Guía de Materia Matemáticas Estadística

Guía de Materia
Matemáticas
Estadística
Estadística:
Tiene como fin recopilar datos, clasificarlos, tabularlos y graficarlos, para su posterior estudio.
Muestra: Es un subconjunto representativo del universo.
Amplitud de la muestra: Número de elementos de la muestra
- Cualitativa
Variable:
- Cuantitativa
I)
- Discreta
- Continua
Distribución de frecuencia.
Cuando se tiene una gran cantidad de datos, es conveniente agruparlos en una tabla, para visualizarlos
mejor y sacar una mejor información de ellos.
Por ejemplo: Las siguientes son las edades de un grupo de niños de un jardín infantil,
4-4-1-1-2-3-1-5-4-4-4-5-1-1-2-4-3-3-2-2-3-4-4-5-1-2-3-5-5-1-1-3-4-5-1-3-2-2-3-2-3-5-2-4-5-2-2-2-3-3.
Estos datos los ordenaremos en una tabla de distribución de frecuencia
Edades
1
2
3
4
5
Frecuencia (f)
9
12
11
10
8
Frecuencia o frecuencia absoluta es el número de veces que aparece
dicho valor en el conjunto.
Ordenando los datos en esta tabla, es fácil responder preguntas como:
¿Cuántos niños hay de 4 años?
¿Cuál es la edad que más hay?
(R: 10)
(R: 2)
Estos datos también los podemos calcularle la frecuencia acumulada y la porcentual.
Edades
Frecuencia
1
2
3
4
5
9
12
11
10
8
Frecuencia
acumulada(fac)
9
21
32
42
50
Frecuencia
porcentual (f %)
18 %
24 %
22 %
20 %
16 %
Frecuencia acumulada hasta un valor, es el número de observaciones cuyo valor es menor o igual al
valor considerado.
Frecuencia porcentual es el porcentaje de observaciones que toma dicho valor.
Con esta información responde:
¿Cuántos niños hay menores que 4 años?
¿Cuántos niños hay en total?
¿Qué porcentaje de niños tienen 5 años?
(R: 32)
(R: 50)
(R: 16%)
2
Cuando las observaciones son una gran cantidad de valores, conviene agruparlos en intervalos.
Ejemplo: La siguiente tabla muestra los puntajes en intervalos obtenidos en un ensayo de P.S.U. de
matemáticas en un curso de 30 alumnos.
Puntaje
[500 – 550[
[550 – 600[
Marca de clase
525
575
f
3
4
fac
3
7
[600 – 650[
[650 – 700[
625
675
6
5
13
18
[700 – 750[
[750 – 800]
725
755
9
3
27
30
II)
f%
10 %
13, 3 %
20 %
Marca de clase es el representante
del intervalo, corresponde al punto
medio del intervalo.
13, 6 %
30 %
10 %
Representación gráfica de la información
a) Histograma o gráfico de barras
En este tipo de gráfico la variable va en el eje x, y la frecuencia en el eje y. Las alturas de las barras
indican la frecuencia de la variable en estudio.
Ejemplos:
Los siguientes gráficos representan las dos situaciones anteriores.
frecuencia
12
frecuencia
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
1
2
3
4
5
Edades de niños de un jardín infantil
edad
500
550
600
650
700
750
800 puntaje
Puntajes obtenidos por un grupo de alumnos en la PSU
3
b) Polígono de frecuencia
Es un gráfico de línea que se obtiene al unir los puntos de los datos versus su frecuencia. Si los datos
son agrupados se toma su marca de clase, como en el segundo ejemplo.
frecuencia
frecuencia
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
500
1
2
3
4
5
550
600
650
700
750
800 puntaje
edad
Edades de niños de un jardín infantil
Puntajes obtenidos por un grupo de alumnos en la PSU
c) Gráfico circular
En este gráfico se reparte los 360° del circulo en forma proporcional a la frecuencia.
Ejemplo:
Una nueva pasta de dientes fue probada por 300 personas, las que opinaron que la encontraron muy
buena, buena, regular o mala los resultados están expresados en el siguiente gráfico.
¿Cuántas personas la encontraron regular?
(R: 60)
Mala
Buena
36°
¿Cuántas personas la encontraron buena o muy buena?
(R: 210)
72°
180° 72° Regular
Muy buena
d) Pictograma
Estos gráficos están formados por figuras, donde cada figura representa una frecuencia dada en cada
caso.
Ejemplo:
El gráfico muestra la cantidad de mediaguas construidas por “Un techo para Chile” el invierno pasado en
las regiones VI, VII , VIII y IX
= 25 mediaguas
VI
VII
VIII
IX regiones
¿Cuántas mediaguas se construyeron en la VII región?
(R: 75)
4
III)
Medidas de tendencia central (Media , mediana y moda)
Los siguientes datos corresponden al número de helados que se tomaron un grupo de 30 alumnos en un
paseo.
3-1-0-3-2-2-0-4-1-4-2-2-1-3-4
3-4-2-3-3-0-1-4-1-2-2-3-3-4-4
-
N° helados
0
1
2
3
4
Frecuencia
3
5
7
8
7
F acumulada
3
8
15
23
30
Media (o promedio aritmético):
Se calcula sumando todos los valores de la muestra y dividiendo por el número total de observaciones.
Sin tabla:
3  1  0  3  2  ......  3  4  4 71

