Capitulo 8: Campos Oscilantes - Instituto de Física del Plasma

Capitulo 8: Campos Oscilantes
8.1 Movimiento de electrones en campos oscilantes
Como las ecuaciones electrodinámicas y la de movimiento de los electrones son lineales en
E, B, y la velocidad del electrón (v), vale el principio de superposición. Como cualquier
campo periódico puede ser descompuesto en armónicos, es suficiente considerar un campo
puramente sinusoidal. En el caso usual de movimiento no relativista, la fuerza magnética es
mucho menor que la eléctrica. Además la amplitud de las oscilaciones electrónicas en la
descarga es usualmente pequeña comparada con la longitud de onda (λ), por lo que
supondremos que el electrón se mueve en presencia de un campo E = E0 sen(ωt), con E0
uniforme en el espacio.
8.1.1 Oscilaciones libres
Supongamos ausencia de colisiones, lo que implica que la frecuencia de la onda es
mucho mayor que la frecuencia de colisiones (ω >> νm). La ecuación demovimiento del
electrón será entonces:
Mdv /dt = -e E0 sen(ωt) ; dr/dt ≡ v
con la solución:
v = e/mω E0 cos(ωt) + v0 ;
r = e/mω2 E0 sen(ωt) + v0t + r0
(8.1)
la velocidad de oscilación y el desplazamiento son :
u = e E0 /mω ; a = e E0/mω2
(8.2)
El desplazamiento está en fase con E, y la velocidad está desfasada en π/2. Este caso límite
de oscilaciones sin colisiones ocurre a frecuencias ópticas, y también a frecuencias de
microondas (µλ) a baja presión (p < 10 Torr).
8.1.2 El efecto de las colisiones
En cada colisión se pierde la fase, y aparece un brusco cambio en la dirección del
movimiento del electrón: después de cada colisión el electrón comienza a oscilar
nuevamente con una nueva fase y un nuevo ángulo relativo a la dirección instantánea de la
velocidad. Agregando la tasa de pérdida de momento a la ecuación de movimiento queda;
Mdv /dt = -e E0 sen(ωt) – m νm v
(8.3)
cuyas soluciones, después de varias colisiones son:
v = e/m(ω2+ νm2)1/2 E0 cos(ωt+ϕ) , ϕ = arctg(νm/ω)
r = e/mω(ω2+ νm2)1/2 E0 sen(ωt+ϕ)
(8.4)
Comparando con el caso de las oscilaciones libres, u y a son ahora menores por el factor
(1 + νm2/ω2)1/2 . Las (8.4) pueden ser descompuestas en términos proporcionales a E y dE/dt
= ω E0 cos(ωt) :
v = e/m(ω2+ νm2) (dE/dt - νm E)
r = e/m(ω2+ νm2) (E - νm/ω2 dE/dt)
(8.5)
en el límite νm << ω las (8.5) se aproximan a las (8.1). Para ilustrar con valores numéricos,
consideremos radiación µλ con f = 3 GHz (λ = 10 cm), por lo que ω = 1.9 1010 s-1. Si p ≈ 1
Torr, νm ≈ 3 109 s-1 ⇒ νm << ω. Si E0 = 500 V/cm (que corresponde aproximadamente al
umbral para breakdown por µλ), las fórmulas (8.2) dan a = 2.5 10-3 cm y u = 4.7 107 cm/s.
Se ve que a << λ, o sea el campo es “uniforme”.
En el límite νm >> ω, la velocidad de oscilación está dada por:
v ≈ - (e/mνm ) E ≡ - µe E(t) ≡ vd(t)
(8.6)
lo que significa que v se adapta "instantáneamente" a la velocidad de deriva
correspondiente al valor del campo en ese momento. A este tipo de oscilaciones se las suele
denominar oscilaciones de deriva u oscilaciones en régimen de movilidad.
