La Lección de hoy es sobre Ángulos formados por las

Angles Formed by Chords, Secants, and
Tangents. R.4.G.5- Kelly Clayton.
La Lección de hoy es sobre Ángulos formados por las Cuerdas, Secantes, y
Tangentes.
El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante R.4.G.5
Vamos a hablar de que son las Cuerdas, que son las líneas Secante y que son las
líneas Tangentes.
En esta figura veremos una línea que intercepta el círculo en exactamente un
punto. Si solamente tiene solo un punto en común es llamada:
La Línea Tangente: y esta es la línea que intercepta el
°
el círculo o cualquiera curva, exactamente en un punto.
Solo tiene un punto en común. Ahora, con la línea
Tangente y un punto, hay otra cosa que pasa, si dibujas
el radio del circulo, este radio en la línea tangente
forma un Angulo derecho, de 90 grado Angulo. No importa donde está ubicada
la línea tangente en el circulo, cada vez que busques el radio te dará un Angulo
de 90 grado.
No importa donde está ubicada la línea tangente en el circulo, cada vez que
busques el radio te dará un Angulo de 90°.
Otra cosa que debemos saber con respecto a un círculo.
Si trazamos una línea que va de dos puntos, no es una tangente porque la línea
tangente está formada por solo un punto en común.
Entonces, con dos puntos, ¿Cómo lo llamaremos? Esta se llama,
La Línea Secante: es la línea que intercepta el circulo a exactamente 2 puntos.
°
°
Ahora, si cortamos los extremos de estos 2 puntos hasta los puntos dentro del
circulo nos dará otra figura, y esta se llama,
La Línea de la Cuerda, esta es una °
Línea del segmento con dos
puntos cerrados en el círculo.
°
Esto es lo que una línea tangente, una línea secante, y una línea de la cuerda es.
Y sus propiedades en el círculo.
Ahora, hablaremos de la Curva en el Círculo. Primeramente hablaremos de los
ángulos formados por esta cuerda que intercepta dentro del círculo.
Esta relación siempre es verdadera, no importa como estas líneas interceptan, si
C= ½ (a + b)
ce, es igual a un medio, por la suma de sus
lados que intercepta.
a°
c
c°
c
b°
Seria, el arco a°, y el arco b°, si sumamos estos y dividimos entre dos encontramos
el Angulo, c°. Otra cosa interesante, mira donde estos arcos interceptan,
exactamente en el punto rojo es exactamente similar, y el Angulo tiene
exactamente las mismas medidas. Entonces, c° seria igual a, “a” que es igual a
“b”. Este es verdadero cuando sumamos dos cuerdas que interceptan dentro del
círculo. Ahora, que pasaría si interceptan exactamente en el círculo. En otras
palabras se ve como si forma un Angulo.
°
°
Y°
X°
Es exactamente lo que forman, dentro del círculo. ¿Cómo buscamos el Angulo X?
En este caso no tenemos que buscar dos ángulos, solo uno.
En vez de buscar la suma de los ángulos que intercepta el punto, solo buscamos
uno, es solo el medio de la línea que intercepta el arco, ósea,
X= ½(Y) con esta fórmula encontraremos el Angulo X.
Veremos otro escenario:
¿Que pasaría si tendríamos segmentos con líneas afuera del círculo? Usualmente
son llamadas, tangentes, si intercepta el circulo en un punto, secantes, si estas
interceptan el circulo dos veces. Como este ejemplo,
Tenemos el Angulo c, y este, esta fuera del circulo.
a
b
c
¿Cómo lo encontraremos? Tenemos un arco que intercepta en “a”, y un arco
que intercepta en “b”. Para encontrar “c”. Esto es lo que haríamos.
C= ½(a + b) es un medio, y porque está afuera del circulo, haces el grande
menos el pequeño. El arco que está lejos del Angulo, menos el arco que está
cerca del Angulo. Recuerda si el punto está dentro del círculo, sumariamos y
dividimos entre dos, si esta fuera como este lo restamos y dividimos entre dos.
Pero esta ecuación se puede usar para otro escenario.
