Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y

Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas técnicas
Tema 4
La recta en el plano
Elaborado por la Profesora Doctora Marı́a Teresa González Montesinos
Índice
1. Ejes coordenados. Coordenadas de un punto. Distancia entre dos puntos
1
2. Vectores en el plano
1
3. Operaciones con vectores
3.1. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Producto de un número por un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4. Módulo o norma de un vector
4
5. Vectores perpendiculares
4
6. La recta en el plano. Ecuaciones de la recta
5
7. Posición relativa de dos rectas en el plano
11
8. Perpendicularidad
12
9. Distancias
9.1. Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Distancia entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
14
14
10.Ejercicios propuestos
14
1
Tema 4
Y
Eje de ordenadas o Eje OY
Segundo cuadrante
Primer cuadrante
P(a,b)
b
O(0,0)
Tercer cuadrante
X
a
Eje de abcisas o Eje OX
Cuarto cuadrante
Figura 1: Ejes coordenados. Representación de un punto P (a, b).
1. Ejes coordenados. Coordenadas de un punto. Distancia entre dos puntos
Los ejes coordenados no son más que un sistema de referencia que nos ayuda a distinguir los
puntos que forman el plano dando caracterı́sticas únicas a cada uno de ellos.
Los ejes coordenados están formados por dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto O,
llamado origen de coordenadas. Ambos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, como puede
observarse en la figura 1.
Cada punto del plano se representa por una letra mayúscula seguida de dos números entre paréntesis separados por comas, es decir, P (a, b). La letra mayúscula indica el nombre del punto, P , mientras
que a y b son dos números reales que representan las coordenadas del punto P . Véase en la figura 1
cómo queda perfectamente representado un punto P cualquiera del plano.
Si A(a1 , a2 ) y B(b1 , b2 ) son dos puntos del plano, entonces la distancia entre ambos puntos viene
dada por
p
p
d(A, B) = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 = (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 = d(B, A).
Ejemplo 1.1 De entre los puntos del ejemplo anterior, calcula la distancia entre A y B, P y D, Q y
C.
p
√
√
d(A, B) = (−3 − 2)2 + (4 − 1)2 = 25 + 9 = 34;
p
√
√
d(P, D) = (5 − 3)2 + (0 − (−5))2 = 4 + 25 = 29;
p
√
√
d(Q, C) = (−2 − 0)2 + (−4 − (−3))2 = 4 + 1 = 5.
2. Vectores en el plano
Los vectores pueden definirse como flechas que indican una dirección y un sentido en el plano.
−
−→
Si A(a1 , a2 ) y B(b1 , b2 ) son dos puntos del plano, se define el vector AB como
−
−
→
AB = (b1 − a1 , b2 − a2 ),
2
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Y
A(a1 , a2 )
−
−→
AB
X
Indica la dirección
B(b1 , b2 )
Indica el sentido
Figura 2: Vector de origen A(a1 , a2 ) y extremo B(b1 , b2 ).
Y
C(-1,4)
A(-4,3)
−
−→
AB
−−→
CD
D(5,3)
B(2,2)
X
−−→
OP
P(6,-1)
−−
→
−
−→
es decir, el vector AB es una flecha que parte del punto A, llamado origen de AB, y termina en el
−
−
→
−−
→
punto B, denominado extremo de AB. Además se dirá que b1 − a1 es la primera componente de AB
−
−→
mientras que b2 − a2 es la segunda componente de AB. Véase la figura 2 como ilustración. Sean los
−−
→ −−→
puntos A(−4, 3), B(2, 2), C(−1, 4) y D(5, 3) y los vectores AB, CD.
Tenemos que
−
−→
AB = (2 − (−4), 2 − 3) = (6, −1),
−−→
CD = (5 − (−1), 3 − 4) = (6, −1),
−
−→
−−→
es decir, tanto el vector AB como el CD tienen las mismas componentes. Más aún, si consideramos el
−
−
→
−−→
punto P (6, −1), esto es, el punto cuyas coordenadas son las componentes de AB o de CD, entonces
−−→
−
−
→ −−→
OP = (6, −1) = AB = CD,
de modo que se puede afirmar que los tres vectores son iguales aunque, como puede verse en la figura
3, están situados en distintos lugares del plano. Esto no supone problema alguno pues, en realidad,
los vectores sólo sirven para indicar una dirección y un sentido.