Las oscilaciones de los electrones en campos r-f (y por supuesto, a frecuencias más
bajas) entran en esta categoría. Por ejemplo, la frecuencia de colisión νm ≈ 3 109 p, a f ≈ 10
MHz, excede a ω ≈ 108 s-1 aún a presiones bajas (p~0.03 Torr). Para mantener el plasma en
este campo r-f se necesitan valores de Eo/p del mismo orden que los E/p en régimen
continuo. En este caso (Eo/p ≈ 10 V/cmTorr) se tiene a ~ eEo/mνmω ~ 0.1 cm,
independiente de p.
8.1.3 Energía de los electrones.
Si no hay colisiones, el campo E no realiza trabajo sobre los electrones (en
promedio). De (8.1):
< - e E.v > - eEo2/mω < sen ωt cos ωt > ≡ 0
El campo eléctrico "bombea" a los electrones una sola vez (cuando es "prendido"), los
electrones adquieren la energía cinética de las oscilaciones libres (m u2/4 = e2Eo2/4mω2) y,
a partir de entonces, la energía cinética oscila sin cambiar su promedio.
En cambio, si hay colisiones, de acuerdo con (8.5):
< - e E.v >= [e2Eo2/2m(ω2+νm2)] νm ≡ ∆ εE νm
(8.7)
y para obtener la energía media electrónica debe balancearse la energía ganada del campo
con la perdida por colisiones elásticas e inelásticas con las partículas pesadas (al igual que
en el caso d-c). Si con cada colisión el electrón pierde una fracción δ de su energía ε,
entonces:
2
e 2
dε
E
= (∆εE - δε) νm = (
2
dt
m(ω +ν
2
2
donde E = <E (t)> ≡
E
2
m
)
- δε) νm
(8.8)
2
o
2
En condiciones estacionarias:
ε =
∆ε E
δ
2
⇒ε =
eE
2
(8.9)
mδ (ω +ν m )
2
2
Si ω2 << νm2, la situación es indistinguible de los campos d-c, y entonces vale la ley de
similaridad ε = f(E/p). En cambio, a altas frecuencias (ω>>νm), ε es independiente de νm
y p, y la ley de similaridad será ε = h(E/ω). Si δ ≈ cte, ε ∝ (E/ω)2, lo que significa que
para alcanzar una dada ε , entonces E ∝ ω. En la práctica, las avalanchas electrónicas
requieren ε ~10 eν, y esto explica por qué la ruptura dieléctrica a frecuencias ópticas (ω ~
1015 s-1) requiere campos enormes (E ~ 107 V/cm), que se consiguen sólo mediante la
focalización de pulsos láser gigantes.
8.2 Interacción de ondas electromagnéticas con el estado ionizado
8.2.1 Ecuaciones básicas de la Electrodinámica de Medios Continuos
En la sección anterior se ha desarrollado lo que sucede con los electrones de un gas
ionizado en presencia de un campo eléctrico a-c. Ahora se verá un aspecto diferente de la
interacción electrón-campo: el efecto del estado ionizado sobre el comportamiento de los
campos a-c y la propagación de ondas electromagnéticas.
Comenzaremos escribiendo las ecuaciones de Maxwell (unidades cgs).
D = E + 4πP
Campos: E, H, D, B;
B = H + 4πM
P, M Æ momentos eléctrico y magnético por unidad de volumen, respectivamente.
Ec. Maxwell
∇ x H = 4π/c j + 1/c ∂D/∂t
(8.10)
∇ x E = -1/c ∂B/∂t
∇oB=0
∇ o D = 4πρ
(8.11)
(8.12)
(8.13)
El sistema no está cerrado, pues j , P y M dependen de las propiedades del material. Si los
campos son estáticos o varían lentamente en el tiempo, tanto la experiencia como la teoría
indican una proporcionalidad entre j y P con E, y entre M y H. Esto se escribe como:
j = σ E ; P = χe E ; M = χ H
(χe, χ son las susceptibilidades eléctrica y magnética) o
bien:
j =σE ; D=εE ; B=µH
(8.14)
donde ε = 1+4πχe y µ = 1+4πχ son las permeabilidades eléctrica y magnética. Para gases y
plasmas µ ≈ 1.