Ahora, ¿Qué pasaría si tenemos una tangente y una secante?
c
b
a
Usaremos la misma ecuación C= ½ (a-b). Si el Angulo esta fuera del circulo, es
½del arco mas grande, menos, el arco más pequeño, menos el que está más
cerca de. Pro esta es la segunda de tres ejemplos que la formula trabaja.
Ahora, notaras que si tenemos dos tangentes, y una tangente, y una secante, o
dos secantes, este Angulo está afuera del circulo, como este dibujo,
bbb
b
b
a
Haces ½ del grande, menos el menor. A si es que encuentras un Angulo que esta
fuera del círculo.
Ejemplo 1:
Piensa en nuestras definiciones que hemos aprendido,
Si bel Angulo esta dentro del circulo, lo que haremos es ½del arco que
intercepta, pero tenemos el arco junto.
Si el Angulo esta fuera del círculo, haremos el ½ de nuevo, pero, restamos el más
grande, el próximo del medio, y menos, el menor.
Desarrollaremos nuestro primer ejemplo:
Busca el valor de X. Pregunta. ¿Esta dentro o fuera?
10°
Claramente podemos observar que está dentro del
Circulo.
X
15°
Quiere decir, que si vez nuestro arco interceptar,
sumamos estos juntos y lo dividimos entre dos.
La ecuación se leería, X= ½ (10 + 15) Ahora, solo sustituyes. Recuerda, el
paréntesis primero, entonces, 10+15 es igual a 25,
X= ½ (25) y la mitad de 25 = 12.5
Entonces la medida dentro del Angulo X es 12.5 grados.
Ejemplo 2:
Ahora, este es un ejemplo interesante, aquí, buscaremos el valor de X. Notaras,
te han dado el arco que intercepta, el arco cerca del Angulo es el más pequeño y
este es 40° y el Angulo que es 20. Casi podemos ver nuestra respuesta. ¿Como
llegaremos a nuestro 20°? ¿Cómo lo relacionamos a los arcos que interceptan?
Recuerda el Angulo es = ½ del arco mas grande, menos el Angulo pequeño. En
este caso es (20°= ½ del más grande que es X menos el pequeño que es 40) 20=
½(x-40) ¿Cómo resolveremos por X? ¿Qué hacemos?
40
20
X
Eliminaremos el ½. ¿Cómo lo cancelamos?
El opuesto de multiplicar por ½ es multiplicar los dos lados por dos.
2(20)= (2) (½) (x-40) Y recuerda en la ecuación puedes hacerlo como desees, si
lo haces exactamente en los dos lados de la ecuación.
Entonces:
40= x-40 dos veces, veinte te dará cuarenta. En el otro lado, dos veces la
multiplicación del ½ se cancela y nos queda X-40. Resolvemos por X, entonces,
sumamos 40 en los dos lados, si hacemos esto, tendremos X=80, este es nuestro
arco mas grande, es la medida de 80.
En este próximo ejemplo, tenemos unas extras. ¿Queremos buscar, no solo una
variable, no solo una que no sabemos? Queremos buscar dos.
Necesitamos encontrar b, y que es c. Hay algo muy interesante con respecto al
círculo. Si sumaras todas las medidas de todos los ángulos alrededor del círculo,
seria siempre 360°. Entonces en este círculo sabemos un arco es 15°, el otro 215°, el
otro es de 10°. Pero no sabemos el valor de “b”. Pero si sumariamos estos valores
nos dará 360°
b+ 10 +215 +15 = 360 Entonces, 10 + 215 +15 sería igual a 240, ¿Cómo resolveremos
por “b”? Sustrayendo 240 por los dos lados,
b + 240 = 360
240
240 Si hacemos esto tendremos 120, Ahora podemos buscar “c”.
b= 120 Porque tenemos el arco más grande 215, el arco pequeño el
120, y como “c” es el Angulo fuera del circulo, haremos el más grande menos el
pequeño, y restamos ½ (la mitad).
La formula seria:
C= ½ (215-120)
Ahora, solo aplicamos el orden de operaciones que dice, que
necesitamos simplificar todo dentro del paréntesis primero.
215 – 120 = 95
c= ½ (95)
c= 47.5
la mitad de 95 es 47.5
Esta es la medida del Angulo exterior „c‟.