3
Tema 4
−−→ −
−→ −−→
Escribiremos pues ~v = OP = AB = CD, es decir, ~v representa al vector de componentes 6 y -1
sin tener en cuenta cuál es su origen o su extremo.
3. Operaciones con vectores
Con los vectores se pueden realizar varios tipos de operaciones. Dos de las más importantes son:
3.1. Suma de vectores
Si ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ), se define ~u + ~v como el vector
~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 ).
Y
Y
~u
~u + ~v
~v
~u
~v
~u + ~v
X
X
Figura 3: Suma de los vectores ~u = (u1 , u2 ) y ~v = (v1 , v2 ).
Ejemplo 3.1 Sean los vectores ~u = (−3, 1), ~v = (5, 8) y w
~ = (2, −4). Se tiene que
~u + ~v = (−3, 1) + (5, 8) = (−3 + 5, 1 + 8) = (2, 9);
~u + w
~ = (−3, 1) + (2, −4) = (−3 + 2, 1 − 4) = (−1, −3);
~v + w
~ = (5, 8) + (2, −4) = (5 + 2, 8 − 4) = (7, 4);
~u + ~v + w
~ = (−3, 1) + (5, 8) + (2, −4) = (−3 + 5 + 2, 1 + 8 − 4) = (4, 5).
3.2. Producto de un número por un vector
Si r ∈ R es un número arbitrario y ~u = (u1 , u2 ) es un vector, se define r~u como el vector
r~u = (ru1 , ru2 ).
Es importante tener en cuenta que r~u es un vector que, al menos, tiene la misma dirección que ~u;
tendrá el mismo sentido si r > 0 y será de sentido contrario si r < 0.
Ejemplo 3.2 Considérense los vectores ~u = (−3, 1) y ~v = (5, 8). Entonces:
4~u = 4(−3, 1) = (4 · (−3), 4 · 1) = (−12, 4);
−5~v = −5(5, 8) = (−5 · 5, −5 · 8) = (−25, −40);
4~u − 5~v = (−12, 4) + (−25, −40) = (−12 − 25, 4 − 40) = (−37, −36).
Además, dado cualquier vector ~u = (u1 , u2 ), llamaremos vector opuesto de ~u al vector −~u =
(−u1 , −u2 ), esto es, −~u es un vector que tiene la misma dirección que ~u y es de sentido contrario al
de ~u.
Sea, por ejemplo, el vector ~u = (2, 1). En la figura 5 se han representado los vectores 2~u = (4, 2) y
−2~u = (−4, −2).
4
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Y
~u
2~u
X
−2~u
Figura 4: Producto del vector ~u = (2, 1) por 2 y por -2.
4. Módulo o norma de un vector
Puede verse claramente que los vectores tienen una longitud. En este sentido, llamamos módulo
o norma de un vector ~u = (u1 , u2 ), y escribiremos k~uk, a su longitud, que viene dada por
k~uk =
q
u21 + u22 ,
gracias al teorema de Pitágoras.
Obsérvese que un vector y su opuesto tienen el mismo módulo. También puede comprobarse fácilmente que, si r ∈ R y ~u = (u1 , u2 ), entonces
kr~uk = |r| k~uk.
Esto queda perfectamente ilustrado en la figura 5.
Ejemplo 4.1 Los módulos o normas de los vectores ~u = (−3, 1) y ~v = (5, 8) son
p
√
√
k~uk = (−3)2 + 12 = 9 + 1 = 10;
p
√
√
k~v k = 52 + 82 = 25 + 64 = 89.
Por otro lado, los módulos de los vectores opuestos a ~u y ~v son
p
√
√
k − ~uk = 32 + (−1)2 = 9 + 1 = 10;
p
√
√
k − ~v k = (−5)2 + (−8)2 = 25 + 64 = 89.
Por último,
k4~uk =
p
(−12)2 + 42 =
√
144 + 16 =
√
√
160 = 4 10 = 4k~uk.
