinario, y por eso es difícil inferir qué
valores de verdad le corresponden. La lógica resuelve considerar verdaderos estos dos condicionales. Ello
no es totalmente arbitrario ni entra en conflicto con el lenguaje ordinario, sino que más bien completa lo
que éste deja sin decidir.
Lo anterior se puede expresar por medio de las siguientes variables de enunciado y su correspondiente
tabla o regla de composición.
Dadas P y Q dos variables proposicionales, (P representando a B y Q representando a C):
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⇒Q
V
F
V
V
Bicondicional
Otro tipo de proposición compuesta es el bicondicional, que se forma usualmente en nuestro lenguaje
cotidiano con la conectiva “sí y sólo sí”, como en la frase “Jugaremos a las cartas sí y sólo sí reunimos
cuatro personas”, entonces tendremos:
‘Jugaremos a las cartas sí y sólo sí reunimos cuatro personas’ es el enunciado compuesto (A)
formado por los enunciados simples ‘Jugaremos a las cartas’ (B) y
‘reunimos cuatro personas’ (C).
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Los componentes del bicondicional reciben el nombre de componente izquierdo (B) y componente
derecho (C) y el símbolo que representa el “sí y sólo sí” es ⇔.
Como su nombre lo indica, el bicondicional es un condicional doble. B sí y sólo sí C (B ⇔ C) equivale a
la conjunción de B sí C y B sólo sí C ; observando, la primer componente se puede simbolizar C ⇒ B y
la segunda B ⇒ C por lo que el bicondicional resulta equivalente al esquema
(C ⇒ B) ∧ (B ⇒ C), o lo que es lo mismo, por conmutatividad del conectivo conjunción (B ⇒ C) ∧ (C ⇒
B), que es la conjunción de dos condicionales, donde el antecedente del primero es el consecuente del
segundo , y el consecuente del primero es el antecedente del segundo.
Resta entonces ver, dado un enunciado compuesto A conformado por dos enunciados B y C, unidos por
medio del conectivo bicondicional (⇔), cuando el enunciado A tomará valores de verdad verdadero o
falso: si uno de sus componentes es verdadero y el otro falso, el bicondicional es falso, y es verdadero
cuando ambos componentes son verdaderos, o ambos son falsos.
Lo anterior se puede expresar por medio de variables de enunciado y su correspondiente tabla o regla de
composición.
Dadas P y Q dos variables proposicionales, (P representando a B y Q representando a C):
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⇔Q
V
F
F
V
Formulación de las frases.
Dado que no es el significado del enunciado lo que interesa sino la forma en que éste se expresa, es
necesario estudiar la forma en que se va a formular una idea de modo que ésta exprese siempre lo que se
desea. Existen en castellano algunos “patrones” de conformación de conectivas que permiten representar
formalmente la misma estructura de las frases (Modelado de frases).
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Formalismo
Todos los conceptos hasta ahora expresados se pueden reescribir de manera formal a modo de extender su
significado a la generalidad de casos posibles.
Como una conclusión a todo lo aprendido diríamos que debería ser posible, a partir de los enunciados
simples y las conectivas, construir enunciados complejos de cualquier longitud. Para dejar dicha
conclusión bosquejada claramente decimos:
Definición:
Una forma enunciativa será una expresión donde intervengan variables de enunciado y conectivas donde
la expresión se conforma utilizando las siguientes reglas:
1. Toda variable de enunciado es una forma enunciativa.
2. Si P y Q son formas enunciativas entonces (¬P), (P ∧Q), (P ∨ Q), (P ⇒ Q) y (P ⇔ Q) son
formas enunciativas.
Utilizando las tablas de verdad de las conectivas se puede establecer una tabla de verdad para cualquier
forma enunciativa.
Ejemplo:
Dada la siguiente forma enunciativa (¬P) ∨ Q
Su tabla de verdad será:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
¬P
F
F
V
V
(¬P) ∨ Q
V
F
V
V
Dada la siguiente forma enunciativa P ⇒ (Q ∨R)
Su tabla de verdad será:
P
V
V
V
V
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Q
V
V
F
F
R
V
F
V
F
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(Q ∨ R)
V
V
V
F
P ⇒ (Q ∨ R)
V
V
V
F
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F
F
F
F
V
V
F
F
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V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
De los ejemplos se deduce que dada cualquier forma enunciativa con ‘n’ argumentos, la tabla de verdad
correspondiente tendrá 2n entradas.
Relaciones lógicas
Dado que la forma en que se puede expresar una forma enunciativa no tiene restricciones; dadas n
variables de enunciado la cantidad de formas enunciativas que se pueden formar es infinita, con lo cual
van a existir formas enunciativas que tengan la misma tabla de verdad.
Definición:
1. Una forma enunciativa es una tautología si toma el valor de verdad Verdadero para cada una de las
posibles combinaciones de valores de verdad de sus variables de enunciado.
Ej.: P ∨ (¬P)
2. Dada una forma enunciativa, ésta es una contradicción si para cada una de las combinaciones
posibles de los valores de verdad de sus variables de enunciado, ésta toma el valor de verdad Falso.
Ej.: P ∧ (¬P)
Definición:
Sean P y Q dos formas enunciativas decimos:
1. P implica lógicamente a Q, si P ⇒ Q es una tautología.
2. P es lógicamente equivalente a Q, si P ⇔ Q es una tautología.
Existen un conjunto de reglas que facilitan el proceso de evaluación de formas enunciativas
Leyes de De Morgan
Dado un número cualquiera de formas enunciativas P1 ... Pn
∨
n
∧
n
i=1
i=1
(¬Pi)
es lógicamente equivalente
(¬Pi)
es lógicamente equivalente
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¬(∧
n
¬(∨
n
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Pi)
i=1
i=1
Pi)
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