Las (8.14) fallan en campos que varían rápidamente. Esto es debido a que los
procesos que generan j y P poseen una cierta inercia. Por ejemplo, si un campo E que
apunta en una cierta dirección es bruscamente invertido, la corriente continuará fluyendo
por un cierto tiempo en la dirección original, hasta que las cargas sean llevadas al reposo, y
finalmente invertida su dirección de movimiento.
La obtención de las ecuaciones materiales que tienen en cuenta efectos de retardo,
se ve facilitada porque el movimiento de las cargas está descripto por ecuaciones lineales
en E, r, v. Como las ecuaciones de Maxwell también son lineales, todas las cantidades
dependientes del tiempo pueden ser expendidas en series (o integrales) de Fourier. Como
vale el principio de superposición, se puede operar sólo con componentes armónicos. La
evolución de las cantidades armónicas está controlada por tres parámetros: amplitud,
frecuencia y fase. El efecto del retardo está contenido en la relación entre esos parámetros
(para las características del material) y el campo. Si Eω = Eωo sen(ωt), entonces jω(t ) = jω(t ) o
sen (ωt+ϕω), en donde jω(t ) o y ϕω serán funciones de Eωo y ω. Las ecuaciones pueden darse
en forma conveniente si se retienen los conceptos de conductividad y permitividad
dieléctrica que son familiares al trabajar con campos estáticos. De hecho, la corriente total
(t )
j ω está formada por una combinación de sen(ωt) y cos(ωt), que corresponde a una
combinación lineal de E y ∂E/∂t. Retornando al concepto original de corriente de
ε −1
∂E/ ∂t), podemos
conducción ( =σE ) y de corriente de polarización ( = ∂P/∂t =
4π
rescribir la ecuación material (para una armónica) en la forma:
ε −1
(t )
∂ Eω/∂t , Eω = Eωo sen(ωt)
j ω = σω Eω + ω
(8.15)
4π
A σω y Eω se las llama conductividad y permitividad dieléctrica de alta frecuencia del
(t )
medio. Para calcularlas, basta usar la expresión general (8.5) en j = - ene v y comparar
con (8.15). Sale inmediatamente:
σω =
e 2 neν m
m(ω 2 + ν m2 )
εω = 1 -
4πe 2 ne
m(ω 2 + ν m2 )
(8.16)
(8.17)
Las (8.16) y (8.17) son de importancia fundamental para la física de interacción plasmaondas electromagnéticas. Nótese que el cociente de amplitudes entre la corriente de
conducción y la de polarización está dada por:
jcond ,o
ε −1
∂Eωo / ∂t = νm/ω
= σω Eωo / 
j pol ,o
4π
(8.18)
En el límite de muy baja frecuencia (o plasma muy colisional), en donde toda la corriente
es de conducción se obtiene:
e 2 ne
(conductividad d-c)
"ω→ο" → σω →
mν m
4πe 2 ne
(permitividad d-c)
(8.19)
mν m2
En el límite de alta frecuencia (o plasma sin colisiones), en donde toda la corriente es de
polarización se obtiene:
e 2 ne
νm
"ω→ ∞ " → σω →
mω 2
4πe 2 ne
→ εω = 1 (8.19´)
mω 2
Un aspecto llamativo de lo que se ha considerado es encontrar que ε <1. Esto no es usual, y
está causado por el hecho de que los electrones en un plasma son libres, a diferencia de los
electrones en átomos o moléculas que están ligados. En este último caso, la polarización
viene como consecuencia del equilibrio entre el campo eléctrico externo y la fuerza elástica
restauradora de la molécula. Si ωo es la frecuencia natural de vibración del electrón en la
molécula, entonces su ecuación de movimiento será:
eE o
&r& + ω o2 r = sen(ωt)
m
eE o
⇒ r=sen(ωt)
m(ω o2 − ω 2 )
→ εω →1 -
Como usualmente ωo2 >> ω2 (ωo está normalmente en el rango de frecuencias ópticas), r es
opuesto a E, y entonces P=-er es paralelo a E (el caso ω2>ωo2 resulta en lo que se conoce
como dispersión anómala de la luz).