5. Vectores perpendiculares
Finalmente, se dirá que dos vectores del plano ~u y ~v son normales o perpendiculares si ambos
forman un ángulo de 90◦ .
5
Tema 4
~u
~n1
~n2
Figura 5: Vectores perpendiculares.
Si ~u = (u1 , u2 ) es un vector cualquiera, se pueden calcular, a priori, dos vectores perpendiculares
a ~u:
~n1 = (u2 , −u1 ), ~n2 = (−u2 , u1 ),
siendo ~n1 = −~n2 o ~n2 = −~n1 . Nótese que estos vectores se han obtenido invirtiendo el orden de las
componentes de ~u y cambiándole el signo a una de ellas.
6. La recta en el plano. Ecuaciones de la recta
Dados un punto del plano, A(a1 , a2 ), y una dirección, ~u = (u1 , u2 ), existe una única recta que
pase por el punto A y que tenga la dirección del vector ~u. Este hecho se ve reflejado en la figura 1:
r
~n
~u = (u1 , u2 )
A(a1 , a2 )
Figura 6: Recta en el plano. Vectores director y normal.
Obsérvese que una recta está formada por infinitos puntos y que su dirección puede representarse
por infinitos vectores, todos ellos proporcionales.
Diremos que ~u es un vector director de una recta r si ésta tiene la dirección de dicho vector, y
que ~n es un vector normal a una recta r si éste es perpendicular a la recta en cuestión, o lo que es
lo mismo, si ~n es perpendicular o normal a cualquier vector director de r.
6
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
En lo que sigue consideraremos la recta que pasa por un punto A(a1 , a2 ) y que tiene la dirección
de un vector ~u = (u1 , u2 ).
Lo que haremos en este apartado es caracterizar los puntos de la recta r, esto es, si P (x, y) es un
punto cualquiera de r, éste tendrá una forma determinada que nos conduzca a pensar que, en efecto,
pertenece a r.
Veamos ahora las distintas formas que existen de realizar la caracterización de los puntos de la
recta r, haciendo uso de las llamadas ecuaciones de la recta:
Ecuación vectorial.- Observemos la figura 2:
r
A(a1 , a2 )
−→
AP
−→
OA
~u = (u1 , u2 )
P (x, y)
Y
−−→
OP
O(0, 0)
X
Figura 7: Recta que pasa por el punto A(a1 , a2 ) y tiene la dirección del vector ~u = (u1 , u2 ).
Nótese que
−−→ −→ −→
OP = OA + AP ,
−→
y como AP = t~u, para algún t ∈ R, se tiene que
−−→ −→
OP = OA + t~u,
−−→
−→
o equivalentemente, al ser OP = (x, y) y OA = (a1 , a2 ),
r : (x, y) = (a1 , a2 ) + t(u1 , u2 ).
Las expresiones anteriores indican que, si P (x, y) es un punto cualquiera de r, entonces existe
un único número real t tal que se satisfagan dichas expresiones; y viceversa, si existe un número
real t tal que se verifiquen dichas expresiones, entonces el punto P (x, y) pertenecerá a la recta r.
Ecuaciones paramétricas.- De la ecuación vectorial de r se deduce que
x = a1 + t u1 ,
r:
y = a2 + t u2 ,
donde el número real t recibe el nombre de parámetro.
7
Tema 4
Ecuación continua.- Consideremos las ecuaciones paramétricas de r y despejemos el parámetro t
de cada una de ellas:

x − a1

 t =
x = a1 + t u1
x − a1 = t u1
u1
=⇒
=⇒
y − a2
y = a2 + t u2
y − a2 = t u2

 t =
u2
de donde se obtiene que
r:
x − a1
y − a2
=
.
u1
u2
Ecuación general.- Esta ecuación se deduce de la ecuación continua de r:
x − a1
y − a2
=
=⇒ u2 (x − a1 ) = u1 (y − a2 )
u1
u2
=⇒ u2 x − u2 a1 = u1 y − u1 a2 =⇒ u2 x − u1 y − u2 a1 + u1 a2 = 0.
Habitualmente escribiremos la ecuación general de r en la forma
r : ax + by + c = 0.
