UNIDAD III 3 Dinámica de una Partícula 3.1 Concepto de partícula

UNIDAD III
3 Dinámica de una Partícula
3.1 Concepto de partícula, masa y fuerza
3.2 Leyes de Newton
3.3 Fricción
3.4 Momento angular
3.5 Fuerzas centrales
UNIDAD III
3 DINAMICA DE UNA PARTICULA.
En la unidad II, aprendimos de lo relativo a la cinemática,
discutimos los elementos que intervienen en la 'descripción' del
movimiento de una partícula. Investiguemos ahora la razón por la
cual las partículas se mueven de la manera en que lo hacen. ¿Por
qué los cuerpos cerca de la superficie de la tierra caen con
aceleración constante? ¿Por qué la tierra se mueve alrededor del
sol en una órbita elíptica? ¿Por qué los átomos se unen para formar
moléculas? ¿Por qué oscila un resorte cuando se le estira y luego
se le suelta? Quisiéramos comprender estos y otros movimientos
que observamos continuamente a nuestro alrededor. Esta
comprensión es importante no solamente desde el punto de vista
del conocimiento básico de la naturaleza, sino también desde el
punto de vista de la ingeniería y las aplicaciones prácticas. La
comprensión de cómo (¿por qué?) se producen los movimientos
nos capacita para diseñar máquinas y otros instrumentos prácticos
que se mueven en la forma que nosotros deseamos. El estudio de
la relación entre el movimiento de un cuerpo y las causas de este
movimiento se denomina dinámica.
Interacciones y fuerzas
Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un
cuerpo es un resultado directo de sus interacciones con otros
cuerpos que lo rodean, las interacciones se describen
convenientemente por un concepto matemático denominado fuerza.
El estudio de la dinámica es básicamente el análisis de la relación
entre la fuerza y los cambios en el movimiento de un cuerpo.
Las leyes del movimiento que presentamos en la siguiente
discusión son generalizaciones que resultan de un análisis
cuidadoso de los movimientos que observamos alrededor nuestro y
la extrapolación de nuestras observaciones a ciertos experimentos
ideales o simplificados.
En muchos casos observamos el movimiento de solamente una
partícula, ya sea porque no tenemos manera de observar las otras
partículas con las cuales interactúa o porque las ignoramos a
propósito. En esta situación es algo difícil usar el principio de
conservación del momentum. Sin embargo, hay una manera
práctica de resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de
fuerza. La teoría matemática correspondiente se denomina
dinámica de una partícula.
Por tanto, nos limitaremos a la observación de una sola partícula,
reduciendo sus interacciones con el resto del universo a un solo
término que hemos ya llamado fuerza.
Definiciones
Partícula libre
Una partícula libre es aquélla que no está sujeta a interacción
alguna. Estrictamente no existe tal cosa, ya que toda partícula está
sujeta a interacciones con el resto del mundo. Luego una partícula
libre deberá estar completamente aislada, o ser la única partícula en
el mundo. Pero entonces sería imposible observarla porque, en el
proceso de la observación, hay siempre una interacción entre el
observador y la partícula. En la práctica, sin embargo, hay algunas
partículas que podemos considerar libres, ya sea porque se
encuentra suficientemente lejos de otras y sus interacciones son
despreciables, o porque las interacciones con las otras partículas se
cancelan, dando una interacción total nula.
Velocidad
La velocidad promedio entre A y B está definida por
donde x es el desplazamiento de la partícula y t es el tiempo
transcurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un
cierto intervalo de tiempo es igual al desplazamiento promedio por
unidad de tiempo. Para determinar la velocidad instantánea en un
punto, tal como A, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan
pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran
cambios en el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo.
Esto se escribe en la forma
Pero ésta es la definición de la derivada de x con respecto al
tiempo; esto es
de modo que obtenemos la velocidad instantánea calculando la
derivada del desplazamiento con respecto al tiempo.
Debemos observar que el desplazamiento x (o dx) puede ser
positivo o negativo dependiendo de si el movimiento de la partícula
es hacia la derecha o hacia la izquierda, dando por resultado un
signo positivo o negativo para la velocidad...