 2,36
30
30
Con tabla:
0  3  1  5  2  7  3  8  4  7 71

 2,36
30
30
-
Mediana
Es el término que equidista de los extremos en una distribución ordenada.
Sin tabla:
Se ordenan los datos y el que queda al medio es la mediana, si son dos es el promedio
aritmético entre esos dos.
0-0-0-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2-22-3
-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-4-4-4
mediana = 2,5
Con tabla: En la frecuencia acumulada se ve que datos corresponden a la ubicación 15 y 16, en este
caso son el 2 y el 3, luego la mediana será el promedio entre ellos = 2,5
-
Moda
Es el valor que más se repite, no es necesariamente un valor, si tiene 2 es bimodal, 3 es trimodal, etc. Si
todos los datos tienen la misma frecuencia, entonces no tiene moda.
Sin tabla: es el que más se repite, en este caso la moda es 3.
Con tabla: es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Moda = 3
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IV)
Estadígrafos de dispersión
Miden que tanto se dispersan los datos alrededor de su media, estos son rango, varianza, desviación
estándar.
Si tomamos por ejemplo 3 pequeños conjuntos de datos
Grupo 1
0 ; 5 ; 10
En los tres grupos su media es 5, pero los datos de los
diferentes grupos tienen una dispersión diferente.
Grupo 2
4;5;6
Grupo 3
5;5;5
A) Rango
Es la diferencia entre la observación más alta y la más baja.
En el ejemplo:
Rango grupo 1 = (10 – 0) = 10
Rango grupo 2 = (6 – 4) = 2
Rango grupo 3 = (5 – 5) = 0
B) Varianza
Es el promedio de las diferencias de cada dato con respecto a la media elevadas al cuadrado.
En el ejemplo:
0  52  5  52  10  52
50
 16, 6
3
3
2
2
2

5  4  5  5  6  5
2
Grupo 2 =
  0, 6
3
3
2
2
2
5  5  5  5  5  5  0  0
Grupo 3 =
3
3
Grupo 1 =
=
C) Desviación estándar
Es la raiz cuadrada de la varianza
Grupo 1 =
16, 6  4,08
Grupo 2 =
0, 6  0,82
Grupo 3 =
0 0
VI) Estadígrafos de posición
-
CUANTILES
Los cuantiles dividen los datos ya ordenados en grupos iguales, estos pueden ser : cuartiles, quintiles,
deciles y percentiles.
-
CUARTILES
Son medidas de localización que dividen la distribución en 4 partes.
El primer cuartil es el valor de la variable que deja bajo él al 25% de los datos, el segundo cuartil deja
bajo él al 50% de los datos y el tercer cuartil deja bajo él al 75% de los datos.
1
25%
50%
75%
2
1°
3
2°
4
3°
6
-
DECILES
Son medidas de localización que dividen la distribución en 10 partes iguales.
1
20%
2
3
2°
4
5
6
5°
7
8
9
10
9°
50%
90%
-
PERCENTILES
Son medidas de localización que dividen la distribución en 100 partes iguales. Por ejemplo si una variable se
encuentra en el percentil 86, significa que supera al 86% de los datos, ó el 86% está bajo el.
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