Es fundamental darse cuenta de que los coeficientes a y b de la ecuación de la recta son tales
que ~n = (a, b) es un vector normal a r.
Ecuación en punto pendiente.- Este tipo de ecuación es de la forma
r : y − a2 = m(x − a1 ),
donde m indica la pendiente de la recta r, que como veremos en el tema siguiente viene dada
por
u2
m = tg α = .
u1
r
~u = (u1 , u2 )
u2
α
u1
Ecuación explı́cita.- Ésta se deduce a partir de la ecuación en punto pendiente o de la ecuación
general de r, y es de la forma
r : y = mx + n,
donde, de nuevo, m es la pendiente de la recta r.
8
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Y
r
B(0, β)
A(α, 0)
X
Ecuación normal.- Supongamos que r no es paralela a ninguno de los ejes coordenados; entonces
se producirá la intersección de r con ambos ejes, como se muestra en la figura 3, en dos puntos:
A(α, 0) y B(0, β).
La ecuación normal de r viene dada por
r:
x
y
+ = 1.
α β
Ejemplo 6.1 Calculemos todas las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(1, 2) y que tiene
la dirección del vector ~u = (−2, 3).
Comencemos por la ecuación vectorial:
r : (x, y) = (1, 2) + t(−2, 3).
Las ecuaciones paramétricas serán
r:
(
r:
x−1
y−2
=
.
−2
3
x = 1 − 2t
y = 2 + 3t
.
La ecuación continua vendrá dada por
El cálculo de la ecuación general de r se puede hacer de dos formas:
(a) A partir de la ecuación continua se tiene que
x−1
y−2
=
=⇒ 3(x − 1) = −2(y − 2)
−2
3
=⇒ 3x − 3 = −2y + 4 =⇒ r : 3x + 2y − 7 = 0.
(b) Como ~u = (−2, 3) es un vector director de r, sabemos que ~n = (a, b) = (3, 2) es un vector normal
a r, con lo cual la ecuación general de la recta será de la forma
r : 3x + 2y + c = 0,
Tema 4
9
donde el coeficiente c está aún por calcular. Pero esto es muy sencillo, ya que basta con imponer
que el punto A(1, 2) ∈ r, es decir, las coordenadas de A deben satisfacer la ecuación de la recta:
3 · 1 + 2 · 2 + c = 0 =⇒ 3 + 4 + c = 0 =⇒ c = −7,
con lo que se obtiene la misma ecuación del apartado anterior.
Para hallar la ecuación en punto pendiente de r calculamos en primer lugar su pendiente, es decir,
3
m = −2
= − 32 . Entonces
3
r : y − 2 = − (x − 1).
2
La ecuación explı́cita de la recta r puede calcularse de tres modos distintos:
(a) A partir de la ecuación en punto pendiente:
3
3
3
7
3
y − 2 = − (x − 1) =⇒ y = − x + + 2 =⇒ r : y = − x + .
2
2
2
2
2
(b) Despejando y de la ecuación general:
3
7
3x + 2y − 7 = 0 =⇒ 2y = −3x + 7 =⇒ r : y = − x + .
2
2
(c) Conocida la pendiente m = − 32 , sabemos que
3
r : y = − x + n = 0.
2
Para calcular el coeficiente n se impone que el punto A(1, 2) pertenece a la recta, es decir,
3
3
7
2 = − · 1 + n = 0 =⇒ n = 2 + = ,
2
2
2
obteniéndose la misma ecuación que en los casos anteriores.
Ya sólo nos queda calcular la ecuación normal de r. Para ello hay que calcular los puntos de corte de
la recta con los ejes coordenados. Como hemos podido observar, el eje de abcisas se caracteriza porque
la segunda coordenada de todos sus puntos es nula, es decir, dicho eje tiene por ecuación y = 0. Por
otro lado, los puntos del eje de ordenadas tienen todos ellos su primera coordenada nula, de modo que
podemos decir que su ecuación es x = 0. Ası́, el punto de corte de r con el eje de abcisas se calcula
haciendo y = 0 en cualquiera de las ecuaciones de r; hagámoslo, por ejemplo, en la ecuación explı́cita:
7
3
7
7
3
0 = − x + =⇒ x = =⇒ x = = α.