Algunas veces se utiliza el concepto de velocidad, definida como
distancia/tiempo. Siempre es positiva, y es numéricamente igual a la
magnitud de la velocidad; es decir, velocidad = IvI. Sin embargo, en
general, la velocidad promedio usando esta definición no tiene el
mismo valor que la velocidad promedio de la expresión.
También es importante no confundir el 'desplazamiento' xB - xA en el
tiempo tB - tA con la 'distancia' cubierta en el mismo tiempo.
Así, la velocidad absoluta promedio es distancia/tiempo, y la
velocidad vectorial promedio es desplazamiento/tiempo.
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Si
la velocidad permanece constante, se dice que el movimiento es
uniforme. La aceleración promedio entre A y B está definida por
donde v es el cambio en la velocidad y, como antes, t es el
tiempo transcurrido. Luego la aceleración promedio durante un
cierto intervalo de tiempo es el cambio en la velocidad por unidad
de tiempo durante el intervalo de tiempo.
La aceleración instantánea es el valor límite de la aceleración
promedio cuando el intervalo t es muy pequeño. Esto es,
En general, la aceleración varía durante el movimiento. Si el
movimiento rectilíneo tiene una aceleración constante, se dice que
el movimiento es uniformemente acelerado.
Momentum lineal
El momentum lineal de una partícula se define como el producto
de su masa por su velocidad. Designándolo por p, tenemos
El momentum lineal es una cantidad vectorial, y tiene la misma
dirección que la velocidad. Es un concepto físico de mucha
importancia porque combina los dos elementos que caracterizan el
estado dinámico de una partícula: su masa y su velocidad.
Estado clásico
En la Mecánica clásica, el estado instantáneo de un sistema
mecánico se describe mediante los valores de ciertas 'variables
observables' del sistema. En el caso del sencillo sistema constituido
por una partícula de masa m que sólo puede moverse a lo largo del
eje x, las variables observables utilizadas para definir el estado
suelen ser la posición x y la cantidad de movimiento
de la
partícula. Dicho de otro modo, el estado del sistema en el instante t
queda especificado por el par de valores [x(t), p(t)].
3.1 CONCEPTO DE PARTICULA, MASA Y FUERZA.
Nos remitimos a los conceptos vistos anteriormente:
Partícula libre:
Una partícula libre es aquélla que no está sujeta a interacción
alguna. Estrictamente no existe tal cosa, ya que toda partícula está
sujeta a interacciones con el resto del mundo. Luego una partícula
libre deberá estar completamente aislada, o ser la única partícula en
el mundo. Pero entonces sería imposible observarla porque, en el
proceso de la observación, hay siempre una interacción entre el
observador y la partícula. En la práctica, sin embargo, hay algunas
partículas que podemos considerar libres, ya sea porque se
encuentra suficientemente lejos de otras y sus interacciones son
despreciables, o porque las interacciones con las otras partículas se
cancelan, dando una interacción total nula. Una particula es
materia, es masa.
Masa:
La masa es la magnitud fundamental de la física. Masa (física),
propiedad intrínseca de un cuerpo, que mide su inercia, es decir, la
resistencia del cuerpo a cambiar su movimiento. La masa no es lo
mismo que el peso, que mide la atracción que ejerce la Tierra sobre
una masa determinada.
Desde un punto de vista estático masa puede precisarse como: dos
cuerpos de la misma forma e igual volumen, constituidos por la
misma sustancia, se dice que tienen la misma masa, es decir, la
misma cantidad de materia
•Se mide en kilogramos (kg) y también en gramos, toneladas, libras,
onzas, etc.
•La masa es una propiedad intrínseca de un cuerpo, que mide su
inercia, es decir, la resistencia del cuerpo a cambiar su movimiento.
•La masa inercial y la masa gravitacional son iguales.
•Dos masas iguales situadas en el mismo punto de un campo
gravitatorio tienen el mismo peso.
Un principio fundamental de la física clásica es la ley de
conservación de la masa, que afirma que la materia no puede
crearse ni destruirse. Esta ley se cumple en las reacciones
químicas, pero no ocurre así cuando los átomos se desintegran y se
convierte materia en energía o energía en materia
La teoría de la relatividad, cambió el concepto tradicional de masa.
