análisis hidráulico del flujo a través de conductos en lámina libre

ANÁLISIS HIDRÁULICO DEL FLUJO A TRAVÉS DE CONDUCTOS EN
LÁMINA LIBRE CON APORTACIÓN LATERAL
FRANCISCO VICENTE LAGUNA PEÑUELAS
ETS Ingenieros de Caminos UPM
ALFREDO GRANADOS GRANADOS
ETS Ingenieros de Caminos UPM
LUIS GARROTE DE MARCOS
ETS Ingenieros de Caminos UPM
RESUMEN
En la infraestructura hidráulica de drenaje es práctica corriente el dimensionamiento de conductos en
lámina libre con aporte lateral de caudal en ruta. Hay casos, como las cunetas y los drenes de las
carreteras o de los canales, y en otras infraestructuras lineales, donde la aportación lateral representa una
fracción importante sobre el caudal circulante. Habitualmente el cálculo hidráulico se realiza aceptando
simplificaciones que establecen la capacidad de desagüe sin tener en cuenta el frenado que se produce en
la curva de remanso debido a la incorporación de este caudal. En este artículo se analizan los efectos que
tiene, sobre la capacidad de dichas obras, la incorporación de las aportaciones laterales, estableciendo
ábacos y tablas que permiten el dimensionado de las citadas obras de drenaje o en general de cualquier
conducto en lámina libre de estas características.
1. INTRODUCCIÓN
El estudio del régimen permanente en lámina libre unidimensional con aportación
lateral suele simplificarse comprobando la capacidad de la sección para el caudal
máximo, en la sección aguas abajo, suponiendo que la obra lineal alcanza el calado
uniforme.
Sin embargo, es sencillo comprobar, aplicando las ecuaciones básicas de la hidráulica
técnica, que, en el caso de existir aportación lateral, además del efecto de la variación
del caudal a lo largo de la curva de remanso, aparecen pérdidas de carga adicionales,
que son debidas al balance de cantidad de movimiento entre el agua que circula en el
conducto y la que se incorpora al canal (Osuna, 1997).
En este artículo se realiza una valoración de la importancia de este efecto en función de
distintos parámetros, con la finalidad de verificar la fiabilidad de las hipótesis
simplificativas de cálculo que se adoptan en distintos manuales, como por ejemplo, la
Instrucción de Drenaje Superficial 5.2 IC (MOPU, 1990).
2. MODELO MATEMÁTICO
El caso que se analiza es el análisis de la curva de remanso que se produce en una canal
en régimen permanente con aportación lateral uniforme de caudal. Se aplica un modelo
matemático unidimensional que representa el comportamiento de conductos en lámina
libre. Sobre el caso clásico de análisis de curvas de remanso en canales. Se incorporan
las siguientes hipótesis:
• Aportación lateral constante desde el comienzo de la obra lineal
• Pendiente de solera y sección constante
• Coeficiente de rugosidad de Manning constante
Se utilizan los siguientes elementos y nomenclatura:
Q
caudal para el punto x considerado
q
caudal lateral aportado
S
sección mojada
P
perímetro mojado
V
velocidad media en el punto x considerado
T
ancho en la superficie de la lámina en el punto x considerado
F
Nº de Froude
h
cota de lámina en el punto x considerado
z
cota de fondo en el punto x considerado
y
calado en el punto x considerado
If
pendiente de pérdidas por fricción en el punto x considerado
Il
pendiente de pérdidas por aportación lateral en el punto x considerado
La Figura 1 representa esquemáticamente el significado de las variables:
q
y
q
Q
y
z
z
x
Figura 1
La ecuación de la dinámica para el movimiento en cauces abiertos, es:
(1 − F ) ∂∂yx + 2 gQ·S
2
·
2
∂Q
1 ∂Q Q 2 ∂S Q·q
+
·
−
· −
= I0 − (I f + Il )
∂x g ·S ∂t g ·S 3 ∂x g ·S 2
n 2 .Q 2
4/3
S 2 ·Rh
V ·q
Las pérdidas por aportación lateral perpendicular al flujo, son: I l =
(Véase, por
g ·S
ejemplo, Osuna, 1997).