En cambio, en un plasma, aparte del efecto de las colisiones, los electrones libres
tienden a oscilar en fase con E, por lo que P es antiparalelo < E, y ε es menor que 1.
8.2.2 Propagación de Ondas Electromagnéticas con un Plasma
Es conveniente aquí recurrir a la representación compleja de los campos, porque
evita trabajar con combinaciones de senos y cosenos. Entonces, suprimiendo también el
subíndice ω,
E = Eo exp (-i ω t)
(8.20)
B = Bo exp (-i ω t)
De (8.10), (8.15) y (8.20) se obtiene:
iωε
iωε ′
4πσ
Eo ≡ Eo
Eo ∇xBo =
c
c
c
donde, en analogía con los dieléctricos, se ha definido
4πσ
ε′=ε+i
ω
(8.21)
(8.22)
usando la ley de Faraday (8.11) se tiene:
∇xEo= iω/c Bo
(8.23)
y combinando (8.21) con (8.23)
∇2Eo+
ε ′ω 2
Eo=0
c2
La (8.24) admite soluciones propagantes, E, B ∝ exp(-iωt + i k.r)
Entonces de (8.10) y (8.11):
kxB = -
(8.24)
ωε ′
E
c
kxE = ω/c B
(8.25)
La (8.25) implica que, si ε'≠0, k ⊥ B ⊥ E → ondas transversales
Si, en cambio, ε'=0 → B=0, k//E → ondas puramente eléctricas longitudinales → "ondas de
plasma"
Nótese que la condición ε'=0, implica σ ≈ 0 ( o sea νm << ω, ver (8.18)) y además ε = 0 (lo
mω 2
que implica una cierta densidad crítica, ver (8.19), ne =
).
4πe 2
Además las (8.25) implican que k=k(ω), relación que es conocida como la relación de
dispersión. Se obtiene:
k=(ω/c)
ε′
H= ε ′ E
Como ε' es complejo, el número de onda ('k) también lo es. Si escribimos:
k = kr+iki → ck/ω = η + i ξ
y con esta representación:
E, B ∝ exp [-iω(t-nx/c) - ξ (ω/c) x]
(8.26)
∴ c/n es la velocidad de fase (y η el índice de refracción) y ξ está relacionado con la
atenuación de la onda (de hecho, c/ξω representa el "camino libre medio" de
atenuación).
Reemplazando ε′ en (8.26), al hacer la descomposición en partes real e imaginaria
resulta:
1
4πσ 2 2
) ] 1
ε + [ε 2 + (
ω
η=[
]2
2
1
4πσ 2 2
) ] 1
− ε + [ε 2 + (
ω
ξ= [
]2
(8.27)
2
4πσ
<<1, por lo que las (8.27) se
En la práctica, para ondas electromagnéticas ópticas
ωε
aproximan a:
n≈ ε
2πe3neν m
ν
≈ 0.1ne (cm −3 ) 2 m 2 cm −1
(8.28)
2
2
mc(ω + ν m )
ω +ν m
4πσ
>>1, es decir, el límite "cuasi estacionario", se tiene:
En el límite opuesto,
ωc
1
2πσ 2
n≈ξ≈ (
)
(8.29)
ξ ω/c ≈
ω
por lo que c/(ωξ) =
c
1
2
no es otra cosa que el conocido "espesor pelicular" (skin-
(2πσω )
depth). Este último límite puede ocurrir en plasmas con un grado de ionización alto (σ
grande) a frecuencias r-f.
4πσ
<<1), que va acompañado
Un caso importante dentro del límite de alta frecuencia (
ωε
de muy poca absorción) es el caso de ε ≤ 0. Entonces
n≈
ε = i ε ⇒ no hay propagación!
⇒ la onda se refleja, y esto ocurre para una densidad electrónica crítica, o bien, dada la
densidad, pero una frecuencia crítica (ωp) dada por:
1
 4πe 2 ne  2

ωp= 
 m 
a fp = ωp/2π se la llama frecuencia de plasma, fp(s-1) ≈ 104ne1/2(cm-3).