La relatividad demuestra que la masa de un objeto varía cuando su
velocidad se aproxima a la de la luz, es decir, cuando se acerca a
los 300.000 kilómetros por segundo; la masa de un objeto que se
desplaza a 260.000 km/s, por ejemplo, es aproximadamente el
doble de su llamada masa en reposo.
Cuando los cuerpos alcanzan estas velocidades, la masa puede
convertirse en energía y viceversa, como sugería la famosa
ecuación de Einstein, E=mc2 (la energía es igual a la masa por el
cuadrado de la velocidad de la luz).
Newton la refiere a la densidad (r) y volumen (V ) que integran un
cuerpo (M = rV ).
Fuerza:
Fuerza, en física, cualquier acción o influencia que modifica el
estado de reposo o de movimiento de un objeto. La fuerza que
actúa sobre un objeto de masa m es igual a la variación del
momento lineal (o cantidad de movimiento) de dicho objeto respecto
del tiempo. Si se considera la masa constante, para una fuerza
también constante aplicada a un objeto, su masa y la aceleración
producida por la fuerza son inversamente proporcionales. Por tanto,
si una fuerza igual actúa sobre dos objetos de diferente masa, el
objeto con mayor masa resultará menos acelerado.
Las fuerzas se miden por los efectos que producen, es decir, a
partir de las deformaciones o cambios de movimiento que producen
sobre los objetos. Un dinamómetro es un muelle o resorte graduado
para distintas fuerzas, cuyo módulo viene indicado en una escala.
En el Sistema Internacional de unidade, la fuerza se mide en
newtons: 1 newton (N) es la fuerza que proporciona a un objeto de
1 kg de masa una aceleración de 1 m/s 2 .
Mientras más intensa es la fuerza, mayor es su efecto en un cuerpo.
La intensidad de una fuerza se mide en newtons mediante un
instrumento llamado dinamómetro. Las fuerzas se miden por los
efectos que producen, es decir, a partir de las deformaciones o
cambios de movimiento que producen sobre los objetos.
Para averiguar el efecto combinado de dos o más fuerzas sobre un
objeto, hay que considerar la intensidad y la dirección de las
mismas.
Si actúan en línea recta, sus efectos se suman o se resta. La fuerza
es una magnitud vectorial, y esto significa que tiene módulo,
dirección y sentido.
Al conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo se le llama
sistema de fuerzas. Si las fuerzas tienen el mismo punto de
aplicación se habla de fuerzas concurrentes. Si son paralelas y
tienen distinto punto de aplicación se habla de fuerzas paralelas.
Cuando sobre un objeto actúan varias fuerzas, éstas se suman
vectorialmente para dar lugar a una fuerza total o resultante. Si la
fuerza resultante es nula, el objeto no se acelerará: seguirá parado
o detenido o continuará moviéndose con velocidad constante. Esto
quiere decir que todo cuerpo permanece en estado de reposo o de
movimiento rectilíneo y uniforme mientras no actúe sobre él una
fuerza resultante no nula.
Fórmula de la fuerza
F=m*a
La fuerza se mide en newtons (N), la masa en kilogramos (kg), y la
aceleración en metros por segundo al cuadrado (m/s2). El peso de
un cuerpo se calcula de forma análoga tomando la aceleración de la
gravedad (g) cuyo valor aproximado es 10 m/s2
F= fuerza
m= masa
a= aceleración
3.2 LEYES DE NEWTON.
Primera ley o ley de
inercía
Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros
cuerpos actúen sobre él.
Segunda ley o Principio
Fundamental de la
Dinámica
La fuerza que actua sobre un cuerpo es directamente
proporcional a su aceleración.
Tercera ley o Principio de
acción-reacción
Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste
ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido
opuesto.
PRIMERA LEY DE NEWTON
La primera ley de Newton, conocida también como Ley
nos dice que si sobre un cuerpo no actua ningún
permanecerá indefinidamente moviéndose en línea
velocidad constante (incluido el estado de reposo, que
velocidad cero).
de inercía,
otro, este
recta con
equivale a
Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de
cual sea el observador que describa el movimiento. Así, para un
pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por
el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren
desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a
una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia
al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para
definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como
Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de
referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no
actua ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.
En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia
inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando
sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de
referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda
tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos
casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena
aproximación de sistema inercial.