Las pérdidas por fricción se evalúan por la fórmula de Manning I f =
Para el caso de aportación lateral constante, Q = q· x + Q0
Suponiendo sección prismática, y régimen permanente, las ecuaciones resultantes son:
(1 − F 2 ) ∂∂yx + 2 gQ·S 2 ·q − gQ·S·q2 = I 0 − ⎛⎜⎜ I f + Vg··Sq ⎞⎟⎟
⎝
⎠
⎛
∂y
Q·q ⎞
= I 0 − ⎜⎜ I f + 2
⎟
∂x
g ·S 2 ⎟⎠
⎝
Es decir, la aportación lateral equivale a una pérdida de carga adicional evaluada en 2
veces la pérdida de carga lateral propiamente dicha.
La resolución de esta ecuación diferencial es elemental. Partiendo de que la obra
hidráulica se dimensiona en pendiente suave (pendiente inferior a la pendiente crítica) y
que la sección aguas abajo alcanza el calado crítico, se puede integrar hacia aguas arriba
la correspondiente curva de remanso S2.
El paso de integración es variable teniendo en cuenta la condición de contorno en el
extremo de aguas abajo, donde se supone calado crítico. En un punto genérico conocido
V2
1, con calado y1 , con una energía específica H e1 = y1 + 1 , se alcanza otro punto 2,
2g
con un ∆x conocido. Sean las pendientes de pérdidas de carga I f 1 e I l1 para la
Simplificando: (1 − F 2 )
sección 1
Supuesto conocido el calado en la sección 2, y 2 , se determinan las nuevas pendientes
de pérdida I f 2 e I l 2
V22
2g
Pero la energía específica obtenida a partir del dato de la sección 1, es:
H e*2 = H e1 + (I m − I o )·∆x
donde I m = ( I f 1 + I l1 + I f 2 + I l 2 ) / 2
La energía específica en la sección 2 es H e 2 = y 2 +
El error obtenido es Error = H e*2 − H e 2
Se mejora el proceso de ajuste si se conoce la variación del error respecto de la variable
∂ (I f 2 + I l 2 )
∂Error ∂H e*2 ∂H e 2
=
−
= ∆x·
− (1 − Fr22 )
calado.
∂y
∂y
∂y
2·∂y
Desarrollando esto para una sección prismática
⎡
⎛ 5T 2 ∂P ⎞ I l 2 ⎤
∆Error
2
= ∆x·⎢ − I f 2 ·⎜⎜
−
⎟⎟ −
⎥ − (1 − Fr 2 )
∆y
⎝ 3S 3 P·∂y ⎠ S ⎦
⎣
permite ajustar un nuevo valor del calado en la sección 2, a partir del error anterior
obtenido y el valor de la derivada del error correspondiente.
3. APLICACIÓN AL CÁLCULO DE UNA CUNETA
Como primer caso de estudio, se considera la obra hidráulica constituida por una cuneta
de perfil triangular con taludes 1:4 y 1:6 , con un coeficiente de rugosidad de Manning
de 0,015, de 200m de longitud, cuya condición frontera aguas abajo, es la consideración
de calado crítico aguas abajo. La sección transversal de la cuneta se representa en la
Figura 2.
Se analiza la sensibilidad de resultado a dos parámetros: el caudal aportado lateralmente
y la pendiente en la obra de drenaje.
Se incrementa la pendiente sin sobrepasar la pendiente crítica, de forma que la
condición frontera corresponda a calado crítico. Es decir, se terminarán las pendientes
cuando el Número de Froude se aproxime a la unidad.
Se supone que la cuneta citada arranca con un caudal cero en su extremo de aguas
arriba.
1
4
1
6
Figura 2
Se construye una tabla para determinar el calado uniforme, crítico y efectuar la
integración de la curva de remanso S2.
Se adjuntan los resultados correspondientes a un caudal unitario de 0,0005 m3/s/m,
pendiente geométrica de la cuneta de 0,4%, longitud de la misma de 200m y coeficiente
de rugosidad de Manning de 0,015
El calado uniforme es 0,161 m y la curva de remanso, arrancando del calado crítico con
valor 0,1522, alcanza un calado máximo de 0,166 m. que es ligeramente superior al
obtenido calculando con la hipótesis de calado uniforme.