2
2
2
2
3
El punto de corte con el eje de ordenadas de calcula de forma totalmente análoga, pero haciendo x = 0
en la ecuación:
3
7
7
y = − · 0 + =⇒ y = = β.
2
2
2
Entonces la ecuación normal de r es
x
y
+
= 1.
7/3 7/2
En la siguiente tabla quedan recogidos los distintos tipos de ecuaciones de la recta:
10
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
r
B(b1 , b2 )
−
−→
~u = AB
A(a1 , a2 )
Figura 8: Recta que pasa por dos puntos.
Ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
Ecuación continua
Ecuación general
Ecuación en punto pendiente
Ecuación explı́cita
Ecuación normal
(x, y) = (a1 , a2 ) + t(u1 , u2 )
x = a1 + t u1 ,
y = a2 + t u2 ,
x − a1
y − a2
=
u1
u2
ax + by + c = 0
y − a2 = m(x − a1 )
y = mx + n
x
y
+ =1
α β
Ejemplo 6.2 Considérense los puntos P (−1, 2) y Q(−1, 5). ¿Pertenecen ambos puntos a la recta del
ejemplo anterior?
Esto se puede comprobar de tantas formas como tipos de ecuaciones hemos calculado. Por ejemplo,
si hacemos uso de las ecuaciones paramétricas de r puede comprobarse que P ∈
/ r y que Q ∈ r:
(
−1 = 1 − 2t ⇐⇒ 2t = 2 ⇐⇒ t = 1
=⇒ P ∈
/ r;
2 = 2 + 3t ⇐⇒ 3t = 0 ⇐⇒ t = 0
(
−1 = 1 − 2t ⇐⇒ 2t = 2 ⇐⇒ t = 1
=⇒ Q ∈ r.
5 = 2 + 3t ⇐⇒ 3t = 3 ⇐⇒ t = 1
Realicemos ahora la comprobación con la ecuación general de r:
3 · (−1) + 2 · 2 − 7 = −3 + 4 − 7 = 6 6= 0 =⇒ P ∈
/ r,
3 · (−1) + 2 · 5 − 7 = −3 + 10 − 7 = 0 =⇒ Q ∈ r.
Hemos visto hasta ahora que para calcular la ecuación de una recta se hace uso de un punto que
pertenece a ella y de un vector que indica su dirección.
¿Cómo podemos calcular la ecuación de una recta r si sólo conocemos dos puntos, A(a1 , a2 ) y
−
−→
B(b1 , b2 ), por los que pasa? Como puede verse en la figura 4, el vector ~u = AB = (b1 − a1 , b2 − a2 ) es
un vector director de la recta r, con lo que ya se puede hallar cualquier ecuación de dicha recta.
En la siguiente figura se exponen las que podrı́amos denominar rectas notables del plano, con
sus correspondientes ecuaciones:
11
Tema 4
r
r=s
s
r
Rectas paralelas
Rectas coincidentes
s
Rectas
secantes
Figura 9: Posición relativa entre las rectas r y s.
Y
Eje de ordenadas o Eje OY
x=0
y=x
Bisectiz del
primer y tercer
cuadrante
y=-x
Bisectriz del
segundo y
cuarto cuadrante
A(a,b)
b
y=b
y=0
a
X
Eje de abcisas o Eje
OX
x=a
7. Posición relativa de dos rectas en el plano
Considérense dos rectas del plano, r y s. Ambas rectas pueden estar dispuestas como se indica en
la figura 5:
Supongamos que las ecuaciones generales de ambas rectas vienen dadas por r : ax + by + c = 0 y
s : a′ x + b′ y + c′ = 0. Tendremos que
a
b
= ′ =
a′
b
a
b
= ′ =
6
′
a
b
a
b
6= ′
′
a
b
c
c′
c
c′
=⇒ r = s,
=⇒ r y s son paralelas,
=⇒ r y s son secantes.