La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere
su movimiento es necesario que exista algo que provoque dicho
cambio. Ese algo es lo que conocemos como fuerzas. Estas son el
resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros.
SEGUNDA LEY DE NEWTON
La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de
fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es
proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La
constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera
que podemos expresar la relación de la siguiente manera:
F=ma
Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es
decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De
esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:
F=ma
La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se
representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre
un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una
aceleración de 1 m/s2, o sea,
1 N = 1 Kg · 1 m/s2
La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es
válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia,
como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es
válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de
Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda
variar la masa.
Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta
magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa
por la letra p y que se define como el producto de la masa de un
cuerpo por su velocidad, es decir:
p=m·v
La cantidad de movimiento también se conoce como momento
lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se
mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la
Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:
La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación
temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir,
F = dp/dt
De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no
sea constante. Para el caso de que la masa sea constante,
recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se
deriva un producto tenemos:
F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v
Como la masa es constante
dm/dt = 0
y recordando la definición de aceleración, nos queda
F=ma
tal y como habiamos visto anteriormente.
Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando
la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de
conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza total
que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos
dice que:
0 = dp/dt
es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto
al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento
debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es
cero). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de
movimiento: si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la
cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el
tiempo.
Tal como comentamos en al principio de la Segunda ley de Newton
las fuerzas son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre
otros.
TERCERA LEY DE NEWTON
La tercera ley, también conocida como Principio de acción y
reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro
cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido
contrario.
Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas
ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba,
empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la
que nos hace saltar hacia arriba.
Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros
tambien nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la
reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga
el intento de empujarnos a nosotros.
Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga
el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto
que actuan sobre cuerpos distintos.
3.3 FRICCION.
Se define como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción, entre
dos superficies en contacto, a aquella que se opone al movimiento
entre ambas superficies (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza
que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática).
Se genera debido a las imperfecciones, especialmente
microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas
imperfecciones hacen que la fuerza normal entre ambas superficies
no sea perfectamente perpendicular a éstas, si no que forma un
ángulo φ con la perpendicular (el ángulo de rozamiento). Por tanto,
la fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular
a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela
a las superficies en contacto.
Tipos de rozamiento
Existen dos tipos de rozamiento o fricción, la fricción estática (FE)
y la fricción dinámica (FD). El primero es la resistencia que se
debe superar para poner en movimiento un cuerpo con respecto a
otro que se encuentra en contacto. El segundo, es la resistencia, de
magnitud considerada constante, que se opone al movimiento pero
una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que diferencia a un
roce con el otro, es que el estático actúa cuando los cuerpos están
en reposo relativo en tanto que el dinámico lo hace cuando ya están
en movimiento.
La fuerza de fricción estática, necesaria para vencer la fricción
homóloga, es siempre menor o igual al coeficiente de rozamiento
entre los dos objetos (número medido empíricamente y que se
encuentra tabulado) multiplicado por la fuerza normal. La fuerza
cinética, en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento dinámico,
denotado por la letra griega , por la normal en todo instante.
No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el
rozamiento dinámico y el estático, pero se tiende a pensar que el
estático es algo mayor que el dinámico, porque al permanecer en
reposo ambas superficies pueden aparecer enlaces iónicos, o
incluso microsoldaduras entre las superficies, factores que
desaparecen en estado de movimiento. Éste fenómeno es tanto
mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o
menos común es el del gripaje de un motor por estar mucho tiempo
parado (no sólo se arruina por una temperatura muy elevada), ya
que al permanecer las superficies, del pistón y la camisa, durante
largo tiempo en contacto y en reposo, pueden llegar a soldarse
entre sí.
Un ejemplo bastante común de fricción dinámica es la ocurrida
entre los neumáticos de un auto y el pavimento en un frenado
abrupto.
Como comprobación de lo anterior, se realiza el siguiente ensayo,
sobre una superficie horizontal se coloca un cuerpo, y le aplica un
fuerza horizontal F, muy pequeña en un principio, se puede ver que
el cuerpo no se desplaza, la fuerza de rozamiento iguala a la fuerza
aplicada y el cuerpo permanece en reposo, en la gráfica se
representa en el eje horizontal la fuerza F aplicada, y en el eje
vertical la fuerza de rozamiento Fr.