0.2000
0.1800
0.1600
calado
0.1400
0.1200
0.1000
0.0800
0.0600
0.0400
0.0200
0.0000
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Repitiendo este cálculo, con distintos caudales unitarios y pendientes de la cuneta, se
obtiene la siguiente tabla:
Tabla resumen cuneta con taludes1:4 1:6 de 200m de longitud con n Manning de 0.015
Cada celda contiene el calado uniforme, máximo e inicial según la curva de remanso
pendiente en la cuneta
q unitario
3
m /s/m
0.1%
0.2%
0.3%
0.4%
0.5%
0.6%
0.8%
0.0002
0.148
0.130
0.120
0.114
0.109
0.106
0.144
0.130
0.122
0.117
0.114
0.109
0.074
0.042
0.030
0.024
0.020
0.017
rapido
0.0003
0.172
0.151
0.140
0.133
0.127
0.168
0.152
0.143
0.137
0.132
0.09
0.05
0.04
0.03
0.03
rapido
rapido
0.0004
0.192
0.168
0.156
0.148
0.142
0.187
0.170
0.159
0.152
0.148
0.11
0.06
0.05
0.04
0.03
rapido
rapido
0.0005
0.208
0.183
0.170
0.161
0.154
0.204
0.185
0.174
0.166
0.161
0.13
0.07
0.05
0.04
0.04
rapido
rapido
0.0007
0.236
0.208
0.192
0.182
0.175
0.232
0.211
0.198
0.189
0.184
0.16
0.09
0.07
0.05
0.05
rapido
rapido
0.001
0.270
0.237
0.220
0.208
0.267
0.243
0.228
0.218
0.19
0.12
0.08
0.07
rapido
rapido
rapido
0.0012
0.289
0.254
0.236
0.223
0.287
0.261
0.245
0.234
0.21
0.13
0.09
0.08
rapido
rapido
rapido
0.002
0.350
0.308
0.285
0.270
0.350
0.319
0.301
0.287
0.27
0.18
0.13
0.11
rapido
rapido
rapido
0.003
0.408
0.358
0.332
0.315
0.410
0.376
0.354
0.339
0.34
0.23
0.17
0.14
rapido
rapido
rapido
1.0%
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
Para una cuneta con el mismo perfil triangular y longitud, pero con otro revestimiento
considerando un número de Manning de 0,025 se obtienen los siguientes resultados:
Tabla resumen cuneta con taludes1:4 1:6 de 200m de longitud con n Manning de 0.025
Cada celda contiene el calado uniforme, máximo e inicial según la curva de remanso
pendiente en la cuneta
q unitario
3
m /s/m
0.1%
0.2%
0.4%
0.6%
0.8%
1.0%
1.5%
0.0002
0.179
0.157
0.138
0.128
0.121
0.116
0.108
0.168
0.153
0.138
0.132
0.127
0.123
0.111
0.092
0.051
0.028
0.020
0.015
0.011
0.00
0.0003
0.208
0.183
0.161
0.149
0.141
0.135
0.125
0.195
0.178
0.160
0.152
0.147
0.142
0.129
0.12
0.07
0.04
0.03
0.02
0.02
0.01
0.0004
0.232
0.204
0.179
0.166
0.157
0.151
0.140
0.217
0.198
0.178
0.168
0.163
0.157
0.143
0.14
0.08
0.04
0.03
0.02
0.02
0.01
0.0005
0.252
0.222
0.195
0.180
0.171
0.164
0.235
0.215
0.194
0.182
0.176
0.171
0.15
0.09
0.05
0.04
0.03
0.02
rapido
0.0007
0.286
0.251
0.221
0.205
0.194
0.186
0.266
0.244
0.220
0.206
0.199
0.193
0.19
0.11
0.06
0.04
0.04
0.03
rapido
0.001
0.327
0.287
0.252
0.234
0.222
0.213
0.303
0.279
0.252
0.236
0.227
0.220
0.22
0.14
0.08
0.06
0.04
0.04
rapido
0.0012
0.350
0.308
0.270
0.250
0.237
0.228
0.324
0.298
0.270
0.253
0.243
0.236
0.24
0.15
0.09
0.06
0.05
0.04
rapido
0.002
0.424
0.373
0.327
0.303
0.287
0.276
0.392
0.362
0.329
0.308
0.295
0.286
0.31
0.21
0.12
0.09
0.07
0.06
rapido
0.003
0.494
0.434
0.381
0.353
0.335
0.321
0.456
0.422
0.384
0.361
0.344
0.334
0.38
0.27
0.16
0.11
0.09
0.08
rapido
2.0%
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
rapido
4. APLICACIÓN A UNA TUBERÍA DE DRENAJE CON APORTACIÓN
LATERAL
El segundo ejemplo propuesto corresponde a la obra de drenaje constituida por tubería
de 200mm de diámetro, con aportación lateral. La longitud empleada sigue siendo
200m.