(8.30)
8.3 Microondas
El rango de microondas está caracterizado por una vibración electrónica de pequeña
amplitud comparada con la longitud de onda (λ ∼ 1−10cm) o del tamaño de la cámara
(L).
eEo
e
En este caso, es muy común encontrar ω2 >> νm2 ⇒ a ∼
yu∼
Eo.
2
mω
mω
Como a<<λ, L, la evolución de la avalancha es localizada, el campo no empuja
electrones a las paredes y la naturaleza del proceso es volúmica.
Normalmente el gas se ubica en una cavidad resonante, y las microondas son inyectadas
mediante una guía de ondas.
En la figura 8.1 se muestra el campo de ruptura para aire a f = 9.46 GHz como
función de la presión. El parámetro es la longitud de difusión Λ, que está asociado con
las dimensiones geométricas de la cavidad resonante (para un cilindro, 1/Λ2=2.4/R2 +
π/L2).
Figura 8.1
En la Figura 8.2 se muestra también el campo de ruptura como función de la presión
para el gas Heg (He con una mezcla de vapor de Hg) para Λ=0.6 cm y para dos
frecuencias distintas.
Figura 8.2
La ionización en el gas Heg (y también en mezclas de Helio y Neón con una
pequeña cantidad de Argón) ocurre muy fácilmente: esto es debido al efecto Penning o
sea, a que la sección eficaz de ionización del Hg por metaestables excitados del He
(He*) es muy alta ( y lo mismo el Ar frente a He* y Ne*). En estos casos, la frecuencia
de ionización del Hg (o del Ar) coincide con la de excitación del He. Las pérdidas
inelásticas prácticamente están ausentes. La densidad de electrones obedece una
ecuación del tipo:
2
∂ne
= D∇ ne + (ν i − ν a )ne
∂t
(8.31)
donde νi y νa son las frecuencias de ionización y attachment y D es el coeficiente de
difusión (durante el breakdown, D ≡ De, o sea los electrones difunden libremente).
Como ω>>νmδ = τu-1, la función de distribución de energía de los electrones es
estacionaria, y νi y νa dependen Eo. Como estas dependencias son mucho más fuertes
que las de De(E), en la práctica De(E)≈cte. Integrando sobre todo el volumen de la
descarga, se obtiene una ecuación para el número total de electrones Ne:
dNe/dt = (νi - νa - νd)Ne
;
νd ≡ D/Λ2
(8.32)
donde νd es la frecuencia de pérdida difusiva de electrones.
Entonces para que se produzca avalancha debe cumplirse
νi ≥ νa + νd
(8.33)
Empleando teoría cinética, puede mostrarse que, si no hay pérdidas de energía de los
electrones, νi ∝ E2, y si las hubiera (especialmente inelásticas), la curva νi vs E es
todavía mucho más abrupta.
Consideremos ahora el gas Heg. A baja presión, el coeficiente D ∝ 1/p es alto, y
dominan las pérdidas difusivas. Estas pérdidas deben compensarse por una alta tasa de
ionización, o sea, por un campo E grande. En esta situación, las pérdidas elásticas de
energía son pequeñas, y un electrón gana energía del campo hasta alcanzar ε ∼
*
EHe
(=19.8eV), a partir de lo cual tiene una probabilidad muy alta de sufrir una colisión
inelástica (con el Hg) y perder energía. Entonces la tasa de ganancia de energía de los
electrones está dada por:
dE/dt = ∆εEνm,
en donde ∆εE ≡
e 2 Eo2
e 2 Eo2
*
∼
(ver (8.7)). Entonces la energía E He
será
2
2
2
2m(ω + ν m )
2mω
alcanzada en un tiempo ∼
*
EHe
∆ε Eν m
frecuencia de ionización. O sea:
νi ≈
, y este tiempo será del orden de la inversa de la
e 2 Eo2ν m
*
2mω 2 EHe
(8.34)
Reemplazando (8.34) en (8.35), con la condición νa<<νd queda:
1
*
 2 Dmω 2 EHe
2
ω
 ∝
Et = 
2
2
pΛ
 e ν mΛ 
(8.35)
La (8.35) explica lo que ocurre en las Figs. 8.1 y 8.2 a bajas presiones.