Entre los puntos O y A, ambas fuerzas son iguales y el cuerpo
permanece estático; al sobrepasar el punto A el cuerpo súbitamente
se comienza a desplazar, la fuerza ejercida en A es la máxima que
el cuerpo puede soportar sin deslizarse, se denomina Fe o fuerza
estática de fricción; la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en
movimiento una vez iniciado el desplazamiento es Fd o fuerza
dinámica, es menor que la que fue necesaria para iniciarlo (Fe). La
fuerza dinámica permanece constante.
Si la fuerza de rozamiento Fr es proporcional a la normal N, y a la
constante de proporcionalidad se la llama :
Y permaneciendo la fuerza normal constante, se puede calcular dos
coeficientes de rozamiento: el estático y el dinámico como:
donde el coeficiente de rozamiento estático
corresponde al de
la mayor fuerza que el cuerpo puede soportar inmediatamente antes
de iniciar el movimiento y el coeficiente de rozamiento dinámico
corresponde a la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en
movimiento una vez iniciado.
Fricción estática
Es la fuerza que se opone al inicio del movimiento. Sobre un cuerpo
en reposo al que se aplica una fuerza horizontal F, intervienen
cuatro fuerzas:
F: la fuerza aplicada.
Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el
cuerpo, y que se opone al movimiento.
P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la
aceleración de la gravedad.
N: la fuerza normal, con la que la superficie reacciona sobre el
cuerpo sosteniéndolo.
Dado que el cuerpo está en reposo la fuerza aplicada y la fuerza de
rozamiento son iguales, y el peso del cuerpo y la normal:
Se sabe que el peso del cuerpo P es el producto de su masa por la
aceleración de la gravedad (g), y que la fuerza de rozamiento es el
coeficiente estático por la normal:
esto es:
La fuerza horizontal F máxima que se puede aplicar a un cuerpo en
reposo es igual al coeficiente de rozamiento estático por su masa y
por la aceleración de la gravedad.
Rozamiento dinámico
Dado un cuerpo en movimiento sobre una superficie horizontal,
deben considerarse las siguientes fuerzas:
F: la fuerza aplicada.
Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el
cuerpo, y que se opone al movimiento.
Fi: fuerza de inercia, que se opone a la aceleración de cuerpo,
y que es igual a la masa del cuerpo m por la aceleración que
sufre a.
P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la
aceleración de la gravedad.
N: la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo
sosteniéndolo.
Como equilibrio dinámico, se puede establecer que:
Sabiendo que:
se puede reescribir la segunda ecuación de equilibrio dinámico
como:
Es decir, la fuerza resultante F aplicada a un cuerpo es igual a la
fuerza de rozamiento Fr mas la fuerza de inercia Fi que el cuerpo
opone a ser acelerado. De lo que también se puede deducir:
Con lo que se tiene la aceleración a que sufre el cuerpo, al aplicarle
una fuerza F mayor que la fuerza de rozamiento Fr con la superficie
sobre la que se apoya.
Rozamiento en un plano inclinado
Rozamiento estático
Si sobre una la línea horizontal r, se tiene un plano inclinado un
ángulo , y sobre este plano inclinado se coloca un cuerpo con
rozamiento, se tendrán tres fuerzas que intervienen:
P: el peso del cuerpo vertical hacia abajo según la recta u, y
con un valor igual a su masa por la aceleración de la
gravedad: P = mg.
N: la fuerza normal que hace el plano sobre el cuerpo,
perpendicular al plano inclinado, según la recta t
Fr: la fuerza de rozamiento entre el plano y el cuerpo, paralela
al plano inclinado y que se opone a su deslizamiento.
Si el cuerpo está en equilibrio, no se desliza, la suma vectorial de
estas tres fuerzas es cero:
Lo que gráficamente seria un triángulo cerrado formado por estas
tres fuerzas, puestas una a continuación de otra, como se ve en la
figura.
Si el peso P del cuerpo se descompone en dos componentes: Pn,
peso normal, perpendicular al plano, que es la componente del peso
que el plano inclinado soporta y Pt, peso tangencial, que es la
componente del peso tangencial al plano inclinado y que tiende a
desplazar el cuerpo descendentemente por el plano inclinado. Se
puede ver que el Pn se opone a la normal, N, y el peso tangencial
Pt a la fuerza de rozamiento Fr.