12
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Si las ecuaciones explı́citas de r y s son r : y = mx + n y s : y = m′ x + n′ , se tiene que
m = m′ , n = n′ =⇒ r = s,
m = m′ , n =
6 n′ =⇒ r y s son paralelas,
′
m 6= m
=⇒ r y s son secantes.
Es fundamental el hecho de que dos rectas serán coincidentes o paralelas siempre que los vectores
directores de ambas rectas, y por tanto los vectores normales, sean proporcionales, es decir, siempre
que tengan la misma dirección. En caso contrario, las rectas serán secantes de forma obvia.
Ejemplo 7.1 Averigüemos la posición relativa entre las rectas r : x − 2y + 3 = 0 y s : 2x − 4y − 1 = 0.
Como
1
−2
3
=
6=
,
2
−4
−1
r y s son paralelas.
Ejemplo 7.2 Calculemos la recta paralela a r : y = −3x − 1 que pasa por el punto A(1, 4).
Llamemos s a dicha recta. La pendiente de r es m = −3, y ésta debe ser también la pendiente de
s, con lo cual la ecuación explı́cita de s será de la forma
s : y = −3x + n,
donde n ∈ R. Para calcular n se impone el hecho de que A(1, 4) ∈ s, esto es,
4 = −3 · 1 + n =⇒ n = 7,
de donde s : y = −3x + 7.
(
x = −1 + 2t,
Ejemplo 7.3 Dada la recta r :
, calcular la recta paralela a r que pasa por el punto
y =2+t
P (3, −2).
El vector ~u = (2, 1) es un vector director de la recta r y también lo será de cualquier recta paralela
a ella. Como la recta buscada pasa por el punto P (3, −2), las ecuaciones paramétricas de la recta
pedida son
(
x = 3 + 2t,
.
y = −2 + t
8. Perpendicularidad
Diremos que dos rectas r y s son perpendiculares si el ángulo que forman es de 90◦ . Como puede
observarse en la figura 6, es obvio que cualquier vector director de r es un vector normal de s; del
mismo modo, todo vector normal de r es vector director de s.
Por último decir que, si ~u = (u1 , u2 ) es un vector director de la recta r, entonces sabemos que
~n = (u2 , −u1 ) es un vector normal de r y, por tanto, un vector director de s. Consecuentemente, si
denotamos por mr y ms a las respectivas pendientes de r y s, tendremos que

u2

 mr =
u1
=⇒ mr ms = −1
u

 ms = − 1
u2
13
Tema 4
r
~u
~u
~n
s
~n
Figura 10: Rectas perpendiculares.
Ejemplo 8.1 ¿Son perpendiculares las rectas r : y = 3x − 1 y s : x + 3y + 3 = 0?
Para averiguarlo calculemos en primer lugar la ecuación explı́cita de s:
x + 3y + 3 = 0 =⇒ 3y = −x − 3 =⇒ y =
1
(−x − 3),
3
1
es decir, s : y = − x − 1.
3
Como mr = 3 y ms = − 13 , entonces es mr ms = −1, es decir, r y s son perpendiculares.
Ejemplo 8.2 Hallemos la recta perpendicular a la recta r :
x=2+t
que pasa por el origen de
y =3−t
coordenadas.
El vector ~u = (1, −1) es un vector director de la recta r y entonces será un vector normal de la
recta que buscamos, a la que llamaremos s. Tendremos pues que la ecuación general de s es de la
forma
s : x − y + c = 0.
Como el punto O(0, 0) pertenece a s, será c = 0, con lo que s : x − y = 0, es decir, s es la bisectriz del
primer y tercer cuadrante.
Otra forma de hallar la recta s serı́a la que sigue: como ~u = (1, −1) es un vector director de la recta
r, la pendiente de r es mr = − 11 = −1. Si ms es la pendiente de s sabemos que debe ser mr ms = −1,
de donde ms = 1. Entonces, al ser O(0, 0) ∈ s, la ecuación en punto pendiente de s será
s : y − 0 = 1(x − 0) ⇐⇒ s : y = x.
9. Distancias
Aunque no hayamos estudiado las herramientas matemáticas para deducir las fórmulas que a
continuación se van a exponer, resulta interesante conocerlas.