En alta presión (νm2>>ω2) las pérdidas difusivas son pequeñas, y la energía máxima
que pueden alcanzar los electrones está limitada por las colisiones elásticas con los
átomos del gas Heg. Entonces:
1 e2 E 2
εMAX≈
δ mν m2
con δ=2m/M
(8.36)
*
, los electrones no pueden
y por lo tanto εMAX ∝ (E/p)2. Si esta energía es menor que EHe
excitar átomos de He y no hay avalancha. Entonces la condición de breakdown (E≡Et)
estará definida por:
*
εMAX ≈ E He
mν m
⇒ Et =
e
1
*
2
 2 E He
 ∝ p

 M 
(8.37)
es decir que el campo de ruptura es independiente de Λ y ω, y es proporcional a p. La
(8.37) explica lo que ocurre en las Figs. 8.1 y 8.2 a altas presiones.
Con respecto al mínimo de la curva de ruptura Et(p), éste puede ser estimado usando
la condición que separa los dos casos límite de alta y baja presión, o sea νm∼ω. Los
valores resultantes para p están en el rango 1-10 torr.
En caso de trabajar con gases moleculares, las pérdidas inelásticas afectan los
campos de ruptura en la misma forma que lo hacen las pérdidas elásticas (recién
discutidas para el gas Heg). A bajas presiones, Et está determinado por las pérdidas
difusivas (la probabilidad de pérdida de energía por una colisión "excitante" es baja) y
*
por el
entonces Et está dado por una fórmula como la (8.35) reemplazando E He
potencial de ionización del gas (I). En altas presiones, Et está determinado por las
pérdidas de energía inelásticas, y puede obtenerse de (8.36) con la condición εMAX ∼ I y
el valor de δ correspondiente a colisiones inelásticas.
8.4 El Breakdown Óptico
Fue descubierto en 1963, con el advenimiento de pulsos láser de potencia muy
elevada, llamados "pulsos gigantes". Cuando un pulso de este tipo es focalizado mediante
una lente convergente, se observa una chispa en la región focal. Para dar un ejemplo
numérico, considérese un láser de rubí (hν = 1.78 eV), con una energía de 1J en un tiempo
de 30 ns (es decir, una potencia ∼ 30 MW=3 1014 erg/s), que es concentrado con un spotfocal de 2 10-2 cm de diámetro. En estas condiciones, la densidad de potencia radiante es S
≈ 105 MW/cm2 = 1018 erg/cm2s y el campo eléctrico de la onda es:
1
1
  W  2
V 
 4πS  2
E= 
 ≈ 20 S  2 
 → E
 cm 
 c 
  cm 
o sea E ≈ 6 106 V/cm, y el flujo de fotones es F ≈ 3.4 1029
La curva de ruptura Et vs. p se muestra en la Fig. 8.3
1
.
cm 2 s
Figura 8.3
Aquí también hay un mínimo, pero se produce para p ∼ 100 Atm! que corresponde
razonablemente a la condición νm ∼ ω. Un hecho interesante de este proceso es que los
electrones "semilla" son producidos por efecto fotoeléctrico multifotónico.
8.5 Radiofrecuencias (RF)
Este tipo de descargas suelen dividirse en dos grandes grupos, de acuerdo con los
métodos empleados para excitar la descarga. Existe el método inductivo de acople, o
descarga tipo B, en el cual se hace circular una corriente de alta frecuencia por un inductor
que "abraza" el tubo de descarga. El campo eléctrico inducido es de tipo rotacional (líneas
cerradas), y todo el sistema puede pensarse como un transformador donde la bobina
excitadora es el primario y la descarga el secundario. Obviamente, la corriente de descarga
circula en líneas cerradas.
TIPO B
El otro tipo de geometría es la llamada de acople capacitivo (tipo E), y se obtiene aplicando
directamente un voltaje r-f a dos electrodos entre los cuales se encuentra el gas de descarga.
Los electrodos pueden estar en contacto con el plasma, o pueden estar aislados del mismo
mediante placas dieléctricas. En el primer caso se dice que la descarga es entre electrodos,
mientras que en el segundo es sin electrodos.
TIPO E
La descarga tipo B es empleada para frecuencias en el rango 105-108 Hz, pues
frecuencias más bajas requerirían corrientes enormes en la bobina para generar un campo
eléctrico de la intensidad apropiada (E ∝ ω).
Las descargas capacitivas sin electrodos también se emplean a frecuencias altas,
pues a frecuencias bajas las placas dieléctricas aislantes consumen la mayoría del voltaje
aplicado. Para f ≤ 104Hz. se emplean descargas capacitivas con electrodos.
Como regla práctica, las descargas inductivas se emplean a presiones altas (∼ Atm),
mientras que las capacitivas a media o baja presión.
Para el análisis del fenómeno, debe considerarse la relación entre las tres longitudes
características del problema: tamaño de la cámara L, camino libre medio de los electrones
eEo
l y amplitud de la oscilación electrónica a (que puede ser libre, al =
si ω>>νm, o de
mω 2
eEo
deriva ad ∼
si νm>>ω). La longitud de onda de la radiación es muy grande, y no
mων m
necesita ser considerada. Hay varios casos:
1) a << L, l << L. Ocurre a frecuencias altas (a ≡ al) y presiones no demasiado bajas.
Es bastante parecido al breakdown por microondas discutido antes, es decir se trata
de una descarga volúmica con pérdidas de electrones por difusión.
2) a ∼ L, l <<L. Ocurre a frecuencias menores (a ≡ ad) y presiones no demasiado bajas.
En la Fig. 8.4 se muestra el potencial de ruptura Vt como función de la presión para
distintas frecuencias. Moviéndonos de derecha a izquierda (de alta a baja presión),
se obtiene la porción derecha de la curva ordinaria (correspondiente a pérdidas
electrónicas difusivas).
Figura 8.4
A medida que la presión se reduce, la amplitud de las oscilaciones electrónicas (de deriva, a
estas frecuencias) se hace ad ≈ L/2, y entonces los electrones golpean la pared,
incrementándose las pérdidas. Entonces se requiere un campo más intenso para
compensarlas. La posición del mínimo está dado por la condición
E / p(V / cmTorr )
eEo
≈ L/2⇒ o
≈1
f ( MHz ) L(cm)
mων m
En la última relación se ha usado que νm ≈ 4 109 p. A la izquierda (presión menor) aparece
el mínimo principal, que sigue la condición νm∼ω, como en las descargas de alta
frecuencia.
3) l >>L. Ocurre a muy bajas presiones. En la Fig. 8.5 se muestra el campo de
ruptura como función de la frecuencia (para H2, p =10-3 Torr).
Figura 8.5
Se puede apreciar que existe una frecuencia umbral por debajo de la cual no hay
breakdown. Como el gas está muy enrarecido, la multiplicación electrónica se produce vía
emisión electrónica de las paredes. Para que este proceso sea eficiente (en el sentido de que
cada electrón que llega a las paredes arranque más de un electrón), la energía del electrón
debe ser ε ≈ 100eV. Además, los electrones deben cruzar el gap en sincronía con el campo,
lo que significa que un electrón deja una pared, es acelerado por el campo y alcanza la otra,
al campo debe ser invertido para que el nuevo electrón emitido repita el proceso.
Las condiciones de sincronía puede escribirse:
E = Eo sen ωt
e
Eo cos ωt
v=
mω
e
x=
Eo sen ωt
mω 2
eEo
L=
mω 2
1
1 e 2 Eo2
ε = mv2 =
2
2 mω 2
Entonces:
1
1  2ε  2
2ε
f=
  ≡ f c , Eo =
2πL  m 
eL
Si f < fc, el electrón alcanza la pared cuando la fuerza aceleradora todavía apunta en la
dirección de movimiento, por lo que el electrón emitido es "atrapado". Si f > fc el electrón
comienza a frenarse antes de alcanzar la pared, pero este efecto puede compensarse
incrementando Eo.