Se puede decir que el Pn es la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el
plano inclinado y la normal, N, es la fuerza que el plano inclinado
hace sobre el cuerpo impidiendo que se hunda, Pn = N para que
este en equilibrio. El peso tangencial Pt es la fuerza que hace que
el cuerpo tienda a deslizarse por el plano y Fr es la fuerza de
rozamiento que impide que el cuerpo se deslice, para que este en
equilibrio Pt = Fr.
Cuando el cuerpo está en equilibrio estas dos ecuaciones
determinan la igualdad de fuerzas, también es necesario saber que:
y que la descomposición del peso es:
Con lo que se determinan las condiciones del equilibrio de un
cuerpo en un plano inclinado con el que tiene fricción. Es de
destacar la siguiente relación:
Haciendo la sustitución de N:
que da finalmente como resultado:
El coeficiente de rozamiento estático es igual a la tangente del
ángulo del plano inclinado, en el que el cuerpo se mantiene en
equilibrio sin deslizar, ello permite calcular los distintos coeficientes
de rozamiento, simplemente colocando un cuerpo de un material
concreto sobre un plano inclinado del material con el que se
pretende calcular su coeficiente de rozamiento, inclinando el plano
progresivamente se observa el momento en el que el cuerpo
comienza a deslizarse, la tangente de este ángulo es el valor del
coeficiente de rozamiento. Del mismo modo conocido el coeficiente
de rozamiento entre dos materiales podemos saber el ángulo
máximo de inclinación que puede soportar sin deslizar.
Rozamiento dinámico
En el caso de rozamiento dinámico en un plano inclinado, se tiene
un cuerpo que se desliza, y siendo que está en movimiento, el
coeficiente que interviene es el dinámico
, así como una fuerza
de inercia Fi, que se opone al movimiento, el equilibrio de fuerzas
se da cuando:
descomponiendo los vectores en sus componentes normales y
tangenciales se tiene:
teniendo en cuenta que:
y como en el caso de equilibrio estático, se tiene:
Con estas ecuaciones se determina las condiciones de equilibrio
dinámico del cuerpo con fricción en un plano inclinado. Si el cuerpo
se desliza sin aceleración (a velocidad constante) su fuerza de
inercia Fi será cero, y se puede ver que:
esto es, de forma semejante al caso estático:
con lo que se puede decir que el coeficiente de rozamiento
dinámico de un cuerpo con la superficie de un plano inclinado, es
igual a la tangente del ángulo del plano inclinado con el que el
cuerpo se desliza sin aceleración, con velocidad constante, por el
plano.
3.4 MOMENTO ÁNGULAR.
Definición de momentum: La cantidad de movimiento, momento
lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI:
(kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la
masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.
MOMENTO DE UNA FUERZA:
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al
producto vectorial del vector posición de la fuerza por el vector
fuerza.
La analogía de la llave y el tornillo, nos
ayuda a entender el significado físico de
la magnitud momento, y a determinar
correctamente el módulo, la dirección y
el sentido del momento de una fuerza:
El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la
distancia desde el punto O a la recta de dirección de la
fuerza). M=Fd
La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el
punto, la que marca el eje del tornillo.
El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando
hacemos girar a la llave.
MOMENTO ANGULAR
El momento angular L de una
partícula es el vector producto
vectorial L=r x mv, perpendicular
al plano determinado por el vector
posición r y el vector velocidad v.
Como el vector L permanece
constante en dirección, r y v
estarán en un plano perpendicular
a la dirección fija de L.
De aquí, se concluye que la
trayectoria del móvil estará
contenida
en
un
plano
perpendicular al vector momento
angular L.
Momento lineal instantáneo= p=v
3.5 FUERZAS CENTRALES
Una fuerza central es una fuerza que está dirigida a lo largo de una
recta radial a un centro fijo y cuya magnitud sólo depende de la
coordenada radial r:
donde es un vector unitario dirigido radialmente desde el origen.
El vector fuerza es siempre paralelo al vector posición.
El origen creador de la fuerza se denomina centro del movimiento.