14
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
P (x0 , y0 )
d(P, r)
r
Figura 11: Distancia de un punto a una recta.
9.1. Distancia entre un punto y una recta
Dados un punto P (x0 , y0 ) y una recta r : ax + by + c = 0, se tiene que
d(P, r) =
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b2
Es obvio que si P ∈ r entonces será d(P, r) = 0.
9.2. Distancia entre dos rectas
Sean r y s dos rectas en el plano. Las posibles posiciones relativas de ambas rectas pueden observarse
en la figura 5.
Para establecer la distancia entre ambas rectas, a la cual denotaremos por d(r, s), se tomará el
camino más corto para llegar de una recta a otra. De este modo, en los casos en que r y s sean rectas
coincidentes o secantes, se dirá que d(r, s) = 0. Como se muestra en la figura 8, siendo r y s paralelas,
A
d(r, s) = d(A, s)
r
d(r, s) = d(B, r)
B
s
Figura 12: Distancia entre dos rectas.
para calcular d(r, s) basta con elegir un punto A ∈ r y calcular d(A, s) o elegir un punto B ∈ s y
hallar d(B, r).
10. Ejercicios propuestos
(1) Dibujar los puntos A(0, 3), B(−5, 0), C(4, −1) y D(−2, −3) en los ejes coordenados.
(2) Dados los puntos del ejercicio anterior, hallar las distancias entre los puntos A y B, A y C, B y
C, C y D.
Tema 4
15
−−
→ −−
→ −−→ −−→
(3) Dados los puntos A(−2, 0), B(3, 0), C(1, 1) y D(−5, 4), calcula los vectores AB, BA, BC, CD y
−−→
DC. Dibuja dichos vectores.
(4) Si ~u = (5, 1), ~v = (−3, −2) y w
~ = (0, 1), calcúlense
a) ~u + ~v ,
b) 2~u − ~v ,
c) ~u + ~v + w,
~
d) −3~v + 5w,
~
e) 3~u + ~v − 2w,
~
f) 2(~u + w)
~ − ~v .
Hállese además el módulo de los vectores calculados anteriormente.
(5) Hallar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(−1, 2) y que tiene la dirección del
vector ~u = (3, −1).
(6) Calcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(0, 1) y B(−2, −2). ¿Pertenece
el punto P (4, 7) a dicha recta?
(7) De los siguientes pares de rectas, indı́quese su posición relativa:
a) r : 2x + 4y − 3 = 0, s : x + 2y + 1 = 0;
(
(
x = −1 + 3t
x = −1 + 5t
b) r :
,s:
;
y =2+t
y =2−t
c) r : 2x − 2y + 1 = 0, s : y = x − 8;
(
x = 6t
d) r : y = 3x − 1, s :
;
y = 2 − 2t
x y
e) r : − = 1, s : 2x − 3y + 6 = 0.
3 2
Calcúlese el punto de corte en el caso de pares de rectas secantes.
y+1
x−3
=
, hállense todas las ecuaciones de la recta paralela a r que pasa
2
3
por el punto P (0, 1). ¿Pertenece el punto Q(−3, 4) a dicha recta?
(8) Dada la recta r :
(9) Considérese la recta r : 3x − y + 1 = 0. Hallar:
a) la recta paralela a r que pasa por el punto A(1, 1);
b) la recta perpendicular a r que pasa por el punto B(−1, −1);
c) la distancia del punto P (1, −1) a la recta r y a las rectas halladas en los apartados anteriores.
(10) Considérese la recta r :
x y
+ = 1. Hallar:
2 5
a) la recta paralela a r que pasa por el punto A(2, −1);
b) la recta perpendicular a r que pasa por el punto B(−1, 2);
c) la distancia del origen de coordenadas a la recta r y a las rectas halladas en los apartados
anteriores.
16
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
(11) Hállense las rectas paralela y perpendicular a la recta r : y = −2 que pasan por el punto P (−4, 8).
Dibújense dichas rectas. ¿Cuáles son los puntos de corte de estas rectas con las bisectrices del
primer–tercer cuadrante y segundo–cuarto cuadrante?
(12) Calcular la distancia entre las rectas del ejercicio 3.