Se adjuntan los resultados correspondientes a un caudal unitario de 0,0002 m3/s/m,
pendiente geométrica de la tubería de drenaje de 0,4%, longitud de la misma de 200m y
coeficiente de rugosidad de Manning de 0,015
0.18
0.16
calado
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
El calado uniforme es 0,149 m y la curva de remanso, arrancando del calado crítico con
valor 0,132, alcanza un calado máximo de 0,155 m. Es decir, superior a la hipótesis de
calado uniforme.
Repitiendo este cálculo, con distintos caudales unitarios y pendientes de la cuneta, se
obtiene la siguiente tabla:
Tabla resumen tubería drenaje de diámetro: 0.5 de 200m de longitud con n Manning de 0.015
Cada celda contiene el calado uniforme, máximo e inicial según la curva de remanso
pendiente de la tubería
q unitario
3
m /s/m
0.1%
0.2%
0.3%
0.4%
0.5%
0.6%
0.8%
1.0%
0.0002
0.216
0.178
0.160
0.148
0.140
0.134
0.205
0.180
0.165
0.155
0.148
0.143
0.127
0.055
0.033
0.024
0.018
0.014
rapido
rapido
0.0003
0.273
0.223
0.199
0.184
0.174
0.165
0.255
0.225
0.207
0.194
0.184
0.177
0.180
0.085
0.050
0.035
0.027
0.022
rapido
rapido
0.0004
0.330
0.264
0.234
0.216
0.202
0.192
0.301
0.266
0.244
0.229
0.217
0.208
0.229
0.117
0.068
0.047
0.036
0.029
rapido
rapido
0.0005
0.396
0.304
0.267
0.245
0.229
0.218
0.345
0.304
0.279
0.261
0.247
0.237
0.276
0.152
0.086
0.059
0.045
0.036
rapido
rapido
0.0007
0.500
0.392
0.333
0.301
0.281
0.265
0.379
0.346
0.323
0.305
0.291
en carga
0.226
0.130
0.086
0.064
0.052
rapido
rapido
0.001
0.500
0.500
0.500
0.396
0.359
0.335
0.419
0.393
0.372
en carga en carga en carga
0.135
0.096
0.075
rapido
rapido
0.0012
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.388
0.345
0.433
0.393
en carga en carga en carga en carga en carga
0.093
0.065
rapido
0.002
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.003
en carga en carga en carga en carga en carga en carga en carga en carga
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
0.500
en carga en carga en carga en carga en carga en carga en carga en carga
4. CONCLUSIÓN
El método propuesto, de fácil aplicación, es una herramienta práctica que permite
ajustar con mayor precisión, la capacidad de secciones en lámina libre, como cunetas o
tuberías de drenaje. La aproximación de utilizar la capacidad de la sección a máximo
caudal como si fuera en ´regimen uniforme, puede no quedar del lado de la seguridad,
como se aprecia en las tablas resumen mostradas.
Referencias bibliográficas
MOPU Instrucción 5.2-IC Drenaje superficial Julio 1990
Antonio Osuna (1997) Sexta edición HIDRÁULICA Hidráulica Técnica y Mecánica de Fluidos
Laguna, F. (2005) Apuntes de clase Hidráulica Computacional (Doctorado Conjunto